数学新人教A版选修2 312排列与组合同步练习
(新人教版)新版高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3【提
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．精品试卷第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．欢迎下载。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
人教A版数学选修2-31.2排列组合之二十一种模型习题课件
二、二十一种模型
11.定位问题优先法 例11.有1名老师和4名获奖同学排成一
排照相留念，若老师不站两端则有不 同的排法有多少种？
答案：
A31 A44 72
二、二十一种模型
12.多排问题单排法
例12.（1）6个不同的元素排成前后两 排，每排3个元素，那么不同的排法种 数是（ ）
成没有重复数字的六位数，其中个位数 字小于十位数字的共有( )种. A.210 B.300 C.464 D.600
答案： B.300
二、二十一种模型
9.多元问题分类法: 例9. （2）从1，2，3…，100这100个
数中，任取两个数，使它们的乘积能 被7整除，这两个数的取法（不计顺序） 共有多少种？
排列组合 之二十一种模型
内容提要
一、理论基础 二、二十一种模型 三、小结
一、理论基础
分类计数 加法原理 分步计数 乘法原理 排列数 组合数
内容提要
一、理论基础 二、二十一种模型 三、小结
二、二十一种模型
1.相邻问题捆绑法: 例1. A、B、C、D、E五人并排站成一排，
如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么 不同的排法种数有（ ）
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 答案：
B.9种
二、二十一种模型
5.有序分配问题逐分法 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2
人承担，乙丙各需一人承担，从10人 中选出4人承担这三项任务，不同的选 法种数是( )
A.1260 B.2025 C.2520 D.5040 答案：
C.2520
二、二十一种模型
A.60种 B.48种 C.36种 D.24种 答案：
最新高中数学：选修2-3人教A全册课时同步练习及解析 第1章1.2.1第二课时同步训练及解析
人教A高中数学选修2-3同步训练1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14×A24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14×A24(个)．由分类加法计数原理得：共有A35＋2A14×A24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A45个；第二类：个位上为5的五位数有A14×A34(个)，故满足条件的五位数共有A45＋A14×A34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共有A14×A35 (个)；第二类：形如14，15，共有A12×A24(个)；第三类：形如134，135，共有A12×A13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A14×A35＋A12×A24＋A12×A13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5人全排，有A66种排法，所以有不同站法A22×A66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A44种，所以共有不同站法A33×A44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右和从＝420(种)．右到左的不同，所以共有不同站法2×A77A44(4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A12×A14×A55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A14×A24×A44种站法，所以共有不同站法A12×A14×A55＋A14×A24×A44＝960＋1152＝2112(种)．。
2020年数学新导学同步人教A版选修2-3作业及测试：课时作业 3排列与排列数公式 Word版含解析.doc
画出树形图如下：个，它们分别是bac，bad，baebae，bca，bcd，bce列，某个同学不可分两步：第一步，某同学不排排头，故排头的位置可以共有________种．解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A25＝20种添加方法．答案：20三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位安排3个客人就座，有多少种不同的方法？(4)某班有10名学生，假期约定每2人通电话一次，共需通电话多少次？解析：(1)是．选出的2人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．(2)是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．(3)是．“入座”问题同“排队”一样，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人是排列问题．(4)不是．通电话一次没有顺序，故不是排列问题．10．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1,2,3,4四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．解析：(1)由题意作树形图，如图．故所有的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3 124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.共24个四位数．。
人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《排列与组合习题课》ppt课件
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第一章
计数原理
第一章
计数原理
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第一章
1.2 排列与组合
1.2.2 组合 第3课时 排列与组合习题课
排列组合应用题
某校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法： (1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目； ②是同类节目互不相邻的问题． 解答本题的第 (1) 问可以先安排 4 个小品，然后让 3 个舞蹈
“插空”；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占 1,3,5,7，
1.2
1.2.2
第3课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
[解析] (1)先在 6 个乒乓球中任取一个， 作为一堆， 有 C1 6种 取法，再从余下的五个乒乓球中任取两个，作为一堆，有 C2 5种 取法，再从余下三个中取三个作为一堆，有 C3 3种取法，故共有
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1.巩固排列、组合的概念，排列数公式，组合数公式以及 组合数的性质． 2 ．准确地应用两个基本原理，正确区分是排列问题还是 组合问题．
高中数学人教A版选修2-3第一章1.2排列组合的综合应用(习题课)课件
课堂小结：
处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
种选法。
29
弄清要完成什么样的事件是前提。
00|0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 00 00 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
即 2,1,1，有 C ＝6(种)，再分配给 3 个人，有 A ＝6(种)，所以不同的 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
2 3 处理排列组合应用题的规律 4 3 解：采用先组后排方法:
种。
安排方式共有 6×6＝36(种)． 例4、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,
解：对 5 个只会跳舞的人选几人进行分类： 第一类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 4 人，共有C54C84 350 (种)； 第二类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 3 人，共有C53C31C74 1050 (种)； 第三类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 2 人，共有C52C32C64 450 (种)； 第四类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 1 人，共有C51C33C54 25 (种)； 所以一共有 50+1050+450+25=1875（种）.
