逻辑学基础 (第五章)

├TN A→B 或 A├TN B
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自然推理系统TN的语法推出关系
T1：□A├ A 证明：(1) □A A
(2) A
(1),□_
T2：A├ ◇A
证明：(1) A
A
(2) ◇A
H(_的假设)
(3) ◇A
(2),+
(4) □A (5) A
(3),D◇ (4),□_
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直言模态方阵图的有效推理
1、根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有：
（5）◇SAP├┤□SOP
例如：所有的人的本性可能都是善良的├┤并非有的人的本性必
然是不善良的
（6）◇SEP├┤□SIP
例如：甲班所有的同学可能都不是学生会干部├┤并非甲班有的
同学必然是学生会干部
在此基础上建立了模态命题逻辑系统S1—S5，开创了现代模态逻辑。 严格蕴涵就是具有必然性的实质蕴涵，是在经典命题演算的基础增加模态算子□ 或◇得到的。
现代模态逻辑的特点：（1）它是符号化和公理化的，表现为一些形式系统。 （2）它是经典逻辑加上一个模态算子的扩张。（3）它将传统模态逻辑的范围 大大拓宽，是一种广义的模态逻辑。
合式公式；
（4）只有（1）—（3）构成的符号串是合式公式。
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模态命题的自然推理系统TN
三、定义：
（1）D◇：◇A=df□A； （2）D ：A B=df□(A→B)； （3）D= ：A=B=df（A B）∧（B 四、推导规则
A）。
（1）NP系统的所有推出规则；
（2）□+(必然引入规则)：从定理A可推出□A； （3）□_(必然消去规则)：从□A可推出A；
（7）◇SIP├┤□SEP
例如：有的大一学生可能英语过了六级├┤并非所有的大一学生
必然英语没有过六级
（8）◇SOP├┤□SAP
例如：有的干部可能没有上过大学├┤并非所有的干部都必然上
过大学
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直言模态方阵图的有效推理
2、根据直言模态命题之间的差等关系得出的蕴涵式有：
（9） □SAP├ □SIP （10）□SEP├ □SOP （11）□SAP├ ◇SAP （12）□SEP├ ◇SEP （13）□SIP├ ◇SIP （14）□SOP├ ◇SOP （15）◇SAP├ ◇SIP （16）◇SEP├ ◇SOP
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直言模态方阵图的有效推理
3、根据直言模态命题之间的反对关系得出的蕴涵式有：
（17）□SAP├ □SEP （18）□SEP├ □SAP
4、根据直言模态命题之间的下反对关系得出的蕴涵式有：
（19）◇SIP├ ◇SOP （20）◇SOP├ ◇SIP
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（18）◇（A∧B）→◇B （19）◇B （20）◇A∧◇B
（8）,D◇ （1）,（18）,→－ （10）,（19）,∧＋
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(6) A∧A (7) ◇A
(1),(5),∧+ (2) —(6) ,_(消去H)
T3：A├□A 证明：由T2据D◇即得。
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自然推理系统TN的语法推出关系ຫໍສະໝຸດ Baidu
T4：◇（A∧B）├◇A∧◇B 证明：
（1）◇（A∧B）
A
（2）A∧B （3）A
（4）A∧B→A （5）□(A∧B→A) （6）□(A→（A∧B) )
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模态命题的自然推理系统TN
一、初始符号：
（1）命题变元：NP系统所有命题变元； （2）一元算子：，□； （3）二元算子：∧，∨，→，； （4）辅助符号：（，）。 二、形成规则：
（1）任一命题变元是合式公式； （2）若A是合式公式，则A、□A也是合式公式； （3）若A和B是合式公式，则A∧B、A∨B、A→B、AB是
模态算子：通常用人工语言符号“□”和“◇”来分别表示 必然性和可能性，这些人工符号在模态推理中被称为模态 算子。
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模态的分类
模态按照不同的标准，可分为从物的模态和从言的模 态；或客观模态和主观模态；或狭义模态和广义模态。
➢从物的模态：关于事物本身的模态。例如：9必然大于7。 ➢从言的模态：关于命题的模态。例如：“9大于7”是必然的。 ➢客观模态：客观存在的必然性和可能性等性质。例如：飞机
（11）,∧－
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（10）◇A （11）A∧B （12）B
（1）,（9）,→－ H2(→＋的假设) （11）,∧－
（13）A∧B→B （14）□(A∧B→B)
（15）□(B→（A∧B)）
（11） — （12）,→＋（消去H2）
（13）,□＋ （14）, R.P.
