正态分布的概念及表和查表方法
最全标准正态分布表
最全标准正态分布表标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它在各个领域的应用非常广泛。
在实际的统计分析中，我们经常需要用到标准正态分布表来进行计算。
因此，掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习者来说是至关重要的。
标准正态分布表是一种用来查找标准正态分布曲线下面积的表格。
在这个表格中，我们可以根据给定的Z值来查找对应的标准正态分布曲线下方的面积。
标准正态分布表通常包含了Z值和对应的面积值，通过查表我们可以快速得到标准正态分布曲线下方的面积。
在使用标准正态分布表时，我们首先需要确定给定Z值的正负性，然后在表格中找到对应的Z值和面积值。
需要注意的是，标准正态分布曲线是对称的，因此在查表时，我们只需要查找Z值为正的一侧，然后根据对称性得到Z值为负的一侧的面积值。
标准正态分布表的使用方法并不复杂，但需要一定的熟练程度才能快速准确地进行查表。
在实际应用中，我们经常需要用到标准正态分布表来计算概率、确定置信区间等统计量，因此熟练掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习者来说是非常重要的。
除了查表外，我们还可以利用统计软件来进行标准正态分布的计算。
现在的统计软件通常都内置了标准正态分布的计算功能，可以方便快捷地得到标准正态分布曲线下方的面积。
但是，对于初学者来说，掌握标准正态分布表的使用方法仍然是非常重要的，因为这不仅可以帮助我们更好地理解标准正态分布的性质，也可以为后续的统计学习打下坚实的基础。
总之，标准正态分布表在统计学中具有非常重要的地位，它是统计学学习的基础之一。
掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习者来说是至关重要的，希望大家能够认真学习和掌握标准正态分布表的使用方法，为后续的统计学习打下坚实的基础。
正态分布(4)
2.正态分布密度函数： 正态分布密度函数： 正态分布密度函数
正态曲线（ 正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 ） 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 两端逐渐下降并完全对称， 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为： 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
−( X −µ)2 2σ 2
1 f ( z) = 2π
e
−
z 2
2
− ∞ < z < +∞
经标准化变换后，原变量X变为 ，Z服从总体 经标准化变换后，原变量 变为Z， 服从总体 变为 均数为0，总体标准差为 的正态分布 的正态分布， 均数为 ，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（ 正态分布（standard normal distribution）。 ） 记作： 记作：
习惯上用N 表示均数为µ 标准差为σ 习惯上用 (µ ，σ2)表示均数为 、标准差为 表示均数为 的正态分布。记作： 的正态分布。记作：
X ~ N(µ,σ )
2
二、正态曲线下面积的分布规律 （一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由µ 所决定。 正态曲线下面积的分布规律由 及σ所决定。 所决定 一般正态分布曲线下面积分布状况： 一般正态分布曲线下面积分布状况： µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ 0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
Z ~ N ( 0 ，) 1
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表， 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称， 分布两边对称，表中只给出 取负值的情况。 了Z取负值的情况。表内所 取负值的情况 列数相当于Z值左侧标准正 列数相当于 值左侧标准正 态分布曲线下面积， 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。 。
4正态分布
正态分布的图形特征
• 正态分布的密度函数
f (X ) 1 e
( X ) 2 / 2 2
2
, X
式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周 率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为x相应的纵坐标高度，则x 服从参数为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)， 记作X~N（ μ，σ2 ）。
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征：
观察表7-2资料绘成的直方图
概念：如果观察例数逐渐增多，组段不断 分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高 峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且 左右对称，不与横轴相交的光滑曲线，这条曲 线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的 正态分布（高斯分布;Gauss）。 由于频率的总和为100%或1，故该曲线下 横轴上的面积为100%或1。
1
2
标准正态分布曲线下面积规律：
1. 标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26% 。 2. 标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95% 。 3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99% 。
