线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,它是汇总
对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间
s1 A1 sin x B1 A1 sin x B1 S [ x ]
S x 是一个线性空间.
一般地 例５ 在区间 [a , b] 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．
( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
例４ 正弦函数的集合
S x s Asin x B A, B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
s1 s2 A1 sin x B1 A2 sin x B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x
若对于任一数 R与任一元素 V ，总有唯 一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积， 记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设 , , V ; , R
(1) ;
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[ x]n
线性空间的定义与性质.ppt
对任意的L, 则0R, 由运算的封闭性知: 0L, 而0 =0, 故0L, 从而(3)成 立.
再由(–1)R, 则(–1)L, 且+(–1) = 0, 所以 的负元素就是(–1), 从而(4)成
立.
所以L是线性空间V的子空间.
例8: 线性空间R23的下列子集是否构成R23的子空间? 为什么?
即所定义的运算不是线性运算, 所以Sn不是线性空间.
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的.
证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素.
则对任何V有, 由于01, 02V, 所以
+ 01 =, + 02 = ,
则有 02+01=02, 01+02=01. 01=01+02 =02+01 =02.
线 性 空 间
是一个集合; 对所定义的加法及数乘运算封闭; 所定义的加法及数乘符合线性运算.
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运算统称为线性运算.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一定是有序数组.
说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义的加法和数乘运算不封闭, 或 者运算不满足八条性质的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.
线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加, 乘运算, 则只 需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线 性空间, 记作Rmn. Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.
线性空间的定义与性质
s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1) S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合 记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构 成实数域上的线性空间. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律. 例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为: ab = ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线 性空间. 证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组. 说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间. 线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和 数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵. 例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , a n R } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, + 01 =, + 02 = , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01. 所以 01=01+02 =02+01 =02.
线性空间的基本内容
(3)线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组
注意：线性无关的向量组经过线性变换后可能会变成线性相关的向量组，如零变换
3、线性变换的矩阵
(1) 定义 教材P133定义3.11
(2) 求线性变换一组基下的矩阵 教材P134例8---例11。
（2） 正交基与标准正交基 教材P145定义3.17
对一组正交基进行单位化，就得到一组标准正交基
（3） 在标准正交基下，向量坐标可用内积简单表示：见教材P145 定理3.11
在标准正交基下，内积也有特别简单的表达式：设 ，在 的标准正交基 下，有 ， ，则
（4）第二章中施密特正交化方法可以推广到一般的欧氏空间 教材P146定理3.12
② 两个等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。
(4)基 教材P122定义3.5
(5)坐标 教材P122定义3.6
注意：
① 若是 为 维线性空间 的一组基，则它们线性无关，并且对于任意 ， 线性相关。
② 向量在一组基下的坐标唯一。
4、基变换与坐标变换 教材P125定理 3.4
本章小结
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。在线性空间中，元素之间的联系是通过映射来实现的，而通常将线性空间到自身的映射称为变换。线性变换是其中最基本也是最重要的变换，它是线性代数的主要研究对象之一。本章重点介绍了两方面的内容：线性空间的概念、性质，线性空间的基与坐标；线性变换的定义,线性变换的矩阵。最后简要介绍了欧氏空间。
(3) 线性变换的像 与 的坐标之间的关系 教材P137定理3.7
4、线性变换与矩阵的一一对应关系
第一章线性空间2011
四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及 n维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线 性 空 间 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
说明
1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运 算，称为线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对 于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不 满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成 线性空间．
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空 间来解决实际问题．
一.线性空间的定义
设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V 中 定义了一种代数运算，叫做加法: 即对 , V , 在V 中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
mn
是一个线性空间 .
例2 次数不超过n的多项式的全体, 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R}, 对于通常的多项式加法 , 数乘多项式的乘法构成 向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． (a n x n a1 x a 0) (bn x n b1 x b0) (a n bn) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[ x]n (a n x n a 1 x a 0 ) ( a n) x n ( a1) x ( a 0) P[ x]n . P[ x]n 对运算封闭
线代知识点概念总结
线代知识点概念总结1.向量空间向量空间是线性代数的基础概念之一，它是一个集合，其中的元素称为向量，同时该集合还具有向量加法和数量乘法的结构。
向量空间具有多种性质，例如：对于任意的向量a，b和c，满足加法交换律、结合律、零元素和负元素等。
2.线性方程组线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，例如：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b是一个线性方程，它可用矩阵表示。
解线性方程组是线性代数中的一个重要内容，可以用高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等方法来求解。
3.矩阵矩阵是线性代数中的重要工具，它由一组按照矩形排列的数所组成的，其中每一个数称为一个元素。
矩阵可以进行加法、数乘和矩阵乘法等运算。
矩阵的性质和运算规则很多，例如：矩阵的转置、逆矩阵、矩阵的秩等。
4.线性变换线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，同时满足线性函数的性质。
线性变换具有很多性质和运算规则，例如：线性变换的复合、线性变换的逆等。
5.特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要性质，它们可以描述矩阵在某种变换下的特定性质。
特征值和特征向量在许多领域有广泛的应用，例如：物理学、工程学和计算机科学等。
6.内积空间内积空间是线性代数的一个重要分支，它是一个向量空间，并且在其上定义了一个内积运算。
内积空间具有很多性质和运算规则，例如：内积的线性性、正定性等。
7.正交、标准正交正交和标准正交是内积空间中的重要概念，它们描述了向量空间中向量之间的关系，具有很多性质和运算规则，例如：正交矩阵、标准正交基等。
8.奇异值分解奇异值分解是矩阵分解的一种重要方法，它可以将一个任意的矩阵分解为奇异值矩阵、左奇异向量和右奇异向量的乘积，具有重要的应用价值。
9.特征值分解特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个对称矩阵分解为特征向量和对角元素的乘积，具有很多应用。
10.广义逆矩阵广义逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是对非方正矩阵的逆矩阵的推广，具有很多应用。
线性空间的定义与性质
由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2) = (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx) = (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx
= Asin(x+B)S[x],
说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运 算统称为线性运算.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组.
说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.
线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性.
