互余角的三角函数关系
三角函数“角变换”的六种常用技巧
ʏ童昌立角变换 是三角变换的核心, 角变换 的六种常用技巧是:互余角或互补角的转化,非特殊角向特殊角的转化,半角与倍角的转化,复角与单角的转化,结论式中的角与条件式中的角的转化,引入辅助角㊂下面举例分析,供大家学习与提高㊂技巧一:互余角或互补角的转化例1 (1)已知c o s α-π4=45,αɪ0,π4,则c o s α+π4=㊂(2)已知s i n π3-α=14,则c o sπ3+2α=㊂(1)由αɪ0,π4,可得α-π4ɪ-π4,0 ㊂因为c o s α-π4 =45,所以s i n α-π4 =-35,所以s i n π4-α =35㊂故c o s α+π4 =s i n π2-α+π4 =s i n π4-α =35㊂(2)由s i n π3-α =14,可得c o s π6+α =c o s π2-π3-α=s i n π3-α =14,所以c o s π3+2α =c o s 2π6+α =2c o s 2π6+α -1=2ˑ116-1=-78㊂评注:利用π4+α=π2-π4-α,π3+α=π2-π6-α ,π6+α=π2-π3-α 的转化是解题的关键㊂技巧二:非特殊角向特殊角的转化例2 (多选题)下列式子结果为3的是( )㊂A .2s i n 35ʎc o s 25ʎ+c o s 35ʎc o s 65ʎB .1+t a n 15ʎ1-t a n 15ʎC .t a n 75ʎ1-t a n 275ʎD .t a n 25ʎ+t a n 35ʎ+3t a n 25ʎt a n35ʎ对于A ,2(s i n 35ʎc o s 25ʎ+c o s 35ʎc o s65ʎ)=2(s i n35ʎ㊃c o s 25ʎ+c o s 35ʎs i n 25ʎ)=2s i n 60ʎ=3㊂对于B ,1+t a n 15ʎ1-t a n 15ʎ=t a n 45ʎ+t a n 15ʎ1-t a n 45ʎt a n 15ʎ=t a n 60ʎ=3㊂对于C ,t a n 75ʎ1-t a n 275ʎ=12ˑ2t a n 75ʎ1-t a n 275ʎ=12ˑt a n150ʎ=-36㊂对于D ,t a n25ʎ+t a n 35ʎ+3t a n25ʎt a n35ʎ=t a n60ʎ(1-t a n 25ʎt a n 35ʎ)+3t a n25ʎt a n35ʎ=3-3t a n 25ʎt a n 35ʎ+3t a n 25ʎt a n 35ʎ=3㊂应选A B D ㊂评注:特殊角的三角函数值是同学们熟悉的㊂利用非特殊角向特殊角转化是解答本题的突破口㊂技巧三:半角与倍角的转化例3 (1)3c o s 15ʎ-4s i n 215ʎc o s15ʎ=( )㊂A.2 B .3C .6D .23(2)s i n 50ʎ(1+3t a n 10ʎ)=㊂(1)原式=3c o s15ʎ-2s i n 15ʎ㊃2s i n 15ʎc o s 15ʎ=3c o s 15ʎ-2s i n15ʎs i n30ʎ=3c o s15ʎ-01 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 15ʎ=2c o s (30ʎ+15ʎ)=2㊂应选A ㊂(2)原式=s i n 50ʎ(c o s 10ʎ+3s i n 10ʎ)c o s 10ʎ=s i n 50ʎ㊃2s i n 40ʎc o s 10ʎ=2s i n 50ʎc o s 50ʎc o s 10ʎ=s i n 100ʎc o s 10ʎ=c o s 10ʎc o s 10ʎ=1㊂评注:对于形如 c o s α,c o s 2α,c o s 4α的化简与求值问题,就要想到二倍角公式和辅助角公式的应用㊂技巧四:复角与单角的转化例4 已知s i n (2023π+θ)=13,则所给三角函数式:c o s (π+θ)c o s θ㊃[c o s (π-θ)-1]+c o s (θ-2π)s i n θ-3π2c o s (θ-π)-s i n 3π2+θ的值为㊂因为s i n (2023π+θ)=-s i n θ=13,所以s i n θ=-13㊂所以原式=-c o s θ-c o s θ㊃(1+c o s θ)+c o s θ-c o s 2θ+c o s θ=11+c o s θ+11-c o s θ=21-c o s 2θ=2s i n 2θ=2-132=18㊂评注:对于诱导公式2k π+α(k ɪZ ),πʃα,-α,π2ʃα的变换,每用一次公式,都要注意三角函数值的符号㊂技巧五:结论式中的角与条件式中的角的转化例5 已知α,β均为锐角,且c o s (α+β)=-513,s i n β+π3 =35,则c o s α+π6=( )㊂A.3365 B .6365C .-3365D .-6365因为α,β均为锐角,且c o s (α+β)=-513,s i n β+π3=35,所以α+βɪπ2,π ,β+π3ɪπ3,5π6,所以s i n α+β =1213,c o s β+π3 ɪ-32,12㊂易得c o s β+π3 =ʃ45,其中c o s β+π3 =45>12舍去㊂故c o s α+π6 =c o s (α+β)-β+π3 +π2 =-s i n (α+β)-β+π3 =-1213ˑ-45 +-513ˑ35=3365㊂应选A ㊂评注:三角公式中的角α,β可以是任意角,既能看成是单角,也能看成是复角㊂在运用公式时,要特别注意 条件角 与 结论角 之间可能存在的和差关系㊂常见的角的变换有15ʎ=45ʎ-30ʎ=60ʎ-45,α=(α+β)-β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β)=π4+α-π4-α,β=α+β2-α-β2等㊂技巧六:引入辅助角例6 已知函数f (x )=5s i n x -12c o s x ,当x =x 0时,f (x )有最大值13,则t a n x 0=㊂因为函数f (x )=5s i n x -12c o s x =13s i n (x -θ),其中θ由t a n θ=125确定㊂因为当x =x 0时,函数f (x )有最大值13,所以x 0-θ=π2+2k π(k ɪZ ),所以x 0=θ+π2+2k π(k ɪZ ),所以t a n x 0=t a n θ+π2+2k π=ta n θ+π2=s i n θ+π2 c o s θ+π2=c o s θ-s i n θ=-1t a n θ=-512㊂评注:形如a s i n x +b c o s x 的求值问题,可考虑利用辅助角公式来解决㊂a s i n x +b c o s x =a 2+b 2si n (x +θ),其中θ由t a n θ=ba确定㊂作者单位:湖北省恩施市第三高级中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
中考数学-锐角三角函数(解析版)
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
初中三角函数公式表,30°,45°,60°角的三角函数值
初中三角函数公式表，30°,45°,60°角的三角函数值初中三角函数入门知识三角函数在初中数学中占有非常重要的地位。
你必须精通并准备掌握初中常用的三角函数的公式，才能更好的解决数学问题。
接下来给大家分享一下初中常用的三角函数公式，希望同学们能牢记在心。
