大学概率论必背公式
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（2）X~B（n，p）二项分布
D( X ) np(1 p)
（3）X~（或）Poisson 分布
（4）X~U(a，b)均匀分布
（5）指数分布 概率密度函数为
（6）正态分布 X ~ N(
,
2
)
6、方差的性质
7、协方差 若 r.v. X 的期望 E(X )和 Y 的期望 E(Y )存在, 则称 E{[XE(X )][YE(Y )]}为 X 与 Y 的协方差,记 为 Cov(X, Y ). 即 Cov(X, Y )=E{[XE(X )][YE(Y )]}. 常用公式 Cov(X, Y )=E(XY ) E(X )E (Y )。
(1 p)k 1 p, (k 1,2,...)
(3) 中第 r 次成功发生在第 k 次试验的概率(即可列重贝努里试验中 A 发生 r 次需要 k 次 试验的概率)是
C kr11(1 p)k r p r ,(1 r k)
二、离散性随机变量及其分布
1. r .v . X的分布律 pk P{X xk }, k 1, 2,
3、正态总体的抽样分布
六、参 数 估 计（重&难）
1、矩估计法 用样本矩作为总体同阶矩的估计，从而解出未知参数的方法称为矩估计法或矩法。
2、极大似然估计法
(1) 解似然方程法 称为未知参数 j 的似然方程。若该方程有解，则其解就是
(2) 直接法 由似然方程解不出 j 的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。 解：X 的概率密度为：
（5） 对 b R，若 X～ f (x)，(-
，
则 P{X=b}＝0。即：连续型随机变量取单点值的概率为零。
3. 几个常用的连续型分布 （1）均匀分布 U(a , b)
则称 X 在(a , b)内服从均匀分布。记为 X ~ U(a , b)
0,
x a
F(x )
x b
a a
,
ax
b
1 ,
x b
P(ABC)＝ P(C|AB)P(B|A)P(A)
3. 全概率公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi )>0，
(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
n
n
P(A)＝ P(ABi ) P(Bi )P(A | Bi )
i 1
i 1
注：全概率公式应用范围
随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，我们需要求的是第
称 X 服从参数为 p 的几何分布。 （3）二项分布 ( B(n, p) ) 以 X 记 n 重贝努里试验中 A 发生的次数，则其分布率为：
P( X k) C k p k (1 p)nk , (k 0,1, , n) n 称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 X~B(n，p)
（4）泊松(Poisson)分布 ( P() ) 若随机变量 X 的所有取值为一切非负整数，且其分布律为：
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
t (n)称为自由度为 n 的 t—分布
性质： A. f (t )关于 t =0(纵轴)对称。f ( t )= f (t )。 B. f (t )的极限为 N(0，1)的密度函数，即
（3）F—分布 若1 ~ 2(n1)， 2~ 2(n2)，1， 2 独立，则 F(n1, n2)称为第一自由度为 n1 ，第二自由度为 n2 的 F—分布。 性质：
(2). 指数分布 E( )
则称 X 服从参数为
的指数分布。
F(x )
1 e x
0
,
,
x 0 x 0
(3) 正态分布(高斯(Gauss)分布)
其中 > 0 ， 为实数，则称 X 服从参数为( ， )的正态分布,
三个特性：
i. 其图形关于直线 x = 对称；
参数 0 , 2 1 的正态分布称为标准正态分布，
i 1
(j 1,..., n)
注：贝叶斯公式应用范围 随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，但第二个阶段的某 个结果是已知的，我们需要求的是第二阶段的这个结果为第一阶段某一个结果所 引起的概 率，这时候用贝叶斯公式
5. 设 A、B 是两事件， P(B)>0,若 P(A)＝P(A|B)
或
或 2. 分布律的性质
(2) pk 1. k 1 3. 几个常见的离散型分布 （1）(0－1)分布(两点分布)
（2）几何分布( G(p) ) 一次试验中只考虑某事件 A 出现或不出现，设 P(A)=p， P(A)=1-p。现重复独立地做试验，一
旦 A 发生就立即停止试验。 以 X 表示 A 首次发生所需的试验次数，则其分布率为：
（2）. 单正态总体方差的置信区间（经管类非重点）
A. 未知
B. 已知
即得 2 和 的置信度为 1的置信区间分别为
七、假 设 检 验（略）
综上有单个正态总体的检验表：
1、 关于均值的假设检验 :
2、 关于均值 2的假设检验 :
，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
源自文库
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
则称
为(X, Y )关于 X 的边缘分布律；
称为(X, Y )关于 Y 的边缘分布律。
5. 一维离散型随机变量函数的分布律 设 X 一个随机变量，若 y＝g(x)是一元单值实函数，则 Y＝g(X )也是一个随机变量。
其中 g(xk )有相同的，其对应概率合并。
三、随机性随机变量及其分布
1. 密度函数 对于随机变量 X，若存在非负可积函数 f (x)，(-