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算 满足线性运算规律. 实际上
对p(x)=a0+a1x+···+anxn, q(x)=b0n, R,
p(x)+q(x) = (a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn ) = (a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnP[x]n,
理学线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间．§1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为)和复数域(记为)，统称数域．一、线性空间的定义及性质定义1 设是一个非空集合，是一数域．如果存在一种规则，叫做的加法运算：对于中任意两个元素,αβ，总有中一个确定的元素与之对应．称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做对于的数乘运算：对于中的任意数及中任意元素，总有中一个确定的元素与之对应，叫做与的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意，，V γ∈及，l F ∈，有 1)αββα+=+；2)()()αβγαβγ++=++；3)中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=；6)()()k l kl αα=；(式中是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称为数域上的一个线性空间，也称向量空间．中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管的元素如何，当为实数域时，则称为实线性空间；当为复数域时，就称为复线性空间．线性空间{0}V =称为零空间．例1 任何数域(作为集合)，对于通常的数的加法与乘法(作为数乘)运算，都构成此数域上的线性空间．例2 实数域作为集合，对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算，不能构成复数域上的线性空间．因为,,a R k i C ka ai R ∈=∈=∉．例 3 以数域上的数为系数的多项式称为数域上的多项式．数域上的、以为变量的全体多项式的集合记为[]F x ；次数小于的全体多项式的集合记为[]n F x ．可以证明，[]n F x 对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成数域上的线性空间．对于多项式(),()[]n f x g x F x ∈，设121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++， 121210()n n n n g x b x b x b x b ----=++++，这里,,0,1,2,,1i i a b F i n ∈=-，于是1211221100()()()()()()[]n n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b F x ------+=++++++++∈，对于任何k F ∈，有121210()[]n n n n n kf x ka x ka x ka x ka F x ----=++++∈．易证明线性空间定义中的八条性质都成立，因此[]n F x 是上的线性空间．类似可证[]F x 对于通常的多项式加法及数乘运算也构成数域上的线性空间．例4 数域上的维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为，它对于数组向量加法、数乘运算构成上的线性空间．例5 数域上的m n ⨯矩阵的全体构成的集合记为m n F ⨯，它对于矩阵加法、数乘运算构成数域上的线性空间．例6 定义在[,]a b 上的实函数全体的集合，对于函数加法、数乘运算构成实数域上的线性空间．例7 常系数二阶齐次线性微分方程320y y y '''-+=的解的集合，对于函数加法及数与函数乘法有：若12,y y D ∈，则12y y D +∈，当k R ∈时，则1ky D ∈，即关于这两种运算是封闭的，且满足定义１中的八条性质，故构成了上的线性空间．定理1 设是数域上的线性空间，则 1) 中零元素惟一；2) 中任一元素的负元素惟一；V α∀∈，用表示的负元素； 3) 00k =；特别有00α=，(1)αα-=-； 4) 如果0k α=，那么00k α==或．证 这里仅证明2)，其余的证明留给读者去完成． 假设有两个负元素与，则0αβ+=，0αγ+=，从而0()()0βββαγβαγγγ=+=++=++=+=．二、向量的线性相关性在线性代数中，已讨论了维数组向量的性质：线性表示，等价性，线性相关性等，对于一般的数域上的线性空间也有类似结果．定义2 设是数域上的线性空间，12,,,(1)r r ααα≥是中一组向量，12,,,r k k k 是数域中的数，如果中向量可以表示为1122r r k k k αααα=+++，则称可由12,,,r ααα线性表示(线性表出)，或称是12,,,r ααα的线性组合．定义3 设12,,,r ααα与12,,,s βββ是线性空间中两个向量组，如果12,,,r ααα中每个向量都可由向量组12,,,s βββ线性表示，则称向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表示．如果向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ可以互相线性表示，则称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的．容易证明向量组之间的等价具有如下性质： (1) 自反性 每一个向量组都与它自身等价； (2) 对称性 如果向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么向量组12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价；(3) 传递性 若向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而且向量组12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，则向量组12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价．定义4 设为数域上的线性空间，12,,,(1)r r ααα≥是中一组向量，如果存在个不全为零的数12,,,,r k k k F ∈使得11220r r k k k ααα++=，则称12,,,r ααα线性相关；如果向量组12,,,r ααα不线性相关，就称为线性无关．由定义4可得向量组线性相关定义的另一说法．定理 2 设为数域上的线性空间，中一个向量线性相关的充分必要条件是0α=；中一组向量12,,,(2)r r ααα≥线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合．证 如果一个向量线性相关，由定义4可知，有0k ≠，使0k α=，由定理1 的4)知0α=．反之，若0α=，由对任意数0k ≠都有0k α=．由定义4知，向量线性相关．如果向量组12,,,r ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,,r k k k ，使得11220r r k k k ααα+++=，因为12,,,r k k k 不全为零，不妨设0r k ≠，于是上式可改写为121121r r r r rrk kk k k k αααα--=----， 即向量是其余向量121,,,r ααα-的线性组合．反过来，如果向量组12,,,r ααα中有一个向量是其余向量的线性组合，譬如说112211r r r l l l αααα--=+++，上式可写为112211(1)0r r r l l l αααα--++++-=，因为11,,,1r l l --不全为零，由定义4知，向量组12,,,r ααα线性相关．例8 实数域上线性空间22R ⨯的一组向量(矩阵)1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是线性无关的．事实上，如果1112123214220k E k E k E k E +++=，即12340k k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则12340k k k k ====．因此，满足1112123214220k E k E k E k E +++=的1234,,,k k k k 只能全为零，于是11122122,,,E E E E 线性无关．定理3 设为数域上的线性空间，如果中向量组12,,,r ααα线性无关，并且可由向量组12,,,s βββ线性表示，则r s ≤．证 采用反证法．假设r s >，因为向量组12,,,r ααα可由向量组,s β线性表示，即1,1,,si ji j j a i r αβ===∑，做线性组合11221111()r s s rr r i ji j ji i j i j j i x x x x a a x αααββ====+++==∑∑∑∑，考虑齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.r r r r s s sr r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为上述齐次线性方程组未知数12,,r x x x 的个数大于方程的个数，从而有非零解12,,,r x x x ，即我们可找到不全为零的数12,,r x x x ，使得11220r r x x x ααα+++=．因此，向量组12,,,r ααα线性相关，这与12,,,r ααα线性无关矛盾，于是r s ≤．由定理3直接可得如下结论．推论1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量． 定理4 设线性空间中向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组,r αβ线性相关，则可由12,,,r ααα线性表示，并且表示法是惟一的．证 向量组12,,,,r αααβ线性相关，故存在不全为零的数12,,,k k1,r r k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++=，并且10r k +≠；否则向量组12,,,r ααα线性相关，这与条件矛盾．从而1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----， 即可由12,,,r ααα线性表示．