全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期数学(理科)(6月)试题
2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高二下学期3月联考数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高二下学期3月联考数学（文）试题一、单选题1．已知64i 1iz =+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．22i +B ．22i -C ．22i --D ．22i -+【答案】C【分析】运用复数的运算法则进行复数的运算求出复数z ，然后再求复数的共轭复数.【详解】()()()641i 4i 422i 1i 1i 1i 1i z ---====-++++-，故22i z =--. 故选：C.2．如图是某校老师给学生列出的影响学习的因素，由图可知，促进学习进步的因素有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据给定的结构结构图，即可求解.【详解】根据给定的结构结构图，可得促进学习进步的因素共有4个. 故选：D.3．用反证法证明：若实数a ，b ，c 满足3a b c ++>，则a ，b ，c 至少有1个大于1.则反证假设为（ ） A ．a ，b ，c 都小于1 B ．1a ≤，1b ≤，且1c ≤ C ．1a ≤，或1b ≤，或1c ≤ D ．a ，b ，c 都不小于1【答案】B【分析】根据反证法的直接写出即可.【详解】反证法的假设是结论的否定，即：1a ≤，1b ≤，且1c ≤. 故选：B4．如果散点图上n 个点(),(1,2,3,,)i i x y i n =⋅⋅⋅都落在直线32y x =--上，则由这n 个点可得相关系数r 的值为（ ） A ．-2 B ．0C ．1D ．-1【答案】D【分析】依题意可知这组样本数据完全负相关，进而可知其相关系数1r =-.【详解】由散点图上所有的点都落在直线上可知1r =±，又直线的斜率为-3，故1r =-.故选：D.5．1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，然而一直到死，欧拉也无法证明.根据哥德巴赫猜想的结论：①若哥德巴赫猜想正确，则当时规定的“1”是质数；②若按现在规定，“1”不是质数，则这个猜想不成立；③哥德巴赫猜想中的三个质数互不相等；④哥德巴赫猜想中的三个质数可以都相等.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据题设中的定义，可通过实例，即可做出判定，得到答案.【详解】根据哥德巴赫猜想，3111=++，故“1”是质数，所以①②正确；根据哥德巴赫猜想，9333=++，故哥德巴赫猜想中的三个质数可以相等，所以③错误，④正确.故选：C.6．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号携带在月球采集的样品1731克成功返回地面，某大学为了解大家对这一重大事件的关注程度，随机抽取了一部分学生进行调查，得到如下数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，参考数据由所给数据可知，下列结论正确的是（）A．有99.9%以上的把握认为是否关注这一重大事件与性别有关B．有99.9%以上的把握认为是否关注嫦娥五号与性别无关C ．在犯错误不超过0.001的情况下可以认为是否关注这一重大事件与性别无关D ．2K 的观测值12k > 【答案】A【分析】根据22⨯列联表计算2K 的值，把2K 的值与参考数据进行比较即可得出答案. 【详解】由条件可得K 222()1800(700300500300)11.2510.828()()()()12006008001000n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯， 故有99.9%以上的把握认为是否关注嫦娥五号与性别有关. 故选：A.7．由数据()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，()1010,x y 可得y 关于x 的回归直线方程为27.4y x =-+，若1016i i y ==∑，则101i i x ==∑（ ）A ．12B ．32C ．34D ．36【答案】C【分析】根据线性回归直线必过样本点中心(),x y 即可求出.【详解】由10i i=16y =∑可得0.6y =，把(),x y 代入回归直线方程可得0.627.4x =-+，故3.4x =，故1011034i i x x ===∑.故选：C.8．古装历史电视剧《大秦赋》在2020年12月份播出后，受到了热议.在观看过该剧的A ，B ，C ，D ，E ，F 六位老师中只有一人给出了差评.教师甲猜测：D 或E 给出了差评；教师乙猜测：C 不可能给出差评；教师丙猜测：A ，B ，F 中的某人给出了差评；教师丁猜测：D ，E ，F 都不可能给出差评.若甲、乙、丙、丁只有1人猜对，则猜对的老师是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】分别讨论甲、乙、丙猜对，由题设推导可得选项. 【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错； 若乙猜对，则丙也猜对，与题意不符，故乙也猜错； 若丙猜对，则乙也猜对，与题意不符合，故丙猜错；因为甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，所以，猜对的老师为丁. 故选：D.9．现实生活中有一些情况与著名的斐波那契数列类似，比如上台阶的方式，每次上一阶或二阶，若台阶数为n ，则上台阶的不同走法构成数列{}n a 满足11(1)n n n a a a n +-=+>，据此推断，当台阶数为10时，上台阶的方法数为（ ） A ．45 B ．55 C ．89 D ．144【答案】C【分析】由已知条件可得数列{}n a 的各项依次为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，...，从而可求得答案【详解】当1n =时，上台阶的方法数11a =，当台阶数为2时，上台阶的方法数22a =，由11(1)n n n a a a n +-=+>可得数列{}n a 的各项依次为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，...，即1089a =，故当台阶数为10时，上台阶的方法数为89. 故选：C10．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为ab π（其中a ，b 分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（ ） A ．0.41平方米 B ．0.32平方米 C ．0.22平方米 D ．0.12平方米【答案】C【分析】根据已知条件求得观众区的面积，由此可得观众区每个座位所占面积. 【详解】由条件可得，竞技场的总面积为188156733222ππ⨯⨯=平方米，表演区的面积为8654116122ππ⨯⨯=， 故观众区的面积为733211616171πππ-=平方米，故观众区每个座位所占面积为61716171 3.140.229000090000π⨯≈≈平方米. 故选：C.11．已知复数z 满足|43i |1z --=，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅的最大值为（ ） A ．36 B ．25C ．6D ．5【答案】A【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，根据复数的模的运算得22(4)(3)1x y -+-=，即点(,)x y 在以(4,3)为圆心，1为半径的圆上，再由复数的乘法运算得出z z ⋅表示点(,)x y 到原点O 的距离的平方，由此可得选项.【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，由|43i |1z --=可得|(4)(3)i |1x y -+-=， 故22(4)(3)1x y -+-=，即点(,)x y 在以(4,3)为圆心，1为半径的圆上， 而22(i)(i)z z x y x y x y ⋅=+-=+表示点(,)x y 到原点O的距离的平方，故最大值为)2136=.故选：A.12．某企业生产一种新产品，其每件产品的非物料平均成本y （单位：元）与生产该产品的数量x （单位：千件）有关，经统计得到下列一组数据：观察其散点图可知，by a x=+适宜作为每件产品的非物料成本y 与产量x 的回归方程类型.若每件产品的成本=物料成本+非物料成本，其中每件产品的物料成本固定为48元.根据回归方程预测：若要使每件产品的总成本不高于68.54元，最少应生产这种产品（计算结果保留三位小数）数量约为（ ） 参考公式与数据如下：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，...，(),n n u v ，其回归直线方程为v u βα=+，利用最小二乘法估计可得1221ni i i ni i u v nuvu nuβ==-=-∑∑，v u αβ=-.参考数据（其中1i iu x =） A ．8.246千件 B ．9.282千件C ．10.133千件D ．11.266千件【答案】C 【分析】设1u x=，则非物料成本y 关于u 的回归方程为y u αβ=+，然后由已知条件利用最小二乘法求得10.54101.33y u =+，从而可得101.3310.54y x=+，再解不等式101.3310.544868.54x++≤可得答案 【详解】设1u x=，则非物料成本y 关于u 的回归方程为y u αβ=+. 由条件可得45y =，8n =，于是1221183.480.3445101.331.5380.116ni ii n i i u ynuyu nuβ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，10.54y u αβ=-≈，10.54101.33y u ∴=+，即y 关于x 的回归方程为101.3310.54y x=+； 由101.3310.544868.54x++≤可得10.133x ≥，所以，至少生产该产品10.133千件. 故选：C 二、填空题13．已知复数2(1)()z a a i a R =+-∈对应复平面内的点在第一象限，则z 的取值范围是______. 【答案】(2,)+∞【分析】由复数z 对应复平面内的点在第一象限得出1a >，再结合模长公式得出z 的取值范围.【详解】由点z 对应复平面内的点在第一象限可得2010a a >⎧⎨->⎩，即1a >||2z ===>.故答案为：(2,)+∞14．已知回归直线方程1y x =-，试验得到一组数据为(1,0.1)，(3,1.8)，(6,4.2)，(8,6.6)，则由这组数据可得残差的平方和为______. 【答案】0.85【分析】直接计算残差平方和即可.【详解】1x =时，0y =；3x =时，2y =；6x =时，5y =；8x =时，7y =，故残差的平方和为2222(0.10)(1.82)(4.25)(6.67)0.85-+-+-+-=.故答案为：0.85.15．已知a =2b =lg4c =，则a 、b 、c 从小到大的顺序排列为______. 【答案】b a c <<【分析】本题首先可根据220a b ->得出a b >，然后根据22102a ⎫⎛-> ⎪⎝⎭得出12a <，最后根据12c >即可得出结果.【详解】(((2222255a b -=-=---=因为((224824240-=-=>，0a >，0b >，所以>22a b >，a b >，2221111919524444a ⎫⎛-=-=-+=⎪⎝⎭，因为(2219230-=>，所以(22190>>，22102a ⎫⎛-> ⎪⎝⎭，12a <，因为1lg42c =>=，所以b a c <<， 故答案为：b a c <<.16．若把正偶数按从小到大依次排列构成一个数列，该数列具有一个有趣的性质：246+=；810121416++=+；18202224262830+++=++；…….按照这样的规律，若等式右边含有2020，则等式右边最大的偶数为______. 【答案】2046【分析】根据题设中式子的结构，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由所给等式可得，第一行共有3个正偶数；第二行共有5个正偶数； 依次类推，每一行正偶数的个数构成等差数列，2020是第1010个正偶数， 又由(24)35(21)(2)2n n n n n +++⋅⋅⋅++==+， 当30n =时，(2)9601010n n +=<， 当31n =时，(2)10231010n n +=>，故2020在第31行，左边的最小正偶数为96121922⨯=，该行共有312163⨯+=个正偶数，故等式右边最大的正偶数为19226222046+⨯=. 故答案为：2046. 三、解答题17．已知复数z 的共轭复数为z ，且4i2i z z+=-. （1）求z ；（2）若z m z z +<⋅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1i -+；（2）(1.