（16）□B→□（A∧B) （15）,□M （17）□(A∧B) →□B （16）, R.P.
（1）矛盾关系：□p与◇p、□p与◇p不能同真，也不能同 假。 （2）反对关系：□p与□p不可同真，但可同假。 （3）下反对关系：◇p与◇p不可同假，但可同真。 （4）差等关系：□p真则◇p真；◇p假则□p假；□p假则◇p 真假不定；◇p真则□p真假不定。□p与◇p也有这种关系。
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的速度不可能超过光速。
➢主观模态：认识中的确定性或不确定性等这类性质。例如：
香格里拉可能就在中国的云南省。
➢狭义模态：必然性与可能性等性质。狭义模态又叫真势模态。 ➢广义模态：认识和事物中的其他性质。如:知道等认知模态。
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模态形式
模态形式：研究含有模态词的思维逻辑形式。它是 在经典逻辑形式的基础上增加模态算子等模态成分 而形成的逻辑形式。
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四种基本的模态命题
在命题p和p上增加必然算子□和可能算子◇,可 得到四种基本的模态命题：
必然肯定命题(□p)
模
必然命题
态
必然否定命题(□p)
命
可能肯定命题(◇p)
题
可能命题
可能否定命题(◇p)
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模态推理
以模态命题为前提或结论的推理叫做模态推理。例如:
下列模态命题均有对应的逻辑形式：
模态命题 (1)物体运动必然产生能量。 (2)事物静止必然不是绝对的。 (3)明天可能是晴天。 (4)明天可能不会下雨。 (5)如果下雨，那么地上必然会湿。 (6)如果今天下雨，那么今天下雨或刮风是可能的
模态命题的形式
□p □p ◇p
◇p P→□q
P→◇(p∨q)
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直言模态方阵图
□SAP □SIP
□SEP
□SOP
◇SAP
◇SEP
◇SIP
◇SOP
其中，箭头直线为差等关系线，无箭头直线为矛盾关系线， 上虚线为反对关系线，下虚线为下反对关系线。
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直言模态方阵图的有效推理
1、根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有：
（1）□SAP├┤◇SOP
玉田百姓
--进入--
第五章 模态逻辑
第一节 模态逻辑
模态和模态词
模态：指事物或认识的必然性和可能性等这类性质。模态 在思维中的反映，表现为一定的认识和观念，便形成了相 应的模态概念。
模态词：语言中用以表示模态或模态概念的语词或符号。
如：汉语中的“必然性”、“可能性”，英语中的单词“necessity”、 “possible”。
例如：所有的结果都必然有原因├┤不可能有的结果没有原因
（2）□SEP├┤◇SIP
例如：所有的动物必然不是植物├┤不可能有的动物是植物
（3）□SIP├┤◇SEP
例如：有的大学生必然是党员├┤不可能所有的大学生都不是党 员
（4）□SOP├┤◇SAP
例如：有的青年必然不是干部├┤不可能所有的青年都是干部
1、必然全称肯定命题(□SAP)；
2、必然全称否定命题(□SEP)； 3、必然特称肯定命题(□SIP)； 4、必然特称否定命题(□SOP)； 5、可能全称肯定命题(◇SAP)； 6、可能全称否定命题(◇SEP)； 7、可能特称肯定命题(◇SIP)； 8、可能特称否定命题(◇SOP)；
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（4）□M(必然分离规则)：从□(A→B)和□A可推出□B，即从
□(A→B)可推出□A→□B。
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自然推理系统TN的定理
➢A是TN的定理，当且仅当A能仅由TN系统的推导规 则推出。或者说，有一个无假设（前提为空集φ） 的自然推理以A为其中一项。可记为：
├TN A ➢A→B是TN的定理，当且仅当从A和原前提集出发， 由TN系统的推导规则能推出B。可简记为：
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现代模态逻辑的产生
