线性方程组的数值解法
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ak(kn) ak(k11n)
an(kn1)
x1
xk
xk
1
xn
b1(1)
bbk(kk(k1)1) bn(k 1)
.
汕头大学工学院
研究生课程---数值分析
2013-2014 秋季学期
其中
ai(jk1) ai(jk) mik ak(kj ), (i, j k 1, , n) bi(k 1) bi(k) mik bk(k) , (i k 1, , n)
各种类型的矩阵
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) Hessenberg阵
5) 对称矩阵
6) 埃尔米特矩阵
7) 对称正定矩阵
8) 正交矩阵
9) 酉矩阵
10) 初等置换阵
11) 置换阵
汕头大学工学院
研究生课程---数值分析
2013-2014 秋季学期
三、线性方程组的两类解法
直接法 迭代法
第n-1步： … …
a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
0
a1(1n) a2(2n)
an(nn)
x1
x2
xn
bb12((12)) bn(n)
.
（2）回代过程
汕头大学工学院
研究生课程---数值分析
2013-2014 秋季学期
a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
2013-2014 秋季学期
§2 解线性方程组的直接方法
一、高斯消去法
•设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A a21 a22
a2n
,
X
x2
,
b
b2
.
an1 an2
ann
xn
bn
•高斯消去法如何求解一般线性方程组？
汕头大学工学院
研究生课程---数值分析
x2
xn
bb12((12)) bn(2)
.
ai(j2) ai(j1) mi1 a1(1j), (i, j 2,3, , n)
bi(2) bi(1) mi1 b1(1) , (i 2,3, , n)
即消去第2至第n个方程中的未知数x1
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2013-2014 秋季学期
aij aij mik akj. 2.回代：对于i n, ,1,
(1) xi bi ,
(2) 对于j i 1, , n
汕头大学工学院
xi xi aij x j ,
(3) xi xi / aii.
研究生课程---数值分析
2013-2014 秋季学期
乘除法运算工作量
第k步消元：mik
0
a1(1n) a2(2n)
an(nn)
x1
x2
xn
bb12((12)) bn(n)
.
若 an(nn) 0, 则
xn bn(n) an(nn)
xk
bk(
k
)
j
n
k
ak(kj )x 1
j
ak(kk) , (k n 1, ,1)
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2013-2014 秋季学期
高斯消去法的步骤：
（1）消元过程
第一步：若 a1(11) 0, 用 mi1 ai(11) / a1(11) 乘第一行 加到第i行中，得到
其中
a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
an(22)
a1(1n) a2(2n)
an(2n)
x1
2013-2014 秋季学期
说明：若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通 过带行交换的高斯消去法进行求解。
定理5 (1) ak(kk) 0, k 1,2, , n, 可以通过高斯消去法求解。 (2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进
行求解。
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a2
n
,
X
x2
,
b
b2
.
an1 an2 ann
xn
bn
矩阵三角分解法包括不选主元和选主元两种方法。
1、不选主元三角分解算法 当A非奇异时，可以将A作LU分解：
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2013-2014 秋季学期
1 0
0 u11 u12 u1பைடு நூலகம்
A LU l21 1
2013-2014 秋季学期
算法归纳：若ak(kk) 0, k 1,2, , n，A(k)覆盖A, mik覆盖aik .
1.消去：对于k 1,2, ,n，
(1) 若akk 0,则停止计算. (2) 对于i k 1, , n
(i) aik mik aik / akk (ii) 对于j k 1, , n
1 3
n
非零判断次数最多为：n
k
行交换的元素个数为：
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1 (n k)
1 n1
1 2
n(n
(n k)
k 1 研究生课程---数值分析
1 2
1) n(n
1)
2013-2014 秋季学期
二、矩阵三角分解法
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A a21 a22
第二步：若 a2(22) 0, 用… …. ……
第k步：若 ak(kk) 0, 用 mik ai(kk) / ak(kk) 乘第k行加到第i行 中，得到
a1(11)
a1(1k)
ak(kk ) 0
0
a1(1k)1
ak(kk
) 1
ak(k11k)1
an(kk11)
a1(1n)
:n
k次除法,
a(k 1) ij
: (n
k )2 次乘法,
b(k 1) i
: n k次乘法,(i,
j
k
1,L
, n).
n 1
消元过程乘除法次数： (n
k 1
k)2
n 1 2 (n
k 1
k)
13n3
1 2
n2
5 6
n
回代过程乘除法次数：
k
n k
1
1 2
n(n
1)
总的乘除法运算次数：1
3
n3
n2
0
u22
,
0
ln1 ln,n1 1 0 0 unn
其中：(矩阵LU分解)
(1) u1 j a1 j (i 1,2, ,n), li1 ai1 / u11(i 2, ,n), (2) 对k 2, ,n,计算
四、本讲内容安排
解线性方程组的直接方法
高斯消去法
√
高斯主元素消去法
矩阵三角分解法
√
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解线性方程组的迭代法
雅可比迭代法
√
高斯-赛德尔迭代法
√
逐次超松弛迭代法
Matlab与线性方程组求解
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an(kn1)
x1
xk
xk
1
xn
b1(1)
bbk(kk(k1)1) bn(k 1)
.
