斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
【PPT】黄金分割
问题：一个蜜蜂从1号蜂房到8号蜂房， 以途经哪几个蜂房区分，共有多少种不 同的路径？（蜜蜂需总体保持向右的方 向，即每次只能向右、右上或右下行进 一格）
1 2 3 4
5
6
7
8
问题：将如下9个小方格中的部分小方格 涂成黑色，要求每两个相邻的小方格中 至少有一个黑色，共有多少中不同的涂 色方法？（ 9个小方格全为黑色也可以）
问题：在线段AB上求作一点C，使得 AB∶AC=AC∶CB．
A C B
五角星中容易证明
A
C B
AC CB 5现者是古希腊著名的毕达 哥拉斯学派．他们发现，一条线段分成 两部分，当两部分的比值是1．618时， 其比例关系是最优美的．希腊数学家普 罗克鲁在《几何原本》的注释中将这种 比例的分割称为卓越的“分割”．后来， 该比例数被中世纪艺术家达· 芬奇誉为 “黄金数”，因此按这种比例进行的分 割被称为“黄金分割”，
自然界也偏爱黄金分割．下图所画的是 一条对数螺线，它处在一个黄金矩形内， 且与黄金矩形序列各边的相切点均处于 相应边的黄金分割点上．在自然界，海 螺、蜗牛等的外形就非常近似于对数螺 线．
三、黄金比与斐波那契数列
一个有趣的悖论
② 3 3 ① 5 ② ④ 5 ③ ③ 5 ④ ① 5 5
3
8
斐 波 那 契 （ L.Fibonacci,1170-1250 ） 是 欧洲中世纪第一位有影响的数学家，他 早年随其父在北非师从阿拉伯人学习算 学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大 利后写成《算经》一书．这部名著主要 是一些来源于中国、印度、希腊的数学 问题的汇编，内容涉及整数和分数算法， 开方法，二次和三次方程以及不定方 程．
第三节 黄金分割
一、黄金比与黄金分割 二、黄金比的应用 三、黄金比与斐波那契数列
第八讲--黄金分割与斐波那契数列
第八讲黄金分割与斐波那契数列一、黄金分割1.黄金分割的概念德国天文学家开普勒（J.Kepler）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
“中外比”指将一线段分成两段不等长的部分，使得长段与短段之比等于全长与长段之比。
此比值为215，取其前三位数字的近似值是0.618称为黄金比，或黄金数（Golden Number）。
一线段中使长段与短段之比为黄金比的那点，称为把此线段黄金分割。
有时也将黄金数称为黄金分割。
而一长方形，如长比宽等于黄金数，便称此为黄金长方形。
其实关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
2.黄金分割在各领域中的应用（1）人体中的黄金分割：人的肚脐眼原是胎儿在母体中吸收养分的重要器官，其所在高度与一个人身高的比值恰为0.618。
关于黄金比与斐波纳契数列ppt课件
♀
♀
♂
♀
♀♂ ♀ ♂
♀ ♂
蜂巢中有蜂王、工蜂、雄蜂。 前两者是雌性，由蜂王的受精 卵孵化而来；而雄蜂则是由蜂 王的未受精卵孵化来的。因此， 雌蜂有父亲和母亲，而雄蜂却 只有母亲。
从图上看，任何一只雄蜂有一 个父母（母亲），两个祖父母 （母亲的父母），三个曾祖父 母（祖母的父母和祖父的母 亲），家谱中每一代亲族的数 字构成一个斐波纳契数列：
51 2
531
2
黄金比例还有诸多迷人的表示方法，比如：
斐波纳契及斐波纳契数列之一 关于兔子繁殖的问题
•斐波纳契是中世纪的意大 斐波纳契数列之起源
利数学家。
——关于兔子繁殖的问题：
•他引进了阿拉伯数字及其 运算法则来代替复杂的罗 马数字。
将一对兔子放进一个 四周都是墙的地方。假定 一对兔子每月生一对小兔， 新生的小兔子过两个月之
爬楼梯问题
一个孩子要爬楼梯，他每次最多爬两阶，如果有n阶台阶，那么
他有多少种方法 C n 可以爬上楼梯?
