应用归结原理例-2014
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归结原理
置换(substitution)
定义: 置换是一个形如{t1/v1,…, tn/vn}的有 限集，其中每个vi是变量，ti是不同于vi的项 （常量、变量或函数）(vi≠ti)。当i≠j时， vi≠vj。
无元素组成的置换称为空置换，记为ε；
例子：
{a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换; {x/x}, {y/f(x)}不是置换;
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q} P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q Q (1,2) ~Q (3,4) nil (5,6)
定义: 推演
给定一个子句集合S，从S到子句C的一个推演是 一个有限的子句序列C1 ,…, Ck，使得每个Ci 或是 S中的一个子句，或是C1到Ci-1中的某些子句的一 个归结式，而Ck=C。如果C=nil，则这个推演 （推导）称为S的一个证明，或反演。
推演树(deduction tree)
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q}
P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q
Q
~Q
nil
归结定理完备性
如果S不相容，则一定存在一个S的反演。
三. 置换与合一
例：
C1：P(x) ∨ Q(x) C2：~P(f(x)) ∨ R(x)
没有互补对; 例：
C1：P(y) ∨ Q(y) {y/x} C1：P(f(x)) ∨ Q(f(x)) {f(x)/y} C：R(x) ∨ Q(f(x))
子句集S是不可满足的，当且仅当存在一个 有限不可满足的S的基础实例集合S’。 Gilmore的方法(1960) Davis-Putnam: 提高效率
困难:
生成基础实例集合是指数复杂性的.
例子
例子
归结原理在不精确推理中的应用
归结原理在不精确推理中的应用归结原理在不精确推理中的应用归结原理是一种不精确推理方法，它是从一个特定的例子中推断出普遍规律的过程。
归结原理被用来推断一个被观察到的事实，结合另一个事实，从而推导出一个更大的结论。
在不精确推理中，归结原理的应用是比较常见的，它可以被用来解决许多不同的问题，但是在某些情况下，它可能会造成错误的结论。
因此，在使用归结原理之前，我们需要谨慎地考虑每一个细节，以免结果出现偏差。
在不精确推理中，归结原理的最常见的应用之一就是类比推理。
类比推理是根据一个事物的特性来推断另一个事物的特性。
比如，如果我们知道某种动物有某种性质，我们就可以推断另一种动物也具有这种性质。
这种推理过程是基于一般化的思想，即一个特定的例子可以被推广到更广泛的情况。
另一个典型的应用是实例归结，它是一种推断过程，是根据一个特定的例子来推断一般情况。
比如，如果我们知道某个个体有某种特征，我们就可以推断出这个类别的所有个体都具有这种特征。
实例归结是一种建立普遍规律的有效方法，它可以用来推断某种现象的一般规律，从而使得研究人员能够更好地理解这种现象。
归结原理也可以用于反悔推理。
反悔推理是一种从否定的结论中推出正确的结论的推理方法。
比如，如果某个现象没有发生，那么我们就可以推断出另一种可能性，即另一种现象可能发生了。
这种推理方法对于解决很多棘手问题非常有用，可以帮助研究者从一个否定的结论中推出正确结论。
归结原理也可以用于一般化推理，它是一种从特定的事例中推断出一般规律的推理方法。
比如，如果我们知道一个特定的事件会导致某种结果，那么我们就可以推断出所有类似的事件都会导致相同的结果。
这种推理方法可以用来推断一般结论，从而更好地理解某种现象的规律性。
归结原理在不精确推理中的应用也有一些局限性，比如它不能准确地推断出一般情况，而且它也不能准确地推断出一个特定的情况。
因此，在使用归结原理之前，我们需要仔细思考每一个细节，确保结果是准确的。
归结原理定义
归结原理定义
《归结原理定义》
嘿，今天咱来唠唠归结原理。
归结原理啊，就好像是解决问题的一把神奇钥匙。
我给你讲个事儿啊，就前几天，我收拾房间，那衣服扔得满床都是，我就想把它们都整理好放衣柜里。
这就好比一个复杂的问题摆在我面前。
我先把上衣挑出来，这就像是归结原理里把相关的元素归结到一起。
然后我再把裤子放一堆，这又是一次归结。
接着我把袜子单独放，这也是一种归结呀。
通过这样一次次的归结，我就把原本混乱的局面慢慢变得有条理了。
归结原理就是这样，把复杂的东西一点点归拢、分类，让我们能更清楚地看到问题的本质，找到解决的办法。
就像我收拾衣服，通过归结，最后房间变得整洁了，问题也解决啦！所以啊，归结原理其实就在我们生活中无处不在呢，嘿嘿。
你看，这就是我理解的归结原理啦，简单吧，有趣吧！希望你也能像我收拾衣服一样，用归结原理把生活中的各种难题都搞定哟！。
归结原理证明
归结原理证明归结原理是一种常用的证明方法，它在数学、逻辑学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
归结原理的基本思想是通过逻辑推理和化简，将待证命题归结到一个已知为真的命题上，从而证明待证命题的真假。
在本文中，我们将通过详细的讲解和实例分析，来阐述归结原理的证明方法及其应用。
首先，我们来介绍一下归结原理的基本概念。
归结原理是一种基于逻辑推理的证明方法，它主要包括两个步骤，化简和归结。