【分析】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，求其共轭复数，再复数相等的条件建立方程组，解之可求得答案.（2）由已知建立不等式，解之可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由4i2i z z+=-可得4i (2i)z z +=-，即(4)i (2i)(i)a b a b +-=-+， 即(4)i (2)(2)i a b a b b a +-=++-，故242a a bb b a =+⎧⎨-=-⎩，解得1a =-，1b =，1i z ∴=-+；（2）由1i z =-+可得1i z =--，(1i)(1i)2z z ∴⋅=-+--=， 由||z m z z +<⋅可得|(1)i |2m -++<2， 即2(1)3m -+<，故11m -<+， 即实数m的取值范围为(1.18．由于疫情防控得力，我国经济在2020年逐步复苏，直播带货受到了更多消费者的欢迎.某地为了销售本地的农产品，尝试利用直播带货进行销售，已知最近5天直播总时长x （即所有主播的直播时长之和，单位：小时）与带货销售额y 的数据如下：（1）请计算相关系数r ，并判断y 与x 相关性的强弱. （2）求y 关于x 的回归方程y bx a =+.（3）若每位主播每天直播时间不超过5小时，要使每天的带货销售额超过50万元，至少请几位主播进行直播?参考公式：()()()1122211ˆˆˆnni i i ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑参考公式：相关系数()()nnii i ixx y yx ynx yr ---==∑∑30.2≈.【答案】（1）0.993，有较强的相关性；（2）15151313y x =+；（3）9位. 【分析】（1）直接代入公式计算可得0.9930.75r ≈>，因此y 与x 有较强的相关性； （2）代入公式可得b ，a ，进而可得回归方程； （3）由50y >可得结果. 【详解】（1）由条件可得68121618125x ++++==，810161922155y ++++==，()521492511649140i i y y=-=++++=∑，故0.9930.75r ==≈>，故y 与x 有较强的相关性.（2）5213664144256324824i i x ==++++=∑，21020512151201582451210413b -⨯⨯∴===-⨯，1513a y bx =-=， 15151313y x ∴=+； （3）由1515501313y x =+>可得42.3x >， 因为42.38.465=，所以至少要请9位主播进行直播. 19．已知实数a ，b ，c 满足20a b c ++=. （1）若a b c>>，求证：2b a >-；（2）若a =b =a c >. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）用反证法证明，得到20a b +>与20a b +≤矛盾，即可证明； （2）由a =b =c ，利用综合法即可证明. 【详解】（1）假设2b a ≤-，即20a b +≤， 由20a b c ++=可得(2)0c a b =-+≥，a b c >>，0a ∴>，0b >，则20a b +>，与20a b +≤矛盾，故假设不成立，2b a ∴>-；（2）由a =b =20a b c ++=可得2c a b =--=-=且((22241860-=-=>， ((220∴>>，∴>0a c ∴-=>，a c ∴>.20．已知复数x 满足210x x ++=. （1）求证：31x =；（2）若x 的虚部为正数，求x ，2x ，3x ，4x ，根据()n x n N ∈的规律，求出2021x 的值（不需要证明）.【答案】（1）证明见解析；（2）12x =-；212x =-，31x =，412x =-，202112x =-.【分析】（1）由210x x ++=可得()2(1)10x x x -++=，从而可得31x =；（2）由210x x ++=可得12x =-，而2111122x x =--=-=-，31x =，4312x x x x =⋅==-+，由此可得()nx n N ∈以3为周期进行循环，从而可求出求出2021x 的值【详解】（1）证明：因为210x x ++=，所以()2(1)10x x x -++=，所以310x -=，即31x =；（2）由210x x ++=可得12x ==-，x 的虚部为正数，12x ∴=-；2111122x x ∴=--=-=-，31x =，4312x x x x =⋅==-+.()n x n N ∴∈以3为周期进行循环.202136732212x x x ⨯+∴===-.21．进入2020年冬季以来，猪肉价格出现了一定的回落，在这种情况下，某单位对其320名员工进行了问卷调查，其中男职工有200人，得到每周购买猪肉的花费情况如下：女职工中每周购买猪肉的花费不低于30元者占13.若每周购买猪肉的花费低于30元者视为“不喜欢吃肉”，否则视为“喜欢吃肉”（1）若以每组数据的中点代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；（2）①请根据条件填写下列的22⨯列联表；②分析是否有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关?参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.参考数据【答案】（1）29.2；（2）①列联表见解析；②有把握.【分析】（1）根据平均数公式计算可得；（2）①根据频率分布直方图求出男职工、女职工中喜欢吃肉的人数，即可得到22⨯列联表；②计算出2K，再与参考值比较，即可得出结论；【详解】（1）由题意，该单位男职工购买猪肉花费的平均数为：29.2=（元）；（2）①根据频率分布直方图可知，男职工中喜欢吃肉的人数为200(0.0250.0200.005)10100⨯++⨯=，女职工喜欢吃猪肉的人数为112040⨯=，列联表如下：②由条件可得，2()320(1008040100)()()()()140180200120n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯8.4667.879≈>，所以，有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关.22．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上有三点,,A B C ，且,,AB BC AC 的中点分别为,,D E F ，设直线,,OD OE OF 的斜率都存在，分别记为123,,k k k ，且1231k k k ++=，直线,,AB BC AC 的斜率都存在，分别记为,,AB BC AC k k k ，（1）求证22111AB BC AC a k k k b ++=； （2）类比（1）中结论，写出椭圆()222210x y a b a b+=>>中类似的结论，并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）22111AB BC AC a k k k b++=-，证明见解析. 【分析】（1）利用点差法可求得212AB b k k a⋅=，同理可得2221 BC b k a k =⋅，2321AC b k a k =⋅，结合1231k k k ++=整理可得结果；（2）采用类比推理可得结论，利用点差法可求得2121AB b k a k =-⋅，同理可得2221BCb k a k =-⋅，2321AC b k a k =-⋅，结合1231k k k ++=整理可证得结论.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入双曲线方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，相减可得：12212222220x x y y a b ---= 即()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，2121221212y y y y b a x x x x -+∴=⋅-+， 即212AB b k k a ⋅=，即2121AB b k a k =⋅；同理可得：2221 BC b k a k =⋅，2321AC b k a k =⋅. 由1231k k k ++=可得：221111AB BC AC b a k k k ⎫⎛++=⎪ ⎝⎭，22111AB BC AC a k k k b ∴++=；（2）类比结论为：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>有三点,,A B C ，且,,AB BC AC 的中点分别为,,D E F ，设直线,,OD OE OF 的斜率都存在，分别记为123,,k k k ，且1231k k k ++=，直线,,AB BC AC 的斜率都存在，分别记为,,AB BC AC k k k ，则22111AB BC AC a k k k b++=-. 证明如下：设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减可得：12212222220x x y y a b --+=， 即()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，2121221212y y y y b a x x x x -+∴-=⋅-+， 即212AB b k k a⋅=-，即2121AB b k a k =-⋅；同理可得：2221BC b k a k =-⋅，2321AC b k a k =-⋅. 由1231k k k ++=可得：221111AB BC AC b a k k k ⎫⎛-++=⎪ ⎝⎭，22111AB BC AC a k k k b ∴++=-.。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期数学(6月)文科试题
A． B． C． D．
4．设 是第三象限角，且 ，那么 （）
A． B．
C． D．
5．已知向量 是单位向量， ， ，则向量 ， 的夹角大小为（）
A． B． C． D．
6．对于不同直线 ， ， 以及平面 ， ，下列说法中正确的是（）
A．如果 ， ，则 B．如果 ， ，则
C．如果 ， ，则 D．如果 ， ，则
5．C
【分析】
根据向量的模和数量积的运算公式，化简整理得到 ，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，即 ，
又由 ， ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．D
【分析】
根据线线、线面平行和垂直有关定理，对四个选项逐一分析，得出正确选项.
7．执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（）
A．22B．62C．132D．240
8．过双曲线 ： 的左焦点 作斜率为 的直线，恰好与圆 相切， 的右顶点为 ，且 ，则双曲线 的标准方程为（）
A． B． C． D．
9．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
二、填空题
13． 在区间 上的最小值为______.
14．已知数列 是等比数列，若 ， ，则 ______.
15．三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中 中， ， ， 平面 ， ，则该球的表面积是______.
16．若函数 在区间 内有且仅有1个极值点，则实数 的取值范围为______.
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
2019-2020学年全国百强名校“领军考试”高二下学期数学(6月)(文)试题(解析版)
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题.
10．在“新消费”模式的背景下，外卖员越来越多.现调研某城市外卖员的工资收入情况，对该行业20个外卖员人均年收入 （千元）与平均每天的工作时间 （小时）进行调查统计，得出 与 具有线性相关关系，且线性回归方程为 ，若某外卖员年收入约为9万元，则他平均每天工作（）
A．17B．－17C．23D．－23
【答案】B
【解析】应用复数的乘法运算求得复数 的代数式为 ，即可知虚部
【详解】
∵
∴复 的虚部为－17
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，由复数的代数式确定虚部
3．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 、 的大小关系，进而可得出 、 、 三个数的大小关系.
执行循环体， ， ；不满足判断框内的条件 ，
执行循环体， ， ；不满足判断框内的条件 ，
执行循环体， ， ；此时，满足判断框内的条件 ，退出循环，输出 的值为132.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了程序框图的循环结构流程图，，属于基础题.