高二数学 1.2.5排列组合习题课学案 新人教A版选修2-3
高中数学 1.2.5排列组合习题课学案基础梳理1．排列应用题的最基本的解法有：(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出全部元素的排列顺序，再减去不符合要求的元素的排列顺序．2．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为排列组合的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性．自测自评1．(C2100＋C97100)÷A3101的值为(C)A．6 B．101 C.16D.1101解析：(C2100＋C97100)÷A3101＝(C2100＋C3100)÷A3101＝C3101÷A3101＝A3101A33÷A3101＝1A33＝16.故选C.2．4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有(D)A．36种 B．72种 C．81种 D．144种解析：由题意可知4人选择了4条线路中的3条，不同的游览情况共有C24C34A33＝144(种)．故选D.3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243个 B．252个 C．261个 D．279个解析：三位数个数为9×10×10＝900(个)．没有重复数字的三位数有C19A29＝648(个)，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252(个)．故选B.审题不仔细致错【典例】 从1～9的9个数字中取出5个数字作排列，并把五个位置自右向左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？解析：1，2，…，9中只有四个偶数数字，故排列中至少有一个奇数数字．一奇四偶的排列可按下列程序得到：从五个奇数数字中选取1个放在三个奇数位置中的一个上，再把4个偶数数字排在剩下的四个位置上，因此一奇四偶的排列有C 15·C 13·A 44个．类似地，二奇三偶的排列有C 25·C 23·A 22·A 34个，三奇二偶的排列有A 35·A 24个．因此符合题意的排列个数是C 15·C 13·A 44＋C 25·C 23·A 22·A 34＋A 35·A 24＝2 520(个)．【易错剖析】题设“奇数数字必在奇数位置上”是指：①如果有奇数数字，则它们必须在奇数位置上；②如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；③偶数位置上一定是偶数．若误以为“奇数位置上必是奇数”则可能导致解题出错．基础巩固1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是(C )A ．9个B ．10个C ．18个D ．20个解析：由于lg a －lg b ＝lg ab (a >0，b >0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为a b有A 25种，又13与39相同，31与93相同，所以lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18(个)，故选C. 2．5人排成一排，其中甲不排在两端，也不和乙相邻的排法种数为(D ) A ．84种 B ．78种 C ．54种 D ．36种 解析：按先排甲再排乙的顺序列式为 C 13C 12A 33＝36.3．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有(A )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人解析：设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．4．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞，现从中选出2名会唱歌的、1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法______种．解析：以2名会跳舞的分类，分为有1人参加，都不参加两类，共有C 12C 24＋C 11C 23＝15(种)． 答案：15 能力提升5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(C ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．96种解析：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中(四种颜色可以不全用也可以全用)，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(A )A.72种 B．48种 C．24种 D．12种解析：(1)4种颜色全用时，有A44＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A34种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A34＝48种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72种．7．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有______种不同的选法(用数字作答)．解析：若只有1名队长入选，则选法种数为C12·C510；若两名队长均入选，则选法种数为C410，故不同选法有C12·C510＋C410＝714(种)．答案：7148．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有____种(用数字作答)．解析：第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有A24A33种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33＋A23A33种．由对称性可知，共有2(A55＋A24 A33＋A22A33＋A23A33)＝480种．答案：4809．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数．解析：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有8C36＝160(种)．10．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．分析：“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑．解析：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35·C23＋C45·C13种，后排有A55种，共有(C35·C23＋C45·C13)·A55＝5 400(种)．(2)除去该女生后，先取后排有C47·A44＝840(种)．(3)先取后排，但先安排该男生，有C14·C47·A44＝3 360(种)．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共有C36·C13·A33＝360(种)．。
高中数学 排列与组合综合(一)课后练习 新人教A版选修2-3
排列与组合综合(一)课后练习题一：用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．题二：六人站一横排，甲不站两端, 有多少种不同的站法？题三：高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ) (A)16种 (B)18种 (C)37种 (D)48种题四：将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案种数是________．题五：20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．题六：某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？题七：现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有( )种. (A)3565A A ⋅ (B)863863A A A -⋅(C)3353A A ⋅ (D)8486A A - 题八：有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)． 题九：6男4女站成一排，男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？题十：将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( )(A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种题十一：按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ (1)各组人数分别为2,4,6个； (2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．题十二：12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组(每组4个队)，则3个强队恰好被分在同一组的概率为( )A ．B ．C ．D ．题十三：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种(用数字作答)．题十四：4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.恰有2个盒不放球，共有几种放法？排列与组合综合(一) 课后练习参考答案题一： 14.详解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14个．题二： 480.详解：若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A 66－2A 55=480(种)题三： C.详解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即： 4×4×4－3×3×3=37种方案.题四： 24种.