数学北师大版九年级上册《黄金分割》

黄金分割
教材分析：
“黄金分割”是北师大版数学八年级下第四章第二节的内容，学习黄金分割不仅仅是实现比例线段学习的要求，更是体现了数学的文化价值，体现黄金分割是数学与建筑学、艺术等学科的纽带，让学生认识到数学不是孤立的、枯燥的数学，而是文化的一部分，同时数学也促进了文化的发展.黄金分割美学价值和实用价值方面有着重要的地位，本节课主要围绕这两方面进行设计，通过创设丰富的现实情境，让学生直观感受到黄金分割的美学价值的同时展现了知识的发生、发展过程。

学情分析
学生学过了线段的比和成比例的线段，已经有了坚实的基础，本节课教学难点的突破对学生来说并不很困难。

教学中要充分利用黄金分割与生活的紧密联系，体会黄金分割的黄金价值。

教学目标：
知识目标： 1.使学生了解黄金分割的定义。

2.会作一条线段的黄金分割点。

3.熟悉黄金分割的广泛应用。

情感目标：从美丽的几何图案五角星入手，以身边的书本为着手点，让学生感到事物的美，那么美从何而来，通过本节课的直观教学，学生从中能感悟到一些，那
就是来源于生活中的0.618(黄金比)。

教学重点： 1.了解黄金分割的定义。

2.会运用它进行分析，解释一些现象。

教学难点：精确地找到一条线段的黄金分割点。

设计思路：（分三个层次）
第一层次：从国旗的五角星入手，研究黄金分割的定义。

第二层次：观察生活中有关黄金分割的图片，使学生对它产生兴趣，让学生感悟到凡是符合黄金分割的总是美的。

并应用于实际问题中。

第三层次：通过学生的实际动手，探索线段上黄金分割点的做法
教学过程：
一创设教学情境：
黄金分割教学实录
师：同学们，首先请大家欣赏几组图片，请大家找到你认为身材最美的几组。

（展示图片）虽然每一个卡通人物，我们都觉的很可爱，但从身材比例上来考虑，我们觉得还是这几组很美，很协调，请同学们考虑这是为什么？其实，这其中的道理我们可以从数学角度、用数学的道理去解释。

我们再看几组图片，是不是觉得很赏心悦目？在我们身边还有许多常见的图形中也体现出了和谐的美，比如我们常见的国旗上的五角星。

看起
来就很美，但是不是只要是五角星就美的呢？（看课件）我们发现不是所有的五角星都体现了和谐的美，而是和五角星中每一条边上的点所分成的线段的比值有关，当比值为0.618时的五角星才是最完美，此时线段上的两个分点就显得尤为重要了，象黄金一样珍贵，而此时图形显现出来的美则是除了对称美以外的又一种美——黄金分割美，这节课我们就来研究这个数学问题！。

（板书课题）
二、讲解新课：
五角星中到底有什么奥秘，让我们动手进行测量：
1、 请你测量五角星上C 点到A 、B 点的距离。

(2)请你再计算一下AB AC 和AC
BC 的值分别是多少? 它们相等吗？
(3)结合图形观察比例式AB AC ＝AC
BC 有什么特点？你发现了什么？ （通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了AB AC ＝AC
BC ，即部分与部分之比等于部分与
整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）
师：我们规定：一个点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC ：AB=BC ：AC ，
则称线段AB 被C 黄金分割，这个点C 叫做线段AB 的黄金分割点，这个比叫黄金比 师：大家想一想，除了AB AC ＝AC
BC ，还有什么形式也可表示线段 AB 被点 C 黄金分割？ 生：AC ：BC=AB ：AC ， AC 2=AB ·BC
师：如果我们令AB=1设较长的线段AC=X 则BC=（1-X ），由 AC 2=AB ·BC 我们就可以得到方程X 2=1·（1-X ）即X 2-X+1=0 等到以后我们学完一元二次方程就可以得到方
程的解为X==
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5-
即AC= =
21
5-
也就是AC：AB=
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5-
:1＝
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5-
=0.618
2、想一想：
（1）线段AB有没有除点C以外的黄金分割点呢？ A D C B
（2）点D应满足怎样的条件？
（3）在五角星中点D是线段AB的黄金分割点吗？
（4）你还发现了什么？
（想一想设置的这四个问题是有层次性的，问题1的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题2进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题3、4的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）师：我们把
AB
AC的值叫做黄金比
为什么起这个名字呢？数学史上是这样记载的：黄金分割，当然不是指怎样分黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵，如果符合这一比例的话，就会显得更美，更好看，更协调。