假设可由12,,,r ααα线性表示为11221122r r r r k k k l l l βαααααα=+++=+++，则111222()()()0r r r k l k l k l ααα-+-++-=．因为向量组12,,,r ααα线性无关，从而0(1,2,,)i i k l i r -==．因此，可惟一的表示为12,,,r ααα的线性组合．定义5 设12,,,s ααα是线性空间中一组向量，如果12,,,s ααα中存在个线性无关的向量12,,,(1,1,2,,)r i i i j i s j r ααα≤≤=，并且12,,,s ααα中任一向量都可由向量组12,,,r i i i ααα线性表示，则称向量组12,,,r i i i ααα为向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组，数称为向量组12,,,s ααα的秩，记为{}12,,,s rank r ααα=．一般说来，向量组的极大线性无关组不惟一，但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价．由等价的传递性可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，并且任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．由推论1知，一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量，即向量组的秩是惟一的，并且等价的向量组具有相同的秩．三、基与维数现在引入线性空间的基与维数的概念，它是线性空间的重要属性． 定义6 设是数域上的线性空间，如果中存在个向量12,,,n εεε，满足1)12,,,n εεε线性无关；2)中任何向量均可由12,,...,n εεε线性表示．即存在12,,,n k k k F ∈，使得1122n n k k k αεεε=+++，则称12,,,n εεε为的一组基(或基底)，基中向量的个数称为线性空间的维数，记为维或dim V ．若dim V <+∞，称为有限维线性空间，否则，称为无限维线性空间，本书主要讨论有限维线性空间．关于线性空间的基与维数，有(1) 维线性空间中任一向量必可由的基12,,,n εεε线性表示，并且表示法惟一．(2) 线性空间的基(只要存在)必不惟一． (3) 有限维线性空间的维数是惟一确定的．定理5维线性空间中任意个线性无关的向量均可构成一组基． 证 设是维线性空间，12,,,n εεε是的一组基，12,,,n ααα是中一个线性无关的向量组．为证12,,,n ααα是基，只须证明中任一向量可由12,,,n ααα线性表示．此时，向量组12,,,n ααα中每个向量都可由基12,,,n εεε线性表示．这是1n +个向量被个向量线性表示的情况，即知12,,,n ααα，线性相关．再由定理4，便知可由12,,,n ααα线性表示，定理得证．例9 求实数域上线性空间的维数和一组基．解 考虑中向量组1231000,1,0.001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然满足 1)123,,E E E 线性无关；2)对于中任一向量123(,,)T a a a α=，有112233a E a E a E α=++．由定义6知123,,E E E 为的一组基，从而的维数为3．例10 求数域上线性空间23F ⨯的维数和一组基． 解23F ⨯中向量组111213100010001,,,000000000E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212223000000000,,100010001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然满足1)111213212223,,,,,E E E E E E 线性无关，2)对于23F ⨯中任一元素111213212223aa a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 111112121313212122222323A a E a E a E a E a E a E =+++++，于是知111213212223,,,,,E E E E E E 为23F ⨯的一组基，从而23dim()6F ⨯=．类似可知，线性空间m n F ⨯的维数为，其一组基为,1,2,...,;1,2,...,ij E i m j n ==，其中是m n ⨯矩阵，它的()元素为1，其余全为0．例11 设是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常的矩阵加法、矩阵数乘两种运算构成的实数域上的线性空间，求出的维数和一组基．解中一般元素可表示为a b b c ⎛⎫⎪⎝⎭，,,a b c R ∈，,,a b c 所在位置各体现一个自由度．考虑中向量组123100100,,001001A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足 1)123,,A A A 线性无关；2)对中任一矩阵，a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有123A a A b A c A =++，可见12,,A A 为的一组基，dim()3V =．四、坐标与坐标变换定义7 设是数域上的维线性空间，12,,...,n εεε是的一组基，对于中任一向量，有数域中惟一的一组数12,,...,n a a a ，使1122...n n a a a αεεε=+++，称有序数组12,,...,n a a a 为向量在基12,,...,n εεε下的坐标，记为．如果借用矩阵乘法的形式，记12112212(,,...,)n n n n a a a a a a εεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭， 则的坐标可以方便地用一个维列(数组向量)表示出来12ˆn a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 例12[]n F x 中向量121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++在基21,,,...,x x1n x -下的坐标为011(,,...,)T n a a a -．例13 设是二阶实对称矩阵全体的集合，对于矩阵加法与矩阵数乘运算构成实数域上的线性空间，求中向量1223A ⎛⎫= ⎪⎝⎭在基123200001,,000110εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标．解 因为1231322A εεε=++，所以在基123,,εεε下的坐标为1(,3,2)2T ．引理1 在维线性空间中，对于任一组基，向量为零向量的充分必要条件是的坐标为(0,0,...,0)T ．引理2 设是数域上的维线性空间，在基12,,...,n εεε下，如果的坐标记为，的坐标记为，则1)αβ+的坐标为ˆˆαβ+； 2)的坐标为ˆ()k k F α∈． 证 设1212ˆˆ(,,...,),(,,...,)T T n na a ab b b αβ==，便有 1122n n a a a αεεε=+++， 1122n n b b b βεεε=+++．于是，111222()()()n n n a b a b a b αβεεε+=++++++，可见αβ+的坐标为1122ˆˆn n a b a b a b αβ+⎛⎫ ⎪+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭． 对任意k F ∈，有1122n n k ka ka ka αεεε=+++，故的坐标为．定理 6 设是数域上的维线性空间，在的一组基12,,...,n εεε之下，向量组12,,...,s ααα线性相关的充分必要条件是它们的坐标12ˆˆˆ,,...,s ααα(作为数域上的维数组向量)线性相关．证 利用引理1，2，便知以下四种说法等价 中向量组12,,...,s ααα线性相关． 有数域中不全为零的数12,,...,s k k k ，使1122...0s s k k k ααα+++= ． 有数域中不全为零的数12,,...,s k k k 使1122ˆˆˆ...0s s k k k ααα+++=，这里0(0,0,...,0)T =． 数域上的维数组向量12ˆˆˆ,,...,s ααα线性相关． 设是数域上的维线性空间，12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''是的两组基，并设 11112121212122221122...,...,....n n n nnn n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε'=+++⎧⎪'=+++⎪⎨⎪⎪'=+++⎩ (1) 若令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则中第列恰是向量i ε'在基12,,...,n εεε下的坐标，矩阵是惟一确定的，并且是可逆的，把(1)式形式地表达为1212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε'''=． (2) 把(2)式称为基变换公式，其中的阶矩阵称为由基12,,...,n εεε到基12,,...,n εεε'''的过渡矩阵(或称变换矩阵)．在(2)式两端同时右乘，便得11212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε-'''=． 这说明由基12,,...,n εεε'''到基12,,...,n εεε的过渡矩阵恰是由基12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵的逆矩阵． 下面研究同一向量在两组基下的坐标间的关系． 设基12,,,εεεn 与12,,,εεε'''n之间的关系如(2)式，向量在这两组基下的坐标分别为12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12nx x x '⎛⎫⎪' ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭， 于是，有11221212(,,...,)(,,...,)n n n nx x x x A x x αεεεεεε''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'' ⎪ ⎪'''== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭．