高考数学考点专题总复习10
高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练10---函数的图象(附解析答案)
高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练专题10：函数的图象1. 设函数 f (x )=e x (2x −1)−ax +a ，其中 a <1，若存在唯一的整数 x 0 使得 f (x 0)<0，则 a 的取值范围是 ( )A. [−32e ,1)B. [−32e ,34)C. [32e ,34)D. [32e ,1)2. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 对任意的 x 都满足 f (x +2)=f (x )，当 −1≤x <1 时，f (x )=x 3，若函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣（a >0，且 a ≠1）至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( )A. (0,15]∪(5,+∞)B. (0,15)∪(5,+∞)C. (17,15]∪(5,7]D. (17,15)∪[5,7)3. 如图，长方形 ABCD 的边 AB =2，BC =1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记 ∠BOP =x ．将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x )，则 y =f (x ) 的图象大致为 ( )A. B. C. D.4. 将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为( )A. πB. π2C. π3D. π45. 如图，正三角形ABC的中心位于点G(0,1)，A(0,2)，动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π)，向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在a= (1,0)方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f(x)的图象是( )A. B.C. D.6. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是( )A. B.C. D.7. 设 f (x )=∣lnx∣，若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (0,1e )B. (ln33,e)C. (0,ln33]D. [ln33,1e )8. 已知函数 f (x )=x −4+9x+1,x ∈(0,4)．当 x =a 时，f (x ) 取得最小值 b ，则函数 g (x )=(1a )∣x+b∣ 的图象为 ( )A. B.C. D.9. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：①对任意 x ，都有 f (x +3)=f (x ) 成立；②当 x ∈[0,32] 时，f (x )=32−∣∣32−2x ∣∣，则方程 f (x )=1∣x∣在区间 [−4,4] 上根的个数是 ( ) A. 4B. 5C. 6D. 710. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．若 ∀x ∈R ，f (x −1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. [−16,16]B. [−√66,√66]C. [−13,13]D. [−√33,√33]11. 如图可能是下列哪个函数的图象 ( )A. y=2x−x2−1B. y=2x sinx4x+1C. y=(x2−2x)e xD. y=xlnx12. 如图，圆C:(x−1)2+(y−1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形（阴影部分）的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为( )．A. B.C. D.13. 已知函数 f (x )=x −[x ]，其中 [x ] 表示不超过实数 x 的最大整数．若关于 x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ( )A. (−1,−12]∪[14,13)B. [−1,−12)∪(14,13]C. [−13,−14)∪(12,1]D. (−13,−14]∪[12,1)14. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2,sin (π4x),2≤x ≤10, 若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则(x 3−2)⋅(x 4−2)x 1⋅x 2 的取值范围是( )A. (4,16)B. (0,12)C. (9,21)D. (15,25)15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f (x )={1,x ∈Q,0,x ∈∁R Q.被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数 f (x ) 有如下四个命题：①f(f (x ))=1；②函数 f (x ) 是偶函数；③任取一个不为零的有理数 T ，f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立；④存在三个点 A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得 △ABC 为等边三角形．其中真命题的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知函数 f (x )=∣log 2∣x −1∣∣，且关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+2b =0 有 6 个不同的实数根，若最小的实数根为 −3，则 a +b 的值为 ( )A. −2B. 4C. 6D. 817. 定义在 R 上的函数 f (x )=xsin2xx 2+a 的图象如图所示，则实数 a 的可能值为 ( )A. 16B. 14C. 12D. 118. 下列四个函数①f (x )=x +1，②f (x )=2x 3，③f (x )=xsinx ，④f (x )=x cosx 的图象能等分圆 O:x 2+y 2=1 的面积的是 ( )A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①②③④19. 某市2015年前n个月空气质量优良的总天数S n与n之间的关系如图所示．若前m月的月平均空气质量优良天数最大，则m值为( )A. 7B. 9C. 10D. 1220. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O沿l1以1m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t=0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.21. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N∗)，则该函数的图象是( )A. B.C. D.22. 已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1623. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.24. 给出幂函数（1） f (x )=x ，（2） f (x )=x 2，（3） f (x )=x 3，（4） f (x )=√x ，（5） f (x )=1x ，其中满足条件 f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2(x 1>x 2>0) 的函数的个数是 ( ) 个．A. 1B. 2C. 3D. 425. 已知函数 f (x )={x 2+5x,x ≥0,−e x +1,x <0.若 f (x )≥kx ，则 k 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0]B. (−∞,5]C. (0,5]D. [0,5]26. 若函数 y =a x +b 的图象如图所示，则函数 y =1x+a +b +1 的图象为 ( )A. B.C. D.27. 设函数 f (x )=∣2x −1∣，c <b <a ，且 f (c )>f (a )>f (b )，则 2a +2c 与 2 的大小关系式 ( )A. 2a +2c >2B. 2a +2c ≥2C. 2a +2c ≤2D. 2a +2c <228. 函数 f (x )=e x +e −xe x −e −x (x ≠0) 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.29. 若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对"友好点对"（点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对"友好点对"）．已知函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)，则此函数的"友好点对"有( )A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对30. 若函数f(x)=a2x−4，g(x)=log a∣x∣(a>0且a≠1)，且f(2)⋅g(−2)<0，则函数f(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )A. B.C. D.31. 定义域为R的函数f(x)={1∣x−1∣,x≠11,x=1，若关于x的函数ℎ(x)=f2(x)+bf(x)+12有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5，则x12+x22+x32+x42+x52等于( )A. 2b 2+2b2B. 16C. 5D. 1532. 关于x的方程(x2−1)2−∣x2−1∣+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．其中假命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 333. 已知a>0且a≠1，函数f(x)={(a−1)x+3a−4(x≤0),a x(x>0)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0成立，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,+∞)C. (1,53]D. [53,2)34. 已知函 f (x )={∣lgx ∣,0<x ≤10−12x +6,x >10，若 a ，b ，c 互不相等，且 f (a )=f (b )=f (c )，则 abc 的取值范围是 ( )A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)35. 已知函数 f (x )=x 2+2x +a (a >0)，f (m )<0，则 ( )A. f (m +x +1x )<0B. f (m +x +1x )≤0C. f (m +x +1x )>0D. f (m +x +1x ) 符号不确定36. 已知函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0,)x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),其中 a ∈R ，若对任意的非零实数 x 1，存在唯一的非零实数 x 2(x 2≠x 1)，使得 f (x 2)=f (x 1) 成立，则 k 的最小值为 ( )A. −115B. 5C. 6D. 837. 若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0的"自公切线"．下列方程：①x2−y2=1，②y=x2−∣x∣，③y=3sinx+4cosx，④∣x∣+1=√4−y2，对应的曲线中存在"自公切线"的有( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④38. 已知函数f(x)的定义域为R．若∃常数c>0，对∀x∈R，有f(x+c)>f(x−c)，则称函数f(x)具有性质P．给定下列三个函数：①f(x)=∣x∣；②f(x)=sinx；③f(x)=x3−x．其中，具有性质P的函数的序号是( )A. ①B. ③C. ①②D. ②③39. f(x)=(x−a)(x−b)−2（其中a<b），且α，β是方程f(x)=0的两根，α<β，则实数a，b，α，β的大小关系为( )A. α<a<b<βB. α<a<β<bC. a<α<b<βD. a<α<β<b40. 已知函数f(x)=ln(x+1)，x∈(0,+∞)，下列结论错误的是( )A. ∀x1,x2∈(0,+∞)，(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]≥0B. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，f (x 1)−f (x 2)<x 2−x 1C. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，x 2f (x 1)>x 1f (x 2)D. ∃x 1,x 2∈(0,+∞)，f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)41. 设定义域为 R 的函数 f (x )={|lg|x −1||,x ≠1,0,x =1,则关于 x 的方程 [f (x )]2+bf (x )+c =0 有 7 个不同实数解的充要条件是 ( )A. b <0 且 c >0B. b >0 且 c <0C. b <0 且 c =0D. b ≥0 且 c =042. 已知函数 f (x )=x 1+∣x∣(x ∈R ) 时，则下列结论不正确的是 ( )A. ∀x ∈R ，等式 f (−x )+f (x )=0 恒成立B. ∃m ∈(0,1) ，使得方程 ∣f (x )∣=m 有两个不等实数根C. ∀x 1,x 2∈R ，若 x 1≠x 2 ，则一定有 f (x 1)≠f (x 2)D. ∃k ∈(1,+∞) ，使得函数 g (x )=f (x )−kx 在 R 上有三个零点43. 定义：区间 [x 1,x 2](x 1<x 2) 的长度等于 x 2−x 1．函数 y =∣log a x ∣(a >1) 的定义域为 [m,n ](m <n )，值域为 [0,1]．若区间 [m,n ] 的长度的最小值为 34，则实数 a 的值为 ( )A. 54B. 2C. 154D. 444. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x) 的图象恰好通过 k(k ∈N ∗) 个格点，则称函数 f(x) 为 k 阶格点函数．下列函数：①f(x)=sinx ；②f(x)=π(x −1)2+3 ；③f(x)=(13)x ；④f(x)=log 0.6x ．其中是一阶格点函数的有 ( )A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①②③④45. 已知函数 f (x )=4∣x∣+2−1 的定义域为 [a,b ]，其中 a 、b ∈Z ，且 a <b ．若函数 f (x )的值域为 [0,1]，则满足条件的整数对 (a,b ) 共有 ( )A. 2 个B. 5 个C. 6 个D. 8 个46. 已知函数 f (x )={−x x+1,−1<x ≤0,x,0<x ≤1与函数 g (x )=a (x +1) 在 (−1,1] 上有 2 个交点，若方程 x −1x =5a 的解为正整数，则满足条件的实数 a 有 ( )A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个47. 已知函数 f (x )={2x+2+a,x ≤0,f (x −1)+1,x >0,若对任意的 a ∈(−3,+∞)，关于 x 的方程 f (x )=kx 都有 3 个不同的根，则 k 等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 448. 已知函数 y =f (−∣x∣) 的图象如图所示，则函数 y =f (x ) 的图象不可能是 ( )A. B.C. D.49. 设函数的集合 P ={f (x )=log 2(x +a )+b∣∣a =−12,0,12,1;b =−1,0,1}，平面上点的集合 Q ={(x,y )∣x =−12,0,12,1;y =−1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f (x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 ( )A. 4B. 6C. 8D. 1050. 已知函数 f (x )=∣x 2+3x ∣，x ∈R ．若方程 f (x )−a∣x −1∣=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 ．51. 已知函数 f (x )=x (lnx −ax ) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ．52. 已知函数 f (x )={(12)x +34,x ≥2,log 2x,0<x <2. 若函数 g (x )=f (x )−k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 ．53. 对于函数 f (x )={sinπx,x ∈[0,2],12f (x −2),x ∈(2,+∞), 有下列 5 个结论： ①任取 x 1,x 2∈(0,+∞)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2；②函数 y =f (x ) 在区间 (4,5) 上单调递增；③f (x )=2kf (x +2k )(k ∈N +)，对一切 x ∈(0,+∞) 恒成立；④函数 y =f (x )−ln (x −1) 有 3 个零点；⑤若关于 x 的方程 f (x )=m (m <0) 有且只有两个不同实根 x 1,x 2，则 x 1+x 2=3． 则其中所有正确结论的序号是 ．（请写出全部正确结论的序号）54. 关于函数 f (x )=b ∣x∣−a (a >0,b >0) 有下列命题：①函数 f (x ) 的值域为 (−∞,0)∪(0,+∞)；②直线 x =k 与函数 f (x ) 的图象有唯一交点；③函数 y =f (x )+1 有两个零点；④函数定义域为 D ，则任意的 x ∈D ，f (x )=f (−x )．其中所有叙述正确的命题序号是 ．55. 如果是函数y=sinπxx2−bx+c 的图象的一部分，若图象的最高点的坐标为(12,43)，则b+c=．56. 设a∈R，若x>0时均有[(a−1)x−1](x2−ax−1)≥0，则a=．57. 