这种黄金分割美在生活中几乎无处不在！学习了黄金分割的定义，我们就不难解释我们前面提出的问题了。

（课件再现前面出现过的芭蕾舞演员的图片，并对前面提出的问题加以解释）（出示四组照片，找到小鹿位置最合适的一张，解释其中的道理。

在摄影中我们常用黄金分割来照出完美的照片。

）
师：除了上述这些图片以外，很多矩形中也存在黄金比，如我们的教科书就是这样的矩形，请同学们测量一下数学书的宽和长，再算一下宽与长的比？
学生：学生测量、计算、说出结果。

（结果接近0.618）
师：这就是由黄金分割演变而来的黄金矩形
黄金矩形是一个宽和长的比有特殊比例的矩形，即宽与长的比为黄金比（0.618）我们再看美术史上的神话——蒙娜丽莎，就是因为它拥有无处不在的黄金矩形！还有巴台农神庙中也多处体现出黄金矩形。

再说我们的国旗为什么美得无可挑剔？就是因为，它也是一个黄金矩形
师：既然黄金分割如此的美，我们必须学会精确地做出一条线段的黄金分割点。

如果我们假设线段AB＝2，那么较长线段长呢？（用无理数表示）.
5 .
生：1
师：你能作出长度5的线段吗？
生：直角边为2和1的Rt△，根据勾股定理得斜边就是5
师：长度5-1的线段会做吗？
生：会，只要截去长度为1的线段就行了.
师：让我们根据刚才讨论的结果动手做一做.
（在老师的引导下，师生共同操作）
总结黄金分割点的画法
（1）经过点B作BD⊥AB,使BD=AB/2。

（2）连接AD,在AD上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.
三：知识梳理，形成系统：
师：今天的学习你有什么收获？谁能总结一下，这节课我们应该掌握些什么内容？ 学生：小结（记住黄金比，会做黄金分割点……）
师：数学在每个人身边，要有心去体验。

古希腊哲学家毕达哥拉斯发现黄金分割的实质
就是0.618这个神奇的数字。

只要留心，我们也会在生活的方方面面发现它。

下面我们就来发现身边的黄金分割“美”。

谁能举出与黄金分割有关的实际例子。

学生：举例
师：“如果把一天24小时看作是一条线段的话，9点左右是一天黄金时刻，这是人们头脑
最清醒、精力最旺盛的时刻。

”“人生活在环境气温在多少度感到最适宜？（应是22度——24度）
有兴趣的同学课下可以到网上查找更多的黄金分割“美”，开阔自己的视野。

这就是我们人类祖先留给我们的宝贵财富，这就是数学带给我们的美，珍惜吧，同学们，努力学习吧，数学奥妙无穷，让我们在美的海洋中徜徉吧！请记住我们生活中的0.618——黄金分割。

教学反思：
1、设计思路：
立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，从观察和分析生活中大量存在的跟黄金分割有关的图形（如建筑、艺术上的实例）入手，直观地了解黄金分割的定义， 知道黄金分割中比值为618.02
15≈-这一事实，利用这
一比值了解作黄金分割点的方法，展示一些黄金分割的典型史料（如：古希腊时期的巴台农神庙…），体会黄金分割的文化价值及在人类历史上的作用和影响，同时在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心。

2感受：本节课是一堂数学课，准确讲是数学艺术课，学生不仅学到了数学知识，而且也经历了一次感受和谐美，创造和谐美的过程.
通过《黄金分割》的备课和教学过程，我认识到要发挥教学的教育价值，通过数学教育培养学生用数学的眼光、数学的思想、数学的方法去观察世界，解决学习生活中遇到的实际问题，我们老师就必须做到：①深入生活，广泛学习阅读，发现现实生活中数学的影子，主动把数学知识应用到生活中去；②课堂之外多与学生交流，发现他们的生活经验，感受他们的心理困惑，尽管我们也有过这样的年少时候，但毕竟时代不同了.③多与其他老师交流讨论，多问多学，提高自身的能力.当我们为提高学生的素质而努力时，我们自身的素质也在不断提高.
若干年后，学生忘记了线段的比，忘记了
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，这没关系，只要他在欣赏建筑时感觉到一种和谐美，在看芭蕾舞剧时能理解演员为什么踮起脚尖，我想我今天《黄金分割》的教学就是成功的.。