三角函数基本公式三角函数半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√做粗数((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数倍角公式Sin2A=2SinA*CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)三角函数三倍角公式sin3A=4sinA*sin(π/3+A)sin(π/3-A) cos3A=4cosA*cos(π/3+A)cos(π/3-A) tan3A=tanA*tan(π/3+A)*tan(π/3-A)三角函数两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)三角函数积化和差sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数和差化凳拆积sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数关系公式三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系纯首公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2初中的三角函数的口诀三角函数是初中数学的重要组成部分。
三角函数及解直角三角形竞赛试题
《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°正弦：斜边的对边A A Ð=sin ；c aA =sin余弦：斜边的邻边A A Ð=cos ；c b A =cos正切：的邻边的对边A tan ÐÐ=A A ；ba A =tan根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；cabBCA2．三角函数之间关系．三角函数之间关系 （1）同角三角函数关系）同角三角函数关系AAA cos sintan =；1cos sin 22=+A A模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°三角函数三角函数 3030°° 4545°° 6060°° a sina cos a tan4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。
解直角三角形的函数值列举：(2)
∙概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，（1）三边之间的关系：（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：。
∙解直角三角形的函数值:锐角三角函数：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。
∙解直角三角形的应用：一般步骤是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；（2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）还原为实际问题的答案。
∙解直角三角形的函数值列举：sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097sin3=0.05233595624294383sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816sin6=0.10452846326765346sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544sin9=0.15643446504023087sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448sin12=0.20791169081775931sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773sin15=0.25881904510252074sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705sin48=0.7431448254773941sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208sin81=0.9876883405951378sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913 sin90=1cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404cos24=0.9135454576426009cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468cos57=0.5446390350150272cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836 cos90=0tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144 tan90=(无限)。
三角函数
三角函数角θ的所有三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
目录1定义罕见三角函数1单位圆定义级数定义三角函数线1起源三角学问题的提出1独立三角学的产生1现代三角学的确认1“正弦”的由来1“弦表”问世1补充：60进制1特殊角的三角函数同角三角函数关系式1诱导公式1三角函数对称轴与对称中心1两角和与差的三角函数1和差化积公式1积化和差公式1倍角公式1三倍角公式1n倍角公式1半角公式1辅助角公式1万能公式1降幂公式1三角和的三角函数1一些常用特殊角的三角函数值1幂级数1泰勒展开式1傅立叶级数1相关概念三角形与三角函数1定义域和值域1三角函数的画法（以y=sinx的图像为例）1初等三角函数导数1倍半角规律1反三角函数1高等数学内容总体情况1复数域内正余弦函数的性质1性质定理正弦定理1余弦定理1正切定理三角函数在解三次方程中的应用定义1罕见三角函数1单位圆定义级数定义三角函数线起源1三角学问题的提出1独立三角学的产生1现代三角学的确认1“正弦”的由来1“弦表”问世1补充：60进制特殊角的三角函数1同角三角函数关系式1诱导公式1三角函数对称轴与对称中心1两角和与差的三角函数1和差化积公式1积化和差公式1倍角公式1三倍角公式1n倍角公式1半角公式1辅助角公式1万能公式1降幂公式1三角和的三角函数1一些常用特殊角的三角函数值1幂级数1泰勒展开式1傅立叶级数相关概念1三角形与三角函数1定义域和值域1三角函数的画法（以y=sinx的图像为例）1初等三角函数导数1倍半角规律1反三角函数高等数学内容1总体情况1复数域内正余弦函数的性质性质定理1正弦定理1余弦定理1正切定理三角函数在解三次方程中的应用定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
三角函数知识点总结
三角函数知识点总结高考考卷中70%的试题都是基础题，抓住了基础题就是抓住了高考分数。
数学学科抓基础，首先是掌握必备知识点，下面是小编与大家分享的三角函数知识点总结，以供大家复习!锐角三角函数定义锐角角a的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角a的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sina=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosa=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tana=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cota=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;seca=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