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其中
ai(jk1) ai(jk) mik ak(kj ), (i, j k 1, , n) bi(k 1) bi(k) mik bk(k) , (i k 1, , n)
各种类型的矩阵
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) Hessenberg阵
5) 对称矩阵
6) 埃尔米特矩阵
7) 对称正定矩阵
8) 正交矩阵
9) 酉矩阵
10) 初等置换阵
11) 置换阵
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三、线性方程组的两类解法
直接法 迭代法
第n-1步： … …
a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
0
a1(1n) a2(2n)
an(nn)
x1
x2
xn
bb12((12)) bn(n)
.
（2）回代过程
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a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
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§2 解线性方程组的直接方法
一、高斯消去法
•设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A a21 a22
a2n
,
X
x2
,
b
b2
.
an1 an2
ann
xn
bn
•高斯消去法如何求解一般线性方程组？
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x2
xn
bb12((12)) bn(2)
.
ai(j2) ai(j1) mi1 a1(1j), (i, j 2,3, , n)
bi(2) bi(1) mi1 b1(1) , (i 2,3, , n)
即消去第2至第n个方程中的未知数x1
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aij aij mik akj. 2.回代：对于i n, ,1,
(1) xi bi ,
(2) 对于j i 1, , n
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xi xi aij x j ,
(3) xi xi / aii.
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乘除法运算工作量
第k步消元：mik
0
a1(1n) a2(2n)
an(nn)
x1
x2
xn
bb12((12)) bn(n)
.
若 an(nn) 0, 则
xn bn(n) an(nn)
xk
bk(
k
)
j
n
k
ak(kj )x 1
j
ak(kk) , (k n 1, ,1)
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高斯消去法的步骤：
（1）消元过程
第一步：若 a1(11) 0, 用 mi1 ai(11) / a1(11) 乘第一行 加到第i行中，得到
其中
a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
an(22)
a1(1n) a2(2n)
an(2n)
x1
2013-2014 秋季学期
说明：若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通 过带行交换的高斯消去法进行求解。
定理5 (1) ak(kk) 0, k 1,2, , n, 可以通过高斯消去法求解。 (2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进
行求解。
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a2
n
,
X
x2
,
b
b2
.
an1 an2 ann
xn
bn
矩阵三角分解法包括不选主元和选主元两种方法。
1、不选主元三角分解算法 当A非奇异时，可以将A作LU分解：
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1 0
0 u11 u12 u1பைடு நூலகம்
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2013-2014 秋季学期
算法归纳：若ak(kk) 0, k 1,2, , n，A(k)覆盖A, mik覆盖aik .
1.消去：对于k 1,2, ,n，
(1) 若akk 0,则停止计算. (2) 对于i k 1, , n
(i) aik mik aik / akk (ii) 对于j k 1, , n
1 3
n
非零判断次数最多为：n
k
行交换的元素个数为：
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n(n
(n k)
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1 2
1) n(n
1)
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二、矩阵三角分解法
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A a21 a22
第二步：若 a2(22) 0, 用… …. ……
第k步：若 ak(kk) 0, 用 mik ai(kk) / ak(kk) 乘第k行加到第i行 中，得到
a1(11)
a1(1k)
ak(kk ) 0
0
a1(1k)1
ak(kk
) 1
ak(k11k)1
an(kk11)
a1(1n)
:n
k次除法,
a(k 1) ij
: (n
k )2 次乘法,
b(k 1) i
: n k次乘法,(i,
j
k
1,L
, n).
n 1
消元过程乘除法次数： (n
k 1
k)2
n 1 2 (n
k 1
k)
13n3
1 2
n2
5 6
n
回代过程乘除法次数：
k
n k
1
1 2
n(n
1)
总的乘除法运算次数：1
3
n3
n2
0
u22
,
0
ln1 ln,n1 1 0 0 unn
其中：(矩阵LU分解)
(1) u1 j a1 j (i 1,2, ,n), li1 ai1 / u11(i 2, ,n), (2) 对k 2, ,n,计算
四、本讲内容安排
解线性方程组的直接方法
高斯消去法
√
高斯主元素消去法
矩阵三角分解法
√
汕头大学工学院
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2013-2014 秋季学期
解线性方程组的迭代法
雅可比迭代法
√
高斯-赛德尔迭代法
√
逐次超松弛迭代法
Matlab与线性方程组求解
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