北师大版高中数学必修2教案备课平行关系的判定
高中数学学案北师大版必修2 平行关系的性质 教案
教学设计5．2平行关系的性质导入新课思路1.(情境导入)三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的性质问题．思路2.(直接导入)前面学习了平行关系的判定,本节我们学习平行关系的性质,教师点出课题．推进新课新知探究提出问题①回忆空间两条直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两条直线的位置关系．问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力．问题③引导学生进行语言转换．问题④引导学生用排除法．问题⑤引导学生找出应用的难点．问题⑥鼓励学生总结,教师归纳．讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面．②若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面．怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)？经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．这个定理用符号语言可表示为:⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b . 这个定理用图形语言可表示为:如图1.图1④已知a ∥α,a ⊂β,α∩β＝b .求证:a ∥b.⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面．⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线．” 提出问题①利用空间模型探究:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？②回忆线面平行的性质定理,结合模型探究线面平行的性质定理. ③用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. ④应用面面平行的性质定理的难点在哪里？ ⑤应用面面平行的性质定理口诀是什么？讨论结果:①如图2,借助长方体模型,我们看到,B ′D ′所在的平面A ′C ′与平面AC 平行,所以B ′D ′与平面AC 没有公共点．也就是说,B ′D ′与平面AC 内的所有直线没有公共点．因此,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线．图2②直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．因为,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线,只要过B ′D ′作平面BDD ′B ′与平面AC 相交于直线BD ,那么直线B ′D ′与直线BD 平行．如图3.图3③两个平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行．两个平面平行的性质定理用符号语言表示为:⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b . 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为:如图4.图4④应用面面平行的性质定理的难点是:过某些点或直线作一个平面．⑤应用面面平行性质定理的口诀:“见到面面平行,先过某些直线作两个平面的交线．”应用示例思路1例1 如图5,A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α,AC ∥BD ,且AC ,BD 与α分别交于点C ,D ,求证:AC ＝BD.图5证明:连接CD .因为A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α, 所以AB ∥CD .又因为AC ∥BD ,所以四边形ABCD 是平行四边形． 因此AC ＝BD .点评:已知线面平行时,常用到线面平行的性质定理. 变式训练已知AB ,CD 为异面线段,E ,F 分别为AC ,BD 中点,过E ,F 作平面α∥AB .求证:CD ∥α.证明:如图6,连接AD 交α于G ,连接GF ,图6∵AB ∥α,面ADB ∩α＝GF ⇒AB ∥GF . 又∵F 为BD 中点, ∴G 为AD 中点．又∵AC ,AD 相交,确定的平面ACD ∩α＝EG ,E 为AC 中点,G 为AD 中点,∴EG ∥CD .⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂αCD ⊄αEG ∥CD ⇒CD ∥α. 例2 如图7,平面α,β,γ两两平行,且直线l 与α,β,γ分别相交于点A ,B ,C ,直线m 与α,β,γ分别相交于点D ,E ,F ,AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3.求DE 的长．图7解:连接DC .设DC 与β相交于点G ,则平面ACD 与α,β分别相交于直线AD ,BG ,平面DCF 与β,γ分别相交于直线GE ,CF .因为α,β,γ两两平行, 所以BG ∥AD ,GE ∥CF .因此AB BC ＝DG GC ,DG GC ＝DE EF .所以AB BC ＝DE EF .又因为AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3,所以DE ＝9.点评:本题利用面面平行得到线线平行,从而得到线段成比例. 变式训练如图8,平面α∥平面β,平面γ与α交于直线a ,γ与β交于直线b ,直线c 在β内,且c ∥b .图8(1)判断c与α的位置关系,并说明理由；(2)判断c与a的位置关系,并说明理由．答案:(1)c∥α；(2)c∥a.(理由略．)思路2例1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.图9解:已知:如图9,a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.求证:c∥a∥b.证明:变式训练求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行．图10解:已知:如图10,a∥α,a∥β,α∩β＝b.求证:a∥b.证明:如图10,过a作平面γ,δ,使得γ∩α＝c,δ∩β＝d,那么有点评:本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程．这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 已知:a ,b 是异面直线,a ⊂平面α,b ⊂平面β,a ∥β,b ∥α. 求证:α∥β.证明:如图11,在b 上任取点P ,显然P ∉a .于是a 和点P 确定平面γ,且γ与β有公共点P.图11设γ∩β＝a ′,∵a ∥β.∴a ′∥a .∴a ′∥α.这样β内相交直线a ′和b 都平行于α,∴α∥β.知能训练1．如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．图12解:已知:α∥β,γ∥β,求证:α∥γ.证明:如图12,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a ,c ,e 和b ,d ,f ,⎭⎬⎫α∥β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥cb ∥d β∥γ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ c ∥ed ∥f⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥e ⇒a ∥γb ∥f ⇒b ∥γ⇒α∥γ. 