对于函数y=f(x)(x∈R)，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于直线x=0对称；（2）若f(1−x)=f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称；（3）若f(1+x)=f(x−1)，则函数y=f(x)是周期函数；（4）若f(1−x)=−f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称．其中所有正确命题的序号是 .58. 已知函数 f (x )={|log 3x|,0<x <313x 2−103x +8,x ≥3，若存在实数 a ，b ，c ，d ，满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，其中 d >c >b >a >0，则 abcd 的取值范围是 ．59. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y =√3+2x −x 2−√3(x ∈[0,2]) 的图象绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转角 θ，若 ∀θ∈[0,α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则 α 的最大值为 ．60. 已知函数 f (x )={∣log 3x ∣,0<x <3,sin π3x,3≤x ≤9,若存在实数 a ，b ，c ，d 满足 a <b <c <d ，且 f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，则 (c−3)(d−3)ab 的取值范围是 ．61. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣−1,x ≤1x 2−3x+3x−1,x >1，下列关于函数 g (x )=[f (x )]2+af (x )−1（其中 a 为常数）的叙述中：①对 ∀a ∈R ，函数 g (x ) 至少有一个零点；②当a=0时，函数g(x)有两个不同零点；③∃a∈R，使得函数g(x)有三个不同零点；④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a＜0．其中真命题有．（把你认为真命题的序号都填上）62. 已知函数y=x(x−1)(x+1)的图象如图所示．令f(x)=x(x−1)(x+1)+0.01，则下列关于f(x)=0的解的叙述正确的是（填写序号）．①有三个实根；②当x>1时，恰有一个实根；③当0<x<1时，恰有一个实根；④当−1<x<0时，恰有一个实根；⑤当x<−1时，恰有一个实根（有且只有一个实根）．63. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系t={64,x≤0,2kx+6,x>0.且该食品在4∘C的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：①.该食品在6∘C的保鲜时间是8小时；②.当x∈[−6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④.到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．64. [x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x−[x]．则下列结论中正确的有．①函数f(x)的值域为[0,1]；②方程 f (x )=12 有无数个解；③函数 f (x ) 的图象是一条直线；④函数 f (x ) 是 [k,k +1](k ∈Z ) 上的增函数．65. 已知函数 f (x )=∣∣log a ∣x −1∣∣∣（a >0，a ≠1），若 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 1x 1+1x 2+1x 3+1x 4= ．66. 将函数 y =∣∣12x −1∣∣+∣∣12x −2∣∣+1 的图象绕原点顺时针方向旋转角 θ(0≤θ≤π2) 得到曲线 C ．若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 θ 的取值范围是 ．67. 设函数 f (x )={x 2−4x +1(x ≥0),3x +2(x <0), 若互不相等的实数 x 1，x 2，x 3 满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ．68. 已知函数f(x)=∣lg(x−1)∣．若a≠b，f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是．69. 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[−2,2]的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根；③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）70. 对于实数 a 和 b ，定义运算" ∗ "：a ∗b ={a 2−ab,a ≤b,b 2−ab,a >b.设 f (x )=(2x −1)∗(x −1)，且关于 x 的方程 f (x )=m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1，x 2，x 3，则 x 1x 2x 3 的取值范围是 ．71. 设函数 f 0(x )=(12)∣x∣，f 1(x )=∣∣f 0(x )−12∣∣，f n (x )=∣∣∣f n−1(x )−(12)n ∣∣∣，n ≥1，n ∈N ，则方程 f n (x )=(1n+2)n有 个实数根．72. 已知 f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=2x −2．若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0 或g (x )<0；②∃x ∈(−∞,−4),f (x )g (x )<0，则 m 的取值范围是 ．73. 已知 f (x ) 是定义在 [1,+∞) 上的函数，且 f (x )={1−∣2x −3∣,1≤x <212f (12x),x ≥2，则函数 y =2xf (x )−3 在区间 (1,2015) 上的零点的个数为 ．74. 如图所示，函数 y =f (x ) 的图象由两条射线和三条线段组成．若 ∀x ∈R ，f (x )>f (x −1)，则正实数 a 的取值范围为 ．75. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．76. 已知定义在 [−1,1] 上的函数 f (x )=−2∣x∣+1，设 f 1(x )=f (x )，f n+1(x )=f [f n (x )]，n ∈N +，若关于 x 的方程 f 3(x )−mx +m =0 有 5 个实数解，则实数 m 的取值范围是 ．77. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 x ∈M (M ⊆D )，有 x +l ∈D ，且 f (x +l )≥f (x )，则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数．（1）如果定义域为 [−1,+∞) 的函数 f (x )=x 2 为 [−1,+∞) 上的 m 高调函数，那么实数 m 的取值范围是 ．（2）如果定义域为 R 的函数 f (x ) 是奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=∣x −a 2∣−a 2，且f (x ) 为 R 上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值范围是 ．参考答案，仅供参考1. D 【解析】法一：考虑函数 g (x )=e x (2x −1)，以及函数 ℎ(x )=a (x −1)，则题意要求存在唯一的整数 x 0 使得 g (x 0)<ℎ(x 0)．注意到 gʹ(x )=e x (2x +1)，尤其注意到 y =x −1 为 y =g (x ) 在 (0,−1) 处的切线，如图．于是可以确定符合题意的唯一整数 x 0=0，则 {f (0)<0f (1)≥0f (−1)≥0，解得 32e ≤a <1．法二：首先 f (0)=−1+a <0，所以唯一的整数为 0．而 f (−1)=−3e+2a ≥0，解得 a ≥32e ．又 a <1，对 f (x ) 求导得 fʹ(x )=e x (2x +1)−a ， 当 x <−12 时，fʹ(x )<0；当 x >0 时，fʹ(x )>0．从而 f (x ) 在 (−∞,−12) 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增． 而当 a ≥32e 时，有 f (−1)≥0，f (0)<0，f (1)>0， 故在 (−∞,−1]∪[1,+∞) 上 f (x )≥0，f (0)<0，满足题意．所以满足条件的 a 的取值范围为 [32e ,1)．2. A 【解析】由题意得，函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣ 的零点个数即为 y =f (x ) 与 y =log a ∣x∣ 的图象的交点个数． 因为 f (x +2)=f (x )，所以函数 f (x ) 是周期为 2 的周期函数， 又因为 f (x )=x 3(−1≤x <1)， 所以函数 f (x ) 的图象如图所示．在同一坐标系中作出函数 y =log a ∣x∣={log a x,x >0log a (−x ),x <0 的图象（a >1 时，如图（1）；0<a <1 时，如图（2））．由图象得，要使y=f(x)与y=log a∣x∣的图象至少有6个交点，则当a>1时log a5<1；当0<a<1时，log a5≥−1，解得a>5或0<a≤15．3. B【解析】当点P在BC上时，x∈[0,π4]，y=PA+PB=√4+tan2x+tanx，y随x增大而增大，且y与x不为线性关系．由对称性可知，当P在DA上时，y单调递减，且y与x不为线性关系，当x=π4时，y=√5+1；当P在CD上运动时，x∈(π4,3π4]，当x=π2时，PA+PB=2√2<√5+1，结合选项，故选B．4. D5. C【解析】设BC与y轴交于点M，则AGGM =21，又G(0,1)，A(0,2)，所以M(0,12)，正三角形边长为√3．当点P运动到点B时，∠AGP=2π3，此时射影y取到最小值−√32，所以排除A，B．当点P从点B向点M运动时，2π3≤x≤π，∠PGM=π−x，所以−y12=tan(π−x)，得y=12tanx，结合图象应该选C．6. D7. D【解析】函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点即函数f(x)=∣lnx∣与y= ax在区间(0,3]上有三个交点．画图如下．当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，由图知，当x∈(0,1]时，存在一个交点，当x＞1时，f(x)=lnx，可得g(x)=lnx−ax(x∈(1,3])，gʹ(x)=1x −a=1−axx，若gʹ(x)＜0，可得x＞1a ，g(x)为减函数，若gʹ(x)＞0，可得x＜1a，g(x)为增函数，此时y=f(x)与y=ax必须在[1,3]上有两个交点，即y=g(x)在[1,3]上有两个零点，所以{g(1a)＞0,g(3)≤0,g(1)≤0,解得ln33≤a＜1e，故函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点时，ln33≤a＜1e．8. B 【解析】f (x )=x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)×9(x+1)−5=1， 当且仅当 (x +1)2=9，即 x =2（x =−4 舍去）时等号成立，故 a =2,b =1，所以函数 g (x )=(12)∣x+1∣，其图象是把函数 y =(12)∣x∣的图象向左平移一个单位得到．9. B 【解析】因为 f (x +3)=f (x )，所以 f (x ) 周期为 3，当 x ∈[0,32] 时，f (x )={2x,0<x ≤34,3−2x,34<x ≤32.画出 y =f (x ) 和 y =1∣x∣的图象如下．由图象知方程 f (x )=1∣x∣ 在区间 [−4,4] 上根的个数是 5 个． 10. B【解析】函数 f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．在 x ≥0 时的解析式等价于 f (x )={−x,0≤x ≤a 2,−a 2,a 2<x <2a 2,x −3a 2,x ≥2a 2. 因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x ) 在 R 上的大致图象如下，由∀x∈R，f(x−1)≤f(x)，可得2a2−(−4a2)≤1，解得a∈[−√66,√66]．11. C【解析】A 中，因为y=2x−x2−1，当x趋向于−∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，所以函数y=2x−x2−1的值小于0，所以 A 中的函数不满足条件；B 中，因为y=sinx是周期函数，所以函数y=2x sinx4x+1的图象是以x轴为中心的波浪线，所以 B 中的函数不满足条件；C 中，因为函数y=x2−2x=(x−1)2−1，当x<0或x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；且y=e x>0恒成立，所以y=(x2−2x)e x的图象在x趋向于−∞时，y>0，0<x<1时，y<0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；所以 C 中的函数满足条件；D 中，y=xlnx 的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，且在x∈(0,1)时，lnx<0，所以y=xlnx<0，所以 D 中函数不满足条件．12. C【解析】由图1知当t≤−√2时，S=0．由图2知当t≥√2时，S=π．，且阴影部分的面积以t=0为分界点，离t=0越近增长得越快，对照当t=0时，S=π2图象知 C 符合题意．13. A【解析】如下图所示：y=kx+k表示恒过点A(−1,0)斜率为k的直线．若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根，则函数f(x)=x−[x]与函数g(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点．由图可得：当直线y=kx+k过(2,1)点时，k=13；当直线y=kx+k过(3,1)点时，k=14；当直线y=kx+k过(−2,1)点时，k=−1；当直线y=kx+k过(−3,1)点时，k=−12．则实数k的取值范围是14≤k<13或−1<k≤−12．14. B【解析】画出f（x）的图象如图所示，由图中可以看出：x1<1<x2<2<x3<4<8<x4<10，因为f(x1)=f(x2)=f(x3)= f(x4)，所以−log2x1=log2x2，x3+x4=12，从而有x1⋅x2=1，又(x3−2)⋅(x4−2)= (x3−2)⋅(12−x3−2)=−(x3−6)2+16，所以(x3−2)⋅(x4−2)x1⋅x2的取值范围是(0,12) .15. D【解析】由狄利克雷函数的定义：若x∈Q，则f(f(x))=f(1)=1，若x∈∁R Q，则f(f(x))=f(0)=1；若x∈Q，则−x∈Q，则f(−x)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则−x∈∁R Q，则f(−x)=f(x)=0；所以函数f(x)是偶函数；若x∈Q，因为T是非零的有理数，所以x+T∈Q，所以有f(x+T)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则x+T∈∁R Q，所以f(x+T)=f(x)，所以对任意的x∈R，有f(x+T)=f(x)恒成立；取A(−√33,0)，B(√33,0)，C(0,1)，则△ABC为等边三角形，所以存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使得△ABC为等边三角形．16. A【解析】画出函数f(x)=∣log2∣x−1∣∣的图象，如图所示．设f(x)=t，则t2+at+2b=0．若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+2b=0有6个不同的实数根，则关于t的方程t2+at+2b=0一定有一根为0，另一根为正，从而b=0，a<0，且两根分别为t1=0、t2=−a．（i）方程f(x)=−a(a<0)有4个实根，由最小的根为−3，得f(−3)=−a，解得a=−2；（ii）方程f(x)=0有x=0和x=2两个实根．综上，a+b=−2．17. A18. B19. C20. B【解析】解法一如图，设∠MON=α，由弧长公式知x=α，在Rt△AOM中，∣AO∣=1−t，cos x2=∣OA∣∣OM∣=1−t，所以y=cosx=2cos2x2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B．解法二由题意可知，当t=1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1=π，所以cosπ=−1，排除 A，D；当t=12时如图所示，易知∠BOC=2π3，所以cos2π3=−12<0，排除 C．21. A【解析】由已知得f(a n)>a n，即y=f(x)的图象在y=x的图象的上方．22. B【解析】由f(x)=g(x)，得(x−a)2=4．所以，当x=a−2和x=a+2时，两函数值相等，又f(x)的图象为开口向上的抛物线，g(x)的图象为开口向下的抛物线，则H1(x)={f(x),x≤a−2,g(x),a−2<x<a+2,f(x),x≥a+2, H2(x)={g(x),x≤a−2,f(x),a−2<x<a+2,g(x),x≥a+2.所以A=H1(x)min=f(a+2)=−4a−4，B=H2(x)max=g(a−2)=−4a+12，所以A−B=−16．23. B【解析】通过圆心角α将弧长x与时间t联系起来，圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则α=x，如图所示，cosα2=1−t，即cos x2=1−t,则y=cosx=2cos2x2−1=2(1−t)2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1).其图象为开口向上，在[0,1]上的一段抛物线．24. A【解析】①不满足，函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2；②不满足，在第一象限，函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；③不满足，在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；④满足，函数f(x)=√x的图象是凸形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2；⑤不满足，当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2．25. D【解析】f(x)的图象如下图所示：令g(x)=kx，则使得f(x)的图象在g(x)图象的上方即可．g(x)的两个临界状态分别是k=0和与y=x2+5x(x≥0)相切的时候．当g(x)与y=x2+5x(x≥0)相切时，k=yʹx=0=5．所以0≤k≤5．