北师大版高中数学必修2教案备课平行关系的判定

§5平行关系

5．1平行关系的判定

学习目标核心素养

1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理

的含义，会判断线面、面面平行．(重点)

2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直

线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道

其地位和作用．(重点、易错点)

3．能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定

定理证明空间线面关系．(难点)

1.通过理解线面、面面平行

的判定定理，培养直观想象

数学抽象素养．

2．通过运用判定定理证明

空间线面关系，提升逻辑推

理素养.

1．直线与平面平行的判定定理

定理

表示

直线与平面平行的判定定理

文字叙述

若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与

此平面平行

符号表示

⎭

⎬

⎫

lα

l∥b

bα

⇒l∥α

图形表示

行吗？

提示：由线面平行的判定定理知，该结论错误．应是平面外的一条直线．2．平面与平面平行的判定定理

定理

表示

平面与平面平行的判定定理

文字叙述

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这

两个平面平行

符号表示

⎭⎪

⎬

⎪⎫

aα

bα

a∩b＝A

a∥β

b∥β

⇒α∥β

平面也平行吗？

提示：不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．

1．能保证直线a与平面α平行的条件是()

A．bα，a∥b

B．bα，c∥α，a∥b，a∥c

C．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD

D．aα，bα，a∥b

D [若bα，a∥b，则a∥α或aα，故A错；

若bα，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或aα，故B错；

若bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD，

则a∥α或aα，或a与α相交，故C错；

而D项是线面平行的判定定理不可缺少的三个条件．]

2．正六棱柱的底面和侧面中互相平行的面有()

A．1对B．2对C．3对D．4对

D[正六棱柱两底面互相平行，六个侧面中，相对的侧面互相平行，故共有4对互相平行的面．]

3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()

A．一定平行B．一定相交

C．平行或相交D．以上都不对

C[当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，

否则，两个平面有可能相交．]

4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，则和平面C1D1E 平行的棱为________．

CD和A1B1[∵CD∥C1D1且C1D1平面C1D1E，CD平面D1C1E，

故CD∥平面C1D1E，同理A1B1∥平面C1D1E，

而AB虽然与C1D1平行，但AB平面C1D1E.]

线面平行的判定

1111 A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.

[证明]连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此

OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.

又A1B平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B∥平面

ADC1.

1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．

2．证线线平行常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．

[跟进训练]

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的

中点，求证：SA∥平面MDB.

[证明]连接AC交BD于点O，连接MO，

∵M为SC中点，O为AC中点，

∴MO∥SA.

又SA平面MDB，

MO平面MDB，

∴SA∥平面MDB.

面面平行的判定

分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP.

∵BP平面PBC，NQ平面PBC，

∴NQ∥平面PBC.

又底面ABCD为平行四边形，

∴BC∥AD，∴MQ∥BC，

∵BC平面PBC，MQ平面PBC，

∴MQ∥平面PBC.

又MQ∩NQ＝Q，

根据平面与平面平行的判定定理，

得平面MNQ∥平面PBC.

1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一

个平面即可．

2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．[跟进训练]

2.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

[证明]连接A1C交AC1于点E，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴E是A1C的中点．连接ED，

则ED是△A1BC的中位线，

∴ED∥A1B.

∵ED平面A1BD1，A1B平面A1BD1，

∴ED∥平面A1BD1.

∵C1D1綊BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，

∴C1D∥BD1.

∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，

∴C1D∥平面A1BD1.

又C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.

线面平行、面面平行判定定理的综

合应用

1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，试判断直线EG与平面BDD1B1是否平行？