斐波那契数列的来历
斐波那契数列与帕斯卡三角形讲解
小兔子 對數
1
0
1
1
23
5
8 13 21 34 55
89
大兔子 對數
0
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144
兔子總 對數
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144 233
一年後兔子的總數為 233 對
3.斐波那契數列
• 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、 5、8、13、21、……
要正确创建斐波纳契通道必须
记住的是在当趋势线上升，基
本线限制住了通道最高点，
当趋势线向下，基本线限制
住了通道的最低点。
• （5）斐波纳契时间周期线
• 斐波纳契时间周期线是以斐波纳契的时间间隔1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34等画出的许多垂直线。假定主要的 价格变化期望在这些线附近。 运用确定的单位时间间隔长 度的两点来创建此工具。根 据斐波纳契数列，全部其他 的线是在此单位间隔的基础 上确定的。
展开(1+a)n的代数式，n为正整数，其中 各项的系数必定与帕斯卡三角形中的数列 相同．
（5）帕斯卡三角形中的数字集
• 在帕斯卡三角形中沿 着对角线，可以找到各 种数字集．同时，对角 线的数字和，也会等于 下一条对角线中的下一 个数字．例如： 1+2+3+4+5=15 1+3+6+10=20 1+4+10=15
• （2）斐波那契弧线
斐波纳契弧线，第一，此趋势线以二个端点为准而画出， 例如，最低点反向到最高点线上的两个点。三条弧线均以 第二个点为中心画出，并在趋势线的斐波纳契水平： 38.2%， 50%和61.8%交叉。
斐波那契数列研究
斐波那契数列研究一、斐波那契生平斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年, 27岁的他将其所学写进计算之书。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契，其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》。
《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。
现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。
《几何实践》则着重叙述希腊几何与三角术。
斐波那契其他数学著作还有《平方数书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，斐波那契论证其根不能用尺规作出，他还未加说明地给出了该方程的近似解。
微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。
微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。
在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。
二、《算盘原理》《算盘原理》中的“算盘”并非仅仅指罗马算盘或某种计算工具。
斐波那契数列
斐波那契数列说到斐波那契数列，很多人可能会皱皱眉，觉得这是什么复杂的数学概念。
其实，它可比那复杂多了。
斐波那契数列就像是一场魔法表演，简单又迷人。
每个数字都跟前两个数字有关，仿佛在诉说着一个个动人的故事。
一、斐波那契的起源1.1 古老的传说故事要追溯到13世纪。
意大利的数学家斐波那契，在他的书《算术之书》中首次提到了这个数列。
想象一下，那时的世界没有计算器，没有电脑。
人们如何计算？斐波那契通过简单的兔子繁殖问题，展示了这个数列的奇妙。
兔子，真是个有趣的起点。
1.2 数列的构成斐波那契数列的前两项是0和1，后面的每一项都是前两项的和。
0、1、1、2、3、5、8、13……这几个数字一看就有趣。
好像在告诉我们，生命的每一步都与过去紧密相连。
这种连锁反应，就像我们生活中的每一个选择。
每一次决定，都在塑造未来。
二、斐波那契数列的美2.1 自然中的奇迹走在大自然中，处处都能看到斐波那契数列的影子。
想想那些花瓣，很多花的花瓣数目都是斐波那契数。
比如，百合花有3片花瓣，菊花有21片。
还有那些螺旋形的贝壳，完美地展示了这个数列的优雅。
大自然总是用这种神秘的方式告诉我们：数学就在我们身边。
2.2 艺术中的应用不仅仅是自然，斐波那契数列在艺术中也大放异彩。
达芬奇的画作，古希腊的建筑，甚至现代的摄影，都能找到它的身影。
很多艺术家把这个数列作为构图的原则，创造出和谐美的作品。
那种比例，真是美得让人心醉。
看着这些作品，心中不禁感慨，原来美也是有规律可循的。
2.3 音乐的节奏音乐也是斐波那契数列的一处奇妙体现。
很多作曲家在创作时，会不自觉地用上这个数列的比例。
比如，贝多芬的某些作品，乐段的长度正好是斐波那契数。
这种节奏感，让音乐听起来更加动人，仿佛是在和我们的心跳共鸣。
三、斐波那契数列的实际应用3.1 计算机科学的魔法在计算机科学中，斐波那契数列也起到了关键的作用。
很多算法，尤其是在搜索和排序中，都会用到它。
它的高效性和简单性，使得程序员们得以更快速地解决问题。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
费波那契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