26. C【解析】由图可知0<a<1,−2<b<−1．又函数y=1x+a+b+1的图象是由y=1x向左平移a个单位，向下平移∣b+1∣单位而得到的．结合四个选项可知C正确．27. D28. A【解析】提示：因为函数f(x)是奇函数，又f(x)=1+2e2x−1在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减．29. C【解析】函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)的图象（实线部分）及函数f(x)=−x2−4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象（虚线部分）如图所示：则 A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数 f (x )=−x 2−4x (x ≤0) 的图象上，故函数 f (x ) 的"友好点对"有 2 对． 30. B【解析】f (2)⋅g (−2)=a 0log a 2<0，得 0<a <1，所以 f (x )=a 2x−4 在 R 上为减函数，g (x )=log a ∣x ∣ 在 (0,+∞) 上为减函数，在 (−∞,0) 上为增函数．31. D 【解析】令 ℎ(x )=0，即 f 2(x )+bf (x )+12=0，由其有 5 个不同零点，结合函数 f (x ) 图象，可知，f (x )=1 应满足上述方程，再结合，两根之积为 12，则 f (x )=12 也满足方程； 因此，解上述 f (x )=1 和 f (x )=12，可得方程的 5 个不同的零点为 x 1=0 、 x 2=1 、 x 3=2 、 x 4=−1 、 x 5=3．32. A【解析】根据题意可令∣x2−1∣=t(t≥0)，则原方程化为t2−t+k=0，设方程t2−t+k=0的两根为t1，t2（不妨设t1≤t2），则Δ=1−4k≥0，得k≤14．则{t1+t2=1,t1⋅t2=k,结合t=∣x2−1∣的图象可知：①当k<0时，t1<0<1<t2，所以原方程有2个不同的实根．②当k=0时，t1=0，t2=1，所以原方程有5个不同的实根．③当k=14时，t1=t2=12，所以原方程有4个不同的实根．④当0<k<14时，0<t1<t2<1，所以原方程有8个不同的实根．33. C【解析】由题意知f(x)在R上为增函数，画出函数图象的草图如图所示：所以 {a −1>0,a >1,3a −4≤1, 解得 1<a ≤53．34. C 【解析】作出函数 f (x ) 的图象如图， 不妨设 a <b <c ，则 −lga =lgb =−12c +6∈(0,1) ab =1，0<−12c +6<1 则 abc =c ∈(10,12)．35. C【解析】设 f (x ) 的两个根分别为 x 1，x 2，且 x 1<x 2，则 (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4−4a ，因为 a >0，所以 x 2−x 1<2． 由 f (m )<0 可知 x 1<m <x 2，利用均值不等式可知 m +x +1x ≥m +2 或 m +x +1x ≤m −2，结合二次函数图象知 m +x +1x >x 2 或 m +x +1x <x 1，所以 f (m +x +1x )>0． 36. D 【解析】因为函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0),x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),，其中 a ∈R ，所以x=0时，f(x)=k(1−a2)．又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得f(x2)=f(x1)成立，所以函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，易知k≤0时，结合图象可知，不符合题意．所以k＞0，且(3−a)2=k(1−a2)，即(k+1)a2−6a+9−k=0有实数解，所以△=62−4(k+1)(9−k)≥0，解得k＜0或k≥8．又因为k＞0，所以k的取值范围为[8,+∞)．37. C【解析】①中x2−y2=1是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"；②如图所示，曲线在点(−12,−14)和点(12,−14)处的切线重合；③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)(tanφ=43)．如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"；④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．38. B【解析】对于①：因为f(x)=∣x∣是偶函数，所以当x=0时，对于∀c∈R，都有f(x+c)=f(x−c)成立，所以该函数不具有性质P；对于②：对于∀常数c>0，当x+c=−π2时，有f(x+c)≤f(x−c)成立，故该函数也不具有性质P；对于③：因为 f (x )=x 3−x 在 (−∞,−√33)，(√33,+∞) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，所以 ∃ 常数 c >√33>0，对 ∀x ∈R ，有 f (x +c )>f (x −c ) 成立，所以该函数具有性质 P ．39. A 【解析】f (x )=(x −a )(x −b )−2 的图象是由 f (x )=(x −a )(x −b ) 的图象向下平移 2 个单位得到的，如图：由图可得 α<a <b <β． 40. D【解析】函数图象可由 y =lnx 向左平移一个单位得到：当 x ∈(0,+∞) 时，函数 f (x )=ln (x +1) 为上凸的增函数，∣EF ∣=f (x 1)+f (x 2)2，∣EG ∣=f (x 1+x 22)，∣EF ∣<∣EG ∣．41. C【解析】函数f(x)的图象如图所示，再由题关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，所以，关于f(x)的方程有两个不同解，且[f(x)]1=0，[f(x)]2>0，因此，c=0且b<0．42. D【解析】因为f(−x)=−x1+∣x∣=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；方程∣f(x)∣=m根的个数，就是函数y=∣f(x)∣与函数y=m的图象交点的个数，由图2可得B对；当x≥0时fʹ(x)=1(1+x)2>0，则f(x)在(0,+∞)为增函数，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(−∞,0)上也为增函数，可得C对；对于D中，当x>0时，f(x)−kx=0，解得x=0或x=1k −1，由x=1k−1>0，得0<k<1，故D错．43. D【解析】作出函数y=∣log a x∣(a>1)的图象（如图），。
【高考数学复习 解析几何专题】第10讲 设点与设线-原卷及答案
第10讲 设点与设线知识与方法处理解析几何问题时,有个重要遇阻因素是如何表示直线方程,是直接采用斜率作参量还是用点的坐标作参量,即是设点还是设线.“设线”时至多有两个变量,当所设直线能够方便地表示“问题目标元”,达到“一线贯通”时,应考虑设线;若选用设点,要确认“问题目标元”能否用点参表示,达到“点点通”.特别是当直线无法方便地将“问题目标元”与之联系起来时,“设点”往往是优选方案.但从思维习惯来讲,“设线”是我们采取的常规手段,是通法.抛物线背景下,用“设点”表示直线显得较为简练.1.抛物线中的直线的两点式方程:过执物线22(0)y px p =>上两点,A B 的直线方程,常运用设点法表示,记点()()222,2,2,2A pa pa B pb pb ,于是直线AB 的方程:()222222222pb pa y pa x pa pb pa--=--,即()20x a b y pab -++=. 若设点()()1122,,,A x y B x y ,则直线AB 的方程:()121220px y y y y y -++=.若将抛物线方程改为22(0)x py p =>,则直线AB 的方程:()121220py x x x x x -++=. 2.抛物线中的过定点弦性质:(1)直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于()()1122,,,A x y B x y 两点,与x 轴交于点(),0M m ,则21212,2x x m y y pm ==-.(2)直线l 与抛物线22(0)x py p =>相交于()()1122,,,A x y B x y 两点,与y 轴交于点()0,M m ,则21212,2y y m x x pm ==-.典型例题【例1】已知()1,1M 是抛物线2:C y x =上一点,直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,使得90AMB ∠=,则原点到直线l 的距离的最大值为_______.【例2】如图,点,,A B C 在抛物线24y x =上,抛物线的焦点F 在AB 上,AC 与x 轴交于点,,D AF AD AB BC =⊥,则FD =（ ）A. B.4C. D.3【例3】设动点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A.12+C.12+D.2【例4】如图，设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF - (1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过点B 与x 轴平行的直线和过点F 与AB 垂直的直线交于点,N AN 与x 轴交于点M .求点M 的横坐标的取值范围。
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
高考数学复习考点知识与结论专题讲解10 指数运算及指数函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解高考数学复习考点知识与结论专题讲解第10讲、指数运算及指数函数指数运算及指数函数通关一通关一、、根式的概念和性质根式的概念和性质通关二通关二、、指数函数(xy a a =>0图像定义域 值域 奇偶性 对称性 过定点 单调性 在函数值的变化情况当0x <时,y 底数对图像的影响 指数函数在同一坐标系图所示,其中①在y 轴右侧,图像从②在y 轴左侧,图像从0,且1)a ≠的图像与性质的图像与性质0＜a ＜1 a ＞R (0，＋∞) 非奇非偶函数函数y ＝a －x 与y ＝a x的图像关于y 轴对称 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1R 上是减函数在R 上是增1;>当0x >时,01y <<当0x >时,y >坐标系中的图像的相对位置与底数大小关系如01c d <<<a b <<.图像从上到下相应的底数由大变小; 图像从下到上相应的底数由大变小.＞1上是增函数 1;当0x <时,0<y <1结论一结论一、、指数基本运算指数基本运算当0,0a b >>时,有:①(,)m n m na a a m n +⋅=∈R ;②(,)mm n n a a m n a −=∈R ;③()(,)n m mn a a m n =∈R ; ④()()m m m ab a b m =∈R ;⑤1()p p a p a−=∈Q;⑥)*,m n a m n =∈N . 【例1】化简并求值.(1)293425)−×11113342a b a b −【解析】(1)9222933431033422125)255252−−−− ×=××=×=;112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b −−−⋅ ====⋅⋅. 【变式】化简并求值.(1)若2,4a b ==1a b ÷+−的值; (2)若11223x x−+=,求33222232x x x x −−+−+−的值;(3)设()11*201420142nna n −−=∈N,求)na 的值.1a b ÷−=−−==2,4a b====当时,原式12===.(2)先对所给条件等价变形:()21133111212222222327,13618x x x x x x x x x x−−−−−+=+−=−=+=++−=×=, ()2221227247x x x x−−+=+−=−=.故3322223183124723x xx x−−+−−==+−−.(3)因为11201420142n na−−=,所以21122014201412n na−++=a−= 1111112014201420142014220142014222n n n n nn−−−−+−×−==.所以)n a−=1120142014nn−=.结论二结论二、、指数比较大小指数比较大小1.对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;2.对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断;3.对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.【例2】设232555322,,555a b c===,则,,a b c的大小关系是()A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】A【解析】对于函数25xy=,在其定义域上是减函数.因为3255>,所以32552255 < ,即b c <.在同一平面直角坐标系中画出函数35x y = 和函数25xy=的图像,可知22553255 > ,即a c >.从而a c b >>.故选A. 【变式】若221m n >>,则(). A.11m n> B.1122log log m n >C.ln()0m n −>D.1m n π−>【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得m n >.因为,m n 的符号不确定,所以当0,0m n <<时,可排除A,B 选项;当3,12m n ==时,可排除C 选项;由指数函数的性质可判断1m n π−>正确.故选D.结论三结论三、、指数函数过定点指数函数过定点指数函数(01)x y a a a =>≠且的图像恒过点1(0,1),(1,),(1,a a−，且函数的图像经过第一、二象限.【例3】函数1()2(0,1)x f x a a a +=−>≠的图像必过定点__________. 【答案】(1,1)−−【解析】1()2(0,1)x f x a a a +=−>≠,令10x +=,则1x =−. 当1x =−时，(1)f −112121a −+=−=−=−,所以()f x 必过点(1,1)−−.【变式】已数函数24()1(0x f x a a −=−>且1)a ≠的图像恒过定点(,)P m n ,则m =__________.n =__________.【答案】2,0【解析】令240x −=,求得2,0x y ==,图像经过定点(2,0),即2,0m n ==.结论四结论四、、底数a 对指数函数图像的影响对指数函数图像的影响1．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图像的“升降”：当1a >时，指数函数的图像“上升”；当01a <<时，指数函数的图像“下降”.2. 底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是1a >还是01a <<,在第一象限内，自上向下，图像对应的指数函数的底数逐渐变小.3. 作直线1x =所给指数函数图像相交,交点的纵坐标为该指数函数的底数, 由此可判断多个指数函数底数的大小关系.4. (01)x y a a a =>≠且在第一象限的图像, a 越大, 图像越靠近y 轴; a 越小, 图像越靠近x 轴.【例4】右图是指数函数(1) ,(2)x x y a y b ==, (3) x y c =, (4) x y d =的图像,则,,,a b c d 与1的大小关系为（）. A.1a b c d <<<< B.1b a d c <<<<C.1a b c d <<<<D.1a b d c <<<<【答案】B.【解析】有图像可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1，过点(1,0)作直线1x =, 在第一象限内分别与各曲线相交, 由图像可知1,1d c b a <<<<, 从而可得,,,a b c d 与1的大小关系为1b a d c <<<<.【变式】已知函数11()2x f x b −=+的图像不经过第一象限,则实数b 的取值范围是（）.A.1b <−B.1b −…C.2b −…D.2b <− 【答案】C【解析】因为函数()f x 为减函数, 所以若函数11()2x f x b −=+的图像不经过第一象限,则满足(0)20f b =+…, 即2b −….故选C .结论五结论五、、指数数数单调指数数数单调若1,x a y a >=在R 上是增函数;若01,x a y a <<=在R 上是増函数.要点诠释：指数增减要看清,抓着底数不放松，反正底数大于零，不等于1已表明. 底数若是大于1 , 图像从下向上增；底数0 到1之间，图像从上往下减. 无论函数增和减，图像都过(0,1)点. 【例5】函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值是__________. 【答案】12或32【解析】当01a <<时，函数x y a =在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上的最大值为a ，最小值为2a , 则22a a a −=, 得22a a =.又01a <<，所以12a =.当1a >时，函数x y a =在[1,2]上单调递增,故在[1,2]上的最大值为2a , 最小值为a , 那么22a a a −=, 得232a a =.又1a >, 所以32a =.综上，a 的值是12或32.【变式】函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3 , 则a 等于（）.A.12B. 2C. 4D.14【答案】B【解析】解法一：当1a >时, x y a =为单调递增函数, 在[0,1]上的最值分别为maxy min (1),(0)1f a y f ====, 所以13a +=, 解得21a =>.当01a <<时, x y a =为单调递减函数,在[0,1]上的最值分别为max min (0)1,y f y ===(1)f a =, 所以13a +=, 解得21a =>, 这与01a <<矛盾. 综上, 2a =. 故选B .解法二：因为x y a =是单调函数, 所以x y a =必在区间[0,1]的端点处取得最大值和最小值,因此13a +=, 从而2a =. 故选B .。
高考数学复习考点知识讲解课件10 指数与指数函数
围是( C )
A．(2，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)
D．(0,1)
[解析] 在同一坐标系内分别作出函数 y＝x－1 1和 y＝2x－a 的图象，则由图知，当 a ∈(0,2)时符合要求．故选 C．
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(新教材) 高三总复习•数学
考点三 指数函数的性质及应用——多维探究
角度 1：比较指数式的大小
由(x
1 2
＋x－12
)3＝33，得
3
x2
＋3x
1 2
＋3x－12
＋x－32
3
＝27.∴x2
＋x－32
3
＝18，∴x2
＋x－32
－3＝
15. ∴x32x2＋＋xx－－232－－23＝13.