点评:欲将面面平行转化为线线平行,先要作平面． 2．如图13,EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上,求证:BD ∥面EFGH ,AC ∥面EFGH .证明:∵四边形EFGH 是平行四边形⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥FGFG ⊂面BDC EH ⊄面BDC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫EH ∥面BDCEH ⊂面ABD 面ABD ∩面BDC ＝BD图13⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥BDEH ⊂面EFGH BD ⊄面EFGH ⇒BD ∥面EFGH . 同理,可证AC ∥面EFGH .拓展提升如图14,两条异面直线AB ,CD 与三个平行平面α,β,γ分别相交于A ,E ,B 及C ,F ,D ,又AD ,BC 与平面的交点为H ,G .求证:四边形EHFG 为平行四边形．图14证明:⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ∩α＝AC 平面ABC ∩β＝EG α∥β⇒AC ∥EG .同理,AC ∥HF .⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥EG AC ∥HF ⇒EG ∥HF .同理,EH ∥FG .故四边形EHFG 是平行四边形．课堂小结1．线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决立体几何中平行关系的关键． 2．学会作辅助线,特别是利用平行关系的性质作辅助线．作业习题1—5 B 组第2,3题．设计感想本节教学设计注重培养学生直觉感知和应用能力，在实际教学中，可选择使用例题和练习题．备课资料备用习题1．如图15，P 是△ABC 所在平面外的一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△P AB 的重心．图15(1)求证：平面ABC ∥平面A ′B ′C ′； (2)求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比．证明：(1)连接P A ′，PB ′，PC ′并延长交BC ，AC ，AB 于D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF .∵A ′，C ′分别是△PBC ，△P AB 的重心， ∴P A ′＝23PD ，PC ′＝23PF .∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ，DF ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC .同理，A ′B ′∥平面ABC .又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.(2)由(1)知A ′C ′23DF ，又DF 12AC ，∴A ′C ′13AC . 同理，A ′B ′13AB ，B ′C ′13BC .∴△A ′B ′C ′∽△ABC . ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9.2．已知：如图16，α∥β，AB ∥CD ，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β.图16求证：AB＝CD.证明：∵AB∥CD，∴过AB，CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD.3．如图17，已知平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，E，F分别为AB，CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β.图1图18证明：当AB，CD共面时，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD∩β＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF∥AC.∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.当AB，CD异面时，如图18，∵E CD，∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.平面AC′BD′∩α＝AC′，平面AC′BD′∩β＝BD′，∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点．平面CC′D′D∩α＝CC′，平面CC′D′D∩β＝DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E，F分别为C′D′，CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.∵CC′α，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.(设计者：释翠香)。
北师大版高一数学必修2第一章第5节平行关系的判定教案
【课题】§5.1 平行关系的判定第一课时直线与平面平行的判定【教学目标】1.掌握直线和平面平行的判定定理,并会运用2.培养发展空间想象能力,推理论证能力,运用图形语言进行交流的能力,几何直观能力3.通过典型例子的分析和自主探索活动,理解数学概念,体会数学思想方法.【教学重点】直线和平面平行的判定定理【教学难点】判定定理的运用【教学思路】通过教师提问式的引导方法引导学生得到直线与平面平行的判定定理,结合学生的自主讨论、自主探索活动写出定理的文字、图形以及符号语言培养空间想象能力.然后利用典型例题加强学生的推理论证能力【教学内容】直线和平面平行的判定定理以及三种语言表述【教学方法】启发引导式教学法、讲议练相结合教学法【教学手段】以传统教学手段为主,多媒体教学以及实物模型教学手段为辅【教学设计理念】1.通过播放幻灯片,激发学生学习的兴趣,体现直观教学的灵便性2.实物举例让学生觉得直线和平面平行的情况在生活中随处可见3.在设计例题与练习时,增加了除长方体、正方体以外的不规则图形以扩大学生视野【教学过程】一、复习回顾：〔师〕直线和平面有哪几种位置关系？〔生〕直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行〔师〕回答的很好，那么能否分别用文字、图形和符号语言描述这几种位置关系（在学生回答时，教师同时在多媒体课件或用幻灯片1投影出直线和平面的位置关系）直线与平面的位置关系：文字语言：直线a在平面α内；直线a与平面α相交；直线a与平面α平行图形语言：符号语言：a⊆αa⋂α=A a∥α〔师〕如何判定一条直线和一个平面平行？﹙教师一边提问一边演示长方体模型，组织学生讨论﹚如图所示：直线BC 与平面A ‘B ‘C ‘D ‘的关系如何？直线AC 与平面A ‘B ‘C ‘D ‘呢？〔生〕B C ∥ A ‘B ‘C ‘D ‘ A C ∥A ‘B ‘C ‘D ‘二、 讲授新课﹙生叙述，教师板书﹚1、定理5.1：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行〔师〕请同学们讨论并写出这个定理的三种表示方法﹙生回答时，教师同时演示幻灯片2﹚ 图形语言： 符号语言：a b a a ααα⊄⎫⎪⊆⇒⎬⎪⎭∥∥b 〔师〕判定一条直线和一个平面平行需要几个条件？能不能缺少一个或几个？〔生〕需要三个条件，缺一不可〔师〕那么如果缺少一个会得到什么结论？