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。
五、样本及抽样分布
1、常用统计量 （1）样本均值（样本平均数）
（2）样本方差
（3）k 阶样本矩
2、抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 （1） 2—分 布
性质： A. 可加性 若1 ~ 2(n1)，2~ 2(n2 )，1， 2 独立，则1 + 2 ~ 2(n1+n2 )。 B. 期望与方差 若 ~ 2(n)，则 E()= n，D()=2n。 （2）t—分布 若 ~ N(0, 1), ~ 2(n), 与独立，则
大学概率论必背公式
1. 加法公式： 对任意两事件 A、B，有 P(A B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
一、概率
2. 设 A、B 是中的两个事件，且 P(B)> 0，称
P(A | B )
P(AB ) P(B )
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。 事件 A、B 的概率乘法公式：
P(AB ) P(A | B )P(B )
3、无 偏 性
设ˆ ˆ(X 1, ,X n )为的估计量, 若E(ˆ) 则称ˆ是的无偏估计量.
4、正 态 总 体参数的 区间估计（双侧） （ 1） 单 正态总体 均值的置信区间
iid
~ 设X1， ，X n N( ， 2 ),给定 ，由观测值
x1, ,xn求出 的置信区间. A. 已知
B. 未知
其中 > 0 为常数，称 X 服从参数为 的泊松(Poisson)分布，记为 X~P()。
lim
n
C nk
pnk (1
pn
)n
k＝
k k!
e
,
查表
（ 5 ） 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X, Y ) 的 分 布 律 ， 或 随 机 变 量 X 与 Y 的 联 合 分 布律：
4. 边缘分布律： 若随机变量 X 与 Y 的联合分布律为
（3）几个常用函数的密度函数 a. 和的分布
若 X 与 Y 相互独立，则 Z＝X＋Y 的密度函数
或
fZ(z) fX(z y )fY(y )dy ＝ fX(x )fY(z x )dx .
称为连续型随机变量的卷积公式。
b. 极大(小)统计量的分布
四、随机变量的数字特征
1、离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量 X，其分布律为：
b
1
a
,
0,
a x b elsewhere
（2）指数分布 X 服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：
（3）正态分布
3、对于 r.v.X 的函数的数学期望
一维： 二维：
4、数学期望的性质
5、方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。 若 E(X)存在，则称 E[XE(X)]2 为 r.v. X 的方差，记为 D(X),或 Var(X). D(X )=E(X 2 ) [E(X )]2. （1）两点分布：
二阶段的结果发生的概率，这时候用全概率公式。
4. 贝叶斯公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi ) > 0，(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
P(Bj
| A)
P(Bj )P(A | Bj ) P(A)
P(Bj )P(A | Bj ) ,
n
P(Bi )P(A | Bi )
其密度函数表示为
(x )
1
x2
e 2 , x .
2
N(0, 1)的性质：
4. 联合分布函数 设(X , Y )是二维随机变量，(x , y ) R^2, 则称
F(x , y )=P{X x , Y y } 为(X , Y )的分布函数，或 X 与 Y 的联合分布函数。 联合分布函数 F( x, y )具有如下性质： (1)非负规范
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
则称事件 A 与 B 相互独立。 若 A,B 独立，且 P(A)>0, P(B)>0，则 A,B 一定相容
6.贝努力概型： (1) E n 中成功 k 次的概率(即 n 重贝努里试验中 A 发生 k 次的概率)是
Pn(k )
C
k n
p
k(1
p)n k ,
(0
k
n)
（2） 中首次成功发生在第 k 次试验的概率(即可列重贝努里试验中 A 首次发生在第 k 次 试验的概率)是
性质：设(X, Y )～ f (x, y), (x, y) R2, fX(x), fY(y)分别为 X 与 Y 的边缘密度，则 X 与 Y 相
互独立等价于 f (x, y) ＝ fX(x) fY(y)，对任意(x, y) R2
9.密度函数： 连续型随机变量函数的密度函数 （1）一维变量-分布函数法
（2）多个随机变量函数的密度函数-分布函数法
D( X ) np(1 p)
（3）X~（或）Poisson 分布
（4）X~U(a，b)均匀分布
（5）指数分布 概率密度函数为
（6）正态分布 X ~ N(
,
2
)
6、方差的性质
7、协方差 若 r.v. X 的期望 E(X )和 Y 的期望 E(Y )存在, 则称 E{[XE(X )][YE(Y )]}为 X 与 Y 的协方差,记 为 Cov(X, Y ). 即 Cov(X, Y )=E{[XE(X )][YE(Y )]}. 常用公式 Cov(X, Y )=E(XY ) E(X )E (Y )。
(1 p)k 1 p, (k 1,2,...)