根据向量在取定基下坐标的惟一性，得1122n nx x x x A x x '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭， (3) 或写成11221n n x x x x A x x -'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭． (3)＇(3)式或(3)＇式叫做坐标变换公式．定理7 在维线性空间中，设向量在两组基12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''之下的坐标分别为12(,,...,)T n x x x 及()12,,...,Tn x x x '''，如果两组基向量的变换公式如(2)，则坐标变换公式为(3)或(3)＇．例14 在线性空间中，求出由基1232121,0,5311ααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的变换公式，并求向量(4,12,6)Tξ=在基123,,ααα下的坐标123(,,)T x x x ．解 首先容易得到由基123,,εεε到基123,,ααα的变换公式为123123(,,)(,,)A αααεεε=，其中 212105311A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，可求得1535222746111222A -⎛⎫- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭．于是，由基123,,ααα到基123,,εεε的变换公式为1123123(,,)(,,)A εεεααα-=．又因为向量在基123,,εεε下的坐标显然为(4,12,6)T ，依坐标变换公式便有112347121661x x A x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例15 对于数域上的线性空间22F ⨯，证明123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是一组基，并求11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在该基下的坐标．解 取基123410010000,,,00001001εεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则有1124323423,,,.A A A A εεεεεε=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪=-⎩即1234123410000011(,,,)(,,,)00110100A A A A εεεε⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，过渡矩阵10000011,20,00110100B B ⎛⎫⎪⎪==-≠ ⎪- ⎪⎝⎭故1234,,,A A A A 是一组基．因为在1234,,,εεεε下的坐标为11122122(,,,)T a a a a ，则在1234,,,A A A A 下的坐标为()()11111222121112212321112212224a x a a x a B a a x a a a a x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例16 已知矩阵空间22R ⨯的两组基(Ⅰ) 123410100101,,,01011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 123411111110,,,11100000B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵．解 为了计算简单，采用中介基方法．引进22R ⨯的简单基(Ⅲ) 1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直接写出由基(Ⅲ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵1110001100111100C ⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，即1234111221221(,,,)(,,,)A A A A E E E E C =．再写出由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵21111111011001000C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，即1234111221222(,,,)(,,,)B B B B E E E E C =．所以有11234123412(,,,)(,,,)B B B B A A A A C C -=． 于是得由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵1121001111121111001111001111101101100221022011010000010C C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． §1.2 线性子空间一、线性子空间的概念在通常的三维几何空间中，考虑过原点的一条直线或一个平面．不难验证这条直线或这个平面上的所有向量对于向量加法及数乘运算，分别形成一个一维和二维的线性空间．这就是说，它们一方面都是三维几何空间的一部分，另一方面它们自身对于原来的运算也都构成一个线性空间．针对这种现象，引入下面定义．定义8 设是数域上的线性空间的一个非空子集合，且对中已有的线性运算满足以下条件(1) 对任意的1,x y V ∈，有1x y V +∈， (2) 对任意的1,x V k F ∈∈，有1kx V ∈， 则称为的线性子空间或子空间．例如，阶齐次线性方程组的解空间是的子空间．值得指出，线性子空间也是线性空间．这是因为为的子集合，所以中的向量不仅对线性空间已定义的线性运算封闭，而且还满足相应的八条运算律．容易看出，每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称后者为零子空间．它们统称为平凡子空间．由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念，亦可应用到线性子空间中去．由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零．因为线性子空间中不可能比整个线性空间中有更多数目的线性无关的向量，所以，任何一个线性子空间的维数不大于整个线性空间的维数，即有1dim dim V V ≤(1)例如，阶齐次线性方程组当其系数矩阵的秩为(1)r r n ≤<时，其解空间的维数n r -小于的维数．下面讨论线性子空间的生成问题． 设12,,,m x x x 是数域上的线性空间的一组向量，其所有可能的线性组合的集合{}111(,1,2,,)m m i V k x k x k F i m =++∈=是非空的，而且容易验证对的线性运算是封闭的，因而是的一个线性子空间．这个子空间称为由12,,,m x x x 生成(或张成)的子空间，记为 {}1211(,,,)m m m L x x x k x k x =++．(或},,,{21m x x x span)(2) 在有限维线性空间中，它的任何一个子空间都可以由式(２)表示．事实上，设是的子空间，当然是有限维的，如果12,,,m x x x 是的一个基，那么有112(,,,)m V L x x x =． (3)特别地，零子空间就是由零元素生成的子空间(0)L ．矩阵的值域和核空间(零空间)的理论，在线性最小二乘问题和广义逆矩阵的讨论中都占有重要地位，现定义如下定义9 设()m n ij A a R ⨯=∈，以(1,2,,)i a i n =表示的第个列向量，称子空间12(,,,)n L a a a 为矩阵的值域(列空间)，记为12()(,,,)n R A L a a a =． (4)由前面的论述及矩阵秩的概念可知()m R A R ⊂，且有dim ()rankA R A =．()R A 还可以这样生成：令12(,,,)T n x ξξξ=，则12121122(,,,)(,,,)T n n n n Ax a a a a a a ξξξξξξ==+++，这表明为的列向量组的线性组合．反之，若为的列向量组的线性组合，则1122n n y a a a Ax ξξξ=+++=．可见所有乘积之集合{}nAx x R ∈与的列向量组的线性组合的集合12(,,,)n L a a a 相同，从而有{}()n R A Ax x R =∈．(5)同样可以定义的值域(行空间)为{}()T T m n R A A x x R R =∈⊂， (6)且有dim ()dim ()T rankA R A R A ==．定义10 设()m n ij A a R ⨯=∈，称集合{}0x Ax =为的核空间(零空间)，记为()N A ，即{}()0N A x Ax ==．(7)显见()N A 是齐次线性方程组0Ax =的解空间，它是的一个子空间．的核空间的维数称为的零度，记为()n A ，即()dim ()n A N A =．例1 已知101011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求的秩及零度．解 记123(,,)A a a a =，显然有1230a a a +-=，即的三个列向量线性相关．但的任何两个列向量均线性无关，故2rankA =．又由0Ax =可求出(1,1,1),T x t t =-为任意参数，从而有()1n A =． 同样可以求得2,()0T T rankA n A ==．由例1可见，()rankA n A A +=的列数，而()()T n A n A -=()A 的列数(A -的)行数．这一事实具有一般性，即若()m n ij A a R ⨯=∈，则有下面的一般公式()rankA n A n += ， (8)()()T n A n A n m -=-．(9)事实上，因为0Ax =的解空间的维数为()n A n rankA =-，从而式(8)成立；又因()T T rankA n A m +=，由式(8)减去上式便得式(9)．值得指出的是，当m n A C ⨯∈时，同样有第一节中定义6和定义7，且式(8)与(9)仍成立．定理８ 设是数域上的线性空间的一个维子空间，12,,,m x x x 是的基，则这个基向量必可扩充为的一个基．换言之，在中必可找到n m -个向量12,,,m m n x x x ++，使得12,,,n x x x 是的一个基．证 对维数差n m -作归纳法．当0n m -=时，定理显然成立，因为12,,,m x x x 已经是的基．现在假定n m k -=时定理成立，考虑1n m k -=+的情形．