8．过双曲线 ： 的左焦点 作斜率为 的直线，恰好与圆 相切， 的右顶点为 ，且 ，则双曲线 的标准方程为（）
12．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，且 轴，点 到直线 的距离为2，且 ，则椭圆 的标准方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知求得 ， ，再由椭圆的定义可得 ，根据等面积法得点 到 的距离为 ，代入可求得 ，得出椭圆 的标准方程.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 .又 ，当 时，可得 ，即有 ，
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题(wd无答案)
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题一、单选题(★) 1. 已知命题，关于的方程有实根”，则为（）A．，关于的方程有实根B．，关于的方程有实根C．，关于的方程没有实根D．，关于的方程没有实根(★★) 2. 已知为虚数单位，若，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知集合，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线上一点到双曲线的两条渐近线的距离的积为，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．(★★) 5. 若，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数，满足，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知向量，均为单位向量，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，且不等式的解集中有且仅有个整数.则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知菱形中, ，把沿折起，使点到达点处，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★★)10. 已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A．是奇函数B．图象关于直线对称C．在上是增函数D．图象关于直线对称(★★) 11. 我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：① ；② D（ x+1）= D（ x）；③ ，④ ，其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 12. 已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为 ___________ .(★★★) 14. 已知的三边，，满足，且的面积为，则的值为 ___________ .(★★) 15. 随机变量满足，则 ___________ .(★★★) 16. 已知球内有个半径为的小球，则球的表面积的最小值为 ___________ .三、解答题(★★) 17. 已知数列是公比不为的等比数列，且成等差数列.（1）求；（2）设，求数列的前项的和(★★★) 18. 已知四棱锥中，三角形所在平面与正三角形 ABE所在平面垂直，四边形是菱形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 19. 受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码分别为，市场规模为(单位：亿元).（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数(系数精确到)加以说明；（2）建立关于的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模.附注：参考数据：；，，；参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.(★★★) 20. 已知点，分别是直线及抛物线：( )上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.(★★★★) 21. 已知函数（1）讨论的单调性（2）当时，恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程( 为参数).在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若射线( ，)与直线及曲线分别交于点，，且，求.(★★★) 23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数恒成立，求证：.。
“领军考试”2020-2021学年高二数学下学期5月期中试题文
“领军考试”2020-2021学年高二数学下学期5月期中试题文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用黑色笔迹签字笔写在答题卡上．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A．B．C．D．2．已知曲线的参数方程为：（是参数），则其对应的普通方程为（）A．B．C．D．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为6，且输出的值为125，则判断框内应该是（）A．B．C．D．4．利用反证法证明：若，则，假设为（）A．，都不为1 B．，不都为1C．，都不为1，且D．，至少有一个为15．已知圆的极坐标方程为，则其圆心的极坐标为（）A．B．C．D．6．以下四个命题中，其中真命题为（）A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大；C．若数据，，…，的方差为1，则，，…，的方差为；D．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．7．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知直线：（为参数），，，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．9．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数变小C ．相关指数变小D ．解释变量与预报变量的相关性变弱10．2021年中国女足获胜后，某一电视台对年龄高于50岁和不高于50岁的人是否喜欢中国女足进行调查，50岁以上调查了50人，不高于50岁调查了50人，所得数据制成如下列联表：不喜欢中国女足 喜欢中国女足 总计 50岁以上 203050 不高于50岁50 总计100已知工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢中国女足的人的概率为，则有不超过（）的把握认为年龄与中国女足的被喜欢程度有关．A．75% B．90% C．85% D．95%附：（其中）0.250.150.100.050.0251.3232.072 2.7063.841 5.02411．已知甲、乙、丙三支足球队举行单循环比赛，下表给出了比赛的部分结果：球队胜负平进球数失球数甲2场1个乙4个丙1场3个7个那么下列说法正确的是（）A．甲队共进6球B．甲与丙比赛结果是C．乙队共进3球D．乙与丙比赛的结果是12．已知，则的取最小值时，为（）A．B．C．3 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，满足，则使得的概率为______．14．某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：0123414.830.436.239.651由表中的数据得线性回归方程为．投入的广告费时，销售额的预报值为______百万元．15．在极坐标系中，曲线与交，两点，则______．16．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下：A地：中位数为2，极差为5；B地：总体平均数为2，众数为2；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；D地：总体平均数为2，总体方差为3．则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是______（填A、B、C、D）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必答题，每个试题考生必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．已知复平面内点对应的复数为，点对应的复数为，．若，在的轨迹上任取一点，求的面积取值范围．18．保险公司统计的资料表明：居民住宅距最近消防站的距离（单位：千米）和火灾所造成的损失数额（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站的距离1.82.63.14.35.56.1（千米）火宅损失数额17.819.627.531.336.043.2（千元）（1）请用相关系数（精确到0.01）说明与之间具有线性相关关系；（2）求关于的线性回归方程（精确到0.01）；（3）若发生火灾的某居民区距最近的消防站10.0千米，请评估一下火灾损失（精确到0.01）．参考数据：，，，，参考公式：回归直线方程为，其中，，，为样本平均值．19．2020年高考成绩揭晓，某高中再创辉煌，考后学校对于单科成绩逐个进行分析：现对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析，规定：大于等于135分为优秀，135分以下为非优秀，成绩统计后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．班级优秀非优秀合计甲班18乙班43合计110（1）请完成上边的列联表；（2）请问：是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”？（3）用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研，然后再从这5名学生中随机抽取2⒉名学生进行谈话，求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率．附：（其中）0.250.150.100.051.3232.072 2.7063.84120．对任意函数，，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，将反馈回输入端，再输出，并依此规律进行下去．现定义．（1）若输入，则由数列发生器产生数列，写出数列的所有项；（2）若要使数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值．21．已知，求证：对任意实数恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系中，曲线：；直线：（为参数）（1）求曲线，的普通方程；（2）若和交于和两点，若，求的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]若关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）若实数，满足，，求证：．2020——2021学年度下期期中考高二数学（文）答案与解析1．【答案】C【命题意图】考查复数运算．【解析】因为，所以应选答案C．2．【答案】C【命题意图】考查参数方与普通方程互化．【解析】因为，则．3．【答案】C【命题意图】考查框图和程序【解析】因，初始，则循环运算列表如下：23456151********则知4．【答案】B【命题意图】考查反证法．【解析】因为“”的否定是“，不都为1”5．【答案】B【命题意图】考查极坐标．【解析】由题意知：，即，所以圆心坐标为，又由，可得圆心的极坐标为，故选B．6．【答案】A【命题意图】考查统计基础知识．【解析】根据相关指数的意义，可知A是真命题；根据相关系数的意义，因是相关系的绝值越大，可知B是假命题；若数据，，…，的方差为1，那么，，…，的方差为，所以C是假命题；对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握程度越大，所以D 是假命题．故选A．7．【答案】A【命题意图】考查逻辑学和复数．【解析】因为，且点在第四象限，则，解得．因此，“”是“点在第四象限”的充分而不必要条件．故选：A．8．【答案】D【命题意图】考查参数方程．【解析】曲线化为普通方程为：，由，可得点在以为直径的圆上，又在曲线上，即直线与圆存在公共点，故圆心到的距离小于等于半径，根据点到直线的距离公式有：．解得，故选D．9．【答案】A【命题意图】考查散点图．【解析】∵从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，去掉点，变量与变量的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小．10．【答案】A【命题意图】考查独立检验．【解析】设“从所有人中任意抽取一个取到喜欢中国女足的人”为事件，由已知得，所以，，，，，故有不超过75%的把握认为年龄与中国女足的被喜欢程度有关．11．【答案】B【命题意图】考查逻辑推理．【解析】注意实际情况的数据推理能力，三支队单循环比赛意思是每支队只有两场赛事，由表知甲队2场均胜，因此乙、丙均有一场负，又由表知丙有一场平，因此只能是乙队与丙队的比赛是平．接下来看进球数和失球数，由表知甲队只失一球，我们假设这一球是乙队进的，那么由乙与丙平，且丙的进球数为3，可知乙的进球数为4，而进球总数=失球总数，因此易得甲的进球数为5，而此时显然丙对甲的比分为，于是甲对乙时，甲进1球，即甲对乙的比分为，与甲队胜两场矛盾．因此那1球应该是丙队进的．于是即得乙队进球数为2．甲队进球数为7．此时丙对甲的比分应为，所以甲对乙的比分为．12．【答案】B【命题意图】考查柯西不等式．【解析】由柯西不等式得：则．则根据等号成立条件知，，13．【答案】．【命题意图】考查推理和概率解析：因为，所以，如图阴影部分．则知14．【答案】66.4【命题意图】考线性回归方程【解析】因为；，所以，∴，因此时，．故答案为：66.415．【答案】【命题意图】考查极坐标【解析】因为，所以直角坐标方程为，因为，所以直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，所以．16．【答案】AD【命题意图】考查利用中位数、极差、平均数、众数、方差等数据，对总体数据进行估算【解析】对于A地，因为中位数为2，极差为5，所以最大值为，满足每天新增疑似病例不超过7人，故A地符合；对于B地，若过去10日分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B地不符合；对于C地，若过去10日分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C地不符合；对于D地，假设至少有一天疑似病例超过7人，设为8人，则方差为，与题中条件总体方差为3矛盾，故假设不成立．故满足每天新增疑似病例不超过7人，故D地符合．故答案为：AD．17．【答案】【命题意图】考查复数向量性质【解析】因为，所以点轨迹为；又因为点对应的复数为，点对应的复数为，则线段的方程为：，的长度为．则知点到直线的距离为：．则．则．18．【答案】略【命题意图】考回归直线【解析】（1）所以与之间具有很强的线性相关关系；（2），∴与的线性回归方程为（3）当时，，所以火灾损失大约为63.53千元．19．【答案】略【命题意图】考查独立检验【解析】（1）班级优秀非优秀合计甲班183755乙班124355合计3080110（2）由题意得所以有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”（3）因为甲、乙两个班数学成绩优秀的学生人数的比例为，所以从甲班成绩优秀的学生中抽取3名，分别记为，，，从乙班成绩优秀的学生中抽取2名，分别记为，，则从抽取的5名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件有，，，，，，，，，，共10个设“抽到的2名学生中至少有1名乙班学生”为事件，则事件包含的基本事件有，，，，，，，共7个，所以，即抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率是．