(3) 中第 r 次成功发生在第 k 次试验的概率(即可列重贝努里试验中 A 发生 r 次需要 k 次 试验的概率)是
C kr11(1 p)k r p r ,(1 r k)
二、离散性随机变量及其分布
1. r .v . X的分布律 pk P{X xk }, k 1, 2,
3、正态总体的抽样分布
六、参 数 估 计（重&难）
1、矩估计法 用样本矩作为总体同阶矩的估计，从而解出未知参数的方法称为矩估计法或矩法。
2、极大似然估计法
(1) 解似然方程法 称为未知参数 j 的似然方程。若该方程有解，则其解就是
(2) 直接法 由似然方程解不出 j 的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。 解：X 的概率密度为：
（5） 对 b R，若 X～ f (x)，(-
，
则 P{X=b}＝0。即：连续型随机变量取单点值的概率为零。
3. 几个常用的连续型分布 （1）均匀分布 U(a , b)
则称 X 在(a , b)内服从均匀分布。记为 X ~ U(a , b)
0,
x a
F(x )
x b
a a
,
ax
b
1 ,
x b
P(ABC)＝ P(C|AB)P(B|A)P(A)
3. 全概率公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi )>0，
(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
n
n
P(A)＝ P(ABi ) P(Bi )P(A | Bi )
i 1
i 1
注：全概率公式应用范围
随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，我们需要求的是第
称 X 服从参数为 p 的几何分布。 （3）二项分布 ( B(n, p) ) 以 X 记 n 重贝努里试验中 A 发生的次数，则其分布率为：
P( X k) C k p k (1 p)nk , (k 0,1, , n) n 称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 X~B(n，p)
（4）泊松(Poisson)分布 ( P() ) 若随机变量 X 的所有取值为一切非负整数，且其分布律为：
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
t (n)称为自由度为 n 的 t—分布
性质： A. f (t )关于 t =0(纵轴)对称。f ( t )= f (t )。 B. f (t )的极限为 N(0，1)的密度函数，即
（3）F—分布 若1 ~ 2(n1)， 2~ 2(n2)，1， 2 独立，则 F(n1, n2)称为第一自由度为 n1 ，第二自由度为 n2 的 F—分布。 性质：
(2). 指数分布 E( )
则称 X 服从参数为
的指数分布。
F(x )
1 e x
0
,
,
x 0 x 0
(3) 正态分布(高斯(Gauss)分布)
其中 > 0 ， 为实数，则称 X 服从参数为( ， )的正态分布,
三个特性：
i. 其图形关于直线 x = 对称；
参数 0 , 2 1 的正态分布称为标准正态分布，
i 1
(j 1,..., n)
注：贝叶斯公式应用范围 随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，但第二个阶段的某 个结果是已知的，我们需要求的是第二阶段的这个结果为第一阶段某一个结果所 引起的概 率，这时候用贝叶斯公式
5. 设 A、B 是两事件， P(B)>0,若 P(A)＝P(A|B)
或
或 2. 分布律的性质
(2) pk 1. k 1 3. 几个常见的离散型分布 （1）(0－1)分布(两点分布)
（2）几何分布( G(p) ) 一次试验中只考虑某事件 A 出现或不出现，设 P(A)=p， P(A)=1-p。现重复独立地做试验，一
旦 A 发生就立即停止试验。 以 X 表示 A 首次发生所需的试验次数，则其分布率为：
（2）. 单正态总体方差的置信区间（经管类非重点）
A. 未知
B. 已知
即得 2 和 的置信度为 1的置信区间分别为
七、假 设 检 验（略）
综上有单个正态总体的检验表：
1、 关于均值的假设检验 :
2、 关于均值 2的假设检验 :
，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
源自文库
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
则称
为(X, Y )关于 X 的边缘分布律；
称为(X, Y )关于 Y 的边缘分布律。
5. 一维离散型随机变量函数的分布律 设 X 一个随机变量，若 y＝g(x)是一元单值实函数，则 Y＝g(X )也是一个随机变量。
其中 g(xk )有相同的，其对应概率合并。
三、随机性随机变量及其分布
1. 密度函数 对于随机变量 X，若存在非负可积函数 f (x)，(-