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注 意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
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(新教材) 高三总复习•数学
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4 (1)
a2＋2ab＋b2＝
a＋b.( ×
)
(2)(－2)13＝6 －22.( × ) (3)若函数 f(x)是指数函数，且 f(1)>1，则 f(x)是增函数．( √ ) (4)若 a>1，则当 f(x)有最大值时，g(x)＝af(x)也有最大值．( √ )
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(新教材) 高三总复习•数学
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(3)y＝|ax－1|的图象是由 y＝ax 先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 过来得到的．
高考数学复习考点题型专题讲解10 数列的递推关系与通项
高考数学复习考点题型专题讲解专题10 数列的递推关系与通项1.求数列的通项公式是高考的重点内容，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解.2.利用数列的递推关系求数列的通项，常见的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)构造法(包括辅助数列法，取倒数法，取对数法等).类型一利用a n与S n的关系求通项1.已知S n求a n的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式.(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.2.S n与a n关系问题的求解思路(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解.(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解.例1 (1)已知数列{a n}为正项数列，且4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S nan＋2＝S n，求数列{a n}的通项公式；(2)已知数列{a n}的各项均为正数，且S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an，求数列{a n}的通项公式.解(1)由题知4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S nan＋2＝S n，①则4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S n－1an－1＋2＝S n－1(n≥2，n∈N*)，②由①－②可得4S nan＋2＝a n，即4S n＝a2n＋2a n，n≥2，n∈N*，在已知等式中令n＝1，得4S1a1＋2＝S1，则4S1＝a1(a1＋2)，③满足上式，所以4S n＝a2n＋2a n，④则4S n－1＝a2n－1＋2a n－1(n≥2)，⑤④－⑤可得4a n＝a2n＋2a n－a2n－1－2a n－1⇔2(a n＋a n－1)＝a2n－a2n－1. 因为a2n－a2n－1＝(a n＋a n－1)(a n－a n－1)，a n>0，所以a n－a n－1＝2，所以{a n}为公差是2的等差数列，由③可解得a1＝2，所以a n＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N*).(2)由S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an，得当n ≥2时，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －S n －1＋1S n －S n －1，所以2S n ＝S n －S n －1＋1S n －S n －1，即S n ＋S n －1＝1S n －S n －1，所以S 2n －S 2n －1＝1，所以{S 2n }为公差是1的等差数列，所以S 2n ＝S 21＋(n －1).在S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 中，令n ＝1可得S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，解得a 1＝1，所以S 2n ＝n ，所以S n ＝n ，所以a n ＝⎩⎨⎧S n －S n －1，n ≥2，S 1，n ＝1＝⎩⎨⎧n －n －1，n ≥2，1，n ＝1，所以a n ＝n －n －1(n ∈N *).训练1 已知正项数列{a n ＋2n －1}的前n 项和为S n ，且4S n ＝a 2n ＋(2n ＋2)a n ＋4n －1＋2n －3.求数列{a n }的通项公式.解 由题知4S n ＝a 2n ＋(2n ＋2)a n ＋4n －1＋2n －3＝(a n ＋2n －1)2＋2(a n ＋2n －1)－3， 令b n ＝a n ＋2n －1， 则4S n ＝b 2n ＋2b n －3，①当n ≥2时，4S n －1＝b 2n －1＋2b n －1－3，②由①－②，得4b n ＝b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1， 整理得(b n －b n －1－2)(b n ＋b n －1)＝0. 因为b n >0，所以b n －b n －1＝2(n ≥2). 又4S 1＝b 21＋2b 1－3， 即b 21－2b 1－3＝0，解得b 1＝3或b 1＝－1(舍去)，所以数列{b n }是以3为首项，2为公差的等差数列， 则b n ＝2n ＋1，所以a n ＝b n －2n －1＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *). 类型二 构造辅助数列求通项(1)形如a n ＝pa n －1＋q (p ≠1，q ≠0)的形式，通常可构造出等比数列a n ＋q p －1＝p ⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋q p －1，进而求出通项公式. (2)形如a n ＝pa n －1＋q n ，此类问题可先处理q n ，两边同时除以q n ，得a nq n ＝pa n －1q n＋1，进而构造成a n q n ＝p q ·a n －1q n －1＋1，设b n ＝a n q n ，从而变成b n ＝pqb n －1＋1，从而将问题转化为第(1)个问题.(3)形如qa n －1－pa n ＝a n a n －1，可以考虑两边同时除以a n a n －1，转化为q a n －pa n －1＝1的形式，进而可设b n ＝1a n，递推公式变为qb n －pb n －1＝1，从而转变为上面第(1)个问题.(4)形如a n ＝ma n －1k （a n －1＋b ）(其中n ≥2，mkb ≠0)取倒数，得到1a n ＝k m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a n －1⇔1a n＝kb m ·1a n －1＋km，转化为(1)中的类型. (5)形如a n ＝pa r n －1(n ≥2，a n ，p >0)两边取常用对数，得lg a n ＝r lg a n －1＋lg p ，转化为(1)中的类型. 考向1 构造法求通项例2 (1)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝2a n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由a n ＝2a n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，得2n a n ＝2n ＋1a n ＋1－1，所以数列{2n a n }是首项和公差均为1的等差数列， 于是2n a n ＝1＋(n －1)×1＝n ， 所以a n ＝n2n (n ∈N *).(2)因为S n ＋1－2S n ＝1， 所以S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，n ∈N *. 因为a 1＝S 1＝1， 所以可推出S n ＋1>0，故S n ＋1＋1S n ＋1＝2， 即{S n ＋1}为等比数列. 因为S 1＋1＝2，公比为2， 所以S n ＋1＝2n ， 即S n ＝2n －1.因为S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 又a 1＝1也满足此式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *). 考向2 取倒数法求通项 例3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n a n ＋3，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式.解 对a n ＋1＝a na n ＋3两边取倒数，可得1a n ＋1＝3a n＋1，由1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋12是首项为1，公比为3的等比数列，∴1a n ＋12＝3n －1， 则a n ＝22·3n －1－1(n ∈N *). 考向3 取对数法求通项例4 设正项数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a 2n －1(n ≥2).求数列{a n }的通项公式. 解 对a n ＝2a 2n －1两边取对数得log 2a n ＝1＋2log 2a n －1， ∴log 2a n ＋1＝2(log 2a n －1＋1)， 设b n ＝log 2a n ＋1，则{b n }是以2为公比，1为首项的等比数列，所以b n ＝2n －1， 即log 2a n ＋1＝2n －1， 故a n ＝22n －1－1(n ∈N *).训练2 (1)若数列{a n }中，a 1＝3，且a n ＋1＝a 2n ，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1，则a n ＝________.答案 (1)32n －1(n ∈N *) (2)12n －1(n ∈N *) 解析 (1)易知a n >0，由a n ＋1＝a 2n 得lg a n ＋1＝2lg a n ， 故{lg a n }是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列， 则lg a n ＝lg a 1·2n －1＝lg 32n －1， 即a n ＝32n －1(n ∈N *). (2)由a n ＝a n －12a n －1＋1，取倒数得1a n ＝2＋1a n －1，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以2为公差，1为首项的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1(n ∈N *).(3)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12(a n －2)，所以数列{a n －2}是以－1为首项，12为公比的等比数列，所以a n －2＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，n ∈N *.一、基本技能练1.(2022·湖北新高考协作体联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n ，若S n ＋1＝2S n ＋1，则a 7＝________. 答案 96解析 因为S n ＋1＝2S n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又因为a 1＝2，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，得a 2＝3， 所以数列{a n }从第二项开始成等比数列， 因此其通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2， 所以a 7＝3×25＝96.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________. 答案a n ＝2n （n ＋1）(n ∈N *)解析 由S n ＝n 2a n 可得， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1， 则a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即(n2－1)a n＝(n－1)2a n－1，故anan－1＝n－1n＋1，所以a n＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24×13×1＝2n（n＋1）.当n＝1时，a1＝1满足a n＝2n（n＋1）.故数列{a n}的通项公式为a n＝2n（n＋1），n∈N*.3.已知正项数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a n，则a n＝________.答案221－n(n∈N*)解析将a n＋1＝a n两边取以2为底的对数得log2a n＋1＝12log2an，∴数列{log2an}是以1为首项，12为公比的等比数列，故log2an＝1×⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝21－n，即a n＝221－n(n∈N*).4.数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)，令b n＝log3(a n＋1)，则b n＝________. 答案n(n∈N*)解析由a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)可知a n＋1＋1＝3(a n＋1)，又a1＝2，知a n＋1≠0，所以数列{a n＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，因此a n＋1＝3·3n－1＝3n，故b n ＝log 3(a n ＋1)＝n .5.(2022·南京调研)在数列{b n }中，b 1＝－1，b n ＋1＝b n 3b n ＋2，n ∈N *，则通项公式b n ＝________.答案 12n －3(n ∈N *)解析 由b n ＋1＝b n 3b n ＋2，且b 1＝－1.易知b n ≠0，得1b n ＋1＝2b n＋3.因此1b n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋3，1b 1＋3＝2， 故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n ＋3是以2为首项，2为公比的等比数列，于是1b n＋3＝2·2n －1，可得b n ＝12n－3，n ∈N *. 6.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋ln 3(n ≥2)，则数列{a n }的通项a n ＝________. 答案 (1＋ln 3)·2n －1－ln 3(n ∈N *)解析 由a n ＝2a n －1＋ln 3得a n ＋ln 3＝2(a n －1＋ln 3)， 则{a n ＋ln 3}是以1＋ln 3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋ln 3＝(1＋ln 3)·2n －1， 因此a n ＝(1＋ln 3)·2n －1－ln 3(n ∈N *).7.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n .某同学已经证明了数列 {a n ＋1－2a n }和数列{a n ＋1＋a n }都是等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案 2n ＋1－（－1）n －13(n ∈N *)解析因为a n＋2＝a n＋1＋2a n，所以当n＝1时，a3＝a2＋2a1＝5.令b n＝a n＋1－2a n，则{b n}为等比数列. 又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以等比数列{b n}的公比q＝b2b1＝－1，所以b n＝(－1)n－1，即a n＋1－2a n＝(－1)n－1.①令c n＝a n＋1＋a n，则{c n}为等比数列，c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，所以等比数列{c n}的公比q1＝c2c1＝2，所以c n＝4×2n－1＝2n＋1，即a n＋1＋a n＝2n＋1.②联立①②，解得a n＝2n＋1－（－1）n－13.8.(2022·青岛二模)已知数列{a n}，{b n}满足a1＝12，a n＋b n＝1，b n＋1＝bn1－a2n，则b2 023＝________.答案2 023 2 024解析因为a n＋b n＝1，b n＋1＝bn1－a2n，所以1－a n＋1＝1－a n（1－a n）（1＋a n），a n ＋1＝1－11＋a n ＝a n1＋a n ，所以1a n ＋1＝1a n＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，其公差为1，首项为1a 1＝2，所以1a n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，所以a n ＝1n ＋1， 所以b n ＝n n ＋1，所以b 2 023＝2 0232 024.9.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n －na n ＝3n (n ∈N *)，且S 3＝15，则S 10＝________. 答案 120解析 当n ＝1时，2S 1－a 1＝3， 解得a 1＝3. 又2S n －na n ＝3n ，①当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝3(n －1)，② 所以①－②得(n －1)a n －1－(n －2)a n ＝3，③ 当n ≥3时，(n －2)a n －2－(n －3)a n －1＝3，④ 所以④－③得(n －1)·a n －1－(n －2)a n ＝(n －2)a n －2－(n －3)a n －1， 可得2a n －1＝a n ＋a n －2，所以数列{a n }为等差数列，设其公差为d .因为a 1＝3，S 3＝3a 1＋3d ＝9＋3d ＝15， 解得d ＝2， 故S 10＝10×3＋10×92×2＝120. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，则数列{a n }的通项公式为________.答案a n ＝2n ＋n (n ∈N *) 解析∵a n ＋1＝2a n －n ＋1， ∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )， ∴a n ＋1－（n ＋1）a n －n＝2，∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋n (n ∈N *).11.数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2n ＋1，a 1＝－1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案3n ＋12－2n ＋2＋52(n ∈N *)解析∵a n ＋1＝3a n ＋2n ＋1， ∴a n ＋12n ＋1＝32·a n2n＋1, ∴a n ＋12n ＋1＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋2， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋2是以a 12＋2＝32为首项，32为公比的等比数列，∴a n 2n ＋2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，∴a n ＝3n －2n ＋1，∴S n ＝(31＋32＋…＋3n )－(22＋23＋…＋2n ＋1)＝3－3n ＋11－3－4－2n ＋21－2＝3n ＋12－2n ＋2＋52(n ∈N *).12.已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，则{a n }的通项公式为________. 答案a n ＝3n －（－1）n4(n ∈N *)解析∵a n ＋1＝2a n ＋3a n －1， ∴a n ＋1＋a n ＝3(a n ＋a n －1)，∴{a n ＋1＋a n }是以a 2＋a 1＝3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＋a n ＝3×3n －1＝3n .① 又a n ＋1－3a n ＝－(a n －3a n －1)，∴{a n ＋1－3a n }是以a 2－3a 1＝－1为首项，－1为公比的等比数列， ∴a n ＋1－3a n ＝(－1)×(－1)n －1＝(－1)n ，② 由①－②得4a n ＝3n －(－1)n ， ∴a n ＝3n －（－1）n4(n ∈N *).二、创新拓展练13.(2022·金丽衢12校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且T n ＝a 1a 2…a n ，若T n ＋1＝a n T na 2n ＋1，n ∈N *，则( )A.a 50∈⎝ ⎛⎭⎪⎫112，111B.a 50∈⎝ ⎛⎭⎪⎫111，110C.a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，17D.a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，15答案 B解析 因为T n ＝a 1a 2…a n ， 所以a n ＋1＝T n ＋1T n. 因为T n ＋1＝a n T na 2n ＋1， 所以a n ＋1＝a n a 2n ＋1，所以1a n ＋1＝a n ＋1a n.因为a 1＝1>0，所以1a n ＋1>1a n >0，a 2＝12， 所以0<a n ＋1<a n ≤1， 所以1a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n＋2，所以a 2n ＋2＝1a 2n ＋1－1a 2n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94，n ≥2.由累加法可得1a 210－1a 22∈(16，18)，所以1a 10∈(20，22)，所以a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2222，510，同理可得a 50∈⎝⎛⎭⎪⎫1121，110＝⎝ ⎛⎭⎪⎫111，110，故选B. 14.(多选)(2022·武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等比数列 B.{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1－3C.{a n }为递增数列D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4答案 ABD 解析 因为1a n ＋1＝2＋3a na n ＝2a n＋3， 所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 又1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋3＝4×2n －1，则a n ＝12n ＋1－3， 所以{a n }为递减数列，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝22＋23＋…＋2n ＋1－3n ＝4（1－2n ）1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4，故ABD 正确.15.(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{a n }，则( )A.a 4＝12B.a n ＋1＝a n ＋n ＋1C.a 100＝5 050D.2a n ＋1＝a n ·a n ＋2答案 BC解析 由题意知，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，…，a n ＝a n －1＋n ， 故a n ＝n （n ＋1）2，∴a 4＝4×（4＋1）2＝10，故A 错误；a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故B 正确； a 100＝100×（100＋1）2＝5 050，故C 正确；2a n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)，a n ·a n ＋2＝n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）4，显然2a n ＋1≠a n ·a n ＋2，故D 错误.16.(多选)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依次类推，第n 项记为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A.a 60＝16 B.S 18＝128 C.a k 2＋k 2＝2k －1D.S k 2＋k 2＝2k －k －1答案 AC解析 由题意可将数列分组： 第一组为20， 第二组为20，21， 第三组为20，21，22， ……，则前k 组一共有1＋2＋…＋k ＝k （1＋k ）2个数.第k 组第k 个数为2k －1， 故a k 2＋k 2＝2k －1，所以C 正确.因为10×（10＋1）2＝55，所以a 55＝29，又11×（11＋1）2＝66，则a 60为第11组第5个数，第11组为20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210， 故a 60＝24＝16，所以A 正确.每一组数的和为20＋21＋…＋2k －1＝2k －12－1＝2k －1，故前k 组数之和为21＋22＋ (2)－k ＝2（2k －1）2－1－k ＝2k ＋1－2－k ，S k 2＋k 2＝2k ＋1－k －2，所以D 错误.S 15＝26－5－2＝57，S 18＝S 15＋20＋21＋22 ＝26－5－2＋7＝64，所以B 错误.故选AC. 17.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4，则该数列的通项公式a n ＝________. 答案4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1(n ∈N *)解析 由a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4－2＝7a n －2－（a n ＋4）7a n －2－2（a n ＋4）＝65·a n －1a n －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫65n －1，解得a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1，n ∈N *.18.(2022·徐州考前卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，写出一个满足S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1a n 的通项公式：a n ＝________.答案 2n (答案不唯一)解析 当a n ＝2n时，S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－22n 2n＝2n ＋1－2＝S n ，∴a n ＝2n 满足条件.。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解10 函数零点