详解：将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C 24A 33种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23A 22＋C 13A 22种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24A 33－C 23A 22－C 13A 22＝24(种)题五： 120.详解： 先在编号为2,3的盒内放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C 216＝120种方法．题六： 14656.详解：由20名医生中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数， 得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)．题七： B.详解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即863863A A A -⋅，故选B .题八： 72种详解：甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是1333C A ＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是1223542322C C C A A ＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．题九：101033A A 种．详解：10人的所有排列方法有1010A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有101033A A 种．题十： B.详解：标号1,2的卡片放入同一封信有13C 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有224222C A A ⋅种方法，共有21243222C C A 18A ⋅⋅=种，故选B. 题十一： (1) 13 860(种)；(2) 5 775(种)；(3) 34 650(种)．详解：(1)24612106C C C ＝13 860(种)；(2)444128433C C C A ＝5 775(种)； (3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有44431284333C C C A A ⋅＝4441284C C C ＝34 650(种)不同的分法．题十二： B .详解： 因为将12个组分成3个组的分法有444128433C C C A 种， 而3个强队恰好被分在同一组分法有3144398422C C C CA ，故3个强队恰好被分在同一组的概率为3144398422444128433C C C C 3A C C C 55A =. 题十三： 36.详解： 分两步完成：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A ⋅⋅；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件的分配的方案有2113421322C C C A 36A ⋅⋅⋅=. 题十四： 84种.详解：确定2个空盒有24C 种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类第一类有序不均匀分组有312412C C A 种方法；第二类有序均匀分组有22242222C CAA⋅种方法.故共有2223122424412222C CC(C C A A)A+⋅=84种.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
【北京特级教师】人教A版数学选修2-3课后练习：排列与组合综合(二)
排列与组合综合(二)课后练习主讲教师：纪荣强北京四中数学教师题一：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？题二：求方程x+y+z=10的正整数解的个数.题三：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？题四：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A．36种B．48种 C．72种D．96种题五：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？题六：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) 种A．60 B．48C．42 D．36题七：某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．题八：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) 种A．12B．18C．24D．48题九：将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．题十：3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )A. 360B. 288C. 216D. 96排列与组合综合(二)课后练习参考答案题一：69 C详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法.题二：36.详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板)，规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值， 故解的个数为29C =36(个).题三： 6467A A ⋅种. 详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有6467A A ⋅种不同排法．题四： C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共3234A A ＝72种排法，故选C.题五： 30.详解：记两个小品节目分别为A 、B .先排A 节目.根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有15C 种方法.这一步完成后就有5个节目了.再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同理知有16C 种方法.故由分步计数原理知，方法共有1156C C 30⋅=(种).题六： B.详解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有2232C A =6种不同排法)，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间(若甲在A 、B 两端．则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求) 此时共有6×2=12种排法(A 左B 右和A 右B 左) 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， ∴共有12×4=48种不同排法． 故选B ．题七： 120.详解：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C 25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有24C 种，最后，安排其他两辆车共有22A 种方法，故不同的调度方法为222542C C A ⋅⋅＝120种．题八： C.详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A ，有22A 种方法; A 与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有23A 种方法;考虑A 与戊机的排法有22A 种方法.由乘法原理可知共有222232A A A 24=种不同的着舰方法.故应选C ．题九： 96.详解：按照要求要把序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2，2和3，3和4，4和5，故其方法数是444A ＝96.题十： B.详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有23C 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有22A 种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有33A 种不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中.有24A 种不同的排法，共有22322334A C A A 种不同的排法.然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉.甲可能站左端，也可能是右端，有12C 种不同的方法，然后其它两个男生排列有22A 种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有23A 种不同的排法.共2212223223A C C A A 种不同的排法， 故总的排法为223222122233423223A C A A A C C A A =288种不同的方法.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品习题课件 第六章 习题课 排列与排列数
=
!
=
(−)！
(+)!
⋅
(−+)!
!
= A
⋅ ( − ) = ( − ) ，A正确;
(−)！
= ⋅ ( +
)! ≠
(+)!
!
= −
+ ，B不正确;
−
=
×
(
−
)
×
(
−
)
×⋅
×
=
×
(
−
)
×
(
−
①若队伍左、右两端是两名男生，则不同的排法种数为A22 A23 A44 = 288（种）；
②若队伍左、右两端是两名女生，则不同的排法种数为A22 A23 A44 = 288（种）.
综上所述，总共有288 × 2 = 576（种）不同的排法.
（2）已知某晩会共有1个舞蹈类节目，2个语言类节目，3个歌曲类节目，若规定同类
首位从1，2，3，4，5中任选一个，有5种，
后面的三位从剩下的5个数中任意选，共有A35 种，
所以没有重复数字的四位数有5 A35 = 300（个）.