在化简步骤中，我们需要将待证命题通过逻辑等价变换，化简为一系列子句的合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF），这样可以将待证命题转化为一系列逻辑子句的合取形式，方便后续的推理。
在归结步骤中，我们需要利用已知为真的命题和待证命题的否定形式，通过归结规则进行逻辑推理，最终得到一个空子句，从而证明待证命题的真假。
接下来，我们通过一个具体的实例来说明归结原理的证明过程。
假设我们需要证明如下命题，对于任意实数x，如果x>0，则x^2>0。
首先，我们将待证命题化简为逻辑子句的合取范式，¬(x>0)∨(x^2>0)。
然后，我们利用待证命题的否定形式¬(x^2>0)∧(x>0)，结合已知为真的命题¬(x^2>0)，通过归结规则得到空子句，从而证明了待证命题的真假。
通过上面的实例分析，我们可以看到归结原理的证明过程相对简洁明了，而且在实际应用中具有较强的普适性和有效性。
在数学领域，归结原理常常用于证明命题的等价变换和逻辑推理；在逻辑学领域，归结原理常常用于推理规则的形式化描述和验证；在计算机科学领域，归结原理常常用于逻辑推理引擎和自动证明系统的设计与实现。
总之，归结原理作为一种重要的证明方法，在数学、逻辑学和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
通过对归结原理的理论基础和实际应用进行深入的研究和探讨，有助于提高我们的逻辑思维能力和问题解决能力，也有助于推动相关领域的理论研究和技术发展。
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
2014-4-9
18
华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
2014-4-9
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
应用归结原理例讲课教学文案
练习：“快乐学生”问题 假设：任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的；
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x,prize):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 6/19L/20u20cky(x):x幸运。
（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
12
6/19/2020
第二步：把问题用谓词公式表示出来， 并将其否定与谓词ANSWER作析取。
设Peter的父亲是u，则有：Father(u,Peter)。 将其否定与ANSWER作析取，得：
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6/19/2020
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤：
（1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词ANSWER构成析取式。谓词ANSWER是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
(9)
由(6)、(8)
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任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x,prize):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 6/19L/20u20cky(x):x幸运。
（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
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第二步：把问题用谓词公式表示出来， 并将其否定与谓词ANSWER作析取。
设Peter的父亲是u，则有：Father(u,Peter)。 将其否定与ANSWER作析取，得：
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（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤：
（1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词ANSWER构成析取式。谓词ANSWER是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
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由(6)、(8)
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人工智能自动推理(第3部分 归结原理及其应用)
应的所有变量，并且去掉第一个存在量词而得出 的公式,(k=1,…,m),显然 S Gm。与上面的证明相似， 可以证明 Gk1 是不可满足的，当且仅当 Gk 是不可 满足的(k=1,…,m)。所以可以断定， G 是不可满 足的，当且仅当S 是不可满足的。