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第10讲函数零点专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）A．14B．18C．78-D．38-【答案】C利用函数零点的意义结合函数f (x )的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】依题意，函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )的零点，即方程f (2x 2+1)+f (λ-x )=0的根， 由f (2x 2+1)+f (λ-x )=0得f (2x 2+1)=-f (λ-x )，因f (x )是R 上奇函数， 从而有f (2x 2+1)=f (x -λ)，又f (x )是R 上的单调函数，则有2x 2+1=x -λ，而函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，于是得2x 2-x +1+λ=0有两个相等实数解， 因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78-，所以实数λ的值是78-.故选：C.练（2021·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)【答案】B 【详解】因为()f x 为开口向上的抛物线，且对称轴为2a x =-，在区间（－1，1）上有两个不同的所以()()101002112f f a f a ⎧->⎪>⎪⎪⎛⎫⎨-< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-<-<⎩，即22102102022222a a a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎪+->⎪⎨⎪⎛⎫---<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-<<⎩，解得023a <<， 所以实数a 的取值范围是2(0,)3.故选：B例1-2．（2021·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定 【答案】C解析：()()22x f x x x a e '=++当1a ≥时，220x x a ++≥在R 恒成立，所以()()2'20xf x x x a e =++≥在R 恒成立，所以函数()()2x f x x a e =+在R 上单调递增，没有最小值；当1a <时，令() '0f x =得111x a =---，211x a =--，且12x x <当x →-∞时，所以若有最小值，只需要2∵()()22221022100xf x a e a a =--⇔--≤⇔≤≤，∴20x x a ++=的判别式1410a ∆=->≥，因此()2g x x x a =++有两个零点.故选：C ．类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2021·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,4【答案】B 【详解】∵()ln 1f x x x =-，()1ln f x x '=+，由()1ln 0f x x '=+=得，1ex =，∴1,()0ex f x '>>，函数()f x 为增函数，当01x <<时，()ln 10f x x x =-<，又()()410,2ln 21ln 0e12f f =-<=-=>，故()f x 的零点所在的区间是()1,2.练．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B 【详解】因为()2xf x x =+为单调递增函数，当2x =-时，()2722204f --=-=-<，当1x =-时，()1112102f --=-=-<，当0x =时，()002010f =+=>，由于()()010f f ⋅-<，且()f x 的图象在()1,0-上连续， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,0-上必有零点，故选：B.类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案． 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 20,4e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，作出函数()21ln x g x x +=的图象，可知满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，令()21ln x g x x +=，其中0x >，则()()243121ln 2ln 1x x x x x g x x x ⋅-+--'==.当120x e -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当12x e ->时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.且当12x e ->时，()21ln 0xg x x +=>，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，所以，()1,m n ∈，()2,m n ∉，所以，()()21g a g ≤<，即1ln2ln2144e a +=≤<.因此，实数a 的取值范围是ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.例3-2（一个曲线一个直线）28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.【答案】7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】求出函数()()y f x g x =-的表达式，构造函数()()(2)h x f x f x =+-，作函数()h x 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩… ，∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解， 即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩剟 ， 作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，74<b <2， 故答案为:7,24⎛⎫⎪⎝⎭. 例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2021福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】13a ≤-或2a e ≥【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（） 存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，）， 过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝； 设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x x x x e e x x e e --∴＝，＝， 得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（） 存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用．例3-4（两个曲线）49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定. 【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+-222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点， 即f (x )的零点个数为2. 故答案为：2.（两个曲线）8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3B ．72C ．4D ．92【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性确定函数()f x 的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 即(2)()0f x f x -+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x -=-=-，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==． 又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-，12-，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故实数m 的最小值为72．故选：B．f x满足（两个曲线）【2021河北省武邑中学高三】若定义在R上的偶函数() ()()=，则函数()3logf x xy f x x=-的零点个数是+=，且当[]2x∈时，()f x f x0,1（）A． 6个 B． 4个 C． 3个 D． 2个【答案】B|x|的图象，【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3这两个函数图象的交点个数即为所求．详解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f （x）=x，|x|的零点的个数等于函数故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．因为函数y=f（x）﹣log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：（x）的图象与函数y=log3显然函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象有4个交点，故选B ．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.例3-5（直接解出零点）（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】C 【分析】令()25sin sin 10f x x x =--=可得21sin sin 5x x -=，根据()2sin sin g x x x =-为偶函数，只需求()21sin sin 5g x x x =-=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解的个数，等价于21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.【详解】令()0f x =可得21sin sin 5x x -=，设()2sin sin g x x x =-，则()()22sin sin sin sin g x x x x x g x -=--=-=，所以()2sin sin g x x x =-是偶函数，故只需要讨论21sin sin 5x x -=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解得个数， 当0x ≥时，由21sin sin 5x x -=可得21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-，解方程21sin sin 5x x -=可得sin x =sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =解方程21sin sin 5x x -=-可得sin x =或sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =有三解，sin x =有三解， 所以在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()21sin sin 5g x x x =-=有8解， 根据对称性可得()21sin sin 5g x x x =-=在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有16解，所以函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为16， 故选：C.类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．402 【答案】A 【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数． 【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()444f x f x f x +=-=-， 所以()()8f x f x +=所以()f x 是周期函数，且周期为8，且()f x 关于4x =对称，又当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=， 则()()()221ln 21ln 2(0)x x xx f x x x x ⋅--'==>， 令()0f x '=，解得e2x =，所以当e0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当e ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，作出()f x 一个周期内图象，如图所示：因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以不等式在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以在()0,200内有25个周期， 所以()f x 在一个周期内有4个整数解，（1）若0a >，由()()20f x af x +>，可得()0f x >或()f x a <-，由图象可得()0f x >有7个整数解，()f x a <-无整数解，不符合题意； （2）若0a =，则()0f x ≠，由图象可得，不满足题意；（3）若0a <，由()()20f x af x +>，可得 ()f x a >-或()0f x <，由图象可得()0f x <在一个周期内无整数解，不符合题意， 所以()f x a >-在一个周期()0,8内有4个整数解，因为()f x 在()0,8内关于4x =对称， 所以()f x 在()0,4内有2个整数解，因为()1ln 2f =，()ln 42ln 22f ==，()ln 633f =， 所以()f x a >-在()0,4的整数解为1x =和2x =，所以ln 6ln 23a ≤-<，解得ln 6ln 23a -<≤-. 故选：C类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24 【答案】A 【分析】首先判断()f x 的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；【详解】由()()0g x g x -+=得()y g x =的图象关于()0,0对称，因为()1sin sin f x x x=+，定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，且()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x -=+-=--=--，所以()1sin sin f x x x=+为奇函数，即()1sin sin f x x x=+也关于()0,0对称， 则函数()1sin sin f x x x=+与()y g x =图象的交点关于()0,0对称，则不妨设关于点()0,0对称的坐标为()()1166,,,,x y x y ⋯，则16160,022x x y y ++==， 252534340,0,0,02222x x y y x x y y ++++==== 则1616252534340,0,0,0,0,0x x y y x x y y x x y y +=+=+=+=+=+=，即()61i i i x y =+=∑()3000⨯+=，故选：A ．例4-2（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36 【答案】C 【分析】根据题意可得函数()f x是周期为4，关于点(4,0)中心对称的函数，再将函数()()()4y k x=与()4=-的交点的横坐标，又函数=--的所有零点转化为()y f xg x f x k x()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合y k x即可求出结果.【详解】∵定义在R上的奇函数()=-，故图象关于1f x f x2f x满足()()x=对称，∴()()2+=-，f x f x--=-，故()()2f x f x∴()()()f x f x f x+=-+=，即周期为4，42又()f x一个对称中心，f x定义在R上的奇函数，所以(4,0)是函数()又因为当[]=，作出函数()f x的草图，如下：f x xx∈-时，()31,1函数()()()4=与()4y k x=-的交点的横坐标，y f xg x f x k x=--的所有零点即为()易知函数()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，y k x又1335k <<，分别作出函数()143y x =-和()345y x =-的图象，则函数()4y k x =-的图象在函数()143y x =-和()345y x =-的图象之间，如下图所示：则()y f x =与()4y k x =-交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对，同时还经过点(4,0)，所以1324428ni i x ==⨯⨯+=∑.故选：C.类型五、等高线的使用例5-1．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________. 【答案】[)3,10/310a b c ≤++<【分析】根据题意，作出函数()y f x =图象，数形结合即可求解.根据题意，作出函数()y f x =图象，令()()()f a f b f c t ===，可知函数()y f x =图象与y t =的图象有三个不同交点，由图可知01t ≤<.因a ､b ､c 互不相等，故不妨设a b c <<，由图可知1212a b +=⨯=.当01t <<，时()8log 1c t -=，因01t <<，所以118c <-<，即29c <<，故310a b c <++<； 当0t =时，2c =，故3a b c ++=. 综上所述，310a b c ≤++<. 故答案为：[)3,10.例5-2（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A根据分段函数解析式研究()f x 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得123412345x x x x <<<<<<<<、348x x +=、12(1)(1)1x x --=，进而将目标式转化并令11121t x x =-+，构造1()21g x x x =-+，则只需研究()g x 在3(,2)2上的范围即可. 【详解】由分段函数知：12x <≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增；34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；∴()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=， 由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得21111x x =-， ∴令()3411122111112214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322x <<， 由1()21g x x x=-+在3(,2)2上单增，可知31()21(2)2g x g x<-+<，所以10932t <<故选：A.例5-3（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点.A ．①②B．①③C．②③D．①②③ 【答案】D 【分析】①将问题转化为直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，观察图像可得答案；②设a b c d <<<，则可得2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，根据关系代入a b c d +++求值域即可；③函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，关注1m =和0m =时的交点个数即可得答案根据图像可得答案. 【详解】解：函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：()()()()f f b f d a c f m ====，即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；()()()()f f b f d a c f m ====，不妨设a b c d <<<，则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，ln ln 2d c ∴+=-，则2e c d-=，且11e d << 2e c d d d-∴++=，由对勾函数的性质可得函数2e y x x -=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2122e ,e 1e dc d d ---∴+=∈++，()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，②正确；函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 当0m =时，研究y x =与1ln y x =+是否相切即可，1y x'=，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =， 所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点， 即函数()y f x x m =--恰有三个零点，③正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并方便解答.例5-4．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】ABC 【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，根据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定.【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-， 又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ， 设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+，显然()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>，所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e 4g x ∈-， 所以()1250,4e 4n -∈-，所以n 可取1,2,3 故选：ABC.类型六、嵌套函数零点例6-1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t ≤时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则t所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当 =t ()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C例6-2．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________. 【答案】3ln3- 【分析】设()f x t =，则根据题意得2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <，故122t t +=，212t t =-，再结合()f x 的图象可得1221x x e t ==，3212x t t ==-，101t <<，进而1231122ln 34x x x t t -+=-+，再构造函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根，即2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，方程1()f x t =或2()f x t =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<， 作出图象如图所示：那么1221x x e t ==，可得3212x t t ==-，101t <<， 所以1231122ln 34x x x t t -+=-+，构造新函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，则13()t h t t-'=，所以()h t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以12322x x x -+的最大值为3ln3-. 故答案为：3ln3-.例6-3（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________． 【答案】(]01，．【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求． 【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t>时，有唯一的x与之对应；当1t≤时，有两个不同的x与之对应．由方程组()()t f xf t a=⎧⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个1t>，一个1t≤，结合图象可知，当(]01a∈，时，满足一个(]10t∈-，，一个(]12t∈，，符合要求，综上，实数a的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，.例6-4. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得： .即 的取值范围是.类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x xax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．