六、-动力学问题的有限元法

❖ 应用最广泛的一种隐式算法是Newmark方法。
• Newmark方法 ❖ 在积分区间上采用如下的速度、位移假设：
❖ 通过t+Δt时刻的运动方程来决定t+Δt时刻的位移
a 解 tt ，即：
❖ 从上面三个方程联立可推出从 t 时刻的运动参量计算 t+Δt 时刻位移的公式：
❖ 由于从上式求解 t+Δt 时刻位移时需要对非对角的等效 刚度阵求逆，因此称为隐式算法。
第五节 瞬态响应分析
• 瞬态响应分析是计算动力强迫响应分析的最一般方法。其 目的是计算结构受随时间变化激励作用下的行为。瞬态激 励定义在时间域中，每个瞬时的大小已知。激励可以是作 用力和强迫运动。
• 根据结构和载荷的性质，可以用两种不同的数值方法进行 瞬态响应分析：直接积分法和振型叠加法。前者对全耦合 的有限元离散运动方程直接进行积分；后者利用主振型对 运动方程进行变换和解耦，结构的响应根据相应于各振型 的响应累加而成。
2、阻尼矩阵
单元阻尼矩阵：
• 称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点 运动速度得到的，属于粘性阻尼。显然，这种阻尼阵 与质量矩阵成正比。
• 对结构而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料内 部摩擦效应引起的能量耗散，但这种耗散机理尚未完 全清楚，更难以用数学模型表达，故通常假设这种情 况的阻尼力正比于应变速率，从而可导出比例于单元 刚度矩阵的单元阻尼阵，大多数情形下足够精确。
1) 准静态问题
❖ 指边界条件和/或体力变化缓慢，或者物体内加速度分 布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程 中忽略了惯性项，但载荷是时间的函数。在某时刻t， 采用动静法将整体惯性力转化为体力，或者忽略惯性力。 对应此刻载荷的静力学解作为t时刻的解。工程上可取 随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态 解。
它们分别称为固有振型矩阵和固有频率矩阵
• 利用固有振型矩阵和固有频率矩阵，结构固有振型的 正交性质可以表示成：
原来的特征值问题可以表示成：
• 固有频率和固有振型是一个结构自由振动的基本特性， 也是结构动态特性的基本要素。
•求解结构自由振动的广义特征值问题，由于系统自由度 很多，而研究系统动态响应和动态特性时，往往只需要 少数低阶特征值和特征向量。因此在有限元分析中发展 了许多针对上述特点的效率较高的算法。其中应用最广 泛的有Lanczos法、子空间迭代法、逆迭代法等。
2）是条件稳定算法。时间步长必须小于某个临界值：
t
tcr
Tn
Tn 是有限元系统的最小固有振动周期，通常用最小尺
寸单元的最小固有振动周期代替。因此，有限元网格中最
小单元尺寸将决定中心差分法时间步长的选择。有限元网
格划分时要考虑到这个因素，避免个别单元尺寸太小。
3）中心差分法适合用于考虑波传播效应的线性、非线性 响应分析。但是对于结构动力学问题中的瞬态响应分 析，不适合采用中心差分法，因为这类问题，重要的 是较低频的响应成分，允许采用较大的时间步长。通 常采用无条件稳定的隐式算法。
❖ 这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过 程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。
❖ 这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远 少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件 高速碰撞或爆炸载荷产生。
• 对于上述后两类问题，描述质点平衡和运动的微分方程 相同，包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要 是有限元法。
• 研究结构自由振动特性。设阻尼和外力均为零，则结 构自由振动有限元运动方程为：
Ma(t) Ka(t) 0
设各自由度作简谐运动：
a sin (t t0 )
其中 是n阶向量，表示有限元离散结构所有自由度的
振幅，ω是该向量振动的频率。将上式代入自由振动 方程得到：
• 该方程描述的问题称为广义特征值问题。
❖ 当算法中的参数满足一定条件时，该算法是无条件稳定 的。此时，步长的选择取决于解的精度，可以根据对结 构响应有主要贡献的若干基本振型的周期来确定。通常 可取为所要考虑的基本振型周期中最小周期的二十分之 一。
❖ 对结构动力学问题，所关心的较低阶振型的周期比全系 统的最小周期大得多，也就是无条件稳定的隐 式算法可以 采用比有条件稳定的显式算法大得多的时间步长，而采用 较大时间步长还可以滤掉不精确的高阶响应成分。
1、直接积分法
• 直接积分法的两个前提：
❖ 第一，将求解时间域0<t<T内任何时刻t都满足运动方 程的要求降低为在相隔Δt的离散时间点上满足运动方 程。
❖ 第二，在离散时间点之间的Δt区域，对位移，速度， 加速度进行假设。相当于对运动微分方程组在时间域 进行离散化，并逐点求解。
• 直接积分法概述：
1、协调质量矩阵和集中质量矩阵
上节导出的单元质量矩阵为： Me
NT NdV
Ve
• 该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚 度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出，还表示 质量在单元上呈某种分布。
• 此外，有限元中还经常采用集中质量矩阵，它是一个对 角矩阵，由假定单元质量集中在节点上得到。
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
——单元阻尼矩阵
Qe NTfdV NT TdS ——单元等效节点力向量
Ve
Se
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
M a(t) K a(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构 最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发 散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而 不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思 想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
u N ae
u(x, y, z, t)
u
v(
x,
y,
z,
t)
w( x, y, z, t)
ae
aa 12
a n
ui (t)
ai
vi
(t) (i
1,2,, n)
wi (t)
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
• 由于系统的固有振型对于结构质量矩阵和结构刚度矩 阵具有正交性，因此，系统振型对上述Rayleigh阻尼 矩阵也是正交的。所以这类阻尼矩阵又称为振型阻尼。
• 采用振型阻尼矩阵后，可以利用系统振型对动力学方 程进行变换，得到解耦的方程组，使每个方程可以独 立求解，给计算带来方便。
第四节 结构自振频率和振型
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T
dV
V uT (
f
u u)dV
S
uT T
dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 尽管这种静态情况在实际上并不存在，但作为一种基本 力学模型，在工程实践上具有重要意义。很多实际问题 可近似归入准静态问题，而满足工程上的精度要求。
❖ 通过这种近似处理，可以避免大量的动力学模型解算， 而在有限的计算机资源下，可把实际问题的模型在准静 态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下， 由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假 设产生的误差。
❖ 至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目 的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周 期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资 源情况等。
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动 特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应 分析；响应谱分析等。
2、振型叠加法
•振型叠加法是计算结构瞬态响应的另一种数值方法。该 方法利用结构固有振型对动力学方程组进行变换，缩减未 知量规模，并对运动方程组进行解耦，大幅度提高数值求 解的效率。
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
• 上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成：
M Me K Ke C Ce Q Qe
其中：
Me NT NdV Ve
K e BT DBdV Ve
——单元质量矩阵 ——单元刚度矩阵
Ce NT NdV Ve
❖ t+Δt时刻的位移解 att 从t时刻的运动方程建立：
❖ 将加速度和速度的差分格式代入上式，得到：
❖ 上式就是求离散时间点上位移解的递推公式。但该算法 有起步问题（见P449）。
❖ 中心差分法特点如下：
1）是显式算法，并且当质量阵和阻尼阵都是对角阵时，利 用该递推公式求解运动方程时不需要进行矩阵求逆，这个 特点在非线性问题中将更有意义。
• 当求解该微分方程组，得出节点位移响应后，其它计 算步骤与静力分析相同。