（2）比2 000大且没有重复数字的自然数？
解 要组成比2000大且没有重复数字的自然数，
当组成的自然数为四位数时，首位从2，3，4，5中选一个，有4种选法，再从剩下的5
第六章
习题课 排列与排列数
A级 必备知识基础练
1.若 = A11 + A22 + A33 +⋅ + A22 020
020 ，则的个位数字是() A
A.3
数学教案 人教a版选修2_3 同步练习-第1章计数原理第2节跟踪训练含解析
第1课时 排列与排列数公式[A 组 学业达标]1．4·5·6·…·(n－1)·n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：因为A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，所以A n －3n ＝n(n －1)(n －2)…[n－(n －3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.答案：D2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．120种D ．90种解析：5本书进行全排列，A 55＝120种． 答案：C3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A 44＝24(种)．答案：B4．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为A 2n ＋1－A 2n ＝10，则(n ＋1)n －n(n －1)＝10，整理得2n ＝10，即n ＝5. 答案：B5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg3 9，lg31＝lg93，故其可得到18种结果．答案：C6．计算A67－A56A45＝________.解析：因为A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36.答案：367．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：根据题意，得A240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案：1 5608．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答) 解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6809．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．10．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析：由题意可知，原有车票的种数是A2n种，现有车票的种数是A2n＋2种，∴A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58.解得n＝14.故原有14个车站，现有16个车站．[B组能力提升]11．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )A．1 260 B．120C．240 D．720解析：相当于3个元素安排在10个位置上，共有A310＝720种分法，故选D.答案：D12．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！n －m ＋1！B ．n(n －1)(n －2)…(n－m) C.nA mn －1n －m ＋1 D ．A 1n A m －1n －1 解析：∵A mn ＝n ！n －m ！，而A 1n ·A m －1n －1＝n·n －1！[n －1－m －1]！＝n ！n －m ！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.答案：D13．满足不等式A 7nA 5n＞12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n≥7，所以n ＞9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10. 答案：1014．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．解析：这四张卡片可组成的四位数是2011、2101、2110、1021、1012、1102、1120、1201、1210共9个． 答案：915．根据要求完成下列各题． (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)解方程 ：3A x8＝4A x －19.解析：(1)原式＝5A 49＋A 495A 510－A 510＝6A 494A 510＝6A 4940A 49＝640＝320. (2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简得3＝4×910－x 9－x，即x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x ＝6.16．(1)求由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数． (2)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解析：(1)本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.第2课时排列的综合应用[A组学业达标]1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( ) A．60种B．48种C．36种D．24种解析：把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24种排法．答案：D2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种B．216种C．240种D．288种解析：根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类，甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类，乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案：B3．5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，这样的排列种数为( )A．5 760 B．57 600C．2 880 D．28 800解析：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个大元素，从大元素和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，故有A22·A25·A24·A55＝57 600(种)排法．故选B.答案：B4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个解析：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A34＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)．所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．答案：B5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.答案：C6．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法．而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．答案：367．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：368．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96(种)．答案：969．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解析：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．[B组能力提升]11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72解析：第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．答案：D12．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．216种B．288种C．180种D．144种解析：当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．答案：B13．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55种，当C在左边第2个位置时有A24·A33种，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33种．这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．答案：48014．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A44＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A33＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：2415．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880种排法．16．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解析：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．第1课时 组合与组合数公式[A 组 学业达标]1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题． 答案：C2．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( ) A ．120 B ．240 C ．60D ．480解析：C 28＋C 38＋C 29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120.答案：A3．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．答案：C4．方程C x14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x≤14，解得x ＝4或6.答案：C5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．答案：B6．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案．