例3.6 G (x)P(x)的SKOLEM标准形与 G并不是等值 的。
（1）C1: P R,C2 :~ P Q
子句C1中的文字P和子句 C2中~ P 的文字是互补的。 由 C1和 C2 中分别删除 P和~ P,并且构造两个子句 的 其 余 部 分R 和 Q的 析 取 式 ， 得 出 归 结 式 为 RQ 。
这两个被归结的子句可以写成：~ R P, P Q,根据 假言三段论，可以推出~ R Q,它等价于 R Q 。 因此可以知道假言三段论是归结的一个特例。
真,只要在论域D中能找到一个个体x 0使 P( x0)为真。而
G1 =P(a) 是 从 论 域 中 选 定 一 个 个 体 a ， 这 样 不 能 保 证 P(a)为真。
例3.7 G (x)(y)P(x, y)
G1 (x)P(x, f (x))
考虑G 与G1 的逻辑关系。 仍在论域D={1,2}上讨论。便有
子句型
Clause form
归结证明过程是一种反驳程序，即：不是证明一 个公式是有效的(valid)，而是证明公式之非是不 可 满 足 的 (unsatisfiable)。 这 完 全 是 为 了 方 便 ， 并且不失一般性。我们知道，归结推理规则所应 用的对象是命题或谓词合式公式的一种特殊的形 式，称为子句。因此在进行归结之前需要把合式 公式化为子句式。
很F推1∧理显F方然2∧法F…1就∧∧F是F2∧从n∧…F～1∧∧BFF是n2∧矛…盾G 是∧(永F重n∧假言～)式式B等出。价归发
例3.6 G (x)P(x)的SKOLEM标准形与 G并不是等值 的。
（1）C1: P R,C2 :~ P Q
子句C1中的文字P和子句 C2中~ P 的文字是互补的。 由 C1和 C2 中分别删除 P和~ P,并且构造两个子句 的 其 余 部 分R 和 Q的 析 取 式 ， 得 出 归 结 式 为 RQ 。
这两个被归结的子句可以写成：~ R P, P Q,根据 假言三段论，可以推出~ R Q,它等价于 R Q 。 因此可以知道假言三段论是归结的一个特例。
真,只要在论域D中能找到一个个体x 0使 P( x0)为真。而
G1 =P(a) 是 从 论 域 中 选 定 一 个 个 体 a ， 这 样 不 能 保 证 P(a)为真。
例3.7 G (x)(y)P(x, y)
G1 (x)P(x, f (x))
考虑G 与G1 的逻辑关系。 仍在论域D={1,2}上讨论。便有
子句型
Clause form
归结证明过程是一种反驳程序，即：不是证明一 个公式是有效的(valid)，而是证明公式之非是不 可 满 足 的 (unsatisfiable)。 这 完 全 是 为 了 方 便 ， 并且不失一般性。我们知道，归结推理规则所应 用的对象是命题或谓词合式公式的一种特殊的形 式，称为子句。因此在进行归结之前需要把合式 公式化为子句式。
很F推1∧理显F方然2∧法F…1就∧∧F是F2∧从n∧…F～1∧∧BFF是n2∧矛…盾G 是∧(永F重n∧假言～)式式B等出。价归发
应用归结原理例-2014
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7/9/2014
利用归结原理求取问题答案-习题4
破案问题：在一栋房子里发生了一件神秘的谋杀 案，现在可以肯定以下几点事实： (1)在这栋房子里仅住有A,B,C三人； (2)是住在这栋房子里的人杀了A； (3)谋杀者非常恨受害者A； (4)A所恨的人，C一定不恨； (5)除了B以外，A恨所有的人； (6)B恨所有不比A富有的人；
5
7/9/2014
应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以2是整数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 定义谓词： N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零; E(x)：x是偶数; O(x)：x是奇数。 定义函数f(x)：x除以2。
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7/9/2014
利用归结原理求取问题答案-习题3
练习：某记者到一个孤岛上采访，遇到了一个难题，即岛上有许 多人说假话，因而难以保证新闻报道的正确性。不过有一点她是 清楚的，这个岛上的人有一特点，说假话的人从来不说真话，说 真话的人也从来不说假话。有一次，记者遇到了孤岛上的三个人， 为了弄清楚谁说真话，谁说假话，她向三个人中的每一个都提了 同样的问题，即“谁是说谎者？”结果，a 回答：“b和c都是说 谎者”；b回答：“a和c都是说谎者”；c回答：“a和b至少有 一个是说谎者”。试问记者如何才能从这些回答中理出头绪。 定义谓词： T(x):x说真话。
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7/9/2014
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤： （1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词 ANSWER 构成析取式。谓词 ANSWER 是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
应用归结原理例-讲课
