分形图形学实验指导

分形图形学实验指导

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分形图形学实验指导

实验一二维空间上的分形图形生成

实验目的

1.Ｍaｎdelbｒot集与Jｕlia集的计算机实现

2.掌握用L系统语言生成分形

实验内容及步骤

1.编写程序生成Maｎdelbrot集

在复迭代中影响最大的当属迭代ｚ→ｚ＾2＋c，实际上它只是形式更一般的复解析迭代z＿(ｎ＋1)=F(z_n)+c的一种， F是一个非线性函数。显然z→z＾2+c也是最简单的一种,它在复迭代中的地位相当于逻辑斯蒂映射ｘ_(n+１)=ａx_n(1- ｘ_n）在实迭代中的地位(见第八章）。

考虑一般形式的F，令ｚ=x+iy,c=c_( Ｘ）＋ic_(Y)，其中i表示虚数,ｉ=SQRT(-1)。

分离实部与虚部，具体化迭代关系便有:

x→f(ｘ,y)+c_（Ｘ),y→g（x,ｙ）+c_(Ｙ).

通常所说的M集是迭代二次函数z→z^2＋c产生的,此函数具体化就是

x→x^２-y^2+c＿(X）,ｙ→２ｘy＋c_(Y）.

其中z＝x+i y，c=ｃ_(X)+i c_(Y ),以横轴ｘ记录实数的实部，以纵轴y记录实数的虚部。M集合实际上是常数c=（c_(Ｘ),c_(Ｙ）)构成的图象。让c从屏幕左上角开始变化，逐行增加,一直变到屏幕右下角。如果取的区域是２０0×200，则一共要计算40，000个点,把计算的结果用不同的颜色标记下来，就得到一幅图象，这就是M 集。对于不同的c值,如何得到表征迭代性质的不同的结果呢?

容易知道,无穷远处肯定是迭代的一个吸引子，即对于复平面上相当多的初始条件,迭代最终都跑到无穷远处。但研究发现，在原点附近还存在一个奇特的区域，在迭代过程中此区域永远不会跑掉。在非严格的意义上，这个不变的集合就是Ｍ集,我们的主要任务就是画出这个集合的边界——实际上边界是分形曲线,极其复杂，Ｍ集图象的全部魅力就在这里。

在复平面上,我们以原点(0,０)作为参考点，观察迭代过程是否远离原点，以及逃离原点的速度如何。为此规定一个距离函数D=x^2+ｙ^２,

其实D有许多不同的取法,以上取法是最普通的。可以看出,如果D较大,表明迭代点离原点较远,如果Ｄ较小，表明迭代点离原点较近。假设对于任何一个c,迭代都从（x_0，y＿0)＝(0,０)开始,我们观察迭代点列

（x_1，ｙ_1)，（ｘ_2，y_2),(ｘ_３,ｙ_3),… ，（x_（100），y＿(10０))，…

的变化状况。每一次都计算一下D值，即该点与原点(0，0)的距离(为方便计，这里实际上计算的是距离的平方)。取一个参考距离Ｒ，不妨取得大一些,比如R =40(实际上取２0就足够了)。现在想知道迭代多少次后实际的距离D大于R 。在迭代过程中如果D小于R，则继续让计算机迭代,要规定一个上限，比如30０次。如果迭代了300次后结果仍然不跑掉(即D仍然小于Ｒ),则可以近似认为此点属于M集合。

对于迭代次数小于300次的情况,如果迭代10次D就大于R,则标记c点为白色;

如果迭代35次D开始大于Ｒ，则标记c点为红色；如果迭代１10次D开始大于Ｒ，则标记c点为蓝色，等等。

2.编写程序生成Juliａ集

一个Ｍ集可以对应无数种J集,实际上M集就是所有J集的浓缩。M集不同部位的形状,反映了对应于该处的J集的形状，于是用M集可以对J集进行分类，至少在计算机图形学的层次上可以这样说。

计算J集时，初始迭代点就不能总取（0,０)了，而是要根据实际位置取实际的 (x，y)坐标值。仍以迭代z→z^２+c为例说明。先取定一个c值,比如c=(1.02２1,0.2433),迭代关系化为

x→x^2-y^2+1.0２2１,y→2xy+0.243３.

从屏幕左上角算起,逐行计算,一直算到屏幕右下角。当然，也可以不取整个屏幕那么大，只选一个２0０×200的小区域做。

标色的原理与上面讲M集合时完全类似,此略。改变常数c的取值，可以得到各式各样的Ｊ集。

3.比较M集与J集的区别与联系

在源程序中，M集与Ｊ集的计算方法十分相似，只需改变两处语句就可以互换为对方。

初始迭代点迭代关系说明

M集x0：=0;y0:=0；

x１:=f(x,y)+p０;y1：=g

（x,y)+q0；

ｐ_0,q_0不断变

化

J集

x０:=ｐ0;y０:=

ｑ０;

x1:＝f(x,ｙ）＋c_Ｘ;y

１:=g(x,ｙ)+c_Y；< ／TD＞

c_（Ｘ）,c_(Y)

固定不变

4.编写程序用L系统语言生成分形图形

1)编写程序生成柯赫曲线:初始图形是一条线段,生成过程是将线段中间1/3向外折起。程

序伪码如下:

KｏcｈCｕrｖｅ{ ;柯赫曲线

Anglｅ 6 ;角度增量是60°

Aｘｉom Ｆ；初始图形是一单位线段

F=F＋Ｆ--F+F ；产生式是将线段中间1/3折起

｝ ;结束

2)用L系统再次生成希尔伯特曲线。生成希尔伯特曲线的伪码如下：

Hilbert{ ；希尔伯特曲线，19９6-12

Angle ４

Axiom Y ；初始串为任意字母Y

Ｘ=-YＦ+XFＸ+FＹ－；第一个生成规则

Y＝+ＸＦ-YFＹ-FX+ ;第二个生成规则,由以上规则不断代换

}

3)模拟草本植物。注意这里出现了“括号”——可以方便地表示树枝，伪码如下:

ＨｅrbPｌant { ；生成植物，本程序使用了括号

Angｌe 1４

AxioｍZ

Ｚ=ZＦX［＋Ｚ］［－Ｚ]

X=X[-ＦFF]［＋FFF］FX

}