20．【答案】略【命题意图】考查程序【解析】：（1）函数的定义域．所以数列只有3项，，（2）令，即，解得或．故当或时，，所以输入的初始数据时，得到通项为的常数列；时，得到通项为的常数列．21．【答案】略【命题意图】考查推理证明：要证：．即证：．即证：又因；则；则成立．所以命题成立．22．【答案】（1）；；（2）2【命题意图】考查极坐标和参数方程【解析】（1）曲线：，即，因为，，，所以的方程为，即．消去得曲线的普通方程为．（2）因为，而点在上，所以是直径，则知．到的距离，则．23．【答案】略【命题意图】考查绝对值不等式．【解析】：（1）由，得，且则解得（2）由（1）可知，，，又因为，所以．“领军考试”2020-2021学年高二数学下学期5月期中试题文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用黑色笔迹签字笔写在答题卡上．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A．B．C．D．2．已知曲线的参数方程为：（是参数），则其对应的普通方程为（）A．B．C．D．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为6，且输出的值为125，则判断框内应该是（）A．B．C．D．4．利用反证法证明：若，则，假设为（）A．，都不为1 B．，不都为1C．，都不为1，且D．，至少有一个为15．已知圆的极坐标方程为，则其圆心的极坐标为（）A．B．C．D．6．以下四个命题中，其中真命题为（）A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大；C．若数据，，…，的方差为1，则，，…，的方差为；D．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．7．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知直线：（为参数），，，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（）A．残差平方和变小B．相关系数变小C．相关指数变小D．解释变量与预报变量的相关性变弱10．2021年中国女足获胜后，某一电视台对年龄高于50岁和不高于50岁的人是否喜欢中国女足进行调查，50岁以上调查了50人，不高于50岁调查了50人，所得数据制成如下列联表：不喜欢中国女足喜欢中国女足总计50岁以上203050不高于50岁50总计100已知工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢中国女足的人的概率为，则有不超过（）的把握认为年龄与中国女足的被喜欢程度有关．A．75% B．90% C．85% D．95%附：（其中）0.250.150.100.050.0251.3232.072 2.7063.841 5.02411．已知甲、乙、丙三支足球队举行单循环比赛，下表给出了比赛的部分结果：球队胜负平进球数失球数甲2场1个乙4个丙1场3个7个那么下列说法正确的是（）A．甲队共进6球B．甲与丙比赛结果是C．乙队共进3球D．乙与丙比赛的结果是12．已知，则的取最小值时，为（）A．B．C．3 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，满足，则使得的概率为______．14．某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：0123414.830.436.239.651由表中的数据得线性回归方程为．投入的广告费时，销售额的预报值为______百万元．15．在极坐标系中，曲线与交，两点，则______．16．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下：A地：中位数为2，极差为5；B地：总体平均数为2，众数为2；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；D地：总体平均数为2，总体方差为3．则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是______（填A、B、C、D）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必答题，每个试题考生必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．已知复平面内点对应的复数为，点对应的复数为，．若，在的轨迹上任取一点，求的面积取值范围．18．保险公司统计的资料表明：居民住宅距最近消防站的距离（单位：千米）和火灾所造成的损失数额（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站的距离（千米）1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1火宅损失数额（千元）17.819.627.531.336.043.2（1）请用相关系数（精确到0.01）说明与之间具有线性相关关系；（2）求关于的线性回归方程（精确到0.01）；（3）若发生火灾的某居民区距最近的消防站10.0千米，请评估一下火灾损失（精确到0.01）．参考数据：，，，，参考公式：回归直线方程为，其中，，，为样本平均值．19．2020年高考成绩揭晓，某高中再创辉煌，考后学校对于单科成绩逐个进行分析：现对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析，规定：大于等于135分为优秀，135分以下为非优秀，成绩统计后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．班级优秀非优秀合计甲班18乙班43合计110（1）请完成上边的列联表；（2）请问：是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”？（3）用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研，然后再从这5名学生中随机抽取2⒉名学生进行谈话，求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率．附：（其中）0.250.150.100.051.3232.072 2.7063.84120．对任意函数，，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，将反馈回输入端，再输出，并依此规律进行下去．现定义．（1）若输入，则由数列发生器产生数列，写出数列的所有项；（2）若要使数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值．21．已知，求证：对任意实数恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系中，曲线：；直线：（为参数）（1）求曲线，的普通方程；（2）若和交于和两点，若，求的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]若关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）若实数，满足，，求证：．2020——2021学年度下期期中考高二数学（文）答案与解析1．【答案】C【命题意图】考查复数运算．【解析】因为，所以应选答案C．2．【答案】C【命题意图】考查参数方与普通方程互化．【解析】因为，则．3．【答案】C【命题意图】考查框图和程序【解析】因，初始，则循环运算列表如下：23456151********则知4．【答案】B【命题意图】考查反证法．【解析】因为“”的否定是“，不都为1”5．【答案】B【命题意图】考查极坐标．【解析】由题意知：，即，所以圆心坐标为，又由，可得圆心的极坐标为，故选B．6．【答案】A【命题意图】考查统计基础知识．【解析】根据相关指数的意义，可知A是真命题；根据相关系数的意义，因是相关系的绝值越大，可知B是假命题；若数据，，…，的方差为1，那么，，…，的方差为，所以C是假命题；对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握程度越大，所以D是假命题．故选A．7．【答案】A【命题意图】考查逻辑学和复数．【解析】因为，且点在第四象限，则，解得．因此，“”是“点在第四象限”的充分而不必要条件．故选：A．8．【答案】D【命题意图】考查参数方程．【解析】曲线化为普通方程为：，由，可得点在以为直径的圆上，又在曲线上，即直线与圆存在公共点，故圆心到的距离小于等于半径，根据点到直线的距离公式有：．解得，故选D．9．【答案】A【命题意图】考查散点图．【解析】∵从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，去掉点，变量与变量的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小．10．【答案】A【命题意图】考查独立检验．【解析】设“从所有人中任意抽取一个取到喜欢中国女足的人”为事件，由已知得，所以，，，，，故有不超过75%的把握认为年龄与中国女足的被喜欢程度有关．11．【答案】B【命题意图】考查逻辑推理．【解析】注意实际情况的数据推理能力，三支队单循环比赛意思是每支队只有两场赛事，由表知甲队2场均胜，因此乙、丙均有一场负，又由表知丙有一场平，因此只能是乙队与丙队的比赛是平．接下来看进球数和失球数，由表知甲队只失一球，我们假设这一球是乙队进的，那么由乙与丙平，且丙的进球数为3，可知乙的进球数为4，而进球总数=失球总数，因此易得甲的进球数为5，而此时显然丙对甲的比分为，于是甲对乙时，甲进1球，即甲对乙的比分为，与甲队胜两场矛盾．因此那1球应该是丙队进的．于是即得乙队进球数为2．甲队进球数为7．此时丙对甲的比分应为，所以甲对乙的比分为．12．【答案】B【命题意图】考查柯西不等式．【解析】由柯西不等式得：则．则根据等号成立条件知，，13．【答案】．【命题意图】考查推理和概率解析：因为，所以，如图阴影部分．则知14．【答案】66.4【命题意图】考线性回归方程【解析】因为；，所以，∴，因此时，．故答案为：66.4 15．【答案】【命题意图】考查极坐标【解析】因为，所以直角坐标方程为，因为，所以直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，所以．16．【答案】AD【命题意图】考查利用中位数、极差、平均数、众数、方差等数据，对总体数据进行估算【解析】对于A地，因为中位数为2，极差为5，所以最大值为，满足每天新增疑似病例不超过7人，故A地符合；对于B地，若过去10日分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B地不符合；对于C地，若过去10日分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C地不符合；对于D地，假设至少有一天疑似病例超过7人，设为8人，则方差为，与题中条件总体方差为3矛盾，故假设不成立．故满足每天新增疑似病例不超过7人，故D地符合．故答案为：AD．17．【答案】【命题意图】考查复数向量性质【解析】因为，所以点轨迹为；又因为点对应的复数为，点对应的复数为，则线段的方程为：，的长度为．则知点到直线的距离为：．则．则．18．【答案】略【命题意图】考回归直线【解析】（1）所以与之间具有很强的线性相关关系；（2），∴与的线性回归方程为（3）当时，，所以火灾损失大约为63.53千元．19．【答案】略【命题意图】考查独立检验【解析】（1）班级优秀非优秀合计甲班183755乙班124355合计3080110（2）由题意得所以有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”（3）因为甲、乙两个班数学成绩优秀的学生人数的比例为，所以从甲班成绩优秀的学生中抽取3名，分别记为，，，从乙班成绩优秀的学生中抽取2名，分别记为，，则从抽取的5名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件有，，，，，，，，，，共10个设“抽到的2名学生中至少有1名乙班学生”为事件，则事件包含的基本事件有，，，，，，，共7个，所以，即抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率是．20．【答案】略【命题意图】考查程序【解析】：（1）函数的定义域．所以数列只有3项，，（2）令，即，解得或．故当或时，，所以输入的初始数据时，得到通项为的常数列；时，得到通项为的常数列．21．【答案】略【命题意图】考查推理证明：要证：．即证：．即证：又因；则；则成立．所以命题成立．22．【答案】（1）；；（2）2【命题意图】考查极坐标和参数方程【解析】（1）曲线：，即，因为，，，所以的方程为，即．消去得曲线的普通方程为．（2）因为，而点在上，所以是直径，则知．到的距离，则．23．【答案】略【命题意图】考查绝对值不等式．【解析】：（1）由，得，且则解得（2）由（1）可知，，，又因为，所以．。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期3月联考数学(文科)试题(wd无答案)
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期3月联考数学（文科）试题一、单选题(★) 1. 已知，则的共轭复数（）A．B．C．D．(★) 2. 如图是某校老师给学生列出的影响学习的因素，由图可知，促进学习进步的因素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个(★) 3. 用反证法证明：若实数，，满足，则，，至少有1个大于1.则反证假设为（）A．，，都小于1B．，，且C．，或，或D．，，都不小于1(★★) 4. 如果散点图上个点都落在直线上，则由这个点可得相关系数的值为（）A．-2B．0C．1D．-1(★) 5. 1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，然而一直到死，欧拉也无法证明.根据哥德巴赫猜想的结论：①若哥德巴赫猜想正确，则当时规定的“1”是质数；②若按现在规定，“1”不是质数，则这个猜想不成立；③哥德巴赫猜想中的三个质数互不相等；④哥德巴赫猜想中的三个质数可以都相等.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4(★★) 6. 2020年12月17日凌晨，嫦娥五号携带在月球采集的样品1731克成功返回地面，某大学为了解大家对这一重大事件的关注程度，随机抽取了一部分学生进行调查，得到如下数据：关注嫦娥五号不关注嫦娥五号合计男生7003001000女生500300800合计12006001800参考公式：， 参考数据0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828由所给数据可知，下列结论正确的是（）A ．有99.9%以上的把握认为是否关注这一重大事件与性别有关B ．有99.9%以上的把握认为是否关注嫦娥五号与性别无关C ．在犯错误不超过0.001的情况下可以认为是否关注这一重大事件与性别无关D ．的观测值(★) 7. 由数据，，，…，可得关于的回归直线方程为，若，则（）A．12B．32C．34D．36(★★) 8. 古装历史电视剧《大秦赋》在2020年12月份播出后，受到了热议.在观看过该剧的，，，，，六位老师中只有一人给出了差评.教师甲猜测：或给出了差评；教师乙猜测：不可能给出差评；教师丙猜测：，，中的某人给出了差评；教师丁猜测：，，都不可能给出差评.若甲、乙、丙、丁只有1人猜对，则猜对的老师是（）A．甲B．乙C．丙D．丁(★★) 9. 现实生活中有一些情况与著名的斐波那契数列类似，比如上台阶的方式，每次上一阶或二阶，若台阶数为，则上台阶的不同走法构成数列满足，据此推断，当台阶数为10时，上台阶的方法数为（）A．45B．55C．89D．144(★★) 10. 罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（）A．0.41平方米B．0.32平方米C．0.22平方米D．0.12平方米(★★★) 11. 已知复数满足，且的共轭复数为，则的最大值为（）A ．