(]1,3C ．[]1,3D ．[)3,+∞【解析】（1）易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，令2x －πsin x=0，得2,0π==x x ，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.（2）【答案】B 【解析】由题意得()221362f x x ax a a'=+++()0a >， 因为()f x 有极值，所以()2213620f x x ax a a'=+++=有2个不等实根，即()222116432120a a a a a ⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即310a a->， 因为0a >，解得1a >．令()()()2213620h x f x x ax a a a '==+++>，由()660h x x a '=+=得x a =-，设()f x 的极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 为方程()2213620f x x ax a a'=+++=的根，则122x x a +=-，2122133a x x a=+， 因为()()3223221211122211321321f x f x x ax a x x ax a x a a ⎛⎫⎛⎫+=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3221212121212121336220x x x x x x a x x ax x a x x a ⎛⎫=+-+++-++++= ⎪⎝⎭，所以()()()2121263f x f x f a a a '++-=-+≥-， 令()()211g a a a a =-+>，易得()g a 在()1,+∞上单调递减，且()2633g =-，所以31≤<a ． 故选：B.例7-2已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>. （1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<.令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x e x a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=， 把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12.【方法总结】类型一：化为一元二次函数得零点问题 类型二：复杂函数得零点思想：①先设后求、设而不求②与零点存在性定理结合使用步骤：(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x 0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围． 【答案】(],2-∞．解：原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于ln 1x xe x x b x +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，∴()22ln x x e xt x x+'=， 令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当0x →时，()x ϕ→-∞，()10e ϕ=>，∴()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫+=⇔=-= ⎪⎝⎭，又有x y xe =在()0,∞+上单调递增， ∴0001ln ln x x x ==-，001x e x =，∴()()00000min 0ln 12x x e x x t x t x x +--===⎡⎤⎣⎦， ∴2b ≤，∴b 的取值范围是(],2-∞．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）()g x 只有一个零点，理由见解析.（1）求出导数()'f x ，按a 分类讨论确定()'f x 的正负，得函数的单调性；（2）求出导函数()'g x ，对其中一部分，设()1e xh x x=-(0x >)，用导数确定它的零点0(0,1)x ∈，这样可确定()g x 的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论． 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e x x xx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.（2）当1a =时，()()2211e ln 2xg x x x x =--+，其定义域为()0,∞+，则()()()1e 11x g x x x x '=+--⎛⎫⎪⎝⎭.设()1e xh x x =-(0x >)，则()21e 0xh x x'=+>，从而()h x 在()0,∞+上是增函数，又1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x h x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-. 列表如下：由表格，可得()g x 的极小值为()12g =-；()g x 的极大值为()()022222000000000002111111e ln 2222x x x g x x x x x x x x x -+=--+=--=-+-因为()0g x 是关于0x 的减函数，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()03128g x -<<-，所以()g x 在(]0,1内没有零点.又()1102g =-<，()22e 2ln 20g =-+>，所以()g x 在()1,+∞内有一个零点. 综上，()g x 只有一个零点.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关 思想：偏离−−→−转化对称步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数 类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2021·江苏高三开学考试）已知函数()ln a f x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<.（2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出导函数，当0a ≤时显然不成立，当0a >时求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值()f a ，依题意()0f a <，即可求出参数a 的取值范围；（2）由（1）可得120x a x <<<，设()()()2g x f a x f x =--，求出函数的导函数，即可得到122x x a +>，（3）由（1）可得120x a x <<<，再设21x tx =，1t >，则1221ln ln x x t x x ==，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，再利用导数说明()ln 1th t t =-的单调性，即可得到121x x +<，从而得证； 【详解】（1）证明：由()ln af x x x=+，0x >，可得()21af x x x '=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，与题意不符.当0a >时，令()210af x xx '=-=，得x a =. 当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.可得当x a =时，()f x 取得极小值()ln 1f a a =+.又因为函数()ln a f x x x=+有两个零点，所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.综上，10ea <<.（2）解：由上可得()f x 的极小值点为x a =，则120x a x <<<.设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,x a ∈， 可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,x a ∈，所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=，即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,x a ∈，所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=.因为当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.（3）由（1）可得120x a x <<<，设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t tx t =--， 所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t ⎛⎫++=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭.又因为()ln 1th t t =-，则()()211l n 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()ln 1ln 1t t t t +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +<综上，1221a x x <+<.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π. 【解析】 (1)易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，设h(x)＝2x －πsin x ，h′(x)＝2－πcos x ，显然h′(x)单调递增，而h′(0)＜0，h′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得h′(x 0)＝0.当x∈(0，x 0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，而 h(0)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，h(x)＜0，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.(2)证明：依题意得x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，f(x 1)=f(x 2), 构造函数F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x ＞0，即函数F(x)单调递增，所以F(x)＜F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，即当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f(x)＜f(π－x)，而x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f(x 1)＜f(π－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)，即f(x 2)＜f(π－x 1)，此时x 2，π－x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞. 由(1)可知，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以x 2＜π－x 1，即x 1＋x 2＜π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x =12()x x ≠时，120x x +<【解析】解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。
新高考数学复习考点知识培优专题讲解 10 数列求和方法之错位相减法
新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题10 数列求和方法之错位相减法一、单选题1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n二、解答题2．在公差不为零的等差数列{}n a 中，前五项和5n S =，且3a ，4a ，7a 依次成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n T 满足210n n T b +-=（n *∈N ）.（1）求n a 及n b ；（2）设数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n A ，求n A .3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且12S n ＝2n ﹣1. (1)求数列{a n }的通项公式，(2)设函数f (x )＝(12)x ，数列{b n }满足条件b 1＝f (﹣1)，f (b n +1)()13n f b =--． ①求数列{b n }的通项公式，②设c n n nb a =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 4．数列{}n a 的前n 项和()2*4N n S n n n =-∈，数列{}n b 的前n 项和nT ，满足()*210N n n T b n +-=∈.（1）求n a 及n b ；（2）设数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n A ，求n A 并证明：1n A ≤-.5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，若12a =，且1a 、5a 、17a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝3a n －3，其中n ∈N *．（1）证明：数列{a n }为等比数列；（2）设b n ＝2n －1，c n ＝n nb a ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 7．已知等比数列{}n a 中，314610,80a a a a +=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .8．已知数列{}n a 的前n 项和1()2n n S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .（3）若存在正整数n ，使得1()()0n n m a m a +--<成立，求实数m 的取值范围.9．已知数列{}n a 满足12a =，()121n n n a a n ++=.设n n a b n=. （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和为n S .10．已知等比数列{}()n a n N *∈满足234a a a =，13223a a a +=.（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”，证明：数列{}n a 是“M -数列”； （2）记等差数列{}n b 的前n 项和记为n S ，已知59b =，864S =，求数列{}21n n b a -的前n 项的和n T .11．已知等比数列{}n a 的公比0q >，且满足1236a a a +=，2434a a =，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n n S +=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设2238,,n n n n n n nb a n b bc a b n +++⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .12．已知各项都大于1的数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n －4n ＋1＝a n 2：数列{b n }的前n 项和为T n ，b n ＋T n ＝1.（1）分别求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n ＝a n b n ，若对任意的n ∈N *.不等式5(λn ＋3b n )－2b n S n >λn (c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n )恒成立，试求实数λ的取值范围.13．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且33a =，1055S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*121n n a S n N+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．已知数列{}n a 中，11a =，13n n n a a a +=+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n n T λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围.17．已知数列{a n }的首项为0，且2a n a n +1+a n +3a n +1+2＝0.（1）证明数列1{}1n a +是等差数列，并求{a n }的通项公式； （2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且21nn n b a =+，若不等式(-1)n λ＜S n +3×2n +1对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围.18．已知等比数列{a n }的公比大于1，且满足a 3+a 5＝90，a 4＝27．（1）求{a n }的通项公式；（2）记b n ＝log 3a n ，求数列{a n (b n +1)}的前n 项和T n.19．已知在等差数列{}n a 中，2513a a +=，其前8项和860S =.（1）求数列{}n a 的通项公式﹔（2）设数列{}n b 满足()33nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，5a 和7a 的等差中项为11.（1）求n a 及n S ；（2）设1(1)2n n n n a b a n-+⋅=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________，（1）判断123,,S S S 的关系并给出证明.（2）若133a a -=，设12n n n b a =，{}n b 的前n 项和为n T ，证明43n T <. 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.22．已知数列{}n a 中，12,a =且满足()1122n n n a a n N +*+-=∈． （1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式; （2）求证：对于数列{}n b ，122n n b b nb a +++=的充要条件是1(1)2n n n b n -+=. 23．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点1(,)n n S S +在直11()n y x n n N n*+=++∈上. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2n a n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；24．已知数列{}n a ，{}()*0,n n b b n N ≠∈，满足112a b =，112n n n n n a b b a b ++⋅=+. （1）令n n na cb =，证明：数列{}nc 为等差数列，并求数列{}n c 的通项公式； （2）若13n n b =，证明：12332n a a a a ++++<. 25．已知{}n a 是递增的等差数列，2a 、4a 是方程212320x x -+=的根 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}3n n a ⋅的前n 项和nT ． 三、填空题50．求和238135152222++++=____________. (用数字作答)。
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
高考数学复习考点题型讲解与练习10---多项选择题：数列
高考数学复习考点题型讲解与练习多项选择题：数列1.若数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，则() A.312a = B.712a =- C.202013a = D.20202020S = 2.设等比数列{}n a 的公比为q ，则下列说法正确的是() A.数列{}1n n a a +是公比为2q 的等比数列 B.数列{}1n n a a ++是公比为q 的等比数列 C.数列{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列 D.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q的等比数列3.等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前 n 项和为n S ，下列结论正确的是() A.0d > B.10a <C.当5n =时n S 最小D.0n S >时n 的最小值为84.设等比数列{}n a 的公比为 q ，其前 n 项和为n S ，前 n 项积为n T ，并且满足条件7178811,1,01a a a a a ->><-，则下列结论正确的是() A.01q << B.791a a < C.n T 的最大值为7T D.n S 的最大值为7S5.数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,n F 称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称之为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是() A.571S F =- B.561S S =- C.201920211S F =- D.201920201S F =-6.在递增的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前 n 项和，若142332,12a a a a =+=，则下列说法正确的是() A.数列{}n a 的公比为1 B.数列{}2n S +是等比数列 C.8510S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列7.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =+，则下列说法正确的是() A.516a =- B.563S =-C.数列{}n a 是等比数列D.数列{}1n S +是等比数列 8.已知数列{}n a 满足(){}*1122,2,,1n n n a na n n a a n -=-=≥∈-N 的前 n 项和为n S ，则() A.28a =- B.2n n a n =-⋅ C.330S =- D.1(1)22n n S n +=-⋅-9.已知数列{}n a 的通项公式为114293n n n a --⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 中()A.1a 是最大项B.3a 是最小项C.有最小项，没有最大项D.既没有最大项也没有最小项10.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，1122331,2,7,13a b a b a b ==+=+=.记, ,, ,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数数列{}nc 的前n 项和为n S ，则()A.21n a n =-B.2n n b = C 91409S = D.()2242413nn S n n =-+-答案以及解析1.答案：BC 解析：因为1112,1n n n a a a a ++==-，所以1223121113,112a a a a a a ++==-==---，344534111,2131a a a a a a ++====--，所以数列{}n a 是以4为周期的周期数列.由以上可知A 错误；734312a a a +===-，B 正确；20205054431a a a ⨯===，C 正确；()2020123411353550550523236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯--+=-⎪⎝⎭，D 错误. 2.答案：AD 解析：对于A ，由211(2)n n n na a q n a a +-=≥知数列{}1n n a a +是公比为2q 的等比数列；对于B ，当1q =-时，数列{}1n n a a ++的项中有0，不是等比数列；对于C ，当1q =时，数列{}1n n a a +-的项中有0，不是等比数列；对于D ，11111n n n na a a q a ++==，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列.故选AD. 3.答案：ABD解析：由题意，设等差数列{}n a 的公差为 d ，由753a a =，得()11634a d a d +=+，得13a d =-，由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A ，B 正确；因为21(1)7222n n n d d dS a n n n -=+=-，由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误；令27022n ddS n n =->，解得0n <(舍去)或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确.故选ABD.4.答案：ABC 解析：717878811,1,0,1,01,011a a a a a a q a ->><∴><<∴<<-，A 正确；27981a a a =<，B 正确；7T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确；781,01,n a a S ><<∴的最大值不是7S ，故D 不正确.故选ABC. 5.答案：AC解析：由题意得12(3)n n n F F F n --=+≥，所以3123123323111S F F F F F F F F F =++=+++-=++-=43544345655456711,11,11,F F F S F S F F F S F S F F F +-=-=+=+-=-=+=+-=-，所以201920211S F =-.6.答案：BC解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为142332,12a a a a =+=，所以232332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4,a a =⎧⎨=⎩因为数列{}n a 递增，所以234,8,a a =⎧⎨=⎩因此2q =，故A 错误；212aa q ==，因此()12122,2212n nn n n a S +⨯-===--，所以91822510,22n n S S +=-=+=，所以数列{}2n S +是等比数列，故B ，C 正确；lg lg 2lg 2n n a n ==⋅，因此数列{}lg n a 是公差为lg2的等差数列，故D 错误.故选BC. 7.答案：AC解析：因为n S 为数列{}n a 的前 n 项和，且21n n S a =+，所以11121a S a ==+，所以11a =-.当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1-为首项，2为公比的等比数列，故C 正确；451216a =-⨯=-，故A 正确；2121n n n S a =+=-+，所以552131S =-+=-，故B 错误；因为110S +=，所以数列{}1n S +不是等比数列，故D 错误.故选AC. 8.答案：ABD 解析：由题意可得，()*32412312342,2,2,,22,1231n n a a a a nn n a a a a n -=⨯=⨯=⨯=⨯≥∈-N ，以上式子左、右分别相乘得()1*122,n na n n n a -=⋅≥∈N ，把12a =-代入，得()*22,n n a n n n =-⋅≥∈N ，又12a =-符合上式，故数列{}n a 的通项公式为()*22,8n n a n n a =-⋅∈=-N ，故A ，B 正确；()212222n n S n =-⨯+⨯++⋅，则23121222(1)22n n n S n n +⎡⎤=-⨯+⨯++-⋅+⋅⎣⎦，两式相减，得()231111*22222222(1)22n n n n n n S n n n n ++++=++++-⋅=--⋅=-⋅-∈N ，故334S =-，故C 错误，D 正确. 9.答案：AB解析：2111142229333n n n n n a ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令123n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 t 是区间(0,1]内的值，221124n a t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以当1n =，即1t =时，n a 取得最大值，3n =时，123n -⎛⎫⎪⎝⎭的值最接近12，此时n a 取得最小值，所以该数列既有最大项又有最小项. 10.答案：ABD解析：设数列{}n a 的公差为 d ，数列{}n b 的公比为(0)q q ≠，依题意有2127,12213,d q d q ++=⎧⎨++=⎩得2,2,d q =⎧⎨=⎩故21,2n n n a n b =-=，故A ，B 正确；则21212243,4n n n n n c a n c b --==-==，所以数列{}n c 的前2n 项和()()21321242n n n S a a a b b b -=+++++++=()414(143)214nn n -+-+=-()29894241,3853nn n S S a -+-=+=，故C 错误，D 正确.。