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。
五、样本及抽样分布
1、常用统计量 （1）样本均值（样本平均数）
（2）样本方差
（3）k 阶样本矩
2、抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 （1） 2—分 布
性质： A. 可加性 若1 ~ 2(n1)，2~ 2(n2 )，1， 2 独立，则1 + 2 ~ 2(n1+n2 )。 B. 期望与方差 若 ~ 2(n)，则 E()= n，D()=2n。 （2）t—分布 若 ~ N(0, 1), ~ 2(n), 与独立，则
大学概率论必背公式
1. 加法公式： 对任意两事件 A、B，有 P(A B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
一、概率
2. 设 A、B 是中的两个事件，且 P(B)> 0，称
P(A | B )
P(AB ) P(B )
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。 事件 A、B 的概率乘法公式：
P(AB ) P(A | B )P(B )
3、无 偏 性
设ˆ ˆ(X 1, ,X n )为的估计量, 若E(ˆ) 则称ˆ是的无偏估计量.
4、正 态 总 体参数的 区间估计（双侧） （ 1） 单 正态总体 均值的置信区间
iid
~ 设X1， ，X n N( ， 2 ),给定 ，由观测值
x1, ,xn求出 的置信区间. A. 已知
B. 未知
其中 > 0 为常数，称 X 服从参数为 的泊松(Poisson)分布，记为 X~P()。
lim
n
C nk
pnk (1
pn
)n
k＝
k k!
e
,
查表
（ 5 ） 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X, Y ) 的 分 布 律 ， 或 随 机 变 量 X 与 Y 的 联 合 分 布律：
4. 边缘分布律： 若随机变量 X 与 Y 的联合分布律为
（3）几个常用函数的密度函数 a. 和的分布
若 X 与 Y 相互独立，则 Z＝X＋Y 的密度函数
或
fZ(z) fX(z y )fY(y )dy ＝ fX(x )fY(z x )dx .
称为连续型随机变量的卷积公式。
b. 极大(小)统计量的分布
四、随机变量的数字特征
1、离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量 X，其分布律为：
b
1
a
,
0,
a x b elsewhere
（2）指数分布 X 服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：
（3）正态分布
3、对于 r.v.X 的函数的数学期望
一维： 二维：
4、数学期望的性质
5、方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。 若 E(X)存在，则称 E[XE(X)]2 为 r.v. X 的方差，记为 D(X),或 Var(X). D(X )=E(X 2 ) [E(X )]2. （1）两点分布：
二阶段的结果发生的概率，这时候用全概率公式。
4. 贝叶斯公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi ) > 0，(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
P(Bj
| A)
P(Bj )P(A | Bj ) P(A)
P(Bj )P(A | Bj ) ,
n
P(Bi )P(A | Bi )
其密度函数表示为
(x )
1
x2
e 2 , x .
2
N(0, 1)的性质：
4. 联合分布函数 设(X , Y )是二维随机变量，(x , y ) R^2, 则称
F(x , y )=P{X x , Y y } 为(X , Y )的分布函数，或 X 与 Y 的联合分布函数。 联合分布函数 F( x, y )具有如下性质： (1)非负规范
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
则称事件 A 与 B 相互独立。 若 A,B 独立，且 P(A)>0, P(B)>0，则 A,B 一定相容
6.贝努力概型： (1) E n 中成功 k 次的概率(即 n 重贝努里试验中 A 发生 k 次的概率)是
Pn(k )
C
k n
p
k(1
p)n k ,
(0
k
n)
（2） 中首次成功发生在第 k 次试验的概率(即可列重贝努里试验中 A 首次发生在第 k 次 试验的概率)是
性质：设(X, Y )～ f (x, y), (x, y) R2, fX(x), fY(y)分别为 X 与 Y 的边缘密度，则 X 与 Y 相
互独立等价于 f (x, y) ＝ fX(x) fY(y)，对任意(x, y) R2
9.密度函数： 连续型随机变量函数的密度函数 （1）一维变量-分布函数法
（2）多个随机变量函数的密度函数-分布函数法