故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14(种)不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14(种)．答案：147．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从4名男医生中选2人，有C 24种选法，从3名女医生中选1人，有C 13种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C 24C 13＝18.答案：188．不等式C 2n －n ＜5的解集为________． 解析：由C 2n －n ＜5，得n n －12－n ＜5，∴n 2－3n －10＜0. 解得－2＜n ＜5.由题设条件知n≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18＞3C x8. 解析：(1)原方程等价于 m(m －1)(m －2)＝6×mm －1m －2m －34×3×2×1，∴4＝m －3，解得m ＝7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x≤8，∴x≤8，且x ∈N *，∵C x －18＞3C x8，∴8！x －1！9－x ！＞3×8！x ！8－x ！.即19－x ＞3x ，∴x ＞3(9－x)，解得x ＞274， ∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解析：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20，即x(x －1)≥40.又x≥2且x ∈N *，所以x 的最小值为7.故餐厅至少还需准备7种不同的素菜．[B 组 能力提升]11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28 解析：由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.答案：B12．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A ．72种B ．84种C ．120种D ．168种 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)．答案：C13．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}14．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70(种)不同的取法．答案：7015．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．解析：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！， 整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 16．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解析：设既会唱歌也会跳舞的人为“多面手”第一类，选会唱歌的4人无多面手：有C 45C 48＝350；第二类，选会唱歌的4人中有一个多面手：有C 35C 13C 47＝1 050；第三类，选会唱歌的4人中有2个多面手：有C 25C 23C 46＝450；第四类，选会唱歌的4人中有3个多面手：有C 15C 33C 45＝25.由分类加法计数原理，共有350＋1 050＋450＋25＝1 875种．第2课时组合的综合应用[A组学业达标]1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：从7人中选4人共有C47＝35(种)方法．又4名全是男生的选法有C44＝1(种)．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案：D2．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线，过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是( )A．28 B．29C．30 D．27解析：可分两类：第一类，红点连蓝点有C14C16－1＝23(条)；第二类，红点连红点有C24＝6(条)，所以共有29条．故选B.答案：B3．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.解得x＝4，故女生有2人．答案：A4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可．此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．答案：B5．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中，则不同的放法共有( )A．12种B．18种C．36种D．54种解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．答案：B6．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：C67C36C33A22·A22＝140.答案：1407．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)解析：分两类：①A、B、C均不选，有C46＝15.②A、B、C中选一门，有C13C36＝60.∴共有15＋60＝75种不同选修方案．答案：758．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．(用数字作答)解析：①不选甲、乙，则N1＝A44＝24(种)．②只选甲，则N2＝C34C13A33＝72(种)．③只选乙，则N3＝C34C13A33＝72(种)．④选甲、乙，则N4＝C24A23A22＝72(种)．故N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240(种)．答案：2409．某市工商局对35件商品进行抽样检查，鉴定结果有15件假货，现从35件商品中选取3件．(1)恰有2件假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2件假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2件假货在内的不同取法有多少种？解析：(1)从20件真货中选取1件，从15件假货中选取2件，有C120C215＝2 100种不同的取法．所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有C120C215＋C315＝2 555种不同的取法．(3)任意选取3件的种数为C335，因此符合题意的选取方式有C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2件假货在内的不同的取法有6 090种．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法．解析：先分组再分配分三类：第一类，“2,2,2”类(先平均分组再分配)C26C24C22·A33＝90(种)A33第二类，“1,2,3”类(先非平均分组再分配)C16C25C33·A33＝360(种)第三类，“1,1,4”类(先部分平均分组，再分配)C16C15C44·A33＝90(种)A22共有90＋360＋90＝540(种)．[B组能力提升]11．如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有( )A．9个B．3个C．12个D．6个解析：当重复数字是1时，有C13·C13个“好数”；当重复数字不是1时，有C13个“好数”．由分类加法计数原理，得“好数”有C13·C13＋C13＝12个．答案：C12．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( )A．135 B．172C．189 D．162解析：不考虑特殊情况，共有C312种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.答案：C13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．答案：4814．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)．解析：从6位游客中选2人去A风景区，有C26种方法，从余下4位游客中选2人去B风景区，有C24种方法，余下2人去C，D风景区，有A22种方法，所以分配方案共有C26C24A22＝180(种)．答案：18015．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．解析：(1)易知四位数共有C23C23A44＝216(个)．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C23C23A33A22＝108(个)．(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．16．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．解析：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410×24＝3 360(种)．(2)从10双鞋子中选2双有C210种取法，即有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29×22＝1 440种．。
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)
例6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至
周五的5天中参加某项志愿者活动，要求
每人参加一天且每天至多安排一人，并要
求甲安排在另外两位前面。不同的安排方
法共有（ ）
种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 将n个相同共的有元__素__分__成__m__份_种（分n，法m。为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
组合数性质1： 2：
特别地：
练习一
（1） （2）
（3） （4） （5）求
0 7
1,或5
的值 511
例题解读
求证： 证明：因为
左边= =左边，所以等式成立
评注： 注意阶乘的变形形式：
练习精选： 证明下列等式 ： （1）
（2）
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
对于 ，我们可以按照以下步骤进行
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的
数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合课堂练习(无答案)新人教A版选修2 3 试题
