斐波那契数列与黄金分割的应用研究

斐波那契数列与黄金分割应用研究作者姓名院系6系学号摘要“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，由于其所具有的各种特殊属性，它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。

在数学领域以及自然界中随处可见，而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。

关键词：斐波那契，黄金分割，应用1 引言斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。

假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下：月份0 1 2 3 4 5 6 7 ⋯大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ⋯小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ⋯兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ⋯如果用F n 表示第n个月兔子的总对数，那么F n能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89⋯．这个数列显然有如下的递推关系：F n =F n-1 +F n-2 （n>1,n为正整数），F0 =0，F1 =1 (1)满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。

这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。

费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和( an =an-1 + an-2 )。

通项公式为:它的通项公式又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

值得一提的是，斐波那契数列有许多重要而有趣的应用。

例如，优选法中的分数法正是基于此数列；大自然中植物的叶序、菠萝中的鳞状花萼、蜜蜂进蜂房的方式数、艺术上的黄金分割点等都与斐波那契数列有着密切的联系。

2斐波那契数列的特征及应用2.1 斐波那契数列的性质：性质1 11-+n n F F =-n F 2n )1(-；证明： =n A n)1(-即得 性质2 =∑=n k k F112-+n F证明： )(A I -)(2n A A A +++ )(n A I A -=1)(--A I A -= ∴n A A A +++ 222A An -=+ ∴ =∑=n k k F112-+n F性质3 ∑=n k k F12112-=+n F ，∑=-nk k F 112n F 2= 证明： )(2A I -)(242n A A A +++ )(22n A I A -=又 2A I -A -=n AA A 242+++∴ A A n -=+12 ∴∑=n k k F12112-=+n F∑=-n k k F 112n F 2= 性质4 =∑=n k k F121+n n F F证明：由I F A F A n n n 1-+= )2(≥nI F F A F A F n n n n n 12-⋅+=同样 I F F A F A F n n n n n 212111-----⋅+=I F F A F A F 122222+=把这些式子相加n n A F +++-- 11n n A F =22A F +2(n F ++- 12n F I F F F F A F n n )()12122++⋅+-∴=∑=n k k F121+n n F F2.2 斐波那契数列的应用✧ Fibonacci 数列在数学上有着广泛的应用．对于解决较为复杂的组合问题起到了很大的作用。

例如求用n 只1×2的骨牌完全覆盖2×n 的棋盘的不同覆盖数f(n)．此问题通过讨论得到两种情况，如图所示因此，f(n)=f(n-1)+ f(n-2), 初始条件f(1)=1，f(2) =1。

若用常规方法很难求解，利用Fibonacci 数则可轻易的得出它的通项公式。

✧ 斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。

例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。

所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。

这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。

这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

2.3斐波那契数列实现的算法➢递归法这种方法的优点是简洁和容易理解，缺点是时间复杂度太大，随着n的增大，运算时间将会急剧增加。

因此在很多场合这种方法是不可取的。

使用这种方法的关键代码是：if(n == 1|| n== 2){return 1;}else{return fib(n - 1) + fib(n - 2);}➢迭代法这种方法相对于递归法来说在时间复杂度上减小了不少，但代码相对就要复杂些了。

它的思想是这样的，假设开始时f0=1,f1=1,currentFib表示当前费布纳西数，则：for(i = 1;i < n;i++){currentFib = f0 + f1;f0 = f1;f1 = currentFib;}这样迭代结束和currentFib就是fib(n)了。

3. 黄金分割-发现“美”3.1 什么是黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分之间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0．618或1618：l，即长段为全段的0．618。

0．618-一个极为迷人而神秘的数字，古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。

黄金分割实际上是一个数学比例关系如下图所示。

把长为1的线段分成两部分，使较长一部分恰好是全长与较短部分的比例中项即：1：x = x：1- x ，x2 + x+1 = 0，解得：x =()5121+-618.0≈，0.618：1称为黄金分割比，0.618称为黄金分割数，c点称为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点。

此分割被称为黄金分割。

图黄金分割黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的黄金分割律。

3.2黄金分割与费布纳西数列的关系相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

即f(n)/f(n- 1)-→0.618…。

由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。

但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比。

3.3黄金分割的应用➢在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩，而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使楼群变得雄伟雅致，古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。

埃及的金字塔、巴黎圣母院、印度的秦姬陵、上海的东方明珠电视台等都是按照黄金分割来设计的。

➢在艺术方面，油画“蒙娜丽莎的微笑”是达·芬奇最著名的作品之一，它的构图就完美地体现了黄金分割在油画艺术上的应用，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面的位置完美地体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美，使它成为一幅传世名作，古希腊最经典的作品雕像维纳斯女神，它的上半身与下半身之比率正好是0.618。

➢植物界也有采用金分割的地方。

如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。

普通的树叶的宽与长之比接近0.618，翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与身长之比也接近于0.618。

打开地图，你就会发现，那些好茶产地大多位于北纬30度左右，特别是红茶中的极品“神红”产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上，这不免让人联想起了与北纬30度有关的地方奇石异峰、名川秀水的黄山庐山、九寨沟等，衔远山、吞长江的三峡淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。

4.结论由递推关系式表示数量关系的Fibonacci 数列在以前并没有引起多大重视和震动，随着电子计算机的广泛应用，Fibonacci 数列这个古老的数学问题越来越受到人们的重视。

费氏数列的多项性质运用在生活中一定能带来很多方便之处。

费氏数列的前后项的比是黄金比例，这样的特性就可以再生活中需要用到黄金比的地方却又很难测出准确值时使用。

另外的一些特性也都在数学、几何、美学甚至生物和营建都有很多的应用空间。

参考文献：[1]王俊邦，罗振生．趣味离散数学[M]．北京：北京大学出版社，1998．[2]百度. 斐波那契数列. 百度百科. [3] 梁开华．斐波那契数的封闭特点[J]．中学数学，2003，(11)：48．[4] 马悦然等. 黄金数无处不在[J]. 大学指南，2010，9期：66-68.。