既然12,,,m x x x 还不是的基，但它又是线性无关的，则由定义6可知，在中至少有一个向量1m x +不能被12,,,m x x x 线性表出，把1m x +添加进去，121,,,,m m x x x x +必定是线性无关的(因为，若12,,,r x x x 线性无关，但12,,,,r x x x x 线性相关，那么可以被12,,,r x x x 线性表出，且表示法惟一)．由式(3)知子空间121(,,,,)m m L x x x x +是1m +维的．因为 (1)()111n m n m k k -+=--=+-=，由归纳法假定知121(,,,,)m m L x x x x +的基121,,,,m m x x x x +可以扩充为的基，归纳法完成．二、子空间的交与和前面讨论了由线性空间的元素生成子空间的方法与理论．这里将要讨论的子空间的交与和，可以视为由子空间生成的子空间．首先证明下面的定理． 定理9 如果12,V V 是数域上的线性空间的两个子空间，那么它们的交集12V V 也是的子空间．证 因为120,0V V ∈∈，所以120V V ∈．于是12V V 是非空的．又若12,x y V V ∈，则12,,,x y V x y V ∈∈．因12,V V 都是子空间，故12,x y V x y V +∈+∈，即12x y V V +∈．又因对任意的k F ∈，12,kx V kx V ∈∈，故12kx V V ∈．所以12V V 是的子空间．称12V V 为子空间12,V V 的交． 由集合的交的定义可以推知，子空间的交满足交换律与结合律，即有1221V V V V =，123123()()V V V V V V =．定义11 设12,V V 都是数域上的线性空间的子空间，12,x V y V ∈∈，则所有x y +这样的元素的集合称为12V V 与的和，记为12V V +，即{}1212,,V V z z x y x V y V +==+∈∈．定理10如果12,V V 都是数域上的线性空间的子空间，那么它们的和12V V +也是的子空间．证 显然12V V +非空．又对任意向量112212,x y x y V V ++∈+，设12,x x 1V ∈，122,y y V ∈，则有1122121212()()()()x y x y x x y y V V +++=+++∈+，111112,()k F k x y kx ky V V ∀∈+=+∈+，这就证明了12V V +是的子空间． 由子空间的和的定义可以推知，子空间的和适合交换律与结合律，即有1221V V V V +=+ ，123123()()V V V V V V ++=++．例如，在线性空间中，表示过原点的直线上所有向量形成的子空间．表示另一条过原点的直线上所有向量形成的子空间．显然12V V 是由与交点(原点)形成的零子空间；12V V +是在由与所决定的平面上全体向量形成的子空间． 子空间的交与和可视为子空间之间的两种运算．如果子空间12,W V W V ⊂⊂，那么12W V V ⊂．这就是说12,V V 的子空间是12V V 的子空间；换言之，12V V 是包含在12,V V 中的最大子空间．如果子空间12,W V W V ⊃⊃，那么12W V V ⊃+．这就是说包含12V V 与的子空间也包含12V V +；或者说12V V +是包含12V V 及的最小子空间．关于两个子空间的交与和的维数，有如下的定理．定理11(维数公式)如果12,V V 是数域上的线性空间的两个子空间，那么有下面公式121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++． (10)证 设112212dim ,dim ,dim()V n V n V V m===．需要证明12dim()V V +12n n m =+-．当1m n =时，由121V V V ⊂知121V V V =，再由122V V V ⊂，可得12V V ⊂，从而122V V V +=，故12212dim()dim V V V n n m +==+-．同理，当2m n =时，式(10)亦成立． 当1m n <，且2m n <时，设12,,,m x x x 为12V V 的基．由定理8，将它依次扩充为12,V V 的基121111,,,,,;,,,,,,m n m m n m x x y y x x z z --只要证明向量组12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --是12V V +的一个基，这样一来，12V V +的维数就等于12n n m +-，则式(10)成立．因为中任一向量可由111,,,,,m n m x x y y -线性表出，所以也可由12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性表出．同理中任一向量也可由它们线性表出．于是有1212111(,,,,,,,,)m n m n m V V L x x y x z z --+=． 还须证明这12n n m +-个向量线性无关．假定11221111110m m n m n m n m n m k x k x p y p y q z q z ----++++++++=，令2211111111n m n m m m n m n m x q z q z k x k x p y p y ----=++=------，则由第一等式有2x V ∈；由第二等式有1x V ∈，因此有12x V V ∈，即可由12,,,m x x x 线性表出，令1122m m x l x l x l x =----，则有221122110m m n m n m l x l x l x q z q z --++++++=． 但211,,,,,m n m x x z z -是的基，因此它们线性无关，所以有2110,0m n m l l q q -======，从而0x =．于是又有1111110m m n m n m k x k x p y p y --+++++=，但111,,,,,m n m x x y y -是的基，故它们线性无关，从而又有1110,0m n m k k p p -======．这就证明了12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性无关，因而它是12V V +的基．式(10)表明，和空间的维数往往要比空间维数的和小．给出和空间12V V +时，只知道其任一向量均可表示为12x V y V ∈∈与的和，即z x y =+．但是，一般说来这种表示法并不是惟一的．例如，在中，若表示1(1,0,0)x =与2(1,1,1)x =所生成的子空间；表示1(0,0,1)y =与2(3,1,2)y =所生成的子空间．则其和12V V +中的零向量，一方面可表示为000+=，即中的零向量与中的零向量之和，另一方面，零向量又可表示为12210(2)()x x y y =+--，这就说明零向量的表示法不惟一．针对这种现象，作如下定义．定义12 如果12V V +中的任一向量只能惟一地表示为子空间的一个向量与子空间的一个向量的和，则称12V V +为与的直和或直接和，记为1212()V V V V ∙⊕+或．定理12 和12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =．证 充分性 设12(0)V V L =，对12z V V ∈+，若有121122,,z x x x V x V =+∈∈； 121122,,z y y y V y V =+∈∈，则有1122111222()()0,x y x y x y V x y V -+-=-∈-∈,， 即 112212()()x y x y V V -=--∈ 11220,0,x y x y -=-=也就是1122,x y x y ==，于是的分解式惟一，12V V +为直和．必要性 假定12V V +为直和，如果12V V 不为零空间，则在12V V 中至少有一向量0x ≠．因12V V 是线性空间，故有12x V V -∈．今对12V V +中的零向量既有000+=，又有0()x x =+-．这与12V V +是直和的假定矛盾．推论1设12,V V 都是线性空间的子空间，令12U V V =+，则12U V V =⊕的充要条件为1212dim dim()dim dim U V V V V =+=+． (11)由定理12知，12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =．这与12dim()0V V =等价，也就是与12dim dim dim U V V =+等价．推论2如果1,,k x x 为的基，1,,l y y 为的基，且12V V +为直和，则1,,k x x ，1,,l y y 是12V V ⊕的基． 证1,,k x x ，1,,l y y 是12V V ⊕的k l +个向量，只需证明它们线性无关即可．设一组数1,,k c c ，1,,l d d 使 11110k k l l c x c x d y d y +++++=，则有111112()(0)k k l l c x c x d y d y V V L ++=-++∈= ．故110,0k l c c d d ======，也就是1,,k x x ，1,,l y y 线性无关．子空间的直和概念可以推广到多个子空间的情形：设(1,2,,)i V i s =是线性空间的子空间．如果和1sii V=∑中每个向量的分解式1s x x x =++，(1,2,,)i i x V i s ∈=是惟一的，则称该和为直和，记为12s V V V ⊕⊕⊕．§1.3 线性变换及其矩阵线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，而线性变换则研究线性空间中元素之间的最基本联系，本节介绍线性变换的基本概念，并讨论它与矩阵之间的联系．一、线性变换及其运算定义13 对于线性空间，如果存在一种规则：对于中每个元素，都有中一个确定元素与之对应，则称为线性空间的一个变换，并把这种对应关系记为()σαα'=，称为在变换下的象，称为在变换下的一个原象．1．中所有元素在变换下的象所成的集合称为变换的象集(或值域)，记为()V σ．显然，()V V σ⊆．定义14 设,στ都是线性空间的变换，如果对于任意的V α∈，总有()()σατα=，则说变换与变换相等，记作στ=． 2． 几个特殊的变换恒等变换： *1()αα=，α∈V ； 零变换： *0()0α=，α∈V ；数乘变换*()∈k k F ：*()αα=k k ，α∈V ．3． 设、都是线性空间的变换．可定义与的和变换στ+及乘积变换为：()()()()στασατα+=+，α∈V ；()[()]σταστα=，α∈V ．4． 如果是数域上的线性空间，对于中的数及的变换，可定义的数乘变换为()()(),k k V σασαα=∈定义15 对于线性空间的变换，若有的变换，使*1σττσ==，则称为可逆变换，称为的逆变换，记为．定义16设是数域上的线性空间，是的一个变换．如果对于中任意元素,αβ以及数域中任意的数，总有()()()σαβσασβ+=+， (1)()()k k σασα=， (2) 则称为线性空间的一个线性变换．