《金融工程》作业一二三

1、一只股票现在价格就是100元。

有连续两个时间步,每个步长6个月,每个单步二叉树预期
上涨10%,或下跌10%,无风险利率8%(连续复利),运用无套利原则求执行价格为100元的瞧涨期权的价值。

2、假设市场上股票价格S=20元,执行价格X=18元,r=10%,T=1年。

如果市场报价欧式瞧涨期
权的价格就是3元,试问存在无风险的套利机会不？如果有,如何套利？
3、股票当前的价格就是100元,以该价格作为执行价格的瞧涨期权与瞧跌期权的价格分别就
是3元与7元。

如果买入瞧涨期权、卖出瞧跌期权,再购入到期日价值为100 的无风险债券,则我们就复制了该股票的价值特征(可以叫做合成股票)。

试问无风险债券的投资成本就是多少？如果偏离了这个价格,市场会发生怎样的套利行为？
作业解答:
1、按照本章的符号,u=1、1,d=0、9,r=0、08,所以p=( e0、08×0、5-0、9)/(1、1-0、9)=0、7041。

这里p就是风险中性概率。

期权的价值就是:
(0.70412×21+2×0、7041×0、2959×0+0、29592×0) e-0、08=9、61。

2、本题中瞧涨期权的价值应该就是S-Xe-rT=20-18e-0、1=
3、71。

显然题中的期权价格小于此数,会引发套利活动。

套利者可以购买瞧涨期权并卖空股票,现金流就是20-3=17。

17以10%投资一年,成为17 e0、1==18、79。

到期后如果股票价格高于18,套利者以18元的价格执行期权,并将股票的空头平仓,则可获利18、79-18=0、79元。

若股票价格低于18元(比如17元),套利者可以购买股票并将股票空头平仓,盈利就是18、79-17=1、79元。

3、无风险证券的投资成本因该就是100-7+3=96元,否则,市场就会出现以下套利活动。

第一,若投资成本低于96元(比如就是93元),则合成股票的成本只有97元(7-3+93),相对于股票投资少了3元。

套利者以97元买入合成股票,以100元卖空标的股票,获得无风险收益3元。

第二,若投资成本高于96元(比如就是98元),则合成股票的成本就是102元,高于股票投资成本2元。

套利者可以买入股票同时卖出合成股票,可以带来2元的无风险利润。

1、A公司与B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款,需支付的年利率分别为:
A公司需要的就是浮动利率贷款,B公司需要的就是固定利率贷款。

请设计一个利率互换,其中银行作为中介获得的报酬就是0、1％的利差,而且要求互换对双方具有同样的吸引力。

2、X公司希望以固定利率借入美元,而Y公司希望以固定利率借入日元,而且本金用即期汇率计算价值很接近。

市场对这两个公司的报价如下:
请设计一个货币互换,银行作为中介获得的报酬就是50个基点,而且要求互换对双方具有同样的吸引力,汇率风险由银行承担。

3、一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。

这笔互换规定以6个月的LIBOR 利率交换12％的年利率(每半年计一次复利)。

市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10％(连续复利)。

两个月前6个月的LIBOR利率为9、6％。

请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？
作业答案:
1、A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势,但A公司想借的就是浮动利率贷款。

而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势,但A公司想借的就是固定利率贷款。

这为互换交易发挥作用提供了基础。

两个公司在固定利率贷款上的年利差就是1、4%,在浮动利率贷款上的年利差就是0、5。

如果双方合作,互换交易每年的总收益将就是1、4%－0、5%=0、9%。

因为银行要获得0、1%的报酬,所以A公司与B公司每人将获得0、4%的收益。

这意味着A公司与B公司将分别以LIBOR－0、3%与13%的利率借入贷款。

合适的协议安排如图所示。

12、3% 12、4%
12% LIBOR+0、6%
LIBOR LIBOR
2、 X 公司在日元市场上有比较优势但想借入美元,Y 公司在美元市场上有比较优势但想借入日元。