二、正态曲线下面积的分布规律
实际工作中，常需了解正态曲线下横轴 上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估 计该区间的例数占总例数的百分数或观察值落 在该区间的概率。为了便于应用，统计学家按 φ (u)编制了附表1标准正态分布曲线下的面积， 由此表可查出曲线下某区间的面积。
参考值范围的制定方法：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料； 双侧界值 单侧上界 单侧下界
X u / 2 s
X u s
X u s
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
标准正态分布z值表
标准正态分布z值表标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它是指均值为0，标准差为1的正态分布。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的z值，以便进行统计推断和假设检验。
为了方便计算，通常会使用标准正态分布z值表来查找对应的z值。
本文将介绍标准正态分布z值表的使用方法，并给出一些实际案例进行说明。
标准正态分布z值表是一张用来查找标准正态分布下z值对应累积概率的表格。
在表格中，横坐标是z值，纵坐标是累积概率。
通过查表，我们可以得到给定z值下的累积概率，或者给定累积概率下的z值。
这对于统计推断和假设检验非常有用。
举个例子，假设我们需要计算标准正态分布下z小于1.96的累积概率。
我们可以通过查表得到z为1.96时的累积概率为0.975。
这意味着在标准正态分布下，z小于1.96的概率为0.975。
同样地，如果我们需要计算标准正态分布下累积概率为0.9对应的z值，我们可以通过查表找到累积概率为0.9时对应的z值为1.28。
在实际应用中，我们经常需要进行统计推断和假设检验。
而标准正态分布z值表则为我们提供了便利的工具，帮助我们快速准确地进行计算。
通过使用标准正态分布z值表，我们可以更加方便地进行统计分析，为决策提供有力的支持。
除了查表，我们也可以使用统计软件进行计算。
然而，在一些情况下，查表可能更加方便快捷。
尤其是在一些简单的统计推断中，通过查表可以快速得到结果，而无需依赖复杂的软件计算。
总之，标准正态分布z值表是统计学中非常重要的工具，它为我们提供了便利的途径来进行统计推断和假设检验。
通过熟练掌握标准正态分布z值表的使用方法，我们可以更加高效地进行统计分析，为实际问题的解决提供有力的支持。
在实际应用中，我们应该灵活运用不同的工具和方法，选择最合适的方式来进行统计分析。
标准正态分布z值表作为其中的重要工具之一，其使用方法和应用场景都值得我们深入了解和掌握。
希望本文能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
(完整版)t分布的概念及表和查表方法
t分布介绍在概率论和统计学中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生t-分布可简称为t分布。
其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。
之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n 的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
第三章 正态分布
u
u指单侧U界值，也称
随机变量U的上侧α 分 位数。其意义为：从u 到+∞这一侧的面积为 α。
u/2
u/2 指双侧U界值，也
称随机变量U的双侧α 分位数。其意义为：从 u/2 到+∞这一侧的面 积为α /2,从-∞到-u/2 这一侧的面积也为α /2, 两侧面积之和为α 。
1.3 正态分布曲线及其面积分布
图3-8 两尾概率
图 正态分布两尾概率
对于标准正态分布，其两尾概率为： P（∣u∣≥1.96）＝0.05 P（∣u∣≥2.58）＝0.01
图 标准正态分布两尾概率
图 标准正态分布两尾概率
标准正态分布，其单尾概率为
图 标准正态分布单尾概率
图 标准正态分布单尾概率
图 正态分布与标准分布的概率
例如 x在（μ -1.96σ ，μ +1.96σ ）之外取值的两尾概率 为0.05，而一尾概率为0.025。即： P（x＜μ -1.96σ ）＝P（x＞μ +1.96σ ）＝0.025
图
正态分布两尾概率
同理，x在（μ-2.58σ，μ+2.58σ）之外取值的两尾概率为0.01， 而一尾概率为0.01。即： P（x＜μ-2.58σ）＝P（x＞μ+2.58σ）＝0.01。
第三章 正态分布
正态分布的概念 • 正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率 ）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数 分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠 近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成 一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称 的分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似 服从数学上的正态分布。
第6课 正态分布 概率论
离散型 —— 分布列 P( X xk ) pk
f (x) 0
x
连续型 —— 密度函数 f (x) 非负特规征范
是判定一个函数是否为某随机变量X 的分布列或密度的充要条件.
0
x
分布函数 F ( x) pk 其图形是右连续的阶梯曲线
F(X)= P(X x)
F( x)
xxk
当 X=256 时,
P(X>256)
1
(
256166 93
)
0.169
这表明高于256分的频率应为0.169, 即成绩高于甲的人数应占考生
的16.9%, 排在甲前应有 1657 16.9% 280名, 甲大约排在281名.