如果线性空间的线性变换还是可逆变换，则称为的一个可逆线性变换． 5． (数域上的)线性空间的线性变换具有如下一些基本性质(0)0;()(),()V σσασαα=-=-∈． 证(0)(0)0()0σσασα===，()[(1)](1)()()σασασασα-=-=-=-．线性变换保持线性组合关系不变，即对中任何向量12,,...,αααs 及数域中任何数12,,...,s k k k 总有11221122()()()()σααασασασα+++=+++s s s s k k k k k k ．线性变换把线性相关组化为线性相关组．证 若中向量12,,...,αααs 线性相关，则有中不全为零的数12,,...,s k k k 使11220ααα+++=s s k k k ，于是，1122()(0)σααασ+++=s s k k k利用、，上式即为1122()()()0σασασα+++=s s k k k ．说明12(),(),...,()σασασαs 是的一个线性相关组． 若、都是线性变换，则+，，()k k F σ∈也都是线性变换．证 对任意的,V αβ∈及任意的k F ∈，有()()()()()()()()σταβσαβταβσασβτατβ++=+++=+++()()()()()()()()σατασβτβσταστβ=+++=+++；()()()()()()στασατασατα+=+=+k k k k k[()()]()()σαταστα=+=+k k ．所以+为线性变换．类似可以证明为线性变换．再由*()()(())k k σασα=，而是线性变换，可知亦为线性变换．线性变换满足如下运算律：对于线性空间的线性变换，，及数域上的数，，总有;()();()();();();()();();().kl k l k l k l k k k σττσστρστρστρστρστρστσρστρσρτρσσσσσστστ+=+++=++=+=++=+=+=++=+若是可逆线性变换，则是可逆线性变换．证 只需证为线性变换，对于线性空间中的任意向量,,αβ有1111()()()()[()][()]αβσσασσβσσασσβ----+=+=+11[()()]σσασβ--=+．以作用等式两端得111()()()σαβσασβ---+=+．又，对于中任意向量及数域中的任意数，111()()[()][()]k k k k ασσασσασσα---===， 以作用两端得 11()()k k σασα--=． 于是知为线性变换，从而是可逆线性变换．例1 在线性空间中，求微分是一个线性变换，这里用表示，即()(),()n Df t f t f t P '=∀∈事实上，对任意的(),()n f t g t P ∈，及,k l F ∈，有[()g()][()g()]'()g ()D kf t l t kf t l t kf t l t ''+=+=+[()][()]k Df t l Dg t =+．例2 定义在闭区间[,]a b 上的所有实连续函数的集合(,)C a b 构成上的一个线性空间，在(,)C a b 上定义变换，即[()](),()(,)taJ f t f u du f t C a b =∀∈⎰．则是(,)C a b 的一个线性变换．二、线性变换的矩阵表示设是数域上的维线性空间，12,,...,εεεn 是的一组基．首先说明线性空间的一个线性变换，可以由它对基的作用完全确 定．即已知将化为()σεi (1,2,...,)=i n ，则对中任意向量1122αεεε=+++n n k k k ，必有 1122()()()()σασεσεσε=+++n n k k k ．这说明()σα被完全确定．由的任意性，知线性变换被完全确定了． 从另一个角度看，()i σε作为中向量，又可以由基12,,...,εεεn 惟一地线性表示，设11112121212122221122()()()σεεεεσεεεεσεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩n n n nn n n nn na a a a a a a a a (3) 若记 11122121212⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n n n nn a aa a a a A a a a ， 则(3)式可表示为1212((),(),...,())(,,...,)σεσεσεεεε=n n A ． (4)引进记号12(,,...,)σεεεn 用来表示12((),(),...,())σεσεσεn ，故(４)又可表示为1212(,,...,)(,,...,)σεεεεεε=n n A ． (5)(5)式中的阶矩阵称为线性变换在基12,,...,εεεn 下的矩阵．显然，当确定时，它在取定基12,,...,εεεn 下的矩阵是被惟一决定的．事实上，的第列正是()i σε在基12,,...,εεεn 下的坐标．反过来，若给定数域上一个阶矩阵⎡⎤=⎣⎦ij A a ，可以证明上存在惟一的线性变换，使得在基12,,...,εεεn 下的矩阵恰为．证明过程如下：先构造的一个变换，再证明它是线性变换，并且是满足(5)式的惟一的线性变换．记1122,1,2,...,αεεε=+++=i i i ni n a a a i n ．对于中向量1122αεεε=+++n n k k k ，令 1122()σαααα=+++n n k k k ，显然是的一个变换．还满足1)对于中任意向量，，若1122αεεε=+++n n k k k ， 1122βεεε=+++n n l l l ，按的定义应有1122()σαααα=+++n n k k k ， 1122()σβααα=+++n n l l l ，而 111222()()()αβεεε+=++++++nnn k l k l k l ，于是又有 111222()()()()σαβααα+=++++++n n n k l k l k l ，显然满足 ()()()σαβσασβ+=+．2)对于任意的∈k F ，及1122αεεε=+++∈n n k k k V ，便有1122()σαααα=+++n n k k k ， 1122αεεε=+++n n k kk kk kk ，1122()σαααα=+++n n k kk kk kk ．可见()()k k σασα=．。
第一节线性空间概念
+ a0 | an , an−1 ,..., a1 , a0 ∈ R}
对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。 通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性运算规律。
( an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 ) + (bn x n + bn−1 x n−1 + ... + b1 x + b0 ) = (an + bn ) x n + (an−1 + bn−1 ) x n−1 + ... + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 )
n
例7. 正实数的全体，记作R , 在其中定 义加法及数乘运算为 a ⊕ b = ab λ ⊗ a = a (a, b ∈ R , λ ∈ R )
+
+
λ
验证，R 对上述加法及数乘运算构成线 性空间。 证明：∀a、b ∈ R + ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ∀a ∈ R +，∀λ ∈ R ⇒ λ ⊗ a = a λ ∈ R + ∴ 对定义的加法与数乘运算封闭。
λ (an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 )
= λ an x n + λ an−1 x n−1 + ... + λ a0 P [ x]n 对加法和数乘都封闭。
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V = x = (0,x2,L,xn ) x2,L,xn ∈R 1
例5. 在区间 [a, b] 上个体实连续函数， 对函数的加法与数和函数的数量乘法， 构成实数域上的线性空间。
线性代数期末总结范文
线性代数期末总结范文一、引言线性代数是数学的一个重要分支，其研究对象是线性空间及其上的线性变换。
线性代数作为高等数学重要的一门基础课程，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、经济学等。
通过学习线性代数，我深刻认识到线性代数在各个学科领域中的重要性，对于提高自己的数学素养和解决实际问题具有很大的帮助。
二、线性空间1.定义线性空间是一种抽象化的概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，其中加法满足交换律、结合律、存在零元素和存在相反元素等性质，数乘满足结合律、分配律和单位元等性质。
2.线性空间的子空间子空间是线性空间的一个重要概念，它是线性空间中的一个非空子集，同时也是线性空间。
子空间具有封闭性和线性性质，可以通过线性组合得到线性空间中的任意向量。
3.线性相关与线性无关线性相关是指向量组中存在非零向量的一个线性组合等于零向量的情况，而线性无关则是指向量组中不存在这样的情况。
对于线性相关的向量组，可以通过消去法或矩阵法求解其线性关系；而线性无关的向量组，则可以通过求解齐次线性方程组来验证。
4.基与维数基是线性空间的一个重要概念，它是生成线性空间的最小向量组。
基是线性无关的向量组，并且线性空间中的每个向量都可以由基组合得到。
线性空间的维度是其基的元素个数，维度决定了线性空间中的向量的个数和线性无关的最大向量组个数。
三、线性变换1.定义线性变换是指保持线性空间的加法和数乘运算的映射。
线性变换可以由矩阵表示，其中矩阵的列向量是线性空间的基向量经过线性变换后的结果。
2.特征值与特征向量特征值和特征向量是线性变换的一个重要概念，特征值是线性变换矩阵的特殊值，而特征向量是对应于特征值的非零向量。
通过求解特征值和特征向量，可以得到线性变换矩阵的一些重要性质，如对角化和相似变换等。
四、矩阵1.定义矩阵是一个矩形的数表，其中的元素可以是实数或复数。
矩阵具有加法和数乘运算，行数与列数相等的矩阵称为方阵。
2.矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、矩阵的数乘和矩阵的乘法等。
矩阵论及其应用-1 chapter1
例2
次数不超过n的多项式的全体, 记作P [ x] ,即
n
n Pn [ x] { p an x a1 x a0 an ,, a1 , a0 R},
组实数k1，k 2， , km，向量 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km 称为这
个线性组合的系数.
（2） 给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在