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应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活” 练习 激动人心的生活”问题 激动人心的生活 假设： 假设： 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 定义谓词： 定义谓词： Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； 贫穷； 聪明； 快乐； 贫穷 聪明 快乐 Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。 看书； 过着激动人心的生活。 看书 过着激动人心的生活
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12/19/2011
应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：设有下列知识： 练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； ：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； ：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以 是整数。 是整数。 ：偶数除以2是整数 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 定义谓词： 定义谓词： N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零 是自然数； 是整数； 大于等于零; ： 是自然数 ： 是整数 大于等于零 E(x)：x是偶数 是偶数; O(x)：x是奇数。 是奇数。 ： 是偶数 ： 是奇数 定义函数f(x)：x除以 。 除以2。 定义函数 ： 除以
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12/19/2011
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤： 利用归结原理求取问题答案的步骤： （1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， ）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S 设该子句集的名字为 1。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 并 ）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 与一谓词ANSWER构成析取式 。 谓词 构成析取式。 与一谓词 构成析取式 谓词ANSWER是一个专为求 是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 解问题而设置的谓词 ，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 （3）把（2）中的析取式化为子句集，并把该子句集与 1合并构成 ） ）中的析取式化为子句集，并把该子句集与S 子句集S。 子句集 。
第二部分 用归结原理求解问题
~ p∨ ~ q ∨ r
这一步归结直观上看, 是r 与~
~r p
~ p∨ ~ q
r 不能同时成立, p∨ ~ q 成立. ~q ~t
作者 朱福喜 朱三元
所以只能是 ~
~ t∨q t
□ 空子句
2.2 用谓词演算的归结求解问题
作者 朱福喜 朱三元
2.2.1 谓词演算的基本问题
由于谓词含有变量,化成子句形式和归结时要复杂 些.谓词演算逻辑归结需要解决如下3个问题: (1)将任一表达式(完形公式)变成标准子句形式. (2)如何确定那二个子句作为亲本子句. (3)如何挑选亲本子句才更有效. 对于上述问题中第(2)个可以通过合一算法来解决, 第(3)个问题可通过归结的控制策略来解决,第(1)个 问题则通过下面的2.2.2节来完成.
作者 朱福喜 朱三元
6.消去全称量词,因为全称量词的次序无关紧要, 只要简单消去就行了,这样公式变成无量词公式 了. 7 7.重复利用分配律,变公式为析取式的合取式.例 如用(A∨B) ∧(A∨C) 代替A∨(B∨C) . 8.消去"∧"连词,使公式成为若干子句.例如 (A∨B) ∧(A∨C)就成为两个子句. 9.将变量换名,使一个变量符不会出现在二个和二 个以上的子句中.该步骤称为变量分离标准化.
作者 朱福喜 朱三元
例2.3 考虑如下命题所组成的集合. 1. 马科斯是人. Man(Marcus) 2. 马科斯是庞贝人. Pompeian(Marcus) 3. 所有庞贝人都是罗马人. x Pompeian(x)→Roman(x) 4. 恺撒是一位统治者. Ruler(Caesar)
作者 朱福喜 朱三元
作者 朱福喜 朱三元
2.2.3 合一算法
如何解决谓词演算归结的第二个问题,即如何决定那二个 子句为亲本子句.例如,L(f(x))∨L(A)与~L(B)是否能够成 为母子句呢?问题的关键是,如何确定谓词演算中二个文 字为互补文字以及这两个文字的变量之间是否存在一定的 联系. 在谓词逻辑中,一个表达式的项是常量符号,变量符号或 函数式.表达式的例示(instance)是指在表达式中用项来 置换变量而得到特定的表达式,用来置换的项称为置换项. 在归结过程中,寻找项之间合适的变量置换使表达式一致 的过程,称为合一过程,简称合一(Unify).