36B ．25C ．6D ．5(★★★) 12. 某企业生产一种新产品，其每件产品的非物料平均成本 （单位：元）与生产该产品的数量 （单位：千件）有关，经统计得到下列一组数据：1 2 3 4 5 6 78112 61 44.5 35 30.5 28 2524 观察其散点图可知，适宜作为每件产品的非物料成本 与产量 的回归方程类型.若每件产品的成本=物料成本+非物料成本，其中每件产品的物料成本固定为48元.根据回归方程预测：若要使每件产品的总成本不高于68.54元，最少应生产这种产品（计算结果保留三位小数）数量约为（） 参考公式与数据如下：对于一组数据 ，，...，，其回归直线方程为 ，利用最小二乘法估计可得 ， .参考数据（其中 ）183.40.341.530.116A ．8.246千件B ．9.282千件C ．10.133千件D ．11.266千件二、填空题(★) 13. 已知复数 对应复平面内的点在第一象限，则 的取值范围是 ______ .(★) 14. 已知回归直线方程 ，试验得到一组数据为，，，，则由这组数据可得残差的平方和为 ______ .(★★★) 15. 已知，，，则 、 、 从小到大的顺序排列为______ .(★★) 16. 若把正偶数按从小到大依次排列构成一个数列，该数列具有一个有趣的性质：；；；…….按照这样的规律，若等式右边含有2020，则等式右边最大的偶数为 ______ .三、解答题(★★★) 17. 已知复数的共轭复数为，且.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.(★★★) 18. 由于疫情防控得力，我国经济在2020年逐步复苏，直播带货受到了更多消费者的欢迎.某地为了销售本地的农产品，尝试利用直播带货进行销售，已知最近5天直播总时长（即所有主播的直播时长之和，单位：小时）与带货销售额的数据如下：直播总时长68121618（单位:小时）带货销售额810161922（单位:万元）（1）请计算相关系数，并判断与相关性的强弱. （2）求y关于的回归方程. （3）若每位主播每天直播时间不超过5小时，要使每天的带货销售额超过50万元，至少请几位主播进行直播?参考公式：参考公式：相关系数参考数据：.(★★★) 19. 已知实数，，满足.（1）若，求证：；（2）若，，求证：.(★★) 20. 已知复数满足.（1）求证：；（2）若的虚部为正数，求，，，，根据的规律，求出的值（不需要证明）.(★★) 21. 进入2020年冬季以来，猪肉价格出现了一定的回落，在这种情况下，某单位对其320名员工进行了问卷调查，其中男职工有200人，得到每周购买猪肉的花费情况如下：女职工中每周购买猪肉的花费不低于30元者占.若每周购买猪肉的花费低于30元者视为“不喜欢吃肉”，否则视为“喜欢吃肉”（1）若以每组数据的中点代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；（2）①请根据条件填写下列的列联表；喜欢吃肉不喜欢吃肉合计男职工（单位:人）女职工（单位:人）合计②分析是否有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关?参考公式：. 参考数据0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(★★★) 22. 已知双曲线上有三点，且 的中点分别为 ，设直线的斜率都存在，分别记为，且，直线的斜率都存在，分别记为，（1）求证；（2）类比（1）中结论，写出椭圆 中类似的结论，并证明.。
河南省“领军考试”2020-2021学年下学期高二联考文科数学试题
2020—2021学年下学期全国百强名校“领军考试”高二数学（文）2021.07注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试题与答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()()312i i -=（ ） A ．88i -B ．88i --C ．22i +D ．22i --2．已知集合A y y⎧⎫==⎨⎩，{}ln B x y x ==，则（ ） A ．A B = B ．AB C ．B A D ．A B ⋂3．已知命题p ：“对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +<++”，则p ⌝为（ ） A ．(]0,0x ∃∈-∞，20221112x x x +<++ B ．对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +≥++ C ．()00,x ∃∈+∞，20221112x x x +≥++ D ．对(],0x ∀∈-∞，2221112x x x +≥++ 4．若函数()()2223af x x x a =+-+是偶函数，则124a -=（ ）A ．92B ．9C ．18D ．325．双曲线C ：22143x y m m-=（0m >）的渐近线与圆D ：(226x y +=相切，则m =（ ）A ．1BC ．2D 6．若π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且tan 3α=，则()sin πα+=（ ）A B C ． D7．已知向量AB ，AC 均为单位向量，且()21,1AB AC +=，则BC =（ ） ABCD8．统计某学校100名学生的课外阅读时间，得到如下的频率分布直方图，则这100名学生课外阅读时间的中位数约为（保留一位小数）（ ）A ．1.2B ．1.4C ．1.5D ．1.69．已知菱形ABCD 中2AB BD ==，把ABD △沿BD 折起，使点A 到达P 处，且3PC =，若点E 为线段PD 中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为（ ） A．2B．4C ．12D ．51210．若函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象向左平移π6个单位后得到一个偶函数的图象；若()f x 向右平移π12个单位后得到一个奇函数的图象，则ω的值可以是（ ） A ．6 B ．8 C ．12D ．1411．我们把函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①()()D x D x =；②()()1D x D x +=；③()()()D D x D x =；④(){}{}0,1y y D x ===，其中正确的命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点为()1,0F ，一个顶点为()2,0A ，设(),0B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若PB AB ≥恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]2,2-D ．()2,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足102030x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值________．14．函数()()22e cos xf x x x x =-+的图象在0x =处的切线方程为________．15．已知ABC △的三边a ，b ，c 满足2a c b +=，且ABC △，则c a 的值为________．16．已知球O 内有3个半径为3的小球，则球O 的表面积的最小值为________．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且3412a a +=，13a ，23a ，3a 成等差数列． （1）求n a ； （2）设,,n n n n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项的和2n S ．18．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD 是菱形，2AE =，BD =（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ； （2）求三棱锥A BCE -的体积．19．受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码x 分别为15，市场规模为y （单位：亿元）．（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模． 附注：参考数据：5117407ii y==∑；5158732i i i x y ==∑2062.7≈ 3.2≈参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii nii x x y y b x x ----=-∑∑，ˆˆay bx =-． 20．已知点A ，B 分别是直线22y x =+及抛物线C ：22y px =（0p>）上的点，且AB 的最小值为（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与抛物线C 交于点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，判断x 轴上是否存在点N ，使得2214MN PQ -为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 21．已知函数()()321e 31xf x x ax ax =+---． （1）若0a =，求()f x 在[],0m （0m <）上的最小值； （2）若()f x 在()3,2-上有3个极值点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程； （2）若射线θα=（0π2α<<，0ρ>）与直线l 及双曲线C 分别交于点A ，B ，且2OA OB =，求tan α．23．[选修4—5：不等式选讲] 已知()241f x x x =+-．（1）求不等式()31f x x ≥+的解集； （2）若()22113116f x a b ≥+-对任意实数x 恒成立，求证：2a b ab +≤． 2020—2021学年下学期全国百强名校 “领军考试”高二数学参考答案与解析（文科）1．【答案】B【命题意图】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养． 【解析】因为()()()()31i 2i 1i 8i 88i -=--=--，故选B ． 2．【答案】A【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】集合{}0A y y y y ⎧⎫===>⎨⎩，{}{}ln 0B x y x x x ===>，所以A B =，故选A ． 3．【答案】C【命题意图】本题考查称命题的否定，考查数学抽象的核心素养．【解析】根据“x M ∀∈，()p x ”的否定是“0x M ∃∈，()0p x ⌝”，可知选C ． 4．【答案】A【命题意图】本题考查二次函数的性质及指数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心．【解析】由()()2223af x x x a =+-+是偶函数，可的230a-=，23a =，所以()21229422a a -==，故选A ．5．【答案】C【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】双曲线C的渐近线与圆D相切，则圆心)到直线y x=的距离d==，解得2m=，故选C．6．【答案】A【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】由π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及tan3α=可得sin0α<，由2222sin sin9cos1sinαααα==-，得29sin10α=，sinα=，所以()sinπsinαα+=-=A．7．【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】因为向量AB，AC均为单位向量，()21,1AB AC+=两边平方得542AB AC+⋅=，所以34AB AC⋅=-，所以2222BC AC AB AB AC=-=-⋅=+C．8．【答案】B【命题意图】本题考查频数分布直方图，考查数学运算及数据分析的核心素养．【解析】设中位数为x，由()0.10.40.50.250.5+⨯=<，()0.10.40.60.50.550.5++⨯=>，可得1 1.5x<<，由()()0.10.40.510.60.5x+⨯+-⨯=，解得 1.4x≈，故选B．9．【答案】B【命题意图】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．【解析】取CD中点F，连接BE，EF，则BEF∠就是异面直线BE与PC所成角，如图所示，由题意可得BE BF=32EF=，所以12cosEFBEFBE∠==B．10．【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的图象，考查数学抽象与直观想象的核心素养．【解析】由题意可得π662πππk ω+=+（k ∈Z ），6π12ππn ω-+=（n ∈Z ），整理得62k ω=+（k ∈Z ），122n ω=-+（n ∈Z ），取2k =，1n =-得14ω=，故选D ．11．【答案】C【命题意图】本题考查狄利克雷函数的性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．【解析】当x 为有理数时x ，1x +均为有理数，()()0D x D x ==，()()11D x D x +==，当x 为无理数时x ，1x +均为无理数，()()0D x D x ==，()()10D x D x +==，所以①②正确，当x 为无理数时()0D x =，()()()01D D x D ==，③错误，④正确，故选C ．12．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的方程及二次函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【解析】设()00,P x y ，则22220000131434x y x y ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为PB AB ≥，所以22PB AB ≥，所以()()222222200002231444x x t y t x tx t t t ⎛⎫-+≥-⇒-++-≥-+ ⎪⎝⎭．因为()()()200000222412244x x x tx t t x -+-+≥⇒-≥，因为022x -≤≤，所以020x -≥，所以0224x t +≥恒成立，所以0max212142x t t +⎛⎫≥=⇒≥ ⎪⎝⎭，即1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 13．【答案】1【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算与直观想象的核心素养．【解析】如图所示，作出不等式组表示的可行域，是以点()3,2A -，()3,5B --，13,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，由2z x y =+得1222y x =-+，当122zy x =-+经过点A 时，其在y 轴上的截距最大，z 最大，所以max 3221z -+=⨯=．14．【答案】210x y +-=【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查数学抽象与数学运算的核心素养．【解析】由()()22e cos x x x f x x =-+可得()()22e sin xx f x x '=--，所以()01f =，()02f '=-，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()120y x -=--，即210x y +-=． 15．