1.2 排列与组合§1.2 排列与组合－排列（一）【典型例题】例1．从a, b, c, d 这四个字母中取出两个进行排列，（1）用计数原理计算总共有多少个排列？（2）写出所有排列，数出个数；（3）两种方法所得排列数一样吗？例2．12名选手参加民歌大赛，比赛设一等奖，二等奖，三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，一共有多少种不同的获奖情况？【课堂练习】1．计算①4A 24+5A 35； ②A 14+A 24+A 34+A 44； ③2A 712A 35A 1212．2.（1）一天有六节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？（2）上午有4节课，一个教师要上三个班级的课，每个班一节课，这个教师的课有几种排法？§1.2 排列与组合－排列（二）【典型例题】用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个四位数？（3）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（5）能组成多少个比1325大的四位数？【课堂检测】7个人排成一排．（1）一共有多少种不同的排列方法？（2）其中甲必须排在中间的排法有多少种？（3）其中甲不能排在最后一个位置的排法有多少种？（4）其中甲不能排在第一个位置，也不能排在最后一个位置的排法有多少种？§1.2 排列与组合－排列（三）【典型例题】例1.三个女生和三个男生排成一排,（1）男生甲不能排在首位，可有多少种不同的排法？（2）男生甲不能排在首位，男生乙不能排在末位，可有多少种不同的排法？（3）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（4）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（5）如果女生必须全分开，男生必须全分开，可有多少种不同的排法？（6）其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的站法？(7)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的站法？（8）如果三名女生排列顺序固定，但位置不定，可有多少种不同的排法？【课堂检测】某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法?§1.2 排列与组合－组合（一）【典型例题】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？（2）10个人规定相互通一次，共通了多少次？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛所有冠亚军的可能情况？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【课堂检测】1.有下列等式：① C m n =n!m!(n -m)!； ②C m n =n m C m-1n-1； ③ m!(m -1)! C m n= n! 其中一定成立的是（填序号）.2.设集合A={a,b,c,d,e}, B ⊆A, 如果a ∈B. 且B 中有3个元素，那么满足条件的集合B 有多少个？3.已知甲乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员组成有多少种可能？§1.2 排列与组合－组合（二）【典型例题】例1.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的三件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的三件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种？例2.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？【课堂检测】1. 房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开一盏灯用以照明，有多少种不同的方法？2.学校开设了6门选修课，问：（1）某学生从中选3门，共有多少种不同的选法？（2）某学生从中至少选2门，共有多少种不同的选法？（3）某学生从中至多选4门，共有多少种不同的选法？§1.2 排列与组合－组合（三）【典型例题】例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机至少各有1台，则不同的取法共有( )例2．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法例3．如图,从一个3×4的方格中的一个顶点A 到对顶点B 的最短路线有几条？【课堂检测】1.从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A2．8级台阶，一步允许走1级或2级，7步走完，则一共有多少种不同走法．。
高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案
1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）． 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．
人教A版高中数学选修1-2 3.1.1同步练习习题
高中数学人教A版选修1-2 同步练习1.复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)是纯虚数，则有()A．a≠0B．a≠2C．a≠－1且a≠2 D．a＝－1解析：选D.需要a2－a－2＝0，且|a－1|－1≠0，即a＝－1.2.设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是() A．B∪(∁S B)＝C B．∁S A＝BC．A∩(∁S B)＝∅D．A∪B＝C解析：选A.依据复数的分类可知B∪(∁S B)＝C.3.以3i－2的虚部为实部，以－3＋2i的实部为虚部的复数是__________．解析：3i－2的虚部为3，－3＋2i的实部为－3.∴以3i－2的虚部为实部，以－3＋2i的实部为虚部的复数是3－3i.答案：3－3i4.下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈R，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．②由复数相等的充要条件知②是真命题．③若a＝0，则a i不是纯虚数．④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．答案：1[A级基础达标]1.复数i－1的虚部为()A．0 B．1C．i D．－2解析：选B.i－1的虚部为1.2.下列说法正确的是()A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC ．如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i 不是实数解析：选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.3.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4 D.k π2＋π4(以上k ∈Z) 解析：选B.由⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎨⎧θ＝k π＋π4，k ∈Z ，θ≠2k π＋3π4且θ≠2k π＋5π4，k ∈Z .∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z.故选B. 4.若4＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．解析：∵a ＋b i ＝4，∴a ＝4，b ＝0，∴a ＋b ＝4.答案：45.已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z)，且z <0，则k ＝________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0k 2－5k ＋6＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<k <3k ＝2或k ＝3⇒k ＝2. 答案：26.已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y 1＝－（3－y ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52y ＝4③.把③代入②， 得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a 、b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝96＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. [B 级 能力提升]7.下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③a i 一定为纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.①由于x ，y ∈C ，∴x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当a ∈R 且a ≠0时，a i 才是纯虚数，∴③是假命题． 8.已知M ＝{1，2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：选C.由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 9.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为________． 解析：由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16.解得a ＝0.答案：010.已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R)，若方程有实数根，求x ，y 满足的关系式．解：设实数根为a ，代入方程得(a 2＋2a ＋2xy )＋(a ＋x －y )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，①a ＋x －y ＝0，②由②得a ＝y －x ，③把③代入①，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，整理，得(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故所求的关系式为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.11.(创新题)已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M∩N ≠∅，求整数a 、b .解：依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①得a ＝－3，b ＝±2，经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．∴a＝－3，b＝2.由②得a＝±3，b＝－2.又a＝－3，b＝－2不合题意．∴a＝3，b＝－2.③中，a，b无整数解不符合题意．综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.。