• n=1时有一种方法， C 1 =1：1；
• n=2时有两种方法， C 2 =2：11，2； • n=3时有三种方法， C 3 =3：111，12，21； • n=4时有五种方法， C 4 =5：1111，112，121，211，22；
极限中间比为 x 1 也就是黄金比例
我们的黄金比例
不管怎么说， 首先是一个极其有趣的数字：
1 51.618033987，由此出发， 的倒数
2
1 0.618033987 , 的平方22.618033987
事实上，
的倒数 1
2 51
511，
2
2
Fibonacci数列(斐波那契数列) ppt课件
因此，差分方程的解为：
n
n
fn
C1
1
2
5
C2
1 2
5
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3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f2 1 ,可能确定常数 c1, c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
，则有
lim
n
gn
5 1 0.618，
2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…；
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4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
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4.自然界中的斐波那契数列
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联 系。例如照相机的片窗比例：135相机就是 24X36即2:3的比例，这是很典型的。120相 机4.5X6近似3:5,6X6虽然是方框，但在后 期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分 割的比例。只要我们翻开影集看一看，就会 发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比 例。这可能是受传统的影响，也养成了人们 的审美习惯。
学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几
斐波那契数列与黄金比ppt
指事物各部分间一定的数
学比例关系，即将整体一
分为二，较大部分与较小
部分之比等于整体与较大
部分之比，其比值为
1∶0.618或1.618∶1，即
长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审
美意义的比例数字。上述
比例是最能引起人的美感
的比例，因此被称为黄金
分割
-
发现历史
据说在古希腊，有一 天毕达哥拉斯走在街上， 在经过铁匠铺前他听到铁 匠打铁的声音非常好听， 于是驻足倾听。他发现铁 匠打铁节奏很有规律，这 个声音的比例被毕达哥拉 斯用数数理的方式表达出 来。被应用在很多领域， 后来很多人专门研究过， 开普勒称其为“神圣分割” 也有人称其为“金法”。
-
黄金比与战争
千百年来，人们对成吉思汗的蒙古
骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地
席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用
游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、
善于骑射以及骑兵的机动性这些理
由，都还不足以对此做出令人完全
信服的解释。或许还有别的更为重
要的原因？仔细研究之下，果然又
从中发现了黄金分割律的伟大作用。
蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的
斐波那契数列&黄金比
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斐波那契数列
Fibonacci Sequence
-
Game：“取棋子”
游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的棋子 。先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子 全部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最 多不能超过对方所取棋子数的一倍。然后又轮到 先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所 取棋子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部 棋子被取光为止，谁能拿到最后一粒棋子，谁就 算胜利者。
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观察其中蕴涵的函数关系
查看代码
结论：曲线的形状确实象一条直线
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3. 获得数据的近似函数关系式
Fibonacci数列的数据关系是指数函数， 取对数后是线性函数，即一阶多项式， 用一阶多项式拟合出取对数后的函数关系式
log(Fn ) 0.8039+0.4812n
得到Fibonacci数列通项公式的近似表达式：
1
(1 2
5)
5 1
2
Fn
1 [Gn (1)n1Gn ] 可以验证
5
F2 F4 F2n G F2n1 F3 F1
F3 F5
F2 n 1
F2 n 2
F4 F2
Lim Fn 5 1 G
F n n 1
2
/ppptl课a件y.asp?vodid=144217&e=301
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四、背景知识
1、最小二乘和数据拟合
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多项式拟合
当数据点 互异时