斐波拉契数列
斐波拉契数列13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契;他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子?”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。
于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。
大家都叫它“斐波拉契数列”，又称“兔子数列”。
这个数列有许多奇特的的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。
人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。
斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。
直到十九世纪初才有人详加研究，1960年左右，许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感到兴趣，不但成立了斐氏学会，还创办了相关刊物，其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加。
斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题，它有一个递推关系，f(1)=1f(2)=1f(n)=f(n-1)f(n-2),其中n>=2{f(n)}即为斐波拉契数列。
斐波拉契数列的公式它的通项公式为:{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5 (注：√5表示根号5)斐波拉契数列的某些性质■1)，f(n)f(n)-f(n1)f(n-1)=(-1)^n;■2),f(1)f(2)f(3)……f(n)=f(n2)-1■3),arctan[1/f(2n1)]=arctan[1/f(2n2)]arctan[1/f( 2n3)]比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……(后一项与前一项之比1.6180339887……)还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
斐波那契数列
斐波那契数列百科名片“斐波那契数列”是意大利数学家列昂纳多·斐波那契首先研究的一种递归数列，它的每一项都等于前两项之和。
此数列的前几项为1，1，2，3，5等等。
在生物数学中，许多生物现象都会呈现出斐波那契数列的规律。
斐波那契数列相邻两项的比值趋近于黄金分割数。
此外，斐波那契数也以密码的方式出现在诸如《达芬奇密码》的影视书籍中。
目录[隐藏]【奇妙的属性】【影视链接】【相关的数学问题】【斐波那契数列别名】斐波那契数列公式的推导【C语言程序】【C#语言程序】【Java语言程序】【奇妙的属性】【影视链接】【相关的数学问题】【斐波那契数列别名】斐波那契数列公式的推导【C语言程序】【C#语言程序】【Java语言程序】∙【JavaScript语言程序】∙【Pascal语言程序】∙【PL/SQL程序】∙【数列与矩阵】∙【数列值的另一种求法】∙【数列的前若干项】∙【斐波那契数列的应用】“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leo nardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
[编辑本段]【奇妙的属性】随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.61803 39887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1。
斐波那契的原理
斐波那契的原理斐波那契数列是一个非常经典的数列，其原理可以用数学方法来解释。
斐波那契数列的前两个数是0 和1，后续的每个数都是前两个数之和。
例如，斐波那契数列的前几个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...这个数列的神奇之处在于，它包含了许多有趣的数学性质和规律。
例如，从第三个数开始，每个数都等于前两个数之和；前两个数的比例逐渐趋近于黄金分割比例（约为0.618）等等。
斐波那契数列在自然界和人类社会中也有许多应用。
例如，在植物学中，许多植物的花瓣数量、叶子排列方式等都遵循斐波那契数列的规律；在金融学中，斐波那契数列也被用于预测股票价格走势等。
总之，斐波那契数列是一个非常有趣和神秘的数列，其原理涉及到数学、自然界和人类社会等多个领域。
对于对数学和自然科学感兴趣的人来说，研究斐波那契数列的原理和应用是一件非常有意义的事情。
在数学领域，斐波那契数列与许多其他数学概念和理论有着紧密的联系。
例如，它与黄金分割、复数、矩阵等都有深刻的数学联系。
黄金分割是指将一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
这个比例约为0.618，被广泛认为是一种美学上的理想比例。
斐波那契数列中相邻两个数的比值逐渐趋近于黄金分割，这也是斐波那契数列的一个重要数学性质。
此外，斐波那契数列还可以通过复数的形式进行表示和计算。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用平面上的点来表示。