一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 R mn
Amn Bmn C mn ,
．
Amn Dmn ,
R mn是一个线性空间.
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2r k c k ; i i 3 ri krj ci kc j .
线性空间 知识点总结
线性空间知识点总结本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全面地理解这一概念。
一、线性空间的定义线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。
线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。
加法指的是将两个向量或数学对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相乘得到一个新的向量或数学对象。
具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。
2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。
3. 加法满足结合律和交换律。
4. 加法单位元（零向量）存在。
5. 数乘满足分配律。
6. 数乘满足标量乘1等于自身。
换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。
二、线性空间的性质线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的进一步研究提供了重要的基础。
下面介绍线性空间的一些主要性质：1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。
对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。
2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 线性空间中的元素满足分配律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。
4. 线性空间中的元素满足数乘单位元的性质。
即对于线性空间V中的任意元素x，有1∙x=x。
5. 线性空间中的元素满足数乘交换律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有c(dx)=(cd)x。
6. 线性空间中的元素满足数乘结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有(c+d)x=cx+dx。
线性空间的定义
线性空间的定义与简单性质
主要内容
引入
定义
线性空间的简单性质
一、引入
线性空间是线性代数最基本的概念之一. 这一 节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些最简单的 性质. 线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念, 为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟 知的例子.
例 1 在解析几何中，我们讨论过三维空间
一个自身上的线性空间.
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓 向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 线性空 间有时也称为向量空间. 一般用小写的希腊字母
, , , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的
拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数.
下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简 单性质.
P 上的线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多
项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性 空间，用 P[ x ]n 表示. 集合 { p ( x ) | p ( x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n , a n 0 } 对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多 但是，数域 P 上的多项式
三、线性空间的简单性质
1. 零元素是唯一的. 证明 假设 01，02 是线性空间 V 中的两个零
元素. 只要证明 01 = 02 即可. 考虑和 01 + 0 2
由于 01 是零元素，所以 01 + 02 = 02 . 又由于 02 也
是零元素，所以 于是 01 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 1 ， 01 = 0 1 + 0 2 = 0 2 .
证毕
2. 负元素是唯一的.
线性空间
第六章线性空间引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广．在空间解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以解决一些几何和力学的问题，三维空间是非常具体并且可以感觉到的。
在研究一般线性方程组解的理论时，我们推广三维向量为n维向量，三维空间推广为n维空间，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，解决了一般线性方程组的求解问题。
现在我们把n维空间推广到更加抽象的线形空间，可以解决更多的问题。
线性空间是一种公理化的定义，是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。
后续的很多课程如泛函分析等都要用到这个概念。
在某些集合上元素之间可以定义加法和数与元素的乘法两种运算，我们抓住这种特征进行抽象，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．n维空间的很多概念在线形空间中仍然实用。
§1集合与映射一、集合所谓集合就是指作为整体看的一堆东西。
组成集合的这些事物称为集合的元素．常用大写字母A 、B 、C 等表示集合；用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素．当a 是集合A 的元素时，就说a 属于A ，记作： 当a 不是集合A 的元素时，就说a 不属于A ，记作： 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.M ＝｛x | x 具有性质P ｝列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.M ＝｛a 1，a 2，…，an ｝例1例2 Z ＝ {…,-2,-1,0,1,2,…},空集：不包含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ2、集合间的关系如果B 中的每一个元素都是A 中的元素，则称B 是A 的子集，记作 ，（读作B 包含于A ） 当且仅当 如果A 、B 两集合含有完全相同的元素，则称 A 与B 相等，记作A ＝B . A ＝B 当且仅当 且 3、集合间的运算交： 并： 显然有， 练习： 证明等式:证：显然 又 a A ∈a A ∉22{(,)4,,}M x y x y x y R =+=∈B A ⊆B A ⊆x B x A ∀∈⇒∈A B ⊆B A ⊆{}A B x x A x B =∈∈且{}A B x x A x B =∈∈或;A B A A A B⊆⊆()A A B A =()A A B A ⊆,x A x AU∀∈∈则从而 故等式成立．二、映射1、定义设M 、M ´是给定的两个非空集合，如果有 一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M 中的每一个元素a ，都有M ´中一个唯一确定的元素a ´与它对应, 则称 σ为M 到M ´的一个映射，记作 或 称 a ´为 a在映射σ下的象，而 a ´ 称为a 在映射σ下的原象，记作σ(a )＝a ´ 或 注:①设映射 , 集合称之为M 在映射σ下的象，通常记作 Im σ。
第六章 2第二节 线性空间的定义与简单性质 太原理工大学
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定义1 是一个非空集合， 是一个数域 是一个数域. 定义 令V是一个非空集合，P是一个数域 在集 是一个非空集合 加法； 合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法； 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法 这就是说给出了一个法则 对于V中任意两个向 法则， 这就是说给出了一个法则，对于 中任意两个向 中都有唯一的一个 量 α与β，在V中都有唯一的一个元素 γ 与它们对 与 ， 中都有唯一的一个元素 称为α与 的 记为γ 应，称为 与β的和，记为 =α+β. 在数域 P 与集 的元素之间还定义了一种运算 合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘 这就是说，对于数域P中任一个数 中任一个数k与 中任 法；这就是说，对于数域 中任一个数 与V中任 一个元素α， 中都有唯一的一个元素δ与它们 一个元素 ，在V中都有唯一的一个元素 与它们 中都有唯一的一个元素 对应，称为k与α的数量乘积，记为δ=kα. 如果加 对应，称为 与 的数量乘积，记为 法与数量乘法满足下述规则 满足下述规则， 法与数量乘法满足下述规则，那么 V称为数域 P 称为数域 上的线性空间 这两种运算封闭) 线性空间. 上的线性空间 (这两种运算封闭)
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一、线性空间的定义 解析几何里 我们讨论过三维空间 三维空间R 例1 在解析几何里,我们讨论过三维空间 3中 的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律 的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律 基本属性是可以按平行四边形 相加,也可以与实数作数量乘法 相加,也可以与实数作数量乘法. 不少几何和力学对 实数 象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的 向量的这两种运算来描述的 我们知道解析几何中向量的这两种运算满足 我们知道解析几何中向量的这两种运算满足 解析几何 下面的性质. 下面的性质. 10 按平行四边形法则所定义的向量的加法 按平行四边形法则所定义的向量的加法 的一个运算 运算; 是R3的一个运算;