故甲能被录取, 但成为正式工的可能性不大.
例11
设 X～N( , 2 )， 求 P(|X-| < k ) k=1,2,3 .
类似可得 (u/2 )= 1- /2 ，
可查表得值
若 X～N( , 2)时，要求满足 P(X >x0 )= 的 x0 ：
(u )= 1- u
x0
u
x0 u
复习
随机变量 X
全部可能的取值 取值的概率分布
p(x)
至此，我们已介绍了两类重要的随机变量:
P
(
X
k
)
e
k k!
k 0,1, 2,,
x
f
(
t
)d
t
,
其图形是连续曲线
常见的分布
离散型
连续型
两点分布、二项分布、泊松分布 超几何分布、几何分布
05-概率分布-正态分布
而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，根
据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，常用 95%。 .
双侧临界值：标准正态分布双侧尾部面积之和等于α 时所 对应的正侧变量值，记作Zα /2。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
以不同的方法计算参考值范围：
3. 求上、下界值
下界： x 1.96s 117.4 1.9610.2 97.41( g / l ) 上界： x 1.96s 117.4 1.9610.2 137.39( g / l )
所以，该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围是 （97.41,137.39）g/l。
体重频率密度
图5-1 体重频率密度图
图5-2 概率密度曲线示意图
故对连续性随机变量而言：
变量某区间取值的概率 = 正态曲线该变量区间的面 积
推 断：
测得一个孕妇体重在54-68kg的概率有多大？ 孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢？
一、正态分布的概念和 密度函数
正态分布( normal distribution)：是描述连续型
X 1.64S X 1.96S
X 2.58S
X－1.28S
X 1.28S X 1.64S
X 2.33S
X－1.64S X－2.33S
举例1：调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显 示其分布近似正态，试估计该地健康女性血红蛋白 的95%参考值范围。 解析： 1. 分布近似正态 2. 过高过低均为异常 正态分布法求参考值范围 设定双侧界值
3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99%
2.左半侧Z 值对应面积的查法：标准正态分布是以 0 为中 心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积即可 。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
有关正态分布的解释
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
e
x-∞2 ＜x＜+∞
2 2
则该随机变量服从正态2分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；
π为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的
底，即2.71828···。
✓ 若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
144～
25
145.5
147～
20
148.5
150～
9
151.5
153～
3
154.5
156～
2
157.5
159～162
1
160.5
合计
118
—
频数
频数分布图一（又称直方图）
30
20
10
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高（X）大于 155(cm)的概率为： PX x2 155 PU u2
u2
x2 s
x
155 144.29 5.41
1.98
PX x2 155 PU u2 PU u2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下者占正常女孩总人数的 4.272%，身高 在 155 厘米以上者占正常女孩总人数的 2.385%。
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即左右 各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
数理统计查表方法
数理统计查表方法
数理统计中常用的查表方法有两种：查正态分布表和查t分布表。
1. 查正态分布表：正态分布表是用来计算正态分布的累积概率（即给定值以下的概率）和临界值（即给定累积概率对应的值）。
一般的正态分布表会给出标准正态分布（均值为0，标准差为1）的值。
如果需要计算其他均值和标准差的正态分布，可以通过标准化处理后再查询表格。
在查表时，一般需要根据给定的概率或值，在表格中找到对应的行和列，得到对应的数值。
2. 查t分布表：t分布表是用来计算t分布的累积概率和临界值的。
t分布主要应用于样本较小或总体方差未知的情况下。
和正态分布表类似，t分布表也提供了不同自由度下的t分布的临界值和累积概率。
在查表时，需要根据给定的自由度和概率或值，在表格中找到相应的数值。
需要注意的是，表格只提供了一部分数值，如果要查询的数值不在表中，通常需要进行插值来估算。
此外，现代计算机软件和统计学软件通常都提供了更精确和快捷的计算方法，可以避免手动查表的过程。
正态分布查表方法
正态分布查表方法
正态分布查表法是一种常用的概率统计方法，其核心思想是通过对正态分布概率进行抽样的方式来推断样本的概率分布。
正态分布查表法，也就是采用定量方法，来使用标准正态分布查表法，估计特定变量的概率密度函数。
正态分布查表法，首先要选择一个正态分布查表，这里有不同查表，分别使用不同的区间和概率精度。
然后，对正态分布中的每一个给定值，在查表中找到响应的区间，以及在该区间内的概率值。
最后，累积所有这些概率值，得到特征值的总概率。
正态分布查表法的优势在于，可以根据查表的精度，推算出各种概率。
此外，它也可以帮助我们比较和缩小现有数据中发现的不同特征变量间的差异。