高中数学选修2-3同步练习题库：排列与组合(选择题：一般)
排列与组合（选择题：一般）1、五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻），那么不同的排法有（）A．24种 B．60种 C．90种 D．120种2、8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．113、生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案共有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种4、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A．34种 B．48种 C．96种 D．144种5、一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有（）A．240种 B．600种 C．408种 D．480种6、（2012辽宁高考）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A． B． C． D．7、若直线的系数可以从中取不同的值，这些方程表示不同直线的条数为（）A． B． C． D．8、名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）A．种 B．种 C．种 D．种9、字母排成一列，其中和相邻且在的前面，共有排列方法种数为（）A． B． C． D．10、有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( )A．18 B．15 C．16 D．2511、=( )A．31 B．32 C．33 D．3412、用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）A．250个 B．249个 C．48个 D．24个13、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．48414、甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有( ) A．210种 B．84种 C．343种 D．336种15、在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A． B． C． D．16、等于（）A． B． C． D．17、4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（）A． B． C． D．18、从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（）A．180种 B．280种 C．96种 D．240种19、若，则的值为( )A． B．70 C．120 D．14020、有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( )A．680 B．816 C．1360 D．145621、将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种 B．28种 C．32种 D．16种22、学校高二学生小明在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由六个子程序构成，且程序必须在程序之后，程序必须在程序之后，执行程序后须立即执行程序，按此要求，小明有多少不同的编程方法( )A．20种 B．12种 C．30种 D．90种23、育才中学高二四班要从4名男生，2名女生中选派4人参加志愿者活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法种数共有( )A．8 B．14 C．16 D．1824、有本相同的数学书和本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（）A． B． C． D．25、有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．26、4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种27、古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰聘于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山，现有高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位组成重庆一中“口才秀”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）A．8种 B．16种 C．20种 D．24种28、8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．2429、在同一个袋子中含有不同标号的红、黑两种颜色的小球共有8个，从红球中选取2粒，从黑球中选取1粒，共有30种不同的选法，其中黑球至多有（）A．2粒 B．4粒 C．3粒 D．5粒30、某班组织文艺晚会，准备从等8个节目中选出4个节目演出，要求：两个节目至少有一个选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860 B．1320 C．1140 D．102031、18×17×16×…×9×8等于 ( )A． B． C． D．32、圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有A．个 B．个 C．个 D．个33、下列等式中，不正确的是A． B．C． D．34、A、B、C、D、E、F六人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法种数为（）A. 720B. 240C. 120D. 6035、某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种 B．24种 C．36种 D．48种36、某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（）A. 36种B. 72种C. 30种D. 66种37、将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A．150 B．210 C．240 D．30038、篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（）种出场阵容的选择.A．16 B．28 C．84 D．9639、我市某学校组织学生前往南京研学旅行，途中4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A. 964 B，1080 C．1296 D．115240、我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有（）A．28个 B．21个 C．35个 D．56个41、现从名男生和名女生中任选取人，若必须有男有女，则不同的选法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种42、已知，则（）A．1 B．9 C．1或2 D．1或343、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种44、某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（）A．3600 B．1080 C．1440 D．252045、若=，则x的值为（）A．1或2 B．3或4 C．1或3 D．2或446、某高校大一新生的五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”、“街舞俱乐部”、“足球之家”、“骑行者”四个社团.若毎个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法的种数为（）A． B． C． D．47、有本相同的数学书和本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（）A． B． C． D．48、有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．49、将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（）A．12 B．18 C．24 D．3650、将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（）A．240种 B．180种 C．150种 D．540种51、小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为A．60 B．72 C．84 D．9652、将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）A．150种 B．180种 C．240种 D．540种53、算式可以表示为（）A． B． C． D．54、某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种 B．24种 C．36种 D．48种55、有7个灯泡排成一排，现要求至少点亮其中的3个灯泡，且相邻的灯泡不能同时点亮，则不同的点亮方法有（）A．11种 B．21种 C．120种 D．126种56、上饶高铁站进站口有个闸机检票通道口，若某一家庭有个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭个人的不同进站方式有（）种.A． B． C． D．57、为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．28058、某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是（）A．18 B．24 C．36 D．4259、学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有A．种 B．种 C．种 D．种60、九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有个节目，小品有个节目，相声有个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为（）A． B． C． D．61、某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种62、5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有( )A．25种 B．60种 C．90种 D．