并画出图形﹙组织学生讨论﹚〔生甲〕若缺少a α⊄，则结论为a a αα⊆∥或〔生乙〕若缺少b α⊆，则结论为a a αα⋂∥或〔生丙〕若缺少a b ∥，则结论为a a αα⋂∥或（即时训练）幻灯片3： 1.已知直线l 、a 、b 及平面α，下列命题正确的个数是﹙ ﹚（1）,l a a l αα⇒∥∥∥（2）,l a l l ααα⊆⊆⇒∥∥b,a ,b ∥ （3）l 平行与平面α内无数条直线⇒l α∥A ．0B ．1C ．2D ．32.l α⊆直线∥直线m,m ，则直线l 与平面α的位置关系是﹙ ﹚A ．相交B ．平行C ．在平面α内D ．平行或在平面α内三、例题讲解﹙幻灯片4﹚〔师〕请同学们自行分析此题〔生〕E 、F 分别为AB 、AD 的中点可知EF BD ∥,而BD BCD ⊆平面,根据判定定理可得EF BCD ∥平面〔师〕若此题改为“空间四边形ABCD 中,AE AF EB FD =则EF 与平面BCD 的位置关系如何?”幻灯片4 例1:空间四边形 ABCD 中,E 、F 分别为AB 、AD 的中点,判断EF 与平面BCD 的位置关系例 2.如图, 空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,试证明EFGH是平行四边形﹙师生共同讨论证明﹚〔师〕﹙分析﹚根据平面几何知识怎么证明一个四边形是平行四边形？〔生〕证明一组对边平行且相等；两组对边分别平行；两条对角线互相平分；两组对边分别相等；两组对角分别相等即可〔师〕那这几种方法在这里都可使用吗？〔生甲〕都可使用〔师〕请同学们讨论甲同学的回答是否正确？〔生乙〕甲同学的回答不正确，前三种在立体几何中可以使用，而后两者无法证明是平行四边形〔师〕乙同学回答完全正确，在立几中这个四边形首先是在同一平面内，其次再证明是平行的（生证明，师板书）证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点∴11112222EF AC GH AC EF AC GH AC ==∥，∥且， ∴EF GH EF GH =∥且∴EFGH 是平行四边形〔师〕在证明线面平行的问题中，最关键的是在平面内找到与平面外的直线平行的直线四、课堂练习课本P31、T1、2、3、4（1）五、课堂小结〔师〕请同学们自行总结这节课的主要内容〔生甲〕直线与平面平行的判定定理〔生乙〕判定直线和平面平行需要三个条件，缺一不可〔师〕证明直线与平面平行的关键是什么？〔生丙〕 关键是在这个平面内找到一直线与已知直线平行即可六、课后作业课本P34 ，B 组T1、T3七、板书设计。
4平行关系-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案
4 平行关系-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解平行的概念，掌握平行关系的基本性质；2.能够正确使用直线平行和平行线之间的关系；3.能够应用平行线的性质，解决实际问题。
教学重点1.平行线定义及相关概念；2.使用平行线的性质解决实际问题。
教学难点1.在实际问题中应用平行线的性质解决问题；2.区分平行线和直线平行的概念。
教学内容及时间分配第一课时（45分钟）1. 学生自主探究1.向学生介绍平行线的概念及相关术语；2.提供一些对平行线的直观认识，引导学生发现平行线的性质；3.给学生两个已知条件，让他们自行思考并运用平行线的性质，找到未知条件；4.让学生归纳出平行线的基本性质。
2. 教师讲解1.教师对学生的探究活动进行总结，并讲解平行线的定义；2.教师讲解平行线的性质及其推论，让学生理解和记忆相关概念。
第二课时（45分钟）1. 练习及小结1.提供一些实际问题，让学生应用平行线的性质解决问题；2.学生回顾和总结所学的知识点；3.学生互相交流和讨论对本节课的理解。
教学方法及过程本节课程采用学生自主探究和教师指导相结合的方式，让学生在实践操作和自我探究中逐步形成对平行线的概念和性质的认识，并让学生通过实际问题运用所学知识点。
教学评估1.在课程中设立一些问题，看学生能否正确解答；2.学生针对课程内容以及所掌握的知识点填写学习笔记，评估学生学情；3.教师观察学生在探究和应用知识中的情况。
拓展阅读裴维健等.《北师大版数学·必修二》.北京：人民教育出版社，2019.结语通过本节课的学习，学生将掌握平行的概念，了解平行线的基本性质，运用平行线的性质解决实际问题。
同时，学生将培养出良好的自主探究能力和解决问题的能力。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 5.1平行关系的判定》
?直线与平面平行的判定?导学案学习目标1.通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理2．掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。
教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
一、自主思考，合作探究〖探究一〗：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：多媒体幻灯片演示〖探究二〗根据直线与平面平行的定义〔没有公共点〕来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．〖探究三〗在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？二、自主检测想一想：判断以下命题的真假并说明理由：①假设一条直线不在平面内，那么该直线与此平面平行〔〕①假设一条直线与平面内的无数条直线平行，那么该直线与此平面平行〔〕①如图，a是平面α内的一条给定的直线，假设平面α外的直线b不平行于直线a，那么直线b与平面α就不平行〔〕证一证：如图1，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，判断并证明EF 与平面BCD的位置关系．操作思考：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱A1B1的中点，过点P画一条直线使之与截面A1BCD1平行．三、自主归纳﹒总结回扣1、这节课学习了哪些知识与方法？你又是通过什么学习方式获得的2、你还有哪些感悟与收获？〔七〕分层作业共同进步根本作业：1、如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点．假设，判断并证明EF与平面BCD的位置关系．拓展提高：1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的点，试确定点E的具体位置使AC1//平面BDE．2、尝试严格地证明直线与平面平行的判定定理．。
4平行关系-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案
4 平行关系-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案1. 教学目标本课程主要通过讲解平行线的性质、定理和证明方法，使学生掌握平行线相关基本概念及应用技巧，提高数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学重点和难点教学重点：•平行线的定义和基本性质；•平行线的判定方法；•平行线的定理及其应用。
教学难点：•平行线判定方法的理解和应用；•平行线的相关定理证明。
3. 教学内容3.1 平行线的定义和基本性质通过引入平行线的概念，引导学生认识平行线的定义和基本性质，拓展学生对于平行线的概念认识与理解。
3.2 平行线的判定方法讲解点、直线、平面的概念及其关系，引出平行线的判定方法，包括：同位角判定法、平行线夹角判定法、平行四边形性质判定法等。
3.3 平行线的定理及其应用引入平行线定理及其相关推论，包括：平行线性质定理、平行线夹角定理、平行线截线定理等，同时根据这些定理及其应用，辅助帮助学生掌握平行线与线段、角、三角形等几何图形的相关性质。