这一步归结直观上看, 是r 与~
~r p
~ p∨ ~ q
r 不能同时成立, p∨ ~ q 成立. ~q ~t
作者 朱福喜 朱三元
所以只能是 ~
~ t∨q t
□ 空子句
2.2 用谓词演算的归结求解问题
作者 朱福喜 朱三元
2.2.1 谓词演算的基本问题
由于谓词含有变量,化成子句形式和归结时要复杂 些.谓词演算逻辑归结需要解决如下3个问题: (1)将任一表达式(完形公式)变成标准子句形式. (2)如何确定那二个子句作为亲本子句. (3)如何挑选亲本子句才更有效. 对于上述问题中第(2)个可以通过合一算法来解决, 第(3)个问题可通过归结的控制策略来解决,第(1)个 问题则通过下面的2.2.2节来完成.
作者 朱福喜 朱三元
6.消去全称量词,因为全称量词的次序无关紧要, 只要简单消去就行了,这样公式变成无量词公式 了. 7 7.重复利用分配律,变公式为析取式的合取式.例 如用(A∨B) ∧(A∨C) 代替A∨(B∨C) . 8.消去"∧"连词,使公式成为若干子句.例如 (A∨B) ∧(A∨C)就成为两个子句. 9.将变量换名,使一个变量符不会出现在二个和二 个以上的子句中.该步骤称为变量分离标准化.
作者 朱福喜 朱三元
例2.3 考虑如下命题所组成的集合. 1. 马科斯是人. Man(Marcus) 2. 马科斯是庞贝人. Pompeian(Marcus) 3. 所有庞贝人都是罗马人. x Pompeian(x)→Roman(x) 4. 恺撒是一位统治者. Ruler(Caesar)
作者 朱福喜 朱三元
作者 朱福喜 朱三元
2.2.3 合一算法
如何解决谓词演算归结的第二个问题,即如何决定那二个 子句为亲本子句.例如,L(f(x))∨L(A)与~L(B)是否能够成 为母子句呢?问题的关键是,如何确定谓词演算中二个文 字为互补文字以及这两个文字的变量之间是否存在一定的 联系. 在谓词逻辑中,一个表达式的项是常量符号,变量符号或 函数式.表达式的例示(instance)是指在表达式中用项来 置换变量而得到特定的表达式,用来置换的项称为置换项. 在归结过程中,寻找项之间合适的变量置换使表达式一致 的过程,称为合一过程,简称合一(Unify).
第四章 归结法原理
• • • •
x(R(x) Q(x))， x(R(x) Q(x))， R(b) Q(b) {R(b), Q(b)}
计算机学院
计算机学院
21 21
(4) 构造子句集S= SA∪SB∪SC (5) 构造以下反驳： • C1 = P(c) • C2 = R(x) S(c, x) • C3 = P(y) Q(z) S(y, z) • C4 = R(b), • C5 = Q(b) • C6= Q(z) S(c, z) C1, C3 ├res C6 计算机学院 • C7= S(c, b) C2, C4 ├res C7 • C8= Q(b) C6, C7 ├res C8 • C9= □ C5, C8 ├res □ 证毕。
归结子句不唯一
计算机学院 1Leabharlann 10反驳 定义：设S是子句集合，如果子句序列C1, …, Cn满足
如下条件，则称子句序列C1,…,Cn为子句集合S的一
个反驳。 (1) 对于每个1≤k<n， • CkS，或者 • Ck是Ci和Cj的归结子句，i<k，j<k。
(2) Cn是□。
计算机学院
计算机学院
计算机学院
计算机学院
5 5
定义
子句集：子句的有限集合称为子句集.