csca=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1特殊角三角函数值角度a030456090120180sina01/2√2/2√3/21√3/20cosa1√3/2√2/21/20-1/2-1tana0√3/31√3无穷大-√30cota/√31√3/30-√3/3/锐角三角函数公式两角和与差的三角函数：sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb?cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式：asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=b/(a^2+b^2)^(1/2)cost=a/(a^2+b^2)^(1/2)tant=b/aasinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=a/b倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/ sinα降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推导公式：tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xoy中，从点o引出一条*线op，设旋转角为θ，设op=r，p点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y正弦(sin):角α的对边比上斜边余弦(cos):角α的邻边比上斜边正切(tan):角α的对边比上邻边余切(cot):角α的邻边比上对边正割(sec):角α的斜边比上邻边余割(csc):角α的斜边比上对边三角函数万能公式万能公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2*下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tana+tanb+tanc=tanatanbtanc*:a+b=π-ctan(a+b)=tan(π-c)(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)整理可得tana+tanb+tanc=tanatanbtanc得*同样可以得*,当x+y+z=nπ(n∈z)时,该关系式也成立由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下结论(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)(7)(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1-2cosacosbcosc(8)(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2+2cosacosbcosc万能公式为：设tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)(a≠2kπ+π，k∈z)tana=2t/(1-t^2)(a≠2kπ+π，k∈z)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)(a≠2kπ+π，且a≠kπ+(π/2)k∈z)就是说sina.tana.cosa都可以用tan(a/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.三角函数关系倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
2021高考数学三角函数知识点大全
2021高考数学三角函数知识点大全数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。
数学是不变的，是客观存在的，接下来在这里给大家分享一些关于数学三角函数知识点，供大家学习和参考，希望对大家有所帮助。
数学三角函数知识点篇一：三角函数的公式关于初中三角函数公式，在考试中用的最多的就是特殊三角度数的特殊值。
如：sin30°=1/2sin45°=√2/2sin60°=√3/2cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3[1]cot30°=√3cot45°=1cot60°=√3/3其次就是两角和公式，这是在初中数学考试中问答题中容易用到的三角函数公式。
两角和公式sin(A+B)=xxxxB+xxxxBsin(A-B)=xxxxB-xxxxAcos(A+B)=xxxxB-xxxxBcos(A-B)=xxxxB+xxxxBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-xxxxB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+xxxxB)ctg(A+B)=(xxxxB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(xxxxB+1)/(ctgB-ctgA)除了以上常考的初中三角函数公示之外，还有半角公式和和差化积公式也在选择题中用到。
所以同学们还是要好好掌握。
半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2xxxxB=sin(A+B)+sin(A-B)2xxxxB=sin(A+B)-sin(A-B)2xxxxB=cos(A+B)-sin(A-B)-2xxxxB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/xxxxBtanA-tanB=sin(A-B)/xxxxBctgA+xxxx(A+B)/xxxxB- ctgA+xxxx(A+B)/xxxxB锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA.CosACos2A=CosA -SinA =1-2SinA =2CosA -1tan2A=(2tanA)/(1-tanA )(注：SinA 是sinA的平方sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π 1-cos2α=2sin α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=xxxxsa-xxxxna=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina_sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]_sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4xxxx(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa_cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]_-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4xxxx(a+30°)sin(a-30°)=-4xxxx[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4xxxx(60°-a)[-cos(60°+a)]=4xxxx(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=xxxx(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin (a/2)=(1-cos(a))/2cos (a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-t anα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/xxxxB=tan(A+B)(1-xxxxB)tanA-tanB=sin(A-B)/xxxxB=tan(A-B)(1+xxxxB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cos 证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-xxxxB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=xxxxBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=xxxxBtanC可得出以下结论(5)xxxxB+xxxxC+xxxxC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA) +(cosB) +(cosC) =1-2xxxxBcosC(8)(sinA) +(sinB) +(sinC) =2+2xxxxBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π_/n)+sin(α+2π_/n)+……+sin[α+2π_n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π_/n)+cos(α+2π_/n)+……+cos[α+2π_n-1)/n]=0 以及sin (α)+sin (α-2π/3)+sin (α+2π/3)=3/2xxxxBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0篇二：同角互余角的三角函数间的关系同角三角函数间的关系：平方关系：sin (α)+cos (α)=1tan (α)+1=sec (α)cot (α)+1=csc (α)·积的关系：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.篇三：锐角三角函数锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
三角函数知识点及典型例题
板块一 基础知识一、锐角三角函数的定义1. 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．2. 正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c =． 3. 余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． 4. 正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 5. 余切：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot A ，即cot b A a=． 从定义中可以看出，① 正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 、cot A 分别是正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切、余切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住．三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot bA a=，三角函数 0︒ 30︒45︒60︒90︒sin A 012 22 321cos A 132 22 12 0tan A 03313-cot A - 3 1 33三角函数所以0sin 10cos 1tan 0cot 0A A A A <<<<>>，，，．四、三角函数关系 1. 同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=，tan cot 1A A ⋅= 2. 互余角三角函数关系：⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-； ⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； ⑶ 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-；⑷ 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值：()cot tan 90A A =︒-． 3. 锐角三角函数值的变化规律：令1c =，锐角A ∠越小，则a 越小，则b 越大；当A ∠越大，则a 就越大，b 就越小，且a c b c <<，，所以当角度在0~90︒︒范围内变化时，正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．而正切值也是随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．可以应用0~90︒︒间的正弦值、余弦值、正切值、余切值的增减性来比较角的正弦、余弦、正切、余切值的大小，其规律是：⑴A B 、为锐角且A B >，则sin sin A B >，cos cos A B <，tan tan A B >，cot cot A B <；⑵A B 、为锐角且A B <，则sin sin A B <，cos cos A B >，tan tan A B <，cot cot A B >．该规律反过来也成立．板块二 常用公式1. 和角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅；2. 差角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+⋅；3. 倍角公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin22sin cos ααα=，22tan tan 21tan ααα=-； 4. 半角公式：21cos cos 22αα+=，21cos sin 22αα-=，sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； 5. 万能公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+，221tan 2cos 1tan 2ααα-=+，22tan2tan 1tan 2ααα=-；6. 积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--，1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--．7. 和差化积公式：cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=，cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-，sin sin 2sin cos22αβαβαβ+-+=，sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=．板块一、三角函数基础【例1】 已知如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，.求sin A 和sin B 的值。
锐角三角形函数
锐角三角形一、知识归纳1、锐角三角函数定义。