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2、画图和多项式拟合命令
plot(x,y,’s’) ：将所给的点列连接成一条折线 x-点列的横坐标，y-点列的竖坐标 s-图形的格式字符串
例:给定数据，x1=[1,3,4,5,6,7,8,9,10]; y1=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];描绘其图形
代码：x1=[1,3,4,5,6,7,8,9,10]; y1=[10,5,4,2,1,1,2,3,4]; plot(x1,y1)
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黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
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F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生 兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死 亡． 问：一对兔子，一年能繁殖成多少对兔 子？ （取自斐波那契的《算盘书》（1202年））
1月 1对
2 月 1对
1 月 1对
月数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
小兔子对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
大兔子对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
总数
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 14 4
一年后兔子总数为144对
第一个月兔子数 第二个月兔子数
再将两个等比数列的第n 项相加得到斐波那契数列的通项公式
等比数列的通项公式 代入条件
an a1qn1
an an1an2
得 解之得两个根
a1qn1a1qn2a1qn3
q1
1 2
5,q2
1 2
5
找到两个等比数列
{a,aq1, ,aq1n1, } {b,bq2, ,bq2n 1, }
还要满足 得
a b 1,
2 月 1对 3 月 2对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对
1 月 1对
2 月 1对 3 月 2对 4 月 3对 5 月 5对 6 月 8对 7 月 13对
• 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 第4、第8、第12项的数字，能夠被3整除
• 第 5、第10项的数字，能夠被5整除 • 其余的，如此类推……
现在我们来找数列的通项
斐波那契数列满足
an an1an2
我们将斐波那契数列分解为两个等比数列之和，
《几何原本》共十三卷，多处涉及到黄金分割的内容。
在第六卷中讲比例时，给出了如下的定义： 分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分为中外比。中外比(extreme and mean ratio )后称为 黄金分割。
在同一卷中，给出了分已知线段为中外比的方法及有关的一些 性质。
a
q1
bq2
1.
a q21，b1q1 .
q2q1
q2 q1
从而斐波那契数列的通项为
F n= a q 1 n-1+ b q 2 n-1q q 2n 2 q q 1 1 n1 5 1 25 n 1 25 n
随着数列项数的增加，前 一项与后一项之比越逼 近
0.6180339887……
菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的，仔细 观察向日葵的果实排列，你会发现两组螺旋线一组顺时针盘 绕，另一组逆时针盘绕，并且彼此镶嵌。虽然不同品种的向 日葵顺、逆时针和螺旋线的数量不同，但都不会超过34和55、 55和89、89和114这三组数字。尽管这些顺逆螺旋的数目并 不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻 数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、 最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化 过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响， 真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。
在第二卷（讲面积）、第四卷（讲五边形）中也有所应用。
第八卷整卷在讲正十二面体、正二十面体的构成时，反复地利用了 黄金分割及有关的性质（中译本计39页）。
考虑到欧几里德只是系统总结了当时几何学已有的成就，有关黄金分割 的概念和知识很可能在2500年前就已经有了。
2500年前古希腊数学家毕达哥拉斯
但这样古老的数学内容不仅没有被历史的 演变和科学的进步所淘汰，相反，却永葆青春， 并越来越引起人们的注意和重视。
自然界美丽的主宰者
——斐波那契数列与黄金分割
1:1.618 ≈0.618
=0.68 948 482 …… …
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯
公元前3世纪古希腊数学家欧几里得
现在我们中学里学的几何学，本质上还是 以《几何原本》为蓝本的.《几何原本》的 手稿今已失传，现在看到的各种版本都是 根据后人的修改本、注释本或翻译本重新 整理出来的，但和《红楼梦》只传下来大 半部手稿的情形不同，基本上仍保留了原 来的内容和状态。
———黄金分割数
Fn
1512
n5Leabharlann 125n 黄金分割的精确表示
limFn 510.618033989
F n n1
2
————黄金分割数
黄金分割和斐波那契数列关系非常密切，它们是 数学家玩的数学游戏吗？是数学家凑出来的吗？
不是！！！
大自然中的斐波那契数列
与黄金分割
花瓣的数目
1个花瓣的 马蹄莲， 2个花瓣的 虎刺梅， 3个花瓣的 延龄草， 5个花瓣的 飞燕草， 8个花瓣的 大波斯菊， 13个花瓣的 瓜叶菊