正态分布查表法可以用在多种统计任务上，比如正态性检验，频率分布检验和缺失值推断等，可以帮助统计学家获得综合评价的数据。
总之，正态分布查表法是一种简单而有效的抽样算法，可以帮助统计学家广泛领域的统计任务，是统计学家们不可多得的工具和方法。
标准正态分布查表方法
标准正态分布查表方法
标准正态分布表是一个将未知量Z对应的列上的数与行所对应的数字结合查表定位的工具。
以下是查表步骤：
1. 了解标准正态分布的公式。
2. 要查的是X的值。
3. 在标准正态分布表上，先找到X值的整数部分和小数点后第一位所对应的列。
4. 然后再找到X值的小数点后第二位所对应的行。
5. 找到列与行的交叉点，即可得到所查的Φ(X)的值。
6. P小于等于X的比例则等于1减去Φ(X)的值。
这就是查表的方法，计算需要费一番周折，如有错误之处请大家批评指导，也欢迎提宝贵建议和意见，谢谢关注与支持。
正态分布[2-2]
![正态分布[2-2]](https://img.taocdn.com/s3/m/bb3e54a60029bd64783e2cf5.png)
(X − X) u=
S
3.曲线下对称于 的区间，面积相等。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下对称于 的区间 4.曲线下横轴上的面积为 曲线下横轴上的面积为100%或1。 曲线下横轴上的面积为 或 。
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ， ， 即均数位置，理论上： 即均数位置，理论上： µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的95% 范围内曲线下的面积占总面积的 µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的99% 范围内曲线下的面积占总面积的 实际应用中： 实际应用中： 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的95% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的99% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的
u=
X −µ
σ
二、正态分布的特征
1. 关于 心，左右对称。 左右对称。 2. 在 在 处取得概率密度函数的最大值， 处取得概率密度函数的最大值， 处有拐点，表现为钟形曲线。 处有拐点，表现为钟形曲线。即正 拐点 对称。 对称。即正态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。 态曲线在横轴上方均数处最高。
双侧---过高、 双侧 过高、过低均异常 过高
异常
正常
正常
异常
异常
正常
异常
正态分布
17
(1)解：计算u值：
X X u s 130 123.02 1.46 4.79 X
查表9-8
-1.46
1.46
18
(2)解：计算u值：
u1 X1
X1 X s
120 123.02 0.63 4.79
0.10
0.80
0.10
则: 80%的男孩身高集中： (116.9cm，129.2cm)
X 1.28 s
20
三、参考值范围的估计
1. 医学参考值范围(reference range)定义：
又称正常值范围(normal range)，是指特定健康状况
的人群的解剖、生理、生化等各种数据(绝大多数人)
正态分布和参考值范围估计
1
主要内容
一、正态分布的概念、曲线下面积分布规律及 其应用 二、参考值的定义、制订方法
重点：
1、正态分布的概念、曲线下面积分布规律
2、参考值的定义、制订方法
难点：正态分布概率函数值计算
2
一、正态分布：
3
1.定义：一组同质的观察值当样本含量足够大时，其
频数分布为中间高，两侧逐渐减少，左右对称，呈现
一条永不与横轴相交的曲线。
1 f( X ) e 2 ( X )2 22
, X
X ~ N ( , 2 ), 为X的总体均数， 为总体标准差
4
2. 正态曲线(normal curve)
正态曲线的特征：
(1) x=μ±σ处左右拐点， 使曲线表现为钟型
(2)关于x=μ对称 (3) x=μ处取最大值 (4)μ是其位置参数 (5)σ是其形状参数 (6)曲线下的面积为100%
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布的概念及表和查表方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
标准正态分布函数表
标准正态分布（英语：standard normal distribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
将未知量Z对应的列上的bai数与du 行所对应的数字结合查表定位
例如zhi 要查假设X=1.15，
1)左边一列找到1.1的标准正dao态分布表
2)上面一行找到0.05
3)1.1和0.05所对应的值为0.8749。
1、所谓的正态分布表都是标准正态分布表(n(0,1)，通过查找实数x的位置，从而得到p(z<=x)。
2、表的纵向代表x的整数部分和小数点后第一位，横向代表x 的小数点后第二位，然后就找到了x的位置。
比如这个例子，纵向找2.0，横向找0.00，就找到了2.00的位置，查出0.9772。
密度函数关于平均值对称
平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。
99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。
99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。
函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
正态分布
例1：设
X ~ N 0,1
求 P ( X 1.23); P ( X 2.08); P ( X 0.09);
P(2.15 X 5.12); P( X 1.96)
解：
P ( X 1.23) 0
P ( X 2.08) (2.08) 0.9812
P( X 0.09) 1 (0.09) (0.09) 0.5359
重要结论：设 X ~ N ( ， )，则
2
X
~ N (0,1) .