【答案】1或73【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】由ABC △得1sin 2ab C =，所以sin C =，π3C =或2π3， 若π3C =，则2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得a c =，若2π3C =，则 2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()370c a c a +-=，所以73c a =，故1c a=或73．16．【答案】(84π+【命题意图】本题考查球的性质与表面积，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．【解析】设3个半径为3的小球的球心分别为1O ，2O ，3O ，则球O 的表面积最小时，3个小球两两相切，每个小球都与球O 相切，此时123OO O △的中心为O ，1223316OO O O O O ===，所以1OO =以球O 的半径最小值为3，球O 的表面积的最小值为()(24π384π=+．17．【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和，考查数学运算的核心素养．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q （1q ≠），由3412a a +=得()21112a q q +=，由13a ，22a ，3a 成等比数列得1334a a +=，即211134a a q a q +=， 因为10a ≠，所以2430q q -+=，即()()130q q --=， 因为1q ≠，所以3q =，代入()21112a q q +=得113a =， 所以11211333n n n n a a q---==⨯=．（2）因为,,n nn n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2221321133n n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()21191219121988n n n n n ⨯-+-=⨯+=+--．18．【命题意图】本题考查垂直关系的证明及空间向量的应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．【解析】（1）取AE 中点O ，连接DO ，BO ， 因为ABE △为正三角形， 所以BO AE ⊥，面ADE ⋂面ABE AE =，且BO 在面ABE 内 所以BO ⊥平面ADE ， 因为DO ⊂平面ADE ， 所以BO DO ⊥，由题意知BD =BO =，所以DO =因为2AD =，1AO =， 所以222AO DO AD +=， 所以DO AE ⊥ 因为DO BO O ⋂=， 所以AE ⊥平面DOB ， 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ACE ． （2）由（1）知，BO DO ⊥， 又2AD =，1AO =，DO ，222AD AO DO ∴=+DO AO ⊥（即DO AE ⊥），又因为AE BO O ⋂=又DO =//AB DC ， 所以三棱锥C ABE -因为ABE △是边长为2的正三角形， 所以ABE △的面积为224=，所以113A BCE C ABE V V --==．19．【命题意图】本题考查回归分析，考查数据分析、数学应用及数学运算的核心素养． 【解析】（1）由图中数据和附注中参考数据得3x =，()25110ii x x =-=∑，()()555111587323174076511iii iii i i x x y y x y x y===--=-=-⨯=∑∑∑，()()565110.993.22062.7iix x y y r --=≈≈⨯∑因为y 与x 的相关系数0.75r >，说明y 与x 的线性相关程度比较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()515216511ˆ651.110iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑， 因为174073481.45y ==，ˆˆ3481.4651.131528.1a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ651.11528.1yx =+ 将2021年对应的6x =代入回归方程得ˆ651.11528.15434.7yx =+=． 所以预测2021年中国在线教育市场规模为5434.7亿元．20．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）设点2,2t B t p⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线C 上任意一点，则AB≥=，因为AB2p-=4p=，所以抛物线C的方程为28y x=．（2）设()11,P x y，()22,Q x y，(),0N t，把直线()1y k x=-与28y x=联立得()2222280k x k x k-++=，由题意可得0k≠，所以212222882kx xk k++==+，121x x=，所以()()22221144MN PQ NM PQ MN MP NM MQ-=-=+⋅+()()()()1122,1,1x tNP NQ k x x t k x--=-=⋅⋅-()()()()2121211x t x t k x x=--+--()()()222212121k x x t k x x t k=+-++++()22222812k t k t kk⎛⎫=+-++++⎪⎝⎭22827tt tk=---所以当0t=时22174MN PQ-=-．所以x轴上存在点()0,0N，使得2214MN PQ-为定值7-．21．【命题意图】本题考查用导数研究函数的性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）当0a=时()()1e1xf x x=+-，()()2e xf x x'=+，若20m-≤<，[],0x m∈时()0f x'≥，()f x在[],0m是增函数，()f x的最小值为()()1e1mf m m=+-，若2m <-，[],2x m ∈-时()0f x '≤，()f x 是减函数，[]2,0x ∈-时()0f x '≥，()f x 是增函数，()f x 最小值为()2121e f =---， 综上可得20m -≤<时()f x 的最小值为()1e 1m m +-，2m <-时()f x 的最小值为211e -- （2）因为()()321e 31x x ax a f x x =+---， 所以()()()()()2e 322e 3x x x ax x x ax f x =+'-+=+-， ()f x 在()3,2-上有3个极值点，则()0f x '=在()3,2-有3个不同实根，则方程e 30xax -=在()3,2-上有2个不等于2-的实根， 显然0x =不是方程e 30xax -=的根， 所以问题转化为直线3y a =与函数()e xg x x=（32x -<<）的图象有2个横坐标不等于2-的交点， ()()21e x x g x x -'=，()g x 在()3,0-，(]0,1上是减函数，在[)1,2上是增函数，当()3,0x ∈-时，()31,3g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝--⎭∞，当(]0,1x ∈时()[)e,g x ∈+∞，当[)1,2x ∈时，()2,2g e e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以当232e e a <<，即236e e a <<时()f x 在()3,2-上有3个极值点， 所以a 的取值范围是2,36e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．【命题意图】本题考查曲线的直角坐标方程、参数方程及极坐标方程；考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t得40x -=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程为()cos 4ρθθ=， 即πcos 23ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）因为射线θα=（π02α<<，0ρ>）与直线l 及曲线C 分别交于点A ，B ，所以2πcos 3OA α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cos OB α=， 因为2OA OB =， 所以πcos 2cos 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 2cos 2ααα+=，3cos 2αα=，tan α= 23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）(][)2220,0170,0,01,4120,4x x x x x x x x x x ⎧⎪-≥<⎪⎪-≥≤<⇒∈-∞⋃+∞⎨⎪⎪+-≥≥⎪⎩ 所以不等式()31f x x ≥+的解集为(][),01,-∞⋃+∞．（2）当14x ≥时()22111141444416x x f x ⎛⎫=+-≥+⨯-= ⎪⎝⎭， 当14x <时()2211141414416x x f x ⎛⎫=-+>+⨯-= ⎪⎝⎭， 所以()116f x ≥，当且仅当14x =时取等号． 所以22113111616a b +-≤，即22112a b +≤， 所以222111124a b a b ⎛⎫+≤+≤ ⎪⎝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎭， 所以112a b +≤，即2a b ab +≤．。
【河北】2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高二上学期11月联考试题 数学(理)
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考数学(理科)2020.11 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“对∀x∈(0，＋∞)，sin2x<()2x12+”的否定为A.对∀x∈(0，＋∞)，sin2x≥()2x12+B.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0<()2x12+C.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0≥()2x12+D.∃x0∈(－∞，0]，sin2x0()2x12+2.已知数列{a n}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{a n}的通项不可能是A.a n＝2n0n⎧⎨⎩，为奇数，为偶数B.a n＝1＋(－1)n＋1C.a n＝2|sin2nπ| D.a n＝1(1)22n--3.已知实数a，b，c满足a＋b<b<0<a＋c，则A.a<b<cB.ac＋bc<0C.c－b>c－aD.11 a c >4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96B.126C.192D.2525.已知实数x，y满足约束条件y x1y2x2y2x2≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥--⎩，则3x－2y的取值范围是A.[－3，4]B.[－3，1]C.[1，4]D.[－4，3]6.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是A.a>b⇔sinA>sinBB.a>b⇔cosA<cosBC.a>b⇔sin2A>sin2BD.a>b⇔cos2A<cos2B7.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是A.m<1B.0<m<1C.m>0D.0<m<1 a8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋2a7＝0，则A.S5＝S6，S13＝0B.S5＝S6，S11＝0C.S6＝S7，S13＝0D.S6＝S7，S11＝09.已知命题p：2020≤2021，命题q：若a2＋b2>50，则|a|＋|b|>7，则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(⌝q)C.(⌝p)∧qD.(⌝p)∧(⌝q)10.若对∀y∈(1，＋∞)，2231x yx y<+-，则x的取值范围是A.(－2，6)B.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)C.(－3，－2)∪(6，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－2，6)11.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为A.211B.232C.247D.256，则A的最大值是12.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosBc cosC=-，则A的最大值是A.56πB.23πC.6πD.3π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】领军百校联考6月高二考试
2019—2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高二地理参考答案与详解1．【参考答案】D【命题意图】本题主要考查关于能源分布的相关知识，考查学生调动和运用知识的能力及区域认知素养。
【选项分析】由图可知，瑞典纬度较高，太阳能不丰富，且没有位于板块交界处，不是地热能丰富区。
但这里多山地，森林资源丰富，生物质能丰富，河流众多且短小急促，水能资源丰富，所以选D。
2．【参考答案】C【命题意图】本题主要考查影响能源消费的因素，考查学生获取和解读图文信息的能力，以及学生的区域认知和综合思维素养。
【选项分析】由图可知，瑞典纬度较高，冬季寒冷而漫长，居民需使用燃料取暖，这里强调居民耗能，所以不是由于工业耗能多，消费习惯的根源仍然是由于气候寒冷，所以选C。
3．【参考答案】A【命题意图】本题主要考查能源消费结构转变带来的影响，考查学生获取和解读图文信息的能力以及综合思维素养。
【选项分析】能源消费结构转变不能大幅度降低能源成本，也不可能完全不进口石油，清洁能源不等于完全没有污染物排放，能源消费结构多元化有利于保障能源市场的安全，所以选A。
4．【参考答案】D【命题意图】本题主要考查人口迁移的主要原因、人口迁移的影响相关知识。
考查学生调动和运用知识、分析地理问题的能力。
【选项分析】读图可知，佛山市的空城率最低，是四座城市中唯一的地级市，常住人口数量较少，因此春节期间离开佛山的人数最少。
5．【参考答案】C【命题意图】本题主要考查人口迁移的主要原因、人口迁移的影响相关知识。
考查学生调动和运用知识、分析地理问题的能力。
【选项分析】读材料可知，“反向春运”指在外打拼的游子春运期间把父母及亲人从老家接到自己工作城市过年的现象。
说明“反向春运”能够有效缓解因“春节”回家过年导致的交通拥堵，C对。
在工作城市过年，不会节省过节开销，A错。
“反向春运”不是家庭养老的主要方式，B错。
增加地方税收不是主要的影响，D错。
6．【参考答案】B【命题意图】本题主要考查人口迁移的主要原因、人口迁移的影响相关知识。
高二全国百强名校“领军考试”2020-2021学年下学期4月高二理数试题-教师用卷