本课程主要采用讲授、演示、实例运用等教学方法相结合，具体如下：•讲授法：通过教师对理论知识的讲解，帮助学生了解并掌握平行线的基本概念；•演示法：通过教师对实例的演示，帮助学生更好地理解平行线的相关定理和性质；•实例运用法：通过对大量实例的运用，帮助学生巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
5. 教学过程5.1 导入课程通过一道简单的练习题引导学生复习并总结最小角、共面、共线等几何常识。
5.2 讲解平行线的定义和基本性质讲解平行线的特点，如同向且不相交，以及平行线的基本性质，如保持相互平行等。
5.3 平行线的判定方法通过介绍几种平行线的判定方法，如:同位角判定法、平行线夹角判定法、平行四边形性质法等，帮助学生了解并掌握平行线的判定方法。
5.4 平行线的定理及其应用讲解平行线定理，如:平行线性质定理、平行线夹角定理、平行线截线定理等，并通过一些例子来说明定理的应用。
5.5 案例分析通过实例分析，让学生应用所学知识解决实际问题，提高他们的课堂应用能力。
高中数学北师大版必修2 1.5 教学设计 《平行关系的性质》(北师大版)
《平行关系的性质》教材首先通过“思考”提出了两个问题，从而引出直线和平面，平面和平面平行的性质，接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出直线与平面平行的性质的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质论证推理。
通过以平面和直线为桥梁，在“平行”与“平行”之间进行相互转化来实现。
【知识与能力目标】1、理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义；2、会用性质定理证明空间线面关系的问题。
【过程与方法目标】综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化。
【情感态度价值观目标】通过学习，培养学生观察、类比、联想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。
【教学重点】理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题。
【教学难点】会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P 32“练习”以下至P 33“例4”以上部分，完成下列问题。
βα∩ 如图1519所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )图1519A 、平行B 、相交C 、异面D 、不确定【解析】 ∵EH ∥FG ，EH ⊆/平面BCD ，FG平面BCD ， ∴EH ∥平面BCD ，∵EH 平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴EH ∥BD 。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 5.1平行关系的判定》8
直线与平面平行的判定教学设计【课题】直线与平面平行的判定【教材】北师大版《数学》必修2第一章第五节第一课时北京师范大学出版社【授课教师】王艳【授课类型】新授课一、教材分析：1、本节课使用的教材是北师大版《数学必修2》第一章《立体几何初步》的第五节“平行关系”，第一课时：直线和平面平行的判定。
2、本节课内容安排在空间几何体的基本知识和空间点、直线、平面之间的位置关系之后，是学生对空间点、线、面的位置关系形成直观感知的基础上学习的，有了一定的构建知识基础。
直线与平面平行的判定定理是对空间点、线、面位置关系的进一步理性认识，同时也为之后的平面与平面平行的判定及性质起到奠基、铺垫作用。
二、教学目标：（一）知识目标1．掌握直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法2．理解直线和平面平行的判定定理并能简单应用．（二）能力目标1．理解并掌握直线和平面平行．2．直线和平面的三种位置关系，体现了分类的思想．3．能运用直线和平面的判定定理，把线面平行转化为线线平行．（三）情感目标1．体验获取知识的成功感受，激发学生研究的积极性和对数学的情感。
2．在问题的讨论和探究过程中年，培养学生严谨的治学态度和良好的思维习惯。
三、教学重点和难点：重点：直线和平面平行的判定定理的归纳及其应用。
难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。
四、设计思路：课前先让学生复习空间直线、平面间的位置关系，以旧带新，以旧促新，引入本节的课题——直线与平面平行的判定，加强理解。
让学生通过观察实物模型直观感知、操作确认，引导学生经历直线与平面平行判定定理的形成过程。
在重难点突破的过程中，培养学生办事认真仔细的习惯及合情推理能力，为学生的可持续发展奠定基础。
五、教学过程设计（一）知识准备、新课引入问题1、直线与平面的位置有几种关系？（多媒体演示）（1）直线与平面平行；（2）直线与平面相交；（3）直线在平面内。
（二）新课引入怎样判定直线与平面平行呢？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延伸，如何保证直线与平面没有公共点呢？（三）线面平行判定定理的探究问题2:翻开课本，封面边缘AB 与CD始终平行吗？与桌面呢？问题3:由边缘AB// //ab aa bααα⊆⎫/⎪⎪⊂⇒⎬≠⎪⎪⎭（四）讨论：（见课件）（五）理论提升////a b a a b ααα⊆⎫/⎪⎪⊂⇒⎬≠⎪⎪⎭（1）判定定理的三个条件缺一不可简记为：线线平行则线面平行定理告诉我们：要证线面平行，只要在面内找一条线，使线线平行。
北师大版高中数学必修二直线与平面平行的判定教案
1.5.1 直线与平面平行的判定一、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、情感、态度与价值观：（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教法1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教法：探究讨论法四、教学过程（一）创设情景、揭示课题引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知1、探究问题直线a 与平面α平行吗？若α内有直线b 与a 平行，那么α与a 的位置关系如何？是否可以保证直线a 与平面α平行？学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
α a α a b符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b2、例1 引导学生思考后，师生共同完成：该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.证明：连结BD ，在△ABD 中，因为E 、F ，分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF 平面BCD ，BD平面BCD ，EF ∥平面BCD AE FDBC→改写：已知：空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点，求证：EF//平面BCD.→ 分析思路 → 学生试板演例2在正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，E 为DD ’中点，试判断BD ’与面AEC 的位置关系，并说明理由.→ 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练：还可证哪些线面平行（三）自主学习、发展思维（让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
1.5.2 平行关系的性质 教案 (高中数学必修二北师大版)