考点10 指数与指数函数(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
考向10指数与指数函数1．（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2．（2015·山东高考真题（理））已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.【答案】32- 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 考点：指数函数的性质.1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
第1页共11页2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －m n＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a >10<a <1图象定义域________值域________性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________当x >0时，□11________；当x <0时，□12________在(－∞，＋∞)上是□13________在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.n a n 与(n a )n 都等于a (n ∈N *)．()2．2a ·2b ＝2ab .()3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．()4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .()题组二教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是()A ．a 43a 34＝a B ．a ÷a 23＝a 32C ．a 23a-23＝0D ．(a 14)4＝a 2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y 的一个是()。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 10 幂函数与二次函数
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结10 幂函数与二次函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲 研读1.了解幂函数的概念2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c 答案 D解析 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .2．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f (0)＝－4，则f (x )( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3 D ．有最大值－3 答案 D解析 由a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，得⎩⎨⎧c ＝－4，b 2＝ac .显然a <0，故f (x )有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c4＝－3.故选D.3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋m ，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m 答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (1)＝m －1.故选C.4.幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<1<mC ．－1<m <0<1<nD ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0，1)内作直线x ＝x 0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域都是[1，b ]，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，它在[1，b ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （b ）＝b 2－2b ＋2＝b ，b >1，解得b ＝2.故选C.6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上单调递增，则实数k 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案 A解析 二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的图象的对称轴为直线x ＝2k ，当k >0时，要使y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时二次函数图象的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上递减，不符合要求．综上可得，实数k 的取值范围是[2，＋∞).7．已知幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (x )的图象关于y 轴对称，则f (－2)的值为( )A ．16B ．8C ．－16D ．－8 答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，又幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3是偶数，且－m 2＋2m ＋3>0，∵m ∈Z ，∴m ＝1，∴幂函数f (x )＝x 4，f (－2)＝16.故选A.8．已知二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 通过点(α，0)，(β，0).若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14 D ．不能确定，与n 的具体取值有关 答案 B解析 由二次函数通过点(α，0)，(β，0)，有恒等式f (x )＝(x －α)(x －β) ①.取x ＝n ，n ＋1(n <α<β<n ＋1)代入①，有f (n )＝(n －α)(n －β)>0，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)>0.两式相乘得0<f (n )f (n ＋1)＝(n －α)(n －β)·(n ＋1－α)(n ＋1－β)＝(α－n )(n ＋1－α)(β－n )(n ＋1－β)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－n ）＋（n ＋1－α）22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（β－n ）＋（n ＋1－β）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142，当且仅当⎩⎨⎧α－n ＝n ＋1－α，β－n ＝n ＋1－β，即⎩⎪⎨⎪⎧α＝2n ＋12，β＝2n ＋12时取等号，又α≠β，∴0＜f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142.令min{f (n )，f (n ＋1)}＝k ，则0＜k ≤f (n )，0＜k ≤f (n ＋1)，∴k 2≤f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即k ＜14.从而，min{f (n )，f (n ＋1)}<14.故选B.9．(多选)已知幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，则下列结论正确的有( )A ．f (－32)＝116 B ．f (x )的定义域是RC ．f (x )是偶函数D ．不等式f (x －1)≥f (2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 答案 ACD解析 由幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，∴m ＋95＝1，∴m ＝－45，∴f (x )＝x－45，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B 错误；f (－32)＝(－32)－45＝116，故A 正确；f (x )＝x －45＝15x 4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝15（－x ）4＝15x 4＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故C 正确；∵f (x )＝x－45，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f (x －1)≥f (2)等价于f (|x －1|)≥f (2)，∴⎩⎨⎧x －1≠0，|x －1|≤2，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤3，故D 正确．故选ACD.10．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小值为－4B ．函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增C ．函数f (|x |)为偶函数D ．若方程f (|x －1|)＝a 在R 上有4个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4答案 ACD解析 二次函数f (x )在对称轴x ＝1处取得最小值，且最小值f (1)＝－4，故A 正确；二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B 错误；f (|x |)＝|x |2－2|x |－3，显然f (|x |)为偶函数，故C 正确；令h (x )＝f (|x －1|)＝|x －1|2－2|x －1|－3，方程f (|x －1|)＝a 的零点转化为y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 的交点，作出h (x )的图象如图所示，图象关于x ＝1对称，当y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点时，两两分别关于x ＝1对称，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4，故D 正确．故选ACD.11．已知幂函数f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且满足f (a 2＋1)＋f (－5)>0，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2，2)解析 设幂函数y ＝f (x )＝x α，其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫8，12，所以8α＝12，即23α＝2－1，解得α＝－13，所以f (x )＝x －13.因为f (－x )＝(－x )－13＝－f (x )，所以f (x )＝x－13为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以f (a 2＋1)＋f (－5)>0可化为f (a 2＋1)>－f (－5)＝f (5)，可得a 2＋1<5，解得－2<a <2，所以实数a 的取值范围为(－2，2).12．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝______．答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又因为y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3，所以二次函数f (x )的图象与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f (x )＝a (x －1)(x －3).又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.二、高考小题13．(2022·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x答案 A解析 y ＝x 12＝x ，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝x 12在(0，＋∞)上单调递增．故选A.14．(2022·全国Ⅱ卷)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83答案 B解析 ∵当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)，∴当x ∈(0，1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0；∵f (x＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0；当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1，0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，0；…；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0；当x ∈(2，3]时，x －1∈(1，2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1，0]；….f (x )的图象如图所示．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，设f (m )＝－89，则4(m －2)(m －3)＝－89，∴m ＝73或m ＝83.结合图象可知，当m ≤73时，符合题意．故选B.15．(2022·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.16．(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以425<423，即b <a ，所以b <a <c .故选A.17．(2022·上海高考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．答案 －1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.三、模拟小题18．(2022·四川省宜宾市第四中学模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2 答案 D解析 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝f(5－12)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 答案C解析由2f(2)＝f(16)可得2·2α＝24α，∴1＋α＝4α，∴α＝13，即f(x)＝x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增．而由换底公式可得log42＝log22log24＝12，ln 2＝log22log2e，5－12＝15，∵1<log2e<2，∴log22log24<log22log2e，于是log42<ln 2，又15<12，∴5－12<log42，故a，b，c的大小关系是b>a>c.故选C.20．(2022·北京交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是()A．f(－1) B．f(1)C．f(2) D．f(5)答案 B解析∵对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝2，当a>0时，自变量取值离对称轴距离越近，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个是f(2).当a<0时，自变量取值离对称轴距离越远，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).故选B.21．(2022·湖北荆州质量检查)若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．(－∞，0] D．[0，＋∞)答案 B解析因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].故选B.22．(多选)(2022·河北省邢台市质量检测)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是()A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称D．方程f(x)＝0最多有两个实根答案ABC解析由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x·|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－c，B正确；∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0，0)对称，∴f (x )＝x |x |＋bx ＋c 的图象关于点(0，c )对称，C 正确；f (x )的图象可能如图，方程f (x )＝0有三个实根，D 不正确．故选ABC.23．(多选)(2022·江苏扬州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列结论成立的是( )A ．f (x )在R 上为偶函数B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x )有最小值－1D ．f (x 1)－f (x 2)<0 答案 ACD解析 函数f (x )的图象如图中实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而f (x )是偶函数，有最小值－1，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.故选ACD.24．(2022·湖南岳阳模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a .若a ＝0，则f (x )的最大值为________；若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 0 (－∞，0)解析 若a ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0，当x ≤0时，f (x )＝x 3，此时函数为增函数， 当x ＞0时，f (x )＝－2x ，此时函数为减函数， 故当x ＝0时，f (x )的最大值为f (0)＝0.当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图1所示，由图可知存在最大值；图1 图2当a ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图2所示，由图可知此时不存在最大值；已证当a ＝0时，函数f (x )有最大值． 综上所述，若f (x )无最大值，则a ＜0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·四川绵阳高三阶段测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2. 则F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. 故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0].2．(2022·广东汕头质检)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要条件，求实数k 的取值范围．解 (1)依题意得，(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，即B ＝[2－k ，4－k )， 由于p 是q 的必要条件，则B ⊆A ， 则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围为[0，1].3．(2022·辽宁大连模拟)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值. 解 (1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0，得a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞，1]. (2)f (x )＝(x －2)2＋a －1.当|a －2|≥|a ＋1－2|，即a ≤32时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3，解得a ＝0或a ＝3(舍去)；当|a －2|<|a ＋1－2|，即a >32时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3， 解得a ＝1＋132或a ＝1－132(舍去).综上，a ＝0或a ＝1＋132.4．(2022·甘肃甘谷第一中学第一次检测)已知函数g (x )＝x 2－(m －1)x ＋m －7. (1)若函数g (x )在[2，4]上具有单调性，求实数m 的取值范围；(2)若在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方，求实数m 的取值范围．解 (1)g (x )图象的对称轴为直线x ＝m －12， 因为函数g (x )在[2，4]上具有单调性，所以有m －12≤2或m －12≥4，所以实数m 的取值范围为(－∞，5]∪[9，＋∞). (2)因为在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方， 则x 2－(m －1)x ＋m －7>2x －9在[－1，1]上恒成立，即x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2>0在[－1，1]上恒成立，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2，x ∈[－1，1]， 则f (x )min >0，当m ＋12≤－1，即m ≤－3时，f (x )min ＝f (－1)＝2m ＋4>0，解得m >－2，无解； 当－1<m ＋12<1，即－3<m <1时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12＝－m 24＋12m ＋74>0，此时1－22<m <1；当m ＋12≥1，即m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝2>0，此时m ≥1. 综上，实数m 的取值范围为(1－22，＋∞).。
高考数学总复习 10.4随机事件的概率课件 人教版
【题后总结】1.在一定条件下，所要求的结果是否可能 发生是判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事 件的主要依据． 2．对于每一个球来说，其被取出的可能性是相等的， m 所以可应用公式P(A)＝ n 计算概率，其中n是全部事件总 数，m是事件A包含的基本事件的个数.
在箱子里装有十张卡片，分别写有1至10十个整数，从 箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；
注意： m (1)P(A)＝ n 是等可能性事件概率的定义，同时也是计算 这种概率的基本方法．步骤是：①确定随机事件中等可能 性的基本事件是什么；②计算随机事件中所有基本事件的 可能性结果数n；③计算事件A中包含的基本事件的个数m； m ④利用定义计算事件A的概率，即P(A)＝ n .