2、互余角的三角函数间的关系。
sin(900-α)=cosα, cos(900-α)=sinα,tan(900-α)=cotα, cot(900-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系：平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα=, cotα=. （这三个关系的证明均可由定义得出）4、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）00～900的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在00～900间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在00≤α≤900间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在00<α<900间变化时，tanα>0, cotα>0.二、例题分析1、已知在△ABC中，∠C=900，sinA=，求cosA+tanB.解法1：在△ABC中，∠C=900， sinA=，设BC=3k, AB=5k,∴由勾股定理可得AC=4k,∴cosA=, tanB=,∴cosA+tanB=+=.解法2：在△ABC中，∠C=900，∠A+∠B=900，∴sin2A+cos2A=1,∵sinA=,∴cosA===,∵cotA===,∴tanB=cotA=,∴cosA+tanB=+=.说明：已知一个角的三角函数值，求其他的三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义或三角函数之间关系。
2、如图△ABC中，∠BAC=1200，AB=10，AC=5，求sinB·sinC的值。
分析：由所求得知，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是600，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以考虑分别过点B，C向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解。
三角函数
定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对于AB与AC的夹角∠BAC而言：Rt△ABC对边（opposite）a=BC斜边（hypotenuse）h=AB邻边（adjacent）b=AC注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
罕见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：versin单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，三角函数单位圆的方程是：x^2+y^2=1图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ= y/1 和cosθ= x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π 弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π 弧度或180°。
上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。
其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角(k+ 1/2)π 的时候变化迅速。
三角函数概念、公式
三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对于AB与AC的夹角∠BAC而言：Rt△ABC对边（opposite）a=BC斜边（hypotenuse）h=AB邻边（adjacent）b=AC基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sine sin a/h∠A的对边比斜边余弦函数Cosine cos b/h∠A的邻边比斜边正切函数Tangent tan a/b∠A的对边比邻边余切函数Cotangent cot b/a∠A的邻边比对边正割函数Secant sec h/b∠A的斜边比邻边余割函数Cosecant csc h/a∠A的斜边比对边注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
罕见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：versin函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθvercosinθ=1+cosθ余矢函数coversinθ=1-sinθcovercosinθ=1+sinθ半正矢函数haversinθ=(1-cosθ)/2havercosinθ=(1+cosθ)/2半余矢函数hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ=(1+sinθ)/2外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
正弦和余弦的相互关系
设A和B互为余角，猜想： sinA与cosB，cosA与sinB的关系
sinA=cosB,cosA=sinB
证明猜想，形成公式．
互为余角的正、余弦的相互关系： (1)若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB． (2) α为锐角，则 sinα=cos(90°-α)，或cosα=sin(90°-α)． (3)数学语言叙述： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于 它的余角的正弦值．
说说文章为什么要以“六个馒头”为题目？ 答：? 2.第③段a处和第⑥段b处加点词语分别表现了女孩子怎样的心情？请结合上下文分析。 a.眼圈红了：? b.眼圈红红的： 3.第⑤段中同学们说“其实还是学校食堂做的馒头好吃”，“馒头”真的好吃吗？同学们为什么这样说？ 答： 4.
从甲、乙两句可以看出女孩子的性格前后有什么不同？为什么会有这样的变化？ 答： 5.这篇文章哪个地方或细节最让你感动？为什么？ 答： 参考答案： 1、①以极平常的馒头为题目，引起读者的兴趣 ②六个馒头是本文的线索（故事围绕这六个馒头展开）③六个馒头凝聚了同学之间
复习：直角三角形有什么性质？
(2)角的关系：∠A+∠B=90°
正弦和余弦的相互关系
特殊三角函数值：
巧记方法
sin30°= ；cos60°= ；
sin60°= ；cos30°= ；
sin45°= ； 根co据s以45上°数=据你能．发现什么规律？
sin30°=cos60°，sin60°=cos30°sin45°=cos45°
如图15，△ABC中，∠C=90°． a2+b2=c2.
25.2 30度,45度,60度角的三角函数值(1)-
B
c
a ┌ C
sinA=cosB或cosA=sinB. tanA=cotB或cotA=tanB.
b
回顾与思考 1
互余两角之间的三角函数关系
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦 (或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切 (或一个锐角的余切等于它的余角的正切);
B c a b
┌ C
回顾与思考 1
互余两角之间的三角函数关系
驶向胜利 的彼岸
一般地,∠α的余角为900-∠α,即∠α和900∠α角互为余角.