P ( X b ) P ( X b ) ( b ) （1） P （2） (a X b) P (a X b) P (a X b) b a ) ( ) P (a X b) ( a （3）P ( X a ) P ( X a ) 1 ( ) （4） P( X k ) P( X k ) ( k ) ( k )
对第二种方案有X ~ N 6，2）， （ 2 56 于是（X 5） 1 P X 5） 1 （ P （ ） 3 1 （ 0.5） （0.5） 0.6915
综上分析，选择第 ？
种方案
小
1.标准正态分布
1）记为 X~N(0，1)
2）密度 ( x ) 函数：
（1） P ( X x ) 0.90 ，求x； （2） P ( X y ) 0.04 ，求y。 解：（1）P ( X x )
10
x 500 0.90 10
查表得 x 500 1.28
，得 x =512.8
y 500 0.04 （2）P ( X y ) 1 10 y 500 y 500 0.96 查表得 于是 1.75 10 10
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正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。
其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。
拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。
因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。
但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。
拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。
定理由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
将一般正态分布转化成标准正态分布。
若服从标准正态分布，通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例）。
定义一维正态分布若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为f( - x ) = 1 –f( x )则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“二维正态分布”。
标准正态分布当时，正态分布就成为标准正态分布性质正态分布的一些性质：（1）如果且a与b是实数，那么(参见期望值和方差)。
（2）如果与是统计独立的正态随机变量，那么：它们的和也满足正态分布它们的差也满足正态分布U与V两者是相互独立的（要求X与Y的方差相等）。
（3）如果和是独立常态随机变量，那么：它们的积XY服从概率密度函数为p的分布。
其中是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）它们的比符合柯西分布，满足（4）如果为独立标准常态随机变量，那么服从自由度为n 的卡方分布。
分布曲线图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
正态分布关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
参数含义正态分布有两个参数，即期望（均数）μ和标准差σ，σ2为方差。
正态分布公式正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ,σ2)。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
面积分布1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。
不同范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
⒉正态曲线下，横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%。
P{|X-μ|<σ}=P（μ-σ<X<μ+σ）=Φ(μ+σ-μ）/σ-Φ(μ-σ-μ）/σ=Φ(1）-Φ(-1）=Φ(1）-（1-Φ(1））2Φ(1)-1=0.6826横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%。
P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544。
横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。
P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974。
由于“小概率事件”和假设检验的基本思想是指“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
由此可见X落在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率小于千分之三，在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的，基本上可以把区间(μ-3σ,μ+3σ)看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。
研究过程概念及特征一、正态分布的概念由一般分布的频数表资料所绘制的直方图，图⑴可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。
我们正态分布研究图1设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图⑶。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。
由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布(standard normal distribution），亦称u 分布。
u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。
正态分布研究图2正态分布研究图3实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。
正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。
对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式u=(X-μ）/σ求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数X1和标准差S分别代替μ和σ，按u=(X-X1）/S式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
正态曲线与标准正态曲线的面积分布正态分布的应用某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。
正态分布面积图1正态分布面积图2一般正态分布与标准正态分布的区别与联系正态分布也叫常态分布，是连续随机变量概率分布的一种，自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布。
它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。
标准正态分布是正态分布的一种，其平均数和标准差都是固定的，平均数为0，标准差为1。
？？？曲线应用综述⒈估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
⒉制定参考值范围⑴正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
⑵百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
⒊质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。
这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
⒋正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
频数分布例1.10 某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。