考研数学一真题及答案

其中参数
未知，以 表示来自总体 的简单随机样本（样
本容量为 ）中等于 的个数
,试求常数
使
【解析】
为 的无偏估计量，并求 的方差。
记
,则
故
要令 可得
为 的无偏估计量，则有
此时，
,此时 ,由于
为 的无偏估计量 故
因为
，
，所以
【考点】概率论与数理统计—参数估计—估计量的评选标准，区 间估计的概念，单个正态总体的均值和方差的区间估计
，若 的秩为 3，则 相似
(A)
(B)
(C) 【答案】D。 【解析】
由
知
(D) ，那么对于
推出来
所以 的特征值只能是
再由 是实对称矩阵必有 ，而 是 的特征值，那么由
,
可知 D 正确
综上所述，本题正确答案是 D。
【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、
特征向量及其相似对角矩阵
(7)设随机变量 的分布函数
。
【答案】 。 【解析】
综上所述，本题正确答案是 。 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的 概念、性质、计算和应用
(13)设
，若由
生成的向量空间的维数为 ，则
。
【答案】6。
【解析】
生成的向量空间的维数为 ，所以可知，
所以可得 综上所述，本题正确答案是 。 【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩 之间的关系，向量空间及其相关概念
(16)求函数 【解析】 函数 的定义域为
的单调区间与极值 ，
令
，得
,列表如下
由上可知， 区间为 极小值为
极小
极大
的单调增区间为
和
和,
极小 ； 的单调减
极大值为
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函 数单调性的判别 函数的极值 高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，积分上限的函数及 其导数 (17)
(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的
求法，初等函数的幂级数展开式
(19)设 为椭球面
上的动点，若 在点 处的切
线平面与 面垂直，求点 的轨迹 ,并计算曲面积分
分。 【解析】 求轨迹 令 向量为
,其中 是椭圆球面 位于曲线 上方的部
,故动点
的切平面的法
由切平面垂直 面，得 又已知 为椭球面
,则
(A)0
(B)
(C)
(D)
【答案】C。 【解析】
综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布
函数的概念及其性质
(8)设 为标准正太分布的概率密度， 为 得概率密度，若
上均匀分布
为概率密度，则 应满足
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A。
【解析】
根据密度函数的性质
中，被积函数只在
时无界，由于
(洛必达法则)
且反常积分
收敛，所以
收敛
综上所述，无论 取任何正整数，反常积分 综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
收敛。
(4)
(A)
(B)
(C)
(D) 【答案】D。
【解析】 因为
综上所述，本题正确答案是 C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概
【方法一】
则
，
【方法二】
由参数方程求导公式知，
代入上式可得 【方法三】
由
得，
。 ，则
当 时 ，则 综上所述，本题正确答案是 。 【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复 合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(10)
。
【答案】 。
【解析】
令
,则
综上所述，本题正确答案是 。
故 知 当 时，
显然 当
时，
, ，此时方程组无解，
舍去，
因为 即， (II)
有解，所以
，
，
时，已知
所以
的通解为
其中 为任意常数。 【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组有解的充分 必要条件，非齐次线性方程组的通解
(21)已知二次型
在正交变换
下的标准形为
,且 的第三列为
(I)求矩阵 ；
(II)证明
2010 年考研数学一真题
一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)极限
(A)1
(B)
(C)
(D)
【考点】C。
【解析】
【方法一】
这是一个“ ”型极限
【方法二】 原式 而
则 【方法三】
(等价无穷小代换)
对于“ ”型极限可利用基本结论：
(14)设随机变量 的概率分布为
,则
。
【答案】 。
【解析】
泊松分布的概率分布为
,
随机变量 的概率分布为
对比可以看出
所以
而
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量
的分布；
概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望
(均值)、方差、标准差及其性质
念、性质、计算和应用
(5)设 为
矩阵， 为
矩阵， 为 阶单位矩阵，若
,则
(A)秩
秩
(B)秩
秩
(C)秩
秩
(D)秩
秩
【答案】A。
【解析】
因为
为 阶单位矩阵，知
又因
,故
另一方面， 为 矩阵， 为 矩阵，又有
可得秩
秩
综上所述，本题正确答案是 A。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
(6)设 为 4 阶实对称矩阵，且 于
单调有界准则和夹逼准则
高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
(18)求幂级数 【解析】
的收敛域及和函数。
即
时，原幂级数绝对收敛
时，级数为 原幂级数的收敛域为
，由莱布尼茨判别法显然收敛，故 。
又
令
则
所以 由于
，所以
所以
所以幂级数的收敛域为
，和函数为
。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间
上的动点，所以
再计算曲面积分
为 的轨迹
因为曲线 在 面的投影为
又对方程
两边分别对 求导可得
解之得
于是
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性 质及计算
(20)设 同的解 (I)求 ； (II)求方程组 【解析】
.已知线性方程组 的通解。
存在 2 个不
(I)因为已知线性方程组
存在 2 个不同的解，所以
为标准正态分布的概率密度，其对称中心在 处，故
为
上均匀分布的概率密度函数，即
所以
,可得
综上所述，本题正确答案是 A。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变
量的概率密度，常见随机变量的分布
二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
(9)设
，则
。
【答案】 。
【解析】
三、解答题：
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
(15)求微分方程 【解析】
的通解
由齐次微分方程
的特征方程
所以，齐次微分方程
的通解为
设微分方程 则
的特解为
代入原方程，解得
故特解为 所以原方程的通解为
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程， 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
为正定矩阵，其中 为 3 阶单位矩阵。
【解析】
(I)二次型
在正交变换
，可知二次型矩阵 的特征值是
下的标准形为 。
又因为 的第三列为
，可知
是矩阵 在特征
值 的特征向量。
根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设 关于
的特征向量为
，
则
,即
取
(II)由于矩阵 的特征值是
,那么
的特征值为 ，
因为
的特征值全大于 ，所以
(I)比较
与
明理由；
(II)记 【解析】 (I) 当
时，因
的大小，说
,求极限
。
,所以
所以有 (II)【方法一】 由上可知，
所以
由夹逼定理可得 【方法二】 由于 为单增函数，则当
时，
,从而有
又 【方法三】
，由夹逼定理知
已知
因为 上有界，从而存在
则
,且 在 使得
上连续，则 在
由
及夹逼定理知
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则：
正定。
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，二次型的秩，
二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性
(22)设二维随机变量 的概率密度为
求常数 及条件概率密度
。
【解析】
又
即
当
,等价于
时，
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续 型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常用二维随 机变量的分布 (23)设总体 的概率分布为
若
,
,且
则
,求极限
由于
则 【方法四】
综上所述，本题正确答案是 C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限
(2)设函数
由方程
,则 (A) (C) 【答案】B。 【解析】
确定，其中 为可微函数，且
。 (B) (D)
因为
,
所以 综上所述，本题正确答案是(B)。 【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微 分
(3)设 为正整数，则反常积分 (A)仅与 的取值有关 (C)与 的取值都有关 【答案】D。 【解析】
的收敛性 (B)仅与 的取值有关 (D)与 的取值都无关
本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在 和 时无界
在反常积分
中，被积函数只在
由于
，
时无界。
已知反常积分 在反常积分
收敛，则
也收敛。
【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分
和定积分的换元积分法与分部积分法
(11)已知曲线 的方程为
起点是
终点是
，则曲线积分
。
【答案】 。
【解析】
如图所示
,其中 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以
综上所述，本题正确答案是 。
-1
O
1
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性 质及计算
(12)设
，则 的形心坐标