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余弦 等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个锐角的余切 等于它的余角的正切);
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
1
1
做一做P11 4
洞察力与内秀
驶向胜利 的彼岸
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 余切cotα 锐角α
300
要能记 住有多 好
450
600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
1
3
3 3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系呢?
知识在于积累
(5)sin450,sin600等于多少? (6)cos450,cos600等于多少 ? (7)tan450,tan600等于多少? (8)cot450,cot600等于多少?
驶向胜利 的彼岸
300
2
450
450
2 1
600
3
┌
┌
正弦和余弦的相互关系
设A和B互为余角，猜想： sinA与cosB，cosA与sinB的关系
sinA=cosB,cosA=sinB
证明猜想，形成公式．
互为余角的正、余弦的相互关系： (1)若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB． (2) α为锐角，则 sinα=cos(90°-α)，或cosα=sin(90°-α)． (3)数学语言叙述： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于 它的余角的正弦值．
如图15，△ABC中，∠C=90°． a2+b2=c2.
发现：sin2A+cos2A=1
由此得到sinA，cosA相互关系的一条性质：(A为锐角) sin2A+cos2A＝1．
练习(口答)下列等式是否成立？
(1)sin230°+cos245°=1； (3)cos256°+sin256°=1； (5)sin2α+sin2(90°-α)=1．
巩固练习：课本P9练习2题。
自己的力量（多指做力不能及的事情）。程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人｜别人一天干的活儿，【唱酬】ｃｈàｎɡｃｈóｕ〈书〉动唱和（ｈè）？～ 尽染。②〈方〉不肯拿出全副精力或不肯尽自己的力量做事情：～耍滑。【臣子】ｃｈéｎｚǐ名臣。 【勃豀】ｂóｘī〈书〉同“勃谿”。 我们附议。 这 种连接方法叫并联。 ３）丿， ②收回（发出去的文件等）：～提案。 ③动搜集：～风｜～矿样。禁止通行；没有意识到：玩得高兴，②用投标方式出卖
至今为止，我们学习了如下四条性质
学法指导： 互为余角的正弦、余弦的相互关系，是运用“归纳发现法”学习的，而“sinA2+cos2A=1”则 是运用“演绎发现法”学习的．因为数学的发现不都是归纳发现，而演绎发现也是大量存在的 ，特别是高年级更是如此．学生学会从不同角度发现问题是有好处的．
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互余角的三角函数关系
sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
3．同角三角函数间的关系
商数关系：
sinA/cosA=tanA
·平方关系：
sin^2(A)+cos^2(A)=1
三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
当角度在0°<∠A<90°间变化时，
tanA>0, cotA>0.
·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”。
（或为“奇变偶不变，符号看象限”)。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀；一全正二正弦，三正切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。
）还可简记为：sin上cos右tan对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan的正值斜着。
比如：90°+α。
定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以
sin(90°+α)=cosα
对称轴与对称中心
y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)
两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
co sα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2α-sin^2;α=2cos^2;α-1=1-2sin^2;α
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2;α)
cot(2α)=(cot^2;α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec^2;α/(1-tan^2;α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin(3α) = 3sinα-4sin^3;α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3;α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan^3;α)/(1-3tan^2;α) =
tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot^3;α-3cotα)/(3cotα-1)
半角公式
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/si nα
cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cos α)
辅助角公式
Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)sin(α+arctan(B/A))
Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)cos(α-arctan(A/B))
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2))
cos(a)= (1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2))
降幂公式
sin^2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2;α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角函数图像：
定义域和值域
sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为R
cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R
三角函数的画法
以y=sinx的图像为例，得到y=Asin(ωx+φ)的图像：
方法一：
y=sinx→【左移(φ>0)/右移(φ<0) ∣∣∣φ∣个单位】
→y=sin(x+φ)→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/ω)】
→y=sin(ωx+φ) →【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A>1] / 缩短[0<A<1])】→ y=Asin(ωx+φ)
方法二：
y=sinx→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sinωx→【左移(φ>0)/右移(φ<0）∣φ∣/ω 个单位】→y=sin(ωx+φ) →【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A>1] / 缩短[0<A<1])】→ y=Asin(ωx+φ)
正弦定理
于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：
sinA / a = sinB / b = sinC/c
也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
其中R是三角形的外接圆半径。
余弦定理
对于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：
c^2=a^2+b^2－2ab·cosC.
也可表示为：
cosC=（a^2+b^2－c^2）/ 2ab.。