1.5.2平行关系的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线与平面平行的性质定理的含义．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．(2)会证明直线与平面平行的性质定理．(3)能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．2．过程与方法通过学生直观感知、操作确认，归纳出平行关系、性质等，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力．3．情感、态度与价值观通过对平行关系性质的学习，体会现实到抽象的认识事物规律，培养探索精神，提高数学的兴趣．●重点难点重点、难点：平行关系的性质定理的应用．注意定理中的条件，在应用时缺一不可．(教师用书独具)●教学建议本节课是上节知识的延续，先讲述平行关系的性质，再把平行关系的判定与性质结合起来，平行关系的判定和性质体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化．即●教学流程创设情景提出两个问题，即已知线面平行，面面平行可以得出什么结论⇒解得问题即讲解线面平行、面面平行的性质定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握线面平行性质的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面平行性质的应用⇒通过例3及互动探究，使学生掌握平行关系之间的综合转化⇒课堂小结整合本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识教室日光灯管所在直线与地面平行，那么这条直线与地面内所有直线都平行吗？如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？【提示】 不一定．可能平行也可能异面．过灯管所在直线作一平面与地面相交，交线与灯管所在直线平行．⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b观察如图的长方体，我们可以知道：直线a ∥平面α，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1. 思考直线a 与直线b 的关系？ 【提示】 平行．如图1－5－12所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .图1－5－12【思路探究】 (1)猜想一下，AP 与平面BDM 平行吗？ (2)如何证明你的猜想？由“M 是PC 的中点”你能想什么？ (3)由AP ∥平面BDM 如何证明AP ∥GH?【自主解答】 如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点， ∴AP ∥OM . 又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ， 又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ， ∴AP ∥GH .1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行． 2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．如图1－5－13所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.图1－5－13【证明】 如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ . 于是AM MC ＝AQ DQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND .已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF. 【思路探究】 (1)证明线段成比例问题，常用什么方法？ (2)如何寻求线线平行？【自主解答】 如图，连接DC ， 设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是在△ADC 内有AB BC ＝DGGC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF .∴AB BC ＝DE EF .1．本题关键是利用面面平行的性质得出线线平行．2．应用两个平面平行的性质一是可以证明直线与直线平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．图1－5－14CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β.图1－5－14【证明】过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NPβ，DEβ，MNβ，BEβ，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.如图1－5－15，直线CD、AB分别平行于平面EFGH，E、F、G、H 分别在AC、AD、BD、BC上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.图1－5－15(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？【思路探究】(1)证四边形EFGH为平行四边形，再根据CD⊥AB，得结论．(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．【自主解答】 (1)因为CD ∥平面EFGH ， 所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF .同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF . 所以四边形EFGH 是矩形． (2)设CE ＝x ，AC ＝1， 因为HE ∥AB ， 所以HE AB ＝CE CA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC 中点时，四边形EFGH 的面积最大．1．本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化．2．空间平行关系的转化图：本例中若截面四边形EFGH 是平行四边形，求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH . 【证明】 ∵四边形EFGH 是平行四边形， ∴EF ∥GH .又EF平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF平面EFGH，CD平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.平行关系中的转化思想图1－5－16(12分)如图1－5－16所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．【思路点拨】欲证明线线平行可考虑线面平行的性质欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质．【规范解答】(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 4分又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. 6分(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 8分而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. 