• 子句集{{P1,1, …, P1,m}, … , {Pn,1, …, Pn,m}}，
表示公式(P1,1 … P1,m) … (Pn,1 … Pn,m)的 闭包 • 子句集合{{P(x), Q(y)}, {P(c),计算机学院 Q(z)}}表示Skolem 范式xyz((P(x)Q(y)) (P(c) Q(z)))
• yz(P(y) R(z) L(y,z)) • {P(y) R(z) L(y,z)}
人工智能 一般搜索原理---归结原理
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例8 S={p∨q, ∼p∨q, p∨ ∼ q, ∼p∨∼q}
解:选顶子句C0= p∨q (1)p∨q 归结式: (2)∼p∨q (5) q (1)(2) (3) p∨∼q (6) p (3)(5) (4) ∼p∨∼q (7) ∼q (4)(6) (8) nil (6)(7)
第八讲一般搜索原理----归结原理
1.归结推理规则 设有两子句:c1=p∨c1’ c2= ~ p∨c2’ 从中消去互补对p和~ p,所得的新子句: R(c1, c2)= c1’ ∨ c2’ 称为子句c1,c2的归结式.
第八讲一般搜索原理----归结原理
例子: 假言推理:s={p, ~ p∨q} 归结式: q 合并推理 : s={p ∨q, ~ p∨q} 归结式: q 重言式: s={p ∨q, ~ p∨ ~ q} 归结式: p ∨ ~ p q∨~q 空子句: s={p, ~ p} 归结式: nil 三段式: s={~ p ∨q, ~ q∨r} 归结式: ~ p ∨r p→r
归结反演树
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
三.归结反演求解
从归结反演中求取对某个问题的解答称反演求解. 若把归结反演过程用一棵反演树表示,答案求取需要将 一棵根部有nil的反演树变换为在根部带有可用作答案 的某一个语句的一棵证明树. 步骤:
(1)把由目标公式的否定产生的每个子句添加到目标公式否定之否 定的子句中. (2)按照反演树,执行和以前相同的归结,直到在根部得到某个子句 为止. (3)用根部的子句作为一个回答语句.
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例2 如果无论John到哪里去,Fido也就去哪里,那 么如果John在school,Fido在school吗? 解: 前提公式集 ∀(x)[AT(John,x)→AT(Fido,x)] 化为子句:∼ AT(John,x) ∨ AT(Fido,x) AT(John,school) 目标公式∃(x)AT(Fido,x) 否定目标: ∼ AT(Fido,x)
(完整版)应用归结原理例-2014
应用归结原理的习题
1
4/14/2020
（一）应用归结原理进行定理证明
应用归结原理进行定理证明的步骤： 设要被证明的定理表示为： A1∧A2∧…∧An B
(1)首先否定结论B，并将否定后的公式～B与前提公式集组成如下形 式的谓词公式： G= A1∧A2∧…∧An∧～B
(2) 求谓词公式G的子句集S。 (3) 应用归结原理，证明子句集S的不可满足性。
6
4/14/2020
应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活”问题 假设：
所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。
定义谓词：
Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
(9)
由(6)、(8)
5
4/14/2020
应用归结原理进行定理证明-习题2
1
4/14/2020
（一）应用归结原理进行定理证明
应用归结原理进行定理证明的步骤： 设要被证明的定理表示为： A1∧A2∧…∧An B
(1)首先否定结论B，并将否定后的公式～B与前提公式集组成如下形 式的谓词公式： G= A1∧A2∧…∧An∧～B
(2) 求谓词公式G的子句集S。 (3) 应用归结原理，证明子句集S的不可满足性。
6
4/14/2020
应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活”问题 假设：
所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。
定义谓词：
Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
(9)
由(6)、(8)
5
4/14/2020
应用归结原理进行定理证明-习题2
消解(归结)原理讲解
如果将谓词公式G的Skolem标准型前面的全 称量词全部消去，并用逗号（，）代替合 取符号，便可得到谓词公式G的子句集。 例如在上面的例子中已求得谓词公式G的 Skolem标准型，因而G的子句集S为
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
数学分析中的归结原理及其应用
则
可用反证法推出 lim x→ x0
f (x) = A .
事实上,
倘若当 x → x0 时
f
不以 A 为极限,
则
存在 ε 0 > 0 , 对任何δ > 0 (无论多么小)总存在一点 x , 尽管 0 < x − x0 < δ , 但
有 f (x) − A ≥ ε0 .