罗素和怀特海建立的经典命题演算中，有一些实质蕴涵的定理，如： (1)p→(p→q)(等值于(p∧p)→q)； (2)p→(q→p)(等值于q→(p∨p)) 这个定理的分别是说：“假命题蕴涵任何命题”、“真命题被任何命题所蕴 涵”。这就是古典命题逻辑中的实质蕴涵怪论。
美国逻辑学家刘易斯（I.Lewis）通过对实质蕴涵→的批评，提出了严格蕴 涵 ，以突出条件命题前、后件的必然导致关系： p q=df◇(p∧q)或p q=df□(p→q)
相应于经典的命题逻辑和谓词逻辑，模态逻辑也可分为模态命题逻辑和模态 谓词逻辑。 从逻辑史来看，模态逻辑又可分传统模态逻辑和现代模态逻辑。
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传统模态逻辑的对当方阵
□p
反对
□p
矛 差 等
矛 差 等
盾
盾
◇p
下反对
◇p
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传统模态逻辑的对当方阵
由对当关系方阵，可得四种基本模态命题之间的真 值关系：
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实然命题与必然命题、可能命题间的推理
(1)——(8)的推理式体现了结论从弱原则：结论的模
态不能强于前提的模态，即必然强于实然，实然强
于可能(或然)。故上述推理可以简化为：
（9）□p├ p├ ◇p （10）□p├ p├ ◇p （11）◇p├ p├ □p （12）◇p├ p├ □p
六角图
根据实然命题的真假可推知相应模态命题的真假：
（13）p├ ◇p├ □p （14）p├ ◇p├ □p （15）p├ □p├ ◇p （16）p├ □p├ ◇p
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直言模态命题
根据“必然”、“可能”这两个模态词和A、 E、I、O四种基本直言命题的组合，得到八种基 本的直言模态命题：
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模态六角图
□p
反对
□p
差 差矛
矛 差差
p
矛
盾
p
等 等盾
盾
等 等
下反对
◇p
◇p
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实然命题与必然命题、可能命题间的推理
经典逻辑中不含模态词的命题叫实然命题。
从六角图可以得到如下有效推理：
（1）□p├ p （2）p├ ◇p （3）□p├ p （4）p├ ◇p （5）◇p├ p （6）p├ □p （7）◇p├ p （8）p├ □p
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传统模态逻辑的对当推理
➢矛盾关系对当推理：
（1）□p├┤◇p；
（2）□p├┤◇p
（3）◇p├┤□p；
（4）◇p├┤□p
➢反对关系对当推理：
（5）□p├ □p；
（6）□p├ □p
➢下反对关系对当推理：
（7）◇p├ ◇p；
（8）◇p├ ◇p
➢差等关系对当推理：
（9）□p├ ◇p；
（10）□p├ ◇p
（11）◇p├ □p；
（12）◇p├ □p
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模态对当推理的应用实例
（1）“罪犯必然有犯罪时间”（□p）为真，可得： ➢“罪犯必然无犯罪时间”（□p）为假； ➢“罪犯可能有犯罪时间”（◇p）为真； ➢“罪犯可能无犯罪时间”（◇p）为假。 （2）“并非明天必然下雪”（□p）等值于“明 天可能不下雪”（◇p） （3）“并非他必然不被当选”（□p）等值于 “他可能被当选”（◇p）
H1(→＋的假设) （2）,∧－ （2） —（3）,→＋（消去H1） （4）,□＋ （5）,R.P.
（7）□A→□（A∧B) （6）,□M （8）□(A∧B) →□A （7）, R.P.
（9）◇（A∧B）→◇A
（8）,D◇
（10）◇A （11）A∧B （12）B
（1）,（9）,→－ H2
（1）患阑尾炎但肚子不痛是不能的,所以患阑尾炎则肚子痛是必然的。
（2）如果小张是党员干部，那么他必然是党员；小张是党员干部。所以， 他必然是党员。
其推理形式分别为： （1′）◇(p∨q)→□（P→q） （2′）（P→□q）∧P→□q
模态逻辑学是关于模态形式及其规律的逻辑学，目的在于得到有效的 模态推理形式。