10分∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD. 12分【思维启迪】线线平行、线面平行、面面平行之间可通过平行的判定和性质相互转化，从而达到证明的目的．1．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系2．应用判定定理、性质定理证明时，一定要注意定理中的线、面满足的条件．1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．【答案】 B图1－5－172．如图1－5－17，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线l 1分别交平面α、平面β于A 、B 两点，P A ＝6，AB ＝2，引直线l 2分别交平面α、平面β于C 、D 两点，已知BD ＝12，则AC 的长等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】 由l 1∩l 2＝P ，知l 1、l 2确定一个平面γ，⎭⎪⎬⎪⎫由α∩γ＝AC β∩γ＝BD α∥β⇒AC ∥BD ⇒P A PB ＝AC BD . ∴66＋2＝AC12，解得AC ＝9. 【答案】 B3．如图1－5－18所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N 是AD 的中点，若MN ∥平面BDC ，则AM ∶MB ＝________.图1－5－18【解析】∵MN∥平面BDC，MN平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.【答案】1∶14．如图1－5－19所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图1－5－19【证明】∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD.同理AB∥EF.∴CD∥EF.一、选择题1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是()①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．②③C．①D．①③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.【答案】 B2．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．【答案】 B图1－5－203．如图1－5－20所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.【答案】 A4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20【解析】 第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ， 则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD . ∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x . ∴PD PC ＝PB P A.∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24. 【答案】 B5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交【解析】 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.【答案】B图1－5－21二、填空题6．如图1－5－21，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1平面A 1C 1B ∩平面ABCD ＝l 平面A 1C 1B ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1C1⇒l ∥A 1C 1. 【答案】 平行图1－5－227．(2013·宁德高一检测)空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】 ∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ， ∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 8图1－5－238．如图1－5－23，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】 根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交， ∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′， ∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，① △ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABC S △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】239三、解答题9．如图1－5－24，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．图1－5－24【解】设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，且A1B平面A1BC1，∴A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.图1－5－2510．(2013·吉林高一检测)如图1－5－25，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.图1－5－2611．如图1－5－26，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．【解】点E的位置是棱SA的中点．证明如下：如题图，取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC平面EBD，OE平面EBD，∴SC∥平面EBD.(教师用书独具)如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若P A ＝9，AB ＝12，BQ ＝12，△ACF 的面积为72，求△BDE 的面积．【思路探究】 求△BDE 的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知△ACF 的面积，若△BDE 与△ACF 的对应边有联系的话，可以利用△ACF 的面积求出△BDE 的面积．【自主解答】 ∵平面QAF ∩α＝AF ，平面QAF ∩β＝BE ，又α∥β，∴AF ∥BE .同理可证：AC ∥BD ，∴∠F AC 与∠EBD 相等或互补，即sin ∠F AC ＝sin ∠EBD .由F A ∥BE ，得BE ∶AF ＝QB ∶QA ＝12∶24＝1∶2，∴BE ＝12AF . 由BD ∥AC ，得AC ∶BD ＝P A ∶PB ＝9∶21＝3∶7，∴BD ＝73AC . 又∵△ACF 的面积为72，即12AF ·AC ·sin ∠F AC ＝72. ∴S △DBE ＝12BE ·BD ·sin ∠EBD＝12·12AF·73AC·sin∠F AC＝76·12AF·AC·sin∠F AC＝76×72＝84.∴△BDE的面积为84.直线和直线的平行问题常常转化为直线和平面或平面和平面的平行问题，而直线和平面的平行问题也可以转化为直线和直线或平面与平面的平行问题，故解决空间的平行问题必须熟记有关的判定定理和性质定理进行灵活的转化．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面P AD.【证明】如图所示，取CD的中点E，连接NE，ME，由题意可知NE∥PD，EM∥AD，NE∩EM＝E，PD∩AD＝D，则平面MNE∥平面P AD.又∵MN平面P AD，且MN平面MNE，∴MN∥平面P AD.。