现依次取 δ
=
δ
′,
δ′ 2
,
δ′ 3
f
(xn )
≠
A ，矛盾！
证明：(3)必要性 设 lim f (x) = A 对 ∀ε > 0, ∃M > 0 ，使得当 x > M 时，有 x→∞
f (x) − A < ε ，另一方面，设 xn → ∞(n → ∞) ，则对上述 M > 0, ∃N > 0 ，使得当
n > N 时，必有 x0
> M ，从而有
lim
x → x0
f
(x)
=
A
⇔
对任何以
x0
为极限的数列 {xn} ，
xn
≠
x0
，总有
lim
x→∞
f
(xn )
=
A
3
2）从归结原理可以得到证明 lim f (x) 不存在的方法： x → x0
(1)
∃{xn },
xn
→
x0 ,
n → ∞ ，使 lim n→∞
f (xn ) 不存在；
(2)
∃{xn '}, {xn "} xn '→ x0 ， xn "→ x0 , n → ∞ .
f
(x0 )
归结原理
2.6 利用归结原理求取问题的答案
求解答案的基本思想和定理证明类似。其求解步骤如下： （1）把前提条件用谓词公式表示出来，并且化为相应 的子句集S。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，其中含 有欲求解的变元。 （3）另设一个特殊的一元谓词ANSWER，其变元和求 解问题公式中的变元相同。 （4）把求解公式和ANSWER谓词“或”起来构成析取 式，把此析取式化成子句集后并入条件子句集S中形成新子 句集S'。 （5）对S'用归结原理进行归结。 （6）若归结的结果是ANSWER，则其已实例化的变元 就是问题的答案。
o
o
定义2-32 子句C1和C2的归结式是下列 定义 二元归结式之一： （1）C1与C2的二元归结式 （2）C1与C2的因子的二元归结式 （3）C1的因子与C2的二元归结式 （4）C1的因子与C2的因子的二元归结式
例如，有两个子句 C1=P(x)∨P(f(y))∨R(g(y)) C2= ～ P(f(g(a)))∨Q(b)) （1）子句C1中有可合一的文字 {P(x) ,P(f(y))} ， 它们的最一般合一是σ1={f(y)/x} C1的因子是C1σ1 =P(f(y))∨R(g(y)) , C （2）又由于P(f(y))和～ P(f(g(a)))是可合一的文字，它们的最 一般合一是θ={g(a)/y} 所以C1σ1和C2有二元归结式R(g(g(a))) ∨ Q(b) 它就是C1和C2的归结式。
程序常用的方法是水平浸透法，它的做法如下： （a）把S0中的子句排序； （b）在S0中顺序地考虑两个子句的归结式：即第一个子句和其 后各子句归结，然后第二个子句和其后各子句归结，第三个子 句再和其后各子句归结，…，直至倒数第二个子句和最后一个 子句归结，得到子句集S1： S1={C12 | C1∈S0，C2∈S0} 检查S1中是否有空子句，如有空子句，则归结结束，否则继 续步骤（c）； （c）将S1并入S0得S0∪S1。再顺序地考虑子句集S0∪S1和S1 的归结式，即一个子句来自子句集S0∪S1，另一个子句来自 S1，得到子句集S2： S2={C12 | C1∈S0∨S1，C2∈S1} 检查S2中是否有空子句，如无空子句则还要重复上述过程…
归结原理在不精确推理中的应用
归结原理在不精确推理中的应用
李凡
【期刊名称】《华中理工大学学报》
【年(卷),期】1992(020)001
【摘要】归结原理是定理机器证明中的一种基本技术.在知识工程的研究中,需要处理不确定和不精确的知识,本文讨论了采用可能性理论表示不确定命题和谓词的方法,以及如何应用归结原理来进行不精确的推理.
【总页数】6页(P27-32)
【作者】李凡
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TP11
【相关文献】
1.归结原理及其在数学定理证明中的应用 [J], 杨球;孙宝林
2.Bayes公式在不精确推理中的应用 [J], 李凡
3.归结原理及其应用 [J], 肖启莉;肖启敏
4.浅谈归结原理的应用 [J], 李振美
5.格值一阶逻辑系统LF(X)中带广义量词的α-归结原理 [J], 周平;姜明;孙西芃因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。