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间
则称集合Ｖ是定义在数域F上的线性空间或向量空间， 记为Ｖ（F）。
数值分析
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代数运算的八条规则
设 , , V ; , F (1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素0,对任何 V , 都有
0 ; (4)对任何 V ,都有的负元素 V ,使
a b a b. 所以 R对所定义的运算构成线性空间．
数值分析
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3、线性空间的基和维数 已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n
个向量组成，而任意n 1个向量都是线性相关的． 问题：
在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？
数值分析
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3、线性空间的基和维数
若1,2 , ,n V (F ) ， ki F (i 1, 2, , n) ,则
Ｃ［a，ｂ］：区间［a，ｂ］上一元连续函数的全体。是 Ｒ上的线性空间,因为两个连 续函数之和以及实数ｋ与连续函数乘积仍是连续函数； Ｃｎ［a，ｂ］：类似于Ｃ［a，ｂ］，在区间［a，ｂ］上 ｎ阶连续可微的一元函数全体.构成Ｒ上的线性空间。
数值分析
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线性空间的判定方法
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
数值分析
数值分析
线性空间是为了即把实际问题看作线性空间， 进而通过研究线性空间来解决实际问题．
2、几个具体的线性空间实例
Ｒ：可以看成是实数域Ｒ上的线性空间，加法和数乘是
实数中的加法和数乘；
Ｃ：可以看成是复数域Ｃ上的线性空间，加法是复数的
加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；
a 1 a 1 a; (4) a R ,有负元素a1 R ,使
01 线性空间
第一讲 线性空间一、 线性空间的定义及性质 [知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（ ），交（ ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。
如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
线性代数高级
线性代数高级一、线性空间线性空间是线性代数的基础概念之一，它是指具备满足线性运算法则的集合。
线性空间的定义要求满足加法和数乘两个运算的封闭性、结合律、分配律等法则。
线性空间的研究对象可以是向量空间、函数空间等。
二、向量空间向量空间是线性空间中的一种特殊形式，它是指具备满足线性运算法则的集合，并且其中的元素称为向量。
向量空间的研究包括向量的线性组合、线性相关性、线性无关性等概念和性质。
三、线性映射线性映射是线性代数中的另一个重要概念，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，同时保持了加法和数乘运算。
线性映射的研究包括线性变换、线性函数、矩阵的表示以及线性映射的性质等方面。
四、线性方程组线性方程组是线性代数中的一个关键课题，它是一组线性方程的集合，其中未知量和系数均为线性关系。
求解线性方程组有多种方法，包括高斯消元法、矩阵求逆法、矩阵的行列式等。
五、特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的又一重要概念，它们可以描述矩阵在线性变换下的特殊性质。
通过求解特征值与特征向量，可以帮助我们了解矩阵的对角化、相似性等性质。
六、奇异值分解奇异值分解是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个任意矩阵分解为三个特殊的矩阵的乘积。
奇异值分解在数据压缩、信号处理等领域有广泛的应用。
七、线性代数的应用线性代数广泛应用于物理、工程、计算机科学等学科领域。
在物理学中，线性代数被用于描述量子力学中的波函数；在计算机科学中，线性代数被用于图形学、机器学习等领域。
结语线性代数作为数学的重要分支，具备广泛的应用价值。
通过对线性代数的学习，我们可以深入理解向量、矩阵等数学概念和运算法则，提高数学建模和问题求解的能力。
同时，线性代数也为其他学科领域的研究提供了基础支持。
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（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法 及乘数运算为 a b ab, a a , R, a, b R . 验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 a, b R , a b ab R ;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
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说明
1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．
a a;
(7) a a a a a a a a;
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例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[ x]n
R, a R , a a R . 所以对定义的加法与乘数运算封闭．
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下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a;
( 2)(a b) c (ab ) c (ab )c a (b c );
若对于任一数 R与任一元素 V ，总有唯 一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积， 记作
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如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设 , , V ; , R
A sin x B S [ x ].
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s1 A1 sin x B1 A1 sin x B1 S [ x ]
S x 是一个线性空间.
一般地 例５ 在区间 [a , b] 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．
3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
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线性空间的判定方法 （１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作R mn ．
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一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题．
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定义１ 设 V 是一个非空集合，R 为实数域．如果 对于任意两个元素 , V ，总有唯一的一个元 素 V与之对应，称为 与 的和，记作
. Q[ x]n 对运算不封闭
机动Hale Waihona Puke 目录上页下页
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例４ 正弦函数的集合
S x s Asin x B A, B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
s1 s2 A1 sin x B1 A2 sin x B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x
(1) ;
( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
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(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
Amn Bmn Cmn ,
Amn Dmn ,
R
mn
是一个线性空间 .
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例2 次数不超过n的多项式的全体, 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R}, 对于通常的多项式加法 , 数乘多项式的乘法构成 向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． (a n x n a1 x a 0) (bn x n b1 x b0) (a n bn) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[ x]n (a n x n a 1 x a 0 ) ( a n) x n ( a1) x ( a 0) P[ x]n . P[ x]n 对运算封闭
(3) R中存在零元素1, 对任何a R , 有
a 1 a 1 a;
(4) a R , 有负元素a 1 R , 使
a a 1 a a 1 1;
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(5) 1 a a a;
1
(6) a a a