高二全国百强名校“领军考试”2020-2021学年下学期4月高二理数试题一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z=1−i3−i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数z为A. −16+i6B. 25+i5C. −28+i8D. 49+2i9【答案】B【解析】【分析】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于简单题目．利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=1−i3−i =(1−i)(3+i)10=410−2i10=25−i5，∴z=25+i5．故选B．2.已知函数f(x)=(x3−3)(2x2+1)，则f′(x)等于A. 8x4+6x2−10xB. 10x4−8x2−16xC. 10x4+3x2−12xD. 5x4−12x2+6x【答案】C【解析】【分析】本题考查基本初等函数的导数公式和运算法则，熟记基本初等函数的导数公式和运算法则，属于基础题．先由多项式乘法化简，由基本初等函数的导数公式和运算法则求导数．【解答】解：由于f(x)=(x3−3)(2x2+1)=2x5+x3−6x2−3，那么f′(x)=(2x5+x3−6x2−3)′=10x4+3x2−12x．故选C．3.计算)A. √3−π3B. √32−π6C. √32+π3D. 12+π6【答案】A【解析】【分析】本题考查定积分的运算，考查定积分的几何意义，考查计算能力，属于基础题．由定积分的几何意义求解即可．【解答】解：=−(−√32−√32+π3)=√3−π3．故选A．4.已知复数z1=a+i，z2=a+9i(a∈R)，其中i为虚数单位，若z1⋅z2为纯虚数，则|z1⋅z2|=()A. 30B. 34C. 42D. 46【答案】A【解析】【分析】本题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，纯虚数的概念，复数模的公式，属于基础题目..先计算z1⋅z2，再令实部为0、虚部不为0，即可求解z1⋅z2，求模即可．【解答】解：z1⋅z2=(a+i)(a+9i)=a2−9+10ai为纯虚数，∴{a2−9=010a≠0,解得a=±3，于是z1⋅z2=±30i，所以|z1⋅z2|=30．故选A．5. 已知函数f(x)满足f(x)=x 3−6 f′(3)lnx ，则f′(3)=A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了导数的基本运算，属于基础题．解题的关键是意识到f′(3)是常数，正确求出导函数，解关于f′(3)的方程即可． 【解答】解：∵f(x)=x 3−6f′(3)lnx ， ∴f′(x )=3x 2−6x f′(3)，∴f′(3)=27−2f′(3)， ∴f′(3)=9． 故选B ．6. 过点(1,−2)且与函数f (x )=1x −2x 在x =1处的切线垂直的直线方程为A. 2x +y −3=0B. 3x −2y +9=0C. x −3y −7=0D. x −y −5=0【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，属于基础题．由导数的几何意义得在点(1,−2)处的切线斜率，由垂直直线斜率之积为−1，求得直线斜率，由点斜式求直线方程． 【解答】解：f′(x )=−1x 2−2， ∴f′(1)=−3，故与切线垂直的直线斜率为13，所求直线方程为y +2=13(x −1)，即x −3y −7=0． 故选C ．7. 否定：“三个孩子中恰有一个男孩”时，正确的叙述为( )A. 三个孩子都是男孩B. 三个孩子都是女孩C. 三个孩子中至少有两个男孩D. 三个孩子都是女孩或至少有两个男孩【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了命题的否定，属于基础题．根据命题的否定求解即可．【解答】解：三个孩子是男孩、女孩的情况共有四种情形：3个都是女孩，1个男孩2个女孩，2个男孩1个女孩，3个都是男孩，否定：“三个孩子中恰有一个男孩”时，正确的叙述为“三个孩子都是女孩或至少有两个男孩”．故选D．8.某养老院一楼有六个房间，现有4位女住户只能安排其中2位入住中间四个房间中的两个，剩下4个房间要从6位男住户中安排其中4位入住，无论男女，每人住一间，则不同的安排方式种数为()A. 25920B. 26890C. 27650D. 28640【答案】A【解析】解：先安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，有C42A42种方法；再安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，有A64种方法．由乘法原理可得：C42A42⋅A64=25920种方法．故选：A．先安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，有C42A42种方法；再安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，有A64种方法．利用乘法原理即可得出．本题考查了排列组合数的计算公式及其应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.设等比数列{a n}的前n项积为C n，则C3，C6C3，C9C6，C12C9成等比数列．类比以上结论有：设等差数列{b n}的前n项和为S n，则()成等差数列．A. S3，S6S3，S9S6，S12S9B. S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9C. S3，S6+S3，S9+S6，S12+S9 D. S3，S6S3，S9S6，S12S9【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了类比推理的应用，属于基础题．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．【解答】解：等比数列类比于等差数列时，积类比于加法，除法类比于减法，可得类比结论为：设等差数列{b n}的前n项和为S n，则S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9成等差数列．故选B．10.已知a，b，c为ΔABC的三条边长，要证a2+b2+c2≥2√3absinC，只要证明()A. a2+b2≥2abB. a2+b2≤1C. (a+b)22+a2b2≤2 D. (a2−1)(b2−1)≥0【答案】A【解析】【分析】本题主要考查分析法以及综合法推理过程．利用分析法知：要证a2+b2+c2≥2√3absinC，利用余弦定理以及辅助角公式化简，即可求解．【解答】解：要证a2+b2+c2≥2√3absinC，利用余弦定理可知：c2=a2+b2−2abcosC，只要证a2+b2+(a2+b2−2abcosC)≥2√3absinC，由辅助角公式知：√3absinC+abcosC=2absin(C+30∘)，即证a2+b2≥2absin(C+30∘)，因为2absin(C+30∘)≤2ab，只需证a2+b2≥2ab．故选A．11.已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16)，若a=f(log42)，b=f(ln2)，c=f(5−12)，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. b>c>a【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂函数及其单调性，属于基础题．由2f(2)=f(16)，可得α=13，求出f (x )=x 13，可知函数f(x)在R 上单调递增，再利用中间数比较5−12，log 42，ln2的大小，即可判断a ，b ，c 的大小关系． 【解析】解：由2f(2)=f(16)，可得2⋅2α=16α=24α， 所以1+α=4α，所以α=13，即f (x )=x 13， 由此可知函数f(x)在R 上单调递增，由换底公式可得log 42=log 22log 24=12，ln2=log 22log 2e =1log 2e ，5−12=√5，因为1<log 2e <2，所以√5<12<1log 2e ，5−12<log 42<ln2，所以f(ln2)>f(log 42)>f(5−12)， 所以a ，b ，c 的大小关系是b >a >c ， 故选：C ．12. 对任意x ∈(1,+∞)，都有f (x )=ax 2−2ax −x +a +lnx >−1，则实数a 的取值范围是( )A. [12,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2)D. (−∞,1)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性解决不等式恒成立问题，属中档题．求导后，分a ≤0、a ≥12，0<a <12，讨论函数的单调性分析可得实数a 的取值范围． 【解答】解：∵f′(x)=2a(x −1)−1+1x =(2ax−1)(x−1)x，而f(1)=−1，∵x >1，∴x −1>0，当a ≤0时，f(x)在(1,+∞)上单调递减，∴f(x)<f(1)=−1，不符合题意； 当a ≥12⇒12a ≤1时，f(x)在(1,+∞)上单调递增， ∴f(x)>f(1)=−1，符合题意;当0<a <12时，f(x)在(1,12a )上单调递减，∴f(x)<f(1)=−1，不符合题意， 由此可得a ≥12． 故选A二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若平面α和两直线a 、b 满足：a ⊥α且b ⊥α，则a//b ，以上推理的大前提为_______． 【答案】垂直于同一个平面的两条直线平行 【解析】 【分析】本题考查演绎推理，空间中直线与平面的位置关系，属于基础题． 根据演绎推理得三段论可得． 【解答】解：这个三段论的推理形式是：大前提：垂直于同一个平面的两条直线平行;小前提：a ⊥α，b ⊥α;结论：a//b.故答案为：垂直于同一个平面的两条直线平行．14. (ax 12+x)6的展开式中x 5的系数为135，则实数a 的值为_____． 【答案】±3 【解析】 【分析】本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．先求通项，令3+r2=5，求出r ，再代回通项公式可得a 的方程，解方程可得a 值． 【解答】解：依题意(ax 12+x)6展开式的通项公式为T r+1=C 6r a 6−r x 3+r2， 令3+r2=5得r =4，而展开式中的常数项为C 64a 2=135，解得a =±3． 故答案为±3．15. 曲线y =cosx 与x 轴在区间[−π2,3π2]上所围成的区域部分的面积为_______．【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，属于基础题．将所围成的区域部分的面积用定积分表示，再求解即可．【解答】解：由题意得曲线y=cosx与x轴在区间[−π2,3π2]上所围成的区域部分的面积为：．故答案为4．16.已知函数f(x)=12ae2x+(2a−1)e x−2x(a>0)，则函数f(x)的最小值为________．【答案】2lna−12a+2【解析】【分析】本题考查函数与导数的应用，即利用导数讨论函数的单调递减、极值与最值的关系，属于中档题．对函数f(x)求导得f′(x)=ae2x+(2a−1)e x−2=(ae x−1)(e x+2).，根据a>0，结合导数可判定函数f(x)的单调性，进而求出函数的最小值．【解答】解：函数f(x)的定义域为(−∞,+∞)，而f′(x)=ae2x+(2a−1)e x−2=(ae x−1)(e x+ 2).因为a>0，由f′(x)=0，得x=−lna.当x∈(−∞,−lna)时，f′(x)<0;当x∈(−lna,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增，则f(x)min=f(−lna)=12a +(2a−1)1a+2lna=2lna−12a+2．故答案为：2lna−12a+2．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知a=x2−x+1，b=6−3x(x∈R)，用反证法证明：a，b中至少有一个大于0．【答案】证明：假设a≤0，b≤0，∴a+b≤0则a+b=x2−x+1+6−3x=x2−4x+7=(x−2)2+3>0这与a+b≤0矛盾，故假设a≤0，b≤0不成立，原结论成立，∴a，b中至少有一个大于0．【解析】本题主要考查反证法，反证法是一种从反面的角度思考问题的证明方法，体现的原则是正难则反．由题意，，b中至少有一个大于0的反面是a⩽0，b⩽0，所以假设a⩽0，b⩽0，则a+b⩽0，结合已知推出矛盾a+b>0，命题得证．18.已知(ax+1)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8(其中a<0)的展开式中a2的值为224，求|a1|+|a2|+⋯+|a8|的值．【答案】解：∵二项展开式中的通项T r+1=C8r.(ax)8−r=a8−r.C8r.x8−r，r=0，1， (8)∴由r=6得，含x2项的系数a2=C82a2，由已知C82a2=224，解得a2=8，又因为a<0，故a=−2√2，于是(ax+1)8=(1−2√2x)8．令x=0，得a0=1．而(1−2x)8展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负，故|a1|+|a2|+⋯+|a8|=−a1+a2−a3+⋯−a8，再令x=−1，得a0−a1+a2−a3+⋯−a8=(1+2√2)8，因此，|a1|+|a2|+⋯+|a8|=(1+2√2)8−1.【解析】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，考查二项式各项系数和的求法，属于中等题．首先由展开式的通项，求出参数a的值，然后判断展开式中各项系数的符号特征，最后利用赋值法可解．19.用分析法证明：√a2+1a2+√3≥a+1a+1(其中a为正实数)．【答案】证明：∵a>0,∴a+1a+1>0∴要证√a2+1a2+√3≥a+1a+1，只需证(√a2+1a2+√3)2≥(a+1a+1)2，即证a2+1a2+2√3√a2+1a2+3≥a2+1a2+2(a+1a)+3，即√3√a2+1a2≥a+1a，只需证3(a2+1a2)≥a2+1a2+2．只需证a2+1a2≥1，而a2+1a2≥2.于是不等式a2+1a2≥1显然成立，故原不等式成立.【解析】本题考查分析法和基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于中档题．将原不等式转化为求证a2+1a2≥2，再利用基本不等式即可求证．20.求函数f(x)=13ax3−12x2+4(其中a>0)在区间(−12,12)上的单调区间及极值．【答案】解：f′(x)=ax2−x=x(ax−1)，令f′(x)=0，解得x=0或x=1a．以下分两种情况讨论：①当0<a≤2，则1a ≥12．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：②若a>2，则0<1a <12．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：综上所述：①当0<a≤2时，增区间为(−12,0)，减区间为(0,12)，此时，只有极大值为4；②当a>2时，增区间为(−12,0)、(1a,12)，减区间为(0,1a)，此时，极大值为f(0)=4，极小值f(1a )=4−16a2．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，是中档题 求导后，分0<a ≤2、a >2两种情况讨论函数的单调性，可得函数的极值21. 已知数列{a n }中，a 1=13，a n =2n−32n+1a n−1(n ≥2,n ∈N)，(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列的通项公式，并给出证明．【答案】解：(1)a 2=15a 1，而a 1=13，则a 2=115，类似地a 3=37a 2=37×115=135；(2)由a 1=11×3，a 2=13×5，a 3=15×7，…，猜想得：a n =1(2n−1)(2n+1)=14n 2−1，此猜想正确．证明如下：由a n =2n−32n+1a n−1(n ≥2,n ∈N)可得a n a n−1=2n−32n+1(n ≥2,n ∈N)，于是有： a 2a 1=15、a 3a 2=37、a 4a 3=59、a 5a 4=711、…、、a n−2a n−3=2n−72n−3、a n−1a n−2=2n−52n−1、a n a n−1=2n−32n+1，把以上n −1个等式左右两端同向相乘，可得：a n a 1=3(2n−1)(2n+1)， 又a 1=13，∴a n =1(2n−1)(2n+1)=14n 2−1．【解析】本题主要考查了归纳推理.属于中档题.归纳推理的一般步骤是：一、通过观察个别情况发现某些相同性质；二、从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．(1)首先根据递推关系求出a 2，a 3；(2)通过计算前几项得到规律，猜想出通项公式，利用累乘法进行证明即可．22. 已知函数f (x )=lnx +(ax −a +1)在点(1,f (1))处的切线与直线y =x 平行，(1)求实数a 的值；(2)求证：当x >1时，f (x )>k (1−3x )(其中0<k ≤2，且k ∈R).【答案】证明：(1)由f(x)=lnx +(ax −a +1)得f′(x)=1x +a ，∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=1+a ，∴1+a =1，∴a =0．(2)由(1)知函数f(x)=lnx +1，由当x>1时，f(x)>k(1−3x )可得，lnx+1>k(1−3x)(x>1)，即为xlnx+x−k(x−3)>0⋯⋯⋯7分可令T(x)=xlnx+x−k(x−3)，T′(x)=2+lnx−k，由02，x>1，可得lnx>0，2−k≥0，∴T′(x)>0，故T(x)在(1,+∞)递增，∴当x>1时，T(x)>T(1)=1+2k>0，即xlnx+x−k(x−3)>0，∴当x>1时，f(x)>k(1−3x)恒成立(另解：当x∈(1,3)时，则1−3x <0∴02，∴k(1−3x)<0又f(x)=lnx+1，∴f(x)>k(1−3x);当x∈[3,+∞)时，则1−3x ≥0，∴k(1−3x)≤2(1−3x)又f(x)=lnx+1，于是可设g(x)=lnx+1−2(1−3x )，∵g(x)=lnx+6x−1，∵x≥3，∴lnx>1，∴g(x)>0，∴f(x)>2(1−3x)≥k(1−3x)综上所述，当x>1时，f(x)>k(1−3x)恒成立.)【解析】本题考查了导数的几何意义，以及利用导数证明函数的单调性，同时也考查了利用导数证明函数不等式，难点在于构造新函数，借助新函数的单调性来证明，考查化归与转化数学思想的应用，属于难题．(1)求出f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；(2)求出f(x)=lnx+1，，要证原不等式成立，即证xlnx+x−k(x−3)>0，可令g(x)=lnx+1−2(1−3x)，求出导数，判断符号，可得单调性，即可求出k的取值范围．。