通过将斐波那契数列中的每个数表示为复数形式，可以发现它们在复平面上形成了一个螺旋形状，这也为斐波那契数列的研究提供了新的视角。
矩阵是数学中的一个重要概念，用于表示线性变换和线性方程组等。
斐波那契数列也可以通过矩阵乘法的方式进行计算和表示。
通过建立斐波那契矩阵，可以利用矩阵乘法的性质来快速计算出斐波那契数列的后续数值。
总之，斐波那契数列的原理涉及到数学的多个领域和概念，通过深入研究这些联系，可以更深入地理解斐波那契数列的本质和应用。
数学文化小故事
数学文化小故事在古老而神奇的数学领域，隐藏着许多令人惊叹和启发的小故事。
这些故事既展示了数学的美妙之处，又传承了世代间的智慧和技艺。
斐波那契的兔子在数学史上，斐波那契数列是一种著名的数列，起源于斐波那契（Fibonacci），一个意大利数学家。
斐波那契数列以0和1作为开始的两个数，之后的每一个数都是前两个数的和。
这个数列如下：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …斐波那契数列在自然界和艺术中都有广泛的应用。
例如，在植物的生长规律中可以看到斐波那契数列的身影；在艺术作品中，斐波那契数列被用来创造出优美的黄金分割比例。
数学之美数学作为一门学科，既实用又优美。
在古代，数学家们追求几何中各种规则和定理的简洁和完美；在当代科学中，数学被广泛用于建模和研究。
数学之美在于其严密的逻辑和概念的统一性，让人不禁感叹宇宙间存在的精妙规律。
圆周率之谜圆周率是一个无穷不循环小数，其小数点后的数字永远不会重复。
圆周率的确切值一直是数学家们追求的目标，然而迄今为止，我们只能用一个约等于3.14159的近似值来表示。
圆周率在数学和科学中有着重要的应用，例如在几何学、物理学和工程学中都需要用到圆周率。
圆周率的不规则性让人产生无限的遐想和思考，使人们对数学的奥秘充满好奇和探求的欲望。
数学的启蒙在古代，数学是一门非常神秘的学科，只有极少数人能够理解和掌握。
然而，随着科学技术的发展，数学逐渐被揭开了神秘的面纱，成为一种普及的学科。
现代社会的每个人都可以通过学习数学来提升自己的逻辑思维和问题解决能力。
数学文化的小故事正是我们从古人智慧和创造中汲取灵感和启发的源泉，让我们一起探讨数学的奥秘，感受数学的美妙之处。
在数学文化的广袤天地中，隐藏着无数有趣、充满智慧和启发的小故事，让我们一起感受数学之美，探索数学的深沉魅力吧！。
斐波那契数列的故事
斐波那契数列的故事∙评论：0∙浏览：77∙RSS：0文章类型：发表于：2011/10/13 18:49:25費波那西數列（Fibonacci Sequence），又译費波拿契數、斐波那契數列、費氏數列、黃金分割數列。
在数学上，费波那西数列是以递归的方法来定义：∙F0 = 0∙F1 = 1∙F n = F n - 1 + F n - 2用文字来说，就是费波那西数列由 0 和 1 开始，之后的费波那西系数就由之前的两数相加。
首几个费波那西系数是（OEISA000045）：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………特别指出：0不是第一项，而是第零项。
斐波那契数列的源起：根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长阔刚好为 1 和 2 的可行方法数目时，首先描述这个数列。
在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（又名费波那西），他描述兔子生长的数目时用上了这数列。
∙第一个月有一对刚诞生的兔子∙第二个月之后它们可以生育∙每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子∙兔子永不死去假设在 n 月有新生及可生育的兔子总共 a 对，n+1 月就总共有 b 对。
在 n+2 月必定总共有 a+b 对：因为在 n+2 月的时候，所有在 n 月就已存在的 a 对兔子皆已可以生育并诞下 a 对后代；同时在前一月(n+1月)之 b 对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。
斐波那契数列的表达式：为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。
高中的初等数学知识也能求出。
初等代数解法已知∙a1 = 1∙a2 = 1∙a n = a n− 1 + a n− 2首先构建等比数列设a n + αa n− 1 = β(a n− 1+ αa n− 2)化简得a n = (β−α)a n− 1 + αβa n− 2比较系数可得:不妨设β > 0,α > 0 解得：所以有a n + αa n− 1 = β(a n− 1+ αa n− 2)，即为等比数列。
斐波那契数列的趣味介绍
斐波那契数列的趣味介绍
斐波那契数列是许多数学家试图解答的自然现象。
它是以著名的数学家斐波那契在公元前一世纪所创造出来的。
斐波那契数列也被称为费布拉斯圆周率序列，它有着令人神往的特点，更是数学界的一大研究课题。
斐波那契数列以兔子繁殖为例而产生，假定有一对1岁的兔子，在每个月都会孕育一对小兔，假设不会有死亡的情况，那么经过第n个月后，一共就会有多少只兔子？
事实上，一共有1，1，2，3，5，8，13，21，34...这样的一系列数字，这就是著名的斐波那契数列。
可以发现，任意一个数字都等于其前两项之和，可以用如下伪码表示： f(1)=1, f(2)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2).