这为互换交易发挥作用提供了基础。

两个公司在日元贷款上的利差为1、5%,在美元贷款上的利差为0、4%,因此双方在互换合作中的年总收益为1、5%－0、4%=1、1%。

因为银行要求收取0、5%的中介费,这样X 公司与Y 公司将分别获得0、3%的合作收益。

互换后X 公司实际上以9、6%－0、3%=9、3%的利率借入美元,而Y 实际上以6、5%－0、3%=6、2%借入日元。

合适的协议安排如图所示。

所有的汇率风险由银行承担。

日元5% 日元6、2%
日元5% 美元10%
美元9、3% 美元10%
3、 根据题目提供的条件可知,LIBOR 的收益率曲线的期限结构就是平的,都就是10%(半年计一次复利)。

互换合约中隐含的固定利率债券的价值为
0.33330.10.83330.16106103.33e e -⨯-⨯+=百万美元
互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为
()0.33330.1100 4.8101.36e -⨯+=百万美元
因此,互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33101.36 1.97-=百万美元,对支付固定利率的一方的价值为－1、97百万美元。

加元5% 加元6、25%
加元5% 美元LIBOR+1%
美元LIBOR+0、25% 美元LIBOR+1%
本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反,在互换终止时与箭头指示相同。

金融中介在此期间承担了外汇风险,但可以用外汇远期合约抵补。

作业三:
1.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动,其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元,求:①第二天收盘时的预期价格,②第二天收盘时股价的标准差,③在量信度为95%情况下,该股票第二天收盘时的价格范围。

2.某股票市价为70元,年波动率为32%,该股票预计3个月与6个月后将分别支付1元
股息,市场无风险利率为10%。

现考虑该股票的美式瞧涨期权,其协议价格为65元,有效期8个月。

请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不就是最优的,并请计算该期权价格。

3.某股票目前价格为40元,假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。

连续复利无风险年利率为8%。

请问1个月期的协议价格等于39元欧式瞧涨期权价格等于多少？ 习题答案:
1、 由于),(~t t S
S ∆∆∆σμφ 在本题中,S ＝50,μ＝0、16,σ=0、30,∆t=1/365=0、00274、因此,
∆S/50~φ(0、16⨯0、00274,0、3⨯0、002740、5)
=φ(0、0004,0、0157)
∆S ~φ(0、022,0、785)
因此,第二天预期股价为50、022元,标准差为0、785元,在95％的置信水平上第2天股价会落在50、022-1、96⨯0、785至50、022+1、96⨯0、785,即48、48元至51、56元之间。

2、D 1=D 2=1,t 1=0、25,T=0、6667,r=0、1,X=65
221()0.10.1667()0.10.25[1]65(1) 1.07
[1]65(1) 1.60r T t r t t X e e X e
e ---⨯---⨯-=-=-=-=
可见, 221()2()1[1]
[1]r T t r t t D X e D X e ----<-<-
显然,该美式期权就是不应提早执行的。

红利的现值为:
0.250.10.500.1 1.9265e e -⨯-⨯+=
该期权可以用欧式期权定价公式定价:
S ＝70－1、9265＝68、0735,X ＝65,T=0、6667,r=0、1,σ＝0、32
21210.320.3013
d d d ==-= N(d 1)=0、7131,N(d 2)=0、6184
因此,瞧涨期权价格为:
0.10.666768.07350.7131650.618410.94e -⨯⨯-⨯⨯=
3、构造一个组合,由一份该瞧涨期权空头与Δ股股票构成。

如果股票价格升到42元,该组合价值就就是42Δ-3。

如果股票价格跌到38Δ元,该组合价值就等于38Δ。

令:
42Δ-3=38Δ
得:Δ=0、75元。

也就就是说,如果该组合中股票得股数等于0、75,则无论1个月后股票价格就是升到42元还就是跌到38元,该组合的价值到时都等于28、5元。

因此,该组合的现值应该等于:
28、5e -0、08×0、08333=28、31元。

这意味着:
-c+40Δ=28、31
c=40×0、75-28、31=1、69元。