高中数学平行关系的判定学案北师大版必修2
平行关系的判定 （学案）一、学习目标1．理解并掌握线面平行与两个平面平行的定义．2．掌握线面平行与两个平面平行的判定定理的证明．3．会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力． 二、学习重点、难点1．学习重点：掌握线面平行与两个平面平行的判定定理． 2．学习难点：掌握平行的判定定理的证明及其应用． 学习过程：一、课前准备：阅读课本P 2 8 – 3 1自主学习1.直线和平面的位置关系有 、 、2.两个平面的位置关系有 、3.直线与面平行的判定4.平面与面平行的判定自主测评1.下列条件中，能得出直线a 与平面α平行的条件是（ ）//,//,//.,//,,//.,,,,,,..c a a b c D b a b b a b C A a B a C b D b AC BDA B a b b αααααα∈∈∈∈=且ÜÜÚÜÜ 2.判断下列命题的正误．（1）．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行． （2）. 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （3）．垂直于同一直线的两直线平行．（4）．分别在两个平行平面内的两条直线都平行（5）．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （6）．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（7）．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则此直线行平该平面．//a A a B a C a D a βββββ3.如果直线平面，那么（）平面内不存在与垂直的直线（）平面内有且只有一条直线与垂直（）平面内有且只有一条直线与平行（）平面内有无数条直线与不平行二、新课导学探究一:如何两个判定直线与平面平行三、巩固应用例 1.已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、判断EF 与平面BCD 的位置关系.变式练习: 如图空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.探究二:如何两个判定平面平行例2 已知：在正方体1111D C B A ABCD -中；求证：平面11AB D //平面1C BD .四、能力拓展1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四条直线中与平面AB 1C 平行的是（ ） A .. DD 1 B . A 1D 1 C . C 1D 1 D . A 1D2.平面α 与平面β平行的条件可以是 （ ） A. 平面 α内有无数条直线都与平面β平行B.直线//,//,a a a αβ且直线不在α内，也不在平面β内C. 直线,,//,//ba b a βαβα直线且苘D. 平面 α内的任意直线都与平面β平行3.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q ,R 分别为BC ,CD ,CC 1的中点 (1)判断直线B 1D 1与平面PQR 的位置关系 (2)判断平面AB 1D 1与平面PQR 的位置关系 (3)判断平面D D 1B 1B 与平面PQR 的位置关系4.已知如图，四棱锥P-ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点，求证：EO // 面P AD五、总结提升1.直线和平面相互平行证明方法有哪些2.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明 （2）判定定理 （3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒。
北师大版高中必修25.1平行关系的判断教学设计
北师大版高中必修25.1平行关系的判断教学设计一、教学目标1.了解平行关系的概念及其性质；2.掌握判断两直线是否平行的方法；3.能够运用平行关系的性质进行简单证明和应用。
二、教学重难点1.区分平行线和垂直线；2.判断两直线是否平行的方法及其应用；3.运用平行关系的性质进行简单证明和应用。
三、教学内容1.平行线的概念及性质；2.平行线的判定方法；3.平行线的简单证明及应用。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解，引导学生理解平行线的概念及性质；2.演示法：通过画图演示，引导学生掌握平行线的判定方法；3.练习法：通过题目练习，引导学生巩固知识，并能运用所学知识进行简单证明和应用。
五、教学过程与设计1. 导入（5分钟）教师通过提问，调动学生已有的数学知识，引出平行线的概念。
如：两条线段有什么关系？两条直线有什么关系？2. 讲解（10分钟）教师讲解平行线的定义与性质，并给出几何图形的例子。
3. 演示（15分钟）教师通过画图演示，引导学生掌握平行线的判定方法，包括：1.线段平行的判定方法；2.角平行的判定方法；3.平行线之间的夹角关系。
4. 练习（20分钟）教师组织学生进行题目练习，巩固所学知识。
然后，教师提供一些简单的证明和应用题目，让学生在训练中掌握运用平行关系的方法。
5. 总结（5分钟）教师总结该节课的学习内容，并对学生所掌握的平行线知识点进行重点强化。
六、教学评价1.教师在教学过程中可以通过讲解、演示、练习等方式，让学生掌握平行线的概念、判定方法，并能运用所学知识进行简单证明和应用；2.教师在教学中可以通过反问、引导等方式，激发学生的学习兴趣，提高教学效果；3.对于学生的掌握情况，可以通过课后的小练习和考试等方式进行评价。
北师大版高中数学必修二—学同步教学案 立体几何初步§ 平行关系
§5 平行关系5．1 平行关系的判定(一)【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．1．直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点．2．直线与平面平行的判定定理：__________一条直线与______________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为________________________．一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，bα，则a∥b．其中正确说法的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥α B．b与α相交C．bα D．b∥α或b与α相交3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．ABα4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_______________________________________________________________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a ⊆α，a ∥b ，b α，则a ∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a ∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b ，使得a ∥b ，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．