令人吃惊的是，在自然界中，看到许多生物的繁殖工作也属于斐波那契数列的范畴，比如几种物种的年龄结构、植物的芽孢分裂，甚至人口的统计、金融投资等也会隐隐具备斐波那契序列的特征。
斐波那契数列与不同领域有着紧密的关系，这其中蕴藏了很多有趣的现象，比如说，任何一个斐波那契数列的数字，都等于其前两项数字的总和，这其实就是有趣的金字塔方阵数学令人神奇的特征，再或者，斐波那契数字与黄金分割比，它是某个整数加1除以该整数的结果，正好是1.618的比率，可以发现前面的斐波那契数字与黄金分割比有着很密切的关系，这也就直观地体现了自然界蕴藏的美感和数学上封装的流畅。
斐波那契数列是数学界的一大课题，自然界中也蕴藏了不少它的痕迹。
它有着非常有趣的现象，涉及的领域也甚广，很多学者都在一直解答这一种现象，希望能够用唯一的数学理论拟合出它的惊人之处。
斐波那契数列的意义
斐波那契数列的意义
斐波那契数列又称作“弗雷德里克数列”，也称作“黄金分割数列”，它是一个关
于递归关系的数列，由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契于公元前1202年在《几何原本》一书中最先提出，斐波那契数列它关于自然现象有独特的表达能力，一直被广泛应用于计算机科学、生物学、数论等领域，扮演着非常重要的角色。
斐波那契数列是以如下递归关系开始的：
$$F_0=0，F_1=1,\quad \forall n\in \mathbb{N}, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$
特别说明：$\mathbb{N}$对应的是大于等于0的整数。
斐波那契数列的应用非常广泛。
常见的应用有计算某些有序的状态之间的状态权衡、生物学复杂性的分析、计算技术的使用等等。
除此之外，斐波那契数列还可用于求解阶乘问题：$$ n!=F_{n+1}$$
从工程角度上来说，斐波那契数列也可用于评估系统建模物理数据，及在单程序中优化搜索效率及限制系统开销。
从经济角度上来说，斐波那契数列应用于股票价格预测，并预测未来几个交易日的收益情况。
更深层次地来说，斐波那契数列更像是一个多元思考的系统模型，它可以用于生物学或心理学的研究，通过它的特殊性可以观察到多重空间和实现之间的关联，从而更深层次地探索并思考多元空间中的实现。
在艺术领域，斐波那契数列也可以用于作曲，比如著名的“斐波那契奏鸣曲”，它使用典型古典时期的5音程来完成，从而表现了斐波那契数列特有且又令人惊叹的形式构成。
总之，斐波那契数列得到了越来越多的应用，它是一个神奇而复杂的数字系统，表示着自然现象的特殊性，也是一个多元思考模型，可以让我们更深入地观察多维空间实现的联系。
斐波那契数列趣谈
斐波那契数列趣谈“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
奇妙的属性随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+16.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
斐波那契数列
斐波那契数列一、简介斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。
故斐波那契数列又称“兔子数列”。
斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。
这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。
按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。
二、性质如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。
那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。
令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。
则可得：F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)=q2(F n-2-pF n-3)=…=q n-2(F2-pF1)又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0(1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。
将它用求和公式求和可以得到：F n=q n−1[(pq)n−1]pq−1=p n−q np−q而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。
数学趣谈——神奇的斐波那契数列
数学趣谈——神奇的斐波那契数列问题来源：1202年，意大利数学家Leonardo Fibonacci提出了这样一个问题：在最佳条件下，一年里，一对兔子能繁殖多少对兔子？这个理论实验规定，母兔总是生下成对的兔宝宝，每对由一公一母组成。
两只新生的兔子被安置在一个有围栏的院子里，然后让像正常兔子一样繁殖。
长到一个月才能开始繁殖，所以第一个月只有一对兔子。
在第二个月月底，母兔产下两只兔子。
当第三个月到来时，原来的一对兔子又产了一对新生儿，而它们早期的后代则已经成年。
此时便留下了三对兔子，其中两对将在下个月再生两对兔子。
每个月的兔子对数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，这个数列被命名为斐波那契数列。
通项公式：很显然，这个数列的每一项都是正整数，可是通项公式是确实用无理数表示的。
特性：斐波那契数列有很多神奇的特性，其中有不少涉及到很多复杂的数学领域，我们仅就高中生容易理解的范围简单讨论一些：平方项：从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。
黄金分割：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……集合子集：斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