(2)从集合的角度研究概率：在一次试验中，等可能出 现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元 素．各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含 m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此，从 集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数(记作 card(A))与集合I的元素个数(card(I))的比值，也就是P(A)＝ cardA m ＝ . cardI n
2．已知非空集合A、B满足A B，给出以下四个命题：
①若任取x ∈A，则x ∈B是必然事件；②若x∉A，则x ∈B 是不可能事件；③若任取 x∈B ，则 x∈A 是随机事件；④若 x∉B，则x∉A是必然事件． 其中正确的个数是( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：易知①③④正确，②错误．
答案：C
3．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中 的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率为( 1 A. 2 1 C.4 1 B. 3 1 D.5 )
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解10---幂函数(解析版)
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题3.4 幂函数【考纲解读与核心素养】1.了解幂函数的概念．掌握幂函数2,y x y x ==31,y x y x -==，121,y y x x==的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.4.高考预测：（1）与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；（2）幂函数的图象与性质的应用.（3）在分段函数中考查幂函数的图象和性质. 5.备考重点：（1）“三个二次”的结合问题； （2）幂函数图象和性质.【知识清单】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a 对称【典例剖析】高频考点一 ：幂函数的概念【典例1】已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【答案】(1) m ＝1.(2) m ＝－1.(3) －1±132.(4)－1± 2. 【解析】 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2. 【总结提升】形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋1、y ＝x 2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y ＝x 2是幂函数，y ＝2x 是指数函数．【变式探究】 有下列函数：①y ＝3x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝－1x ；④y ＝1x ； ⑤y ＝x 23 ；⑥y ＝2x .其中，是幂函数的有__ __(只填序号)． 【答案】④⑤【解析】①中，x 2的系数为3，故不是幂函数；②中，y ＝x 2＋1不是x α的形式，故不是幂函数；③中，y ＝－1x ＝－(x －1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y ＝1x ＝x －1是幂函数；⑤中，y ＝x 23 是幂函数；⑥中，y ＝2x 是指数函数．高频考点二 ：幂函数的图象【典例2】（2020·四川省高一期末）若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，dy x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（ ）A ．1a b >>B ．1a b >>C ．0b c >>D ．0d c >>【答案】B 【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【典例3】【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】若幂函数1,m y x y x -==与n y x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为 （ ）A. 101m n -<<<<B. 10n m -<<<C. 10m n -<<<D.101n m -<<<<【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数1m n y x y x y x y ====，，， 的图象，在01（，） 内取同一值0x ，作直线0x x = ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知如图， 0110m n -＜＜，＜＜， 故选D ．【典例4】（2019·江西高三期中（文））幂函数的图象经过点，则( )A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】设幂函数的解析式为，∵点在函数的图象上，∴，即，解得，∴，∴．故选B．【总结提升】1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式探究】1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43的图像大致是（）y xA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==，∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选A ．9．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数n y x =的部分图像,已知n 取11,2,2,22--这四个值,则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为( )A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--【答案】A 【解析】方法一 曲线12,C C 过点()()0,01,1,，且在第一象限单调递增，0n ∴>，n 为1,22.显然1C 对应2yx ，2C 对应12y x =.曲线34,C C 过点()1,1，且在第一象限单调递减，0n ∴<，n 为1,22--.显然3C 对应12y x -=，4C 对应2yx .方法二 令2x =，分别代入1122221234,,,y x y x y x y x --====，得123414,24y y y y ====，1234y y y y ∴>>>， 所以曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为112,,,222--.故选：A .3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）A ．幂函数的图像过(0,0) 和(1,1)两点B ．幂函数的图像不可能出现在第四象限C ．当0n >时，()*n y x n N =∈是增函数 D ．0y x =的图像是一条直线【答案】B 【解析】幂函数的图像都过点(1,1),但不一定过点(0,0) ，如1y x -=，所以A 错；因为当0x >时0y x α=>，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B 对；当0n >时，()*n y x n N =∈不一是增函数，如2yx 在(,0]-∞上单调递减，所以C错；0y x =的图像是一条去掉一点(0,1) 的直线，所以D 错.故选:B高频考点三 ：幂函数的性质【典例5】【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α.所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.【典例6】（2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f （x ）＝x n +1的图象上，设a f =⎝⎭，b ＝f （ln π），c f =⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】D 【解析】根据题意，点（3，28）在函数f （x ）＝x n +1的图象上，则有28＝3n +1，解可得n ＝3；则f （x ）＝x 3+1，易得f （x ）在R 上为增函数，又由412123==1＜ln π，则有c ＜a ＜b .故选：D.【典例7】（2019·上海高考模拟）设，若为偶函数，则______．【答案】【解析】由题可知，时，，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；时，不满足f(-x)=f(x),．故答案为：．【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式探究】1.（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 幂函数的图象过点，∴＝4，m ＝2；∴， ，＝﹣log 23＜0，∴log 23， ∴．故选：C ．2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】1α< 【解析】当1a >时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，不满足题意当1a =时，幂函数a y x x ==和直线y x =重合，不满足题意 当01a <<时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意当0a =时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意当0a <时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意 综上，1α< 故答案为1α<3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数2()(1)m f x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.【答案】2 【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在区间（0，+∞）上单调递增，∴2110m m m ⎧--=⎨⎩＞， 解得m ＝2或-1（舍）．故答案为2．高频考点四：幂函数综合问题【典例8】（2013·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为实数a 的所有值为________．【答案】－1 【解析】设点1,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.【典例9】（2020·上海高一课时练习）若2233(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围．【答案】2,(4,)3a ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】由幂函数()23f x x-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()f x f x -===，所以函数()f x 为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减，又由2233(1)(32)a a --+>-，则满足13210320a a a a ⎧-<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得23<a 或4a >，所以实数a 的取值范围2(,)(4,)3-∞⋃+∞． 【典例10】（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()()[]2,1,9g x f x mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()12f x x =；（2）存在1m =-使得()g x 的最小值为0；（3）9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．【解析】（1）∵()f x 为幂函数，∴2331p p -+=，∴1p =或2p =．当1p =时，()1f x x -=在()0,+∞上单调递减，故()()24f f >不符合题意．当2p =时，()12f x x ==在()0,+∞上单调递增，故()()24f f <，符合题意．∴()f x =（2）()g x x =+令t =．∵[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2g x t mt =+，[]1,3t ∈．当12m-≤时，1t =时，()g x 有最小值， ∴10m +=，1m =-．②当132m <-<时，2m t =-时，()g x 有最小值．∴204m -=，0m =（舍）．③当32m-≥时，3t =时，()g x 有最小值， ∴930m +=，3m =-（舍）．∴综上1m =-．（3）()h x n =易知()h x 在定义域上单调递减，∴()()h a bh b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即n b h a⎧=⎪⎨=⎪⎩，S =t =，则23a S =-，23b t =-，∴2233n S t n t S ⎧-=-⎨-=-⎩，∴22t S S t +=+， ∴()()10t S t S -+-=． ∵a b <，∴S t <，∴10t S +-=，∴1t S =-，1=．∵a b <，∴1134a -≤<-，∴10,2S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ∴23n t S =+- 22S S =-- 21924S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．【变式探究】1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.故选：C2.（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））若()()1122132a a +<-，则实数a 的取值范围是________．【答案】21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】令f(x)=12x 的定义域是{x|0x ≥},且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于10,{320,132,a a a a +≥-≥+>-解得21,3a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.。
2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件
解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n
2023版高考数学一轮总复习10-1计数原理排列与组合习题
10.1 计数原理、排列与组合基础篇固本夯基考点计数原理、排列、组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种答案 C2.(2021全国乙,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种答案 C3.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B4.(2021江西宜春月考,8)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443等.那么在四位数中,回文数共有( )A.81个B.90个C.100个D.900个答案 B5.(2022届新疆莎车一中期中,7)7个人排成一排准备照一张合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1200种答案 C6.(2022届哈尔滨六中期中,8)用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数,其中奇数不相邻且1、2必须相邻,则满足要求的六位数共有( )A.72个B.96个C.120个D.288个答案 A7.(2021四川顶级名校检测,7)成都七中举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛,现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1跑道,乙不在2跑道的不同安排方法有( )A.12种B.14种C.16种D.18种答案 B8.(2020合肥模拟,6)为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有( )A.24种B.36种C.48种D.64种答案 B9.(2021河南顶级名校月考,11)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种答案 B10.(2022届福建泉州科技中学月考,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为( )A.180B.240C.420D.480答案 C11.(2021宁夏顶级名校月考,14)4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上,然后,每人随意取走一顶帽子,则4人取的都不是自己帽子的取法有种.答案912.(2022届成都石室中学10月月考,15)一条路上有10盏路灯,为节约资源,准备关闭其中的3盏.为安全起见,不能关闭两端的路灯,也不能关闭任意相邻的两盏路灯.则不同的关闭路灯的方法有种.答案20综合篇知能转换考法一排列问题的解决方法1.(2022届银川一中月考三,10)2021年1月18日,国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称,作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名字的内涵,计划从中随机选取4个依次进行分析,若同时选中哪吒、赤兔,则哪吒和赤兔连续被分析,否则随机依次分析,则所有不同的分析情况有( )A.4704种B.2800种C.2688种D.3868种答案 A2.(2021皖江名校联盟,9)有8位学生春游,其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列,要求2名小学生相邻、3名初中生相邻,3名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有( )A.288种B.144种C.72种D.36种答案 B3.(2021四川宜宾重点高中二诊,8)受新冠病毒肺炎疫情影响,某学校按上级文件指示,要求错峰放学,错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队,甲班必须排在前三位,且丙班、丁班必须排在一起,则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )A.240种B.120种C.188种D.156种答案 B4.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12605.(2021河南部分重点高中联考,16)中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习,每种乐器安排一节,连排六节,并要求“土”与“匏”相邻排课,但均不与“竹”相邻排课,且“丝”不能排在第一节,则不同的排课方式的种数为.答案12966.(2022届江西智学联盟联考一,15)某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动,主持人事先将10条不同的灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中,猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜(无论猜中与否,选中的灯笼都被拿掉),则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序种数为.(用数字作答)答案252007.(2022届陕西渭南联考,16)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座,每经排1节,连排5节,则满足《诗经》排在后2节,《周易》和《礼记》分开安排的情形共有种.答案28考法二分组与分配问题的解题方法1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2020吉林松原实验中学八模,6)某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级,每班至少1人,则不同的安排方案共有( )A.150种B.120种C.240种D.540种答案 A3.(2022届重庆巴蜀中学月考,15)某地举办庆祝建党100周年“奋进新时代,学习再出发”的党史知识竞赛.已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍,其中一支队伍分配有7个名额,余下三支队伍都有参赛名额,则这四支队伍的名额分配方案有种.答案844.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案165.(2020课标Ⅱ,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.答案366.(2021云南顶级名校检测,15)某班6名同学去A,B,C,D四个城市参加社会调查,要求将这6名同学分成四组,每组去一个城市,其中两组各有两名同学,另外两组各有1名同学,则不同的分配方案的种数是.(用数字作答)答案1080。
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1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD A ．BA BC 21+- B ．BA BC 2
1--
C ．BA BC 21-
D ．BA BC 2
1+
2．与向量a ==⎪⎭
⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭
⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是
A
．
⎪⎭
⎫
- ⎝⎛53,54
B ．⎪⎭
⎫- ⎝⎛53,5
4或⎪⎭
⎫ ⎝⎛-53,54
C
．
⎪⎭⎫
-
⎝
⎛31,322
D ．⎪⎭⎫-
⎝⎛31,3
22或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ= A ．0
B ．－1
C ．－2
D ．0.5
4．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，
则b = A ．⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,
2
1 C ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛433,
4
1 D ．（1，0）
5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是
A ．3121P P P P ⋅
B ．4121P P P P ⋅
C ．5
12
1P P P P ⋅ D ．6121P P P P ⋅
6．在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等 于
A ．2
()a b a a b
⋅-- B ．2()a a b a b
⋅-- C
．
()a b a a b
⋅--
D ．()a a b a b
⋅--
7．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)
(+⋅的最小值为
.
8．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构
成三角形，则实数m 满足的条件是 .
9．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P
作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+. （1）求点M 的轨迹方程；
（2）求向量OP 和OM 夹角的最大值，并求此时P 点的坐标
参考答案
1．BA BC BD CB CD 2
1+-=+=，故选A ．
2．B 设所求向量e =（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b 的夹角都相等,
故
e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅|
||||
|||7
117cos sin cos sin 2
2
2
2
θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4
sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ． 3．D 依题意知向量a b λ+与-2共线，设a b λ+k =（-2），则有
)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨
⎧=+=-0
21λk k ，解得5.0=k ，选D ．
4．解选B ．设(),()b x y x y =≠
，则依题意有1,y =+=
1,
22
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积12
1(1,2,3,4,5,6)i PP PP i
的几何意义:数量积121i
PP PP 等于12P P 的长度12PP 与1i PP 在12P P 的方向上的投影1121cos
,i i
PP PP PP 的
乘积.显然由图可知13P P 在12P P 方向上的投影最大.所以应选(A). 6．B ()
,,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-即得
()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+又
OD 是AB 边上的高，0
OD AB ∴⋅=即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a a b a b
λ⋅-=-，故选B ．
7．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以
)(+⋅OM
OA OM ⋅⋅-=⋅=22
2)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，
故当1=x 时，OM mOA nOB =+取最小值-2.
8．2
1
≠
m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、
B 、
C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与共线时，有
m m -=--113，解得2
1
=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是2
1
≠m .
9.解析：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,)OP x y =，(,0)OQ x =，
(2,)OM OP OQ x y =+=
2222
12,1,124x x x x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩
.
（2）设向量OP 与OM 的夹角为α，则
2222222(1)cos 31||||4x OP OM
x OP OM
x y
α+⋅=
==+⋅
+， 令2
31t x =+
，则
cos α==≥
当且仅当
2t =时，即P 点坐标为(时，等号成立. OP ∴与OM 夹角的最大值是arccos 3
.。