150种63、如果一个为十进制数的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”，从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是（）A． B． C． D．64、若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（）个A． B． C． D．65、甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12 B．40 C．60 D．8066、《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．种 B．种 C．种 D．种67、某五国领导人参加国际会议，除与，与不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有 ( )A．48种 B．36种 C．24种 D．8种68、如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（）A．360种 B．320种 C．108种 D．96种69、甲乙和其他名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这名同学的站队方法有（）A．种 B．种 C．种 D．种70、我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园，为提升城市品味、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为（）A．12 B．8 C．6 D．4参考答案1、B2、C3、B4、C5、D6、C7、B8、A9、A10、B11、D12、C13、C14、D15、B16、D17、A18、D19、D20、A21、D22、A23、B24、A25、C26、D27、D28、B29、C30、C31、D32、D33、B34、C35、B36、C37、A38、B39、D40、B41、C42、D43、C44、C45、D46、B47、A48、C49、D50、C51、C52、A53、D54、B55、A56、D57、A58、D59、C60、C61、C62、D63、B64、D65、D66、A67、A68、B69、C70、C【解析】1、试题分析：在的左边和右边是对称的（只要一个站位后，交换位置就可左右交换），因此所求排法为．故选B．考点：排列的综合应用．2、从高到底分数为14,12,10,8,6,4,2,0，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12，选C.3、第一道工序安排甲则第四道工序安排丙，从剩下4选两人照看剩下两道工序有方案第一道工序安排乙则第四道工序有两种方案，再从剩下4选两人照看剩下两道工序有方案，因此共有，选B.4、先安排A两种方法，再安排BC，有种方法，剩下全排列，所以共有，选C.5、若5个连续空位在两端时，坐法共有 ;若5个连续空位不在两端时，坐法共有 ;所以共有，选D.6、三个家庭有种坐法，每个家庭三人有种坐法，所以共有,选C.7、从不含0的5个数中任取两个数，共有种，其中如果选中2,3与4,6则有重复的两条，2,4和3,6也有重复的两条，所以有不同的直线种，当选中0时，只能表示两条不同的直线和，有加法原理共有种不同直线，故选B.8、首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，故选A.9、把和看做是一个字母，和其他四个字母作一个排列，共有排法,故选A.10、名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B.11、本题选择D选项.12、先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有个，应选答案C。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1． 2排列与组合
1、排列
综合卷
1．90×9l×92×……×100=（）
（A）10100A（B）11100A（C）12100A（D）11101A
2．下列各式中与排列数mn A相等的是（）
（A）!(1)!??nnm（B）n(n－1)(n－2)……(n－m) （C）
11mn nAnm???（D）111mnn AA??
3．若 n∈N且 n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（）
（A）827n A?（B）2734nn A??（C）734n A?（D）834n A?
4．若S=123100123100AAAA????，则S的个位数字是（）
（A）0 （B）3 （C）5 （D）8
5．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个
6．从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）
（A）20个（B）19个（C）25个（D）30个
7．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（）
（A）12种（B）18种（C）24种（D）96种
8．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）
（A）6种（B）9种（C）18种（D）24种
9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（）
（A）88A种（B）48A种（C）44A·44A种（D）44A种
10．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（）
（A）(4!)2种（B）4!·3!种（C）34A·4!种（D）35A·4!种
11．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同排法共有（）
（A）12种（B）20种（C）24种（D）48种
二．填空题:：
12．6个人站一排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有种不同排法．14．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有种．
15．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的
口袋中，但红口袋不能装入红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有种
不同的送法；
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有种
不同的送法．
三、解答题：
17．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单
（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
（2） 3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
（3） 3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
18．三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
综合卷
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C 12．600 13．504 14．480 15．96 16．(1) 60； (2) 125
17．(1) 37440；(2) 4320；(3) 14400
18．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 720
2、组合
综合
一、选择题：
1．下列等式不正确的是（）
（A）!!()!mn nCmnm??（B）11mmnn mCCnm????（C）1111mmnn mCCn?????（D）11mmnn CC???
2．下列等式不正确的是（）
（A）mnmnn CC??（B）11mmmmmm CCC????
（C）123455555552CCCCC?????（D）11111mmmmnnnn CCCC????????
3．方程2551616xxx CC???的解共有（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
4．若372345nnn CA????，则n的值是（）
（A）11 （B）12 （C）13 （D）14
5．已知7781nnn CCC???，那么n的值是（）
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15 6．从5名男生中挑选3人，4名女生
中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（）
（A）3254CC种（B）3254CC55A种（C）3254AA种（D）3254AA55A种
7．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共
有（）
（A）12种（B）34种（C）35种（D）340种
8．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一
直线，则可作成不同的直线（）
（A）18条（B）19条（C）20条（D）21条
9．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，
至少有两件一级品的抽法共有（）
（A）60种（B）81种（C）100种（D）126种
10．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊
点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）
（A）5种（B）6种（C）63种（D）64种
二．填空题：
11．若11mmnn CxC???，则x=
12．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有
种。
13．若100种产品中有两件次品，现在从中取3件，其中至少有一件是次品的抽法种数
是
种．
14．3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，
不同的分配方法共有种．
15．圆周上有2n个等分点（n>1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
16．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各
1台，则不同的取法共有种．
17．7个相同的小球，任意放人四个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法共
有种．
三．解答题：
18．拟发行体育奖券，码从000001到999999，购置时揭对奖，若规定：从个位数起。
第一、三、五位是不同的奇数，从第二、四、六位均为偶数时为中奖码，求中奖率
约为多少？（精确到0．01％）
综合卷
1．D 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B 10．C 11nm 12．90 13．9604 14．540 15．2n(n－1) 16．70
17．
20 ...。