全国百强名校领军考试2020-2021学年高二上学期数学(文科)试题(wd无答案)
全国百强名校领军考试2020-2021学年高二上学期数学（文科）试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知实数满足，则下列不等式成立是（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知等比数列为，则该数列的第二十项为（）A．B．C．D．(★) 3. 命题“ ”的否定式（）A．B．C．D．(★) 4. 在平面直角坐标系中，若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．(★) 5. 在等差数列中，若，其中为实数常数，则该等差数列的公差（）A．B．C．D．(★★) 6. 若满足约束条件所表示的平面图形的面积为，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．(★★) 8. 若一元二次不等式的解集为｛或｝，则实数的值是（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知双曲线方程为，若它的上焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知△ 的三个内角所对应的边分别为，若，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知实数，且满足；则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 13. 已知曲线，在点与处的切线互相垂直，则实数 ____ .(★★★) 14. 已知实数满足约束条件，则的最小值是 ______ .(★★★) 15. 已知等差数列的前项和为，若，且公差，则的最小值为 ____ .(★★★)16. 已知椭圆内有一点，为椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点，设的最大值和最小值分别为和，则 __________ .三、解答题(★★★) 17. 已知命题对，直线与椭圆恒有公共点：命题方程表示双曲线.若命题“ ”与命题“ ”均为真命题，求实数的取值范围.(★★★) 18. 已知的三个内角的对边分别为，若为锐角，且.（1）求；（2）若，且的面积为.求的周长.(★★★) 19. 已知各项均为正数的等比数列中，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，求使得恒成立的正整数的最小值. (★★★) 20. 某农户计划利用一面院墙（可以足够长）围出间一样大小的养鸡场(如图所示).（1）若农户用长为米的篱笆来做隔离栏，则怎样围才能使总面积最大？最大面积是多少？（2）若农户需用篱笆围一个总面积为平方米的养鸡场，怎样围才能使所用篱笆料的长度最短？最短长度为多少？（假设在建造过程中没有浪费所用材料）(★★★) 21. 已知函数.（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求切线的方程；（2）若，求的单调区间及极值.(★★★★) 22. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足关系式.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作一直线交于两点，若的面积是的面积的倍，求弦长.。
2019-2020学年全国百强名校高二下学期领军考试 数学(文)
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＋2∈A}，则A ∩B ＝A.{1，2}B.{0，l}C.{0，1，2}D.{－1，0，1，2，3，4}2.设复数z ＝(4＋i)(3－5i)，则复数z 的虚部为A.17B.－17C.23D.－233.设14a log 1.1=，141b log 5=，c ＝(14)0.1，则 A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c4.设α是第三象限角，且2sin cos sin 2cos αααα+-＝7，那么sin(α＋6π)＝B.5.已知向量a 是单位向量，|b|＝3，|a －b|，则向量a ，b 的夹角大小为 A.6πB.4πC.3πD.23π 6.对于不同直线a ，b ，l 以及平面a ，B ，下列说法中正确的是A.如果a//α，a//β，则α//βB.如果a ⊥l ，b ⊥l ，则a//bC.如果a//α，b//β，则a//bD.如果a ⊥α，b ⊥α，则a//b7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.22B.62C.132D.2408.过双曲线C ：22221x y a b-=的左焦点F 3的直线，恰好与圆x 2＋y 2＝a 2相切，C 的右顶点为A ，且|AF|＝23，则双曲线C 的标准方程为 A.2213y x -= B.2213x y -= C.2214y x -= D.2214x y -= 9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若c ＋2b ＝3a ，2sinC ＝3sinA ，则cosB ＝ A.13B.23C.4348D.54810.在“新消费”模式的背景下，外卖员越来越多.现调研某城市外卖员的工资收入情况，对该行业20个外卖员人均年收入y(千元)与平均每天的工作时间x(小时)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为y ＝10x ＋10，若某外卖员年收入约为9万元，则他平均每天工作A.7小时B.8小时C.9小时D.10小时11.余数，数学用语。
【答案】领军百校联考6月高二考试-答案
2019—2020学年下学期全国百强名校“领军考试”高二历史参考答案1~5BADBD6~10ACACD11~15ACCDB16~20DABBA21~25DBBCC26.【答案】（1）标准：孝廉；（2分）自下而上举荐，由朝廷授官。
（2分）（2）九品中正制。
（2分）门第（或者是出身）。
（2分）（3）打破了隋唐以来的门阀观念，扩大了官吏的人才来源，提高了官员的素质，扩大了统治基础；将选官权力集中到中央政府，大大加强了中央集权。
（4分）27.【答案】（1）为德国日后的分裂埋下了隐患，加速了德国的分裂；打破了德国经济原有内部交流；逐渐成为美苏对峙的主要阵地；一定程度上复兴了西德经济。
（4分）（2）欧洲一体化的实现；“冷战”中美国实行“收缩”政策；基于美国国家利益的现实需要；政治多极化趋势的增强；共同对抗社会主义阵营的需要。
（4分）（3）苏东剧变、苏联解体后，苏美对抗两极格局终结。
美国急于构建和加强单极霸权体系，世界格局呈现出“单极化”与“多极化”的较量。
在现阶段，一方面，“多极化”是时代发展大趋势；另一方面，“单极化”也有可能进一步加强。
因此，国际格局中的较量将会十分激烈。
这一较量是长期的，也可能是曲折的。
（3分，言之有理，即可得分）28.【答案】观点：抗日战争的胜利是中华民族的胜利、中国各阶级各阶层民众的胜利（2分）论证：随着中日民族矛盾上升为中国社会的主要矛盾，国共两党摒弃前嫌，建立抗日民族统一战线。
（3分）国民党在正面战场抗战，迟滞了日本的侵华进程，中国共产党实行人民抗战路线，建立抗日根据地，成立抗日民主政权，在抗日战争相持阶段和反攻阶段，起到中流砥柱的作用。
（3分）在抗战过程中，各民族、各阶级各阶层、各党派、各军事集团和广大民众，都出了力，作出了贡献。
（3分）这个胜利是全国人民的光荣，抗战胜利的历史是全国各族人民共同创造的。
（1分）29.【答案】（1）把驿站交给蒙古军队统一管理，保障驿站道路畅通；派专人负责驿站事务，明确职责；规定驿站所需费用由乌斯藏各万户供应。
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某机构为调查我国公民对骑行的喜爱态度，随机选了某城市某小区的100位居民调查，调查结果统计如表：
喜爱
不喜爱
合计
年龄大于35岁
30
年龄不大于35岁
44
52
合计
100
（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；
（2）判断能否有犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为是否喜爱骑行与年龄有关？
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号
1
2
3
4
5
6
7年平均工资（单位：元）293336
44
48
52
59
（1）求 关于 的线性回归方程，并预测该公司2021年（年份代号记为9）的年平均工资；
（2）现从2021年至2021年这6年中随机抽取2年，求它们的年平均工资相差超过10万元的概率.
A．1B．4C．6D．5
10．红心脐橙又名卡拉卡拉红肉脐橙.为“948”项目引进品种.该品种果肉粉红色至红色，色泽均匀，有特殊香味，品质优、商品性好，果实近圆形、闭脐，平均果重200克左右，座果率高、投产早、极耐储藏，冷库储藏期达4个月以上.该品种作为新特品种极具推广价值.据统计，红心脐橙的重量（单位：克）服从正态分布 ，则重量在（190，220]内的概率为（）附：若 ，则 ， .
16．若函数 在区间 内有且仅有1个极值点，则实数 的取值范围为______.
17．直线 （ 为参数），点 在椭圆 上运动，则椭圆上点 到直线 的最大距离为______.
18．对任意实数 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是______.
三、解答题
19．请用综合法或分析法、反证法证明：
（1）如果 ， ，则 ；
3．函数 的图象在点 处的切线的方程为（）
A． B．
C． D．
4．甲进行3次投篮训练，甲每次投中目标的概率为 ，则甲恰投中目标2次的概率为（）
A． B． C． D．
5．已知多项式 满足 ，则 =（）
A．4B．5C．6D．9
6．2021年新型冠状病毒肺炎疫情期间，小张常看的8个电视频道中有4个频道在直播疫情新闻.若小张这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在直播疫情新闻，则不换台，否则就换台，那么，小张所看到的第四个电视台恰好在直播疫情新闻的不同情况有（）
参考公式：回归方程是 ，其中 ， .
23．已知函数 .
（1）讨论函数 的极值；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
24．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
附： ，其中 .
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值.
22．近年来， 行业的发展日趋迅猛，无论是 行业发达的西方国家，还是 行业正处于上升期的发展中国家， 产业的年产值均是成倍增长.拿地处我国西部的贵州省来说，贵阳和遵义两个动漫产业园的相继落成，产值高达数千万元，带动相关产业发展潜力巨大. 行业发展的如此迅猛，吸引了众多人才的加入，某 科技公司2021年至2021年的年平均工资 关于年份代号 的统计数据如表（已知该公司的年平均工资与年份代号线性相关）：
A．（0，2）B．（2，0）C．（1，1）D．（－1，－1）
13． 的解集为（）
A．（－∞，－4]B．[－4，+∞）C．（－∞，－4]∪[0，+∞）D．[0，+∞）
二、填空题
14． 的展开式中 项的系数为______.
15．房产经理将四套房源（一套两居室，一套三居室，一套四居室，一套五居室）分别写在四张卡纸上，安排甲、乙、丙、丁四位经纪人各抽取一套进行推销.当他们被问到谁推销四居室时，甲说：“我抽到四居室且丙抽到的是五居室”，乙说：“我喜欢两居室，且刚好抽到”，丙说：“丁抽到的不是三居室”，丁说：“我抽到的是三居室”.事实证明，这四人中只有一人说的是假话，那么抽到四居室的是______.
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期数学（理科）（6月）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数 ，则复数 的虚部为（）
A．17B．－17C．23D．－23
2． =（）
A． B． C． D．
A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544
11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有 个红球和 个篮球且 ，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中，放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ，则下列结论错误的是（）
A． B．
C． D．
12．在极坐标系中，直线 和圆 交于 ， 两点，则 的中点坐标为（）
（2）若 ， ， 为正数且 ，求证： .
20．骑行有很多好处：
1.习惯性的单车运动，更能扩大你的心脏.
2.单车是需要大量氧气的运动.
3.单车运动同时也能防止高血压，有时比药物更有效.还能防止发胖、血管硬化，并使骨骼强硬.
4.自行车是减肥的工具.
5.单车运动，不只可以减肥，还使你的身段更为匀称迷人.
6.事实上因为踩单车压缩血管，使得血液循环加速，大脑摄入更多的氧气，因此你吸进了更多的新鲜空气.
A．16种B．24种C．48种D．96种
7．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值 ，这可以通过方程 确定出来 ，类比上述结论可得 的值为（）
A．1B．－3C．－3或1D．－1或3
8．已知盒中装有大小形状完全相同的2个红球、4个白球、6个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率为（）
A． B． C． D．
9．余数，数学用语.在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况.当不能整除时，就产生余数，取余数运算： （ 不为0）表示整数 除以整数 所得余数为 ，如7÷3=2 1；已知 ， ， ， ， ，按照这样的规律， =（）