两倍项关系：f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)整除性：每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除……斐波那契螺旋线:也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。
斐波那契数列的奥秘
斐波那契数列的奥秘斐波那契数列是数学中一个非常有趣且神秘的数列，它的定义是从第三项开始，每一项都是前两项的和。
具体来说，斐波那契数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21……以此类推。
这个数列最早由意大利数学家斐波那契在13世纪提出，他在研究兔子繁殖问题时发现了这个数列的规律。
斐波那契数列在数学、自然科学、计算机科学等领域都有广泛的应用，其背后隐藏着许多奥秘。
斐波那契数列的奥秘之一是其独特的数学性质。
斐波那契数列的每一项都是前两项的和，这种递推关系可以用数学公式表示为Fn =Fn-1 + Fn-2。
这个公式可以用来计算任意一项的值，而不需要逐个计算前面的项。
斐波那契数列还有一个有趣的性质是，相邻两项的比值会趋近于黄金比例，即1.618。
这个比例在艺术、建筑等领域被广泛应用，被认为是一种美学上的完美比例。
斐波那契数列的奥秘之二是其在自然界中的广泛存在。
斐波那契数列可以在许多自然现象中找到，例如植物的叶子排列、花瓣的分布、螺旋壳的形状等等。
这种现象被称为斐波那契数列的自然应用。
斐波那契数列的自然应用可以帮助我们理解自然界中的规律，揭示大自然的奥秘。
斐波那契数列的奥秘之三是其在计算机科学中的重要性。
斐波那契数列可以用来解决许多计算问题，例如递归算法、动态规划等。
递归算法是一种将问题分解为子问题并逐步求解的方法，而斐波那契数列正是递归算法的经典案例。
动态规划是一种将问题分解为子问题并保存子问题的解，以避免重复计算的方法，而斐波那契数列也可以用来解释动态规划的原理。
因此，斐波那契数列在计算机科学中具有重要的应用价值。
斐波那契数列的奥秘还有许多未被揭示的部分，例如其在金融、音乐等领域的应用，以及与其他数学问题的关联等等。
斐波那契数列的研究不仅可以帮助我们更好地理解数学的美妙之处，还可以为我们解决实际问题提供启示。
因此，我们应该继续深入研究斐波那契数列，探索其中的奥秘，为人类的进步做出贡献。
总结起来，斐波那契数列是一个充满奥秘的数列，它具有独特的数学性质，广泛存在于自然界中，并在计算机科学中发挥重要作用。
晋江二中高二年段研究性课题《斐波那契数列》
晋江二中高二年段研究性课题《斐波那契数列》数学组林建彬1．斐波那契数列定义：斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
2.斐波那契数列由来：斐波那契数列，也叫兔子数列，黄金分割数列，它的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
3.身边的斐波那契数列（1）数学中的斐波那契数列【杨辉三角】将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……【台阶】有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
【抛硬币】一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？【质数数量】斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除，（2）自然界中斐波那契数列【树枝的生长】斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。
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斐波那契是意大利的数学家.他是一个商人的儿子.儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚,在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识,从而对数学产生了浓厚的兴趣.
长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识.回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版.
这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道"兔子数目"的问题是这样的:
一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子?
这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列".
你能把兔子的对数计算出来吗?
解:
可以这么推算:
第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子.
第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子.
第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子.
第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子.
第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子.
……
以此类推,可知:
每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和.
我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算起,每个月后他所拥有的兔子对数便是:
仔细观察两行数发现它们是很有规律的:
每行数,相邻的三项中,前两项的和便是第三项.
有趣的是:
雏菊花花蕊的蜗形小花,有21条向右转,有34条向左转,而21和34,恰是斐波那契数列中相邻的两项;松果树和菠萝表面的凸起,它们的排列也分别成5:8和8:13这样的比例,也是斐波契数列中相邻两项的比.
这个数列不仅在数学,生物学中,还在物理,化学中经常出现,而且它还具有很奇特的数学性质,真是令人叫绝!。