§5 平行关系5．1 平行关系的判定(一)答案知识梳理2．平面外 此平面内 a ⊆α，bα，且a ∥b ⇒a ∥α作业设计1．A [①a α也可能成立；②a ，b 还有可能相交或异面；③a α也可能成立；④a ，b 还有可能异面．]2．D 3．C 4．A 5．D 6．D[如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条，故选D ．]7．无数8．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 9．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF ∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连接OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ．∵EF ⊆平面BDD 1B 1，BO 平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．11．证明 连接AF 延长交BC 于G ， 连接PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ．而EF ⊆平面PBC ，PG 平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ．又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQBD．∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ． 又MN 平面BCE ，PQ ⊆平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连接EK ．∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK．∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ， ∴BQ ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ ∥EK ．又PQ⊆面BCE，EK面BCE，∴PQ∥面BCE．5．1平行关系的判定(二)【课时目标】1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．1．平面α与平面β平行是指两平面______公共点．若α∥β，直线aα，则a与β的位置关系为________．2．定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．一、选择题1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出()A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α内有无数条直线平行于βB．α内不共线三点到β的距离相等C．l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥βD．l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交5．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线6．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G二、填空题7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为________．8．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________(填序号)．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD 的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．能力提升12．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D．13．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?判定或证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．5．1平行关系的判定(二) 答案知识梳理1．无a∥β作业设计1．C2．D3．B4．B5．C6．A7．b∥β或bβ8．③解析①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．9．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1．10．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．11．(1)证明(1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BG GH＝2，且P ，H ，F 分别为AC ，CD ，AD 的中点． 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF ．又PF 平面ACD ，MN 平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD ．同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD ．(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH ．又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD ．同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ．∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3． ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9． 12．证明 连接A 1C 交AC 1于点E ， ∵四边形A 1ACC 1是平行四边形， ∴E 是A 1C 的中点，连接ED ， ∵A 1B ∥平面AC 1D ， ED 平面AC 1D ，∴A 1B 与ED 没有交点， 又∵平面A 1BC ，A 1B 平面A 1BC ， ∴ED ∥A 1B ．∵E 是A 1C 的中点，∴D 是BC 的中点． 又∵D 1是B 1C 1的中点， ∴BD 1∥C 1D ，A 1D 1∥AD ，∴BD 1∥平面AC 1D ，A 1D 1∥平面AC 1D ． 又A 1D 1∩BD 1＝D 1，∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D ． 13．解 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO ．∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴QB ∥PA ．∵P 、O 为DD 1、DB 的中点， ∴D 1B ∥PO ．∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO．5．2平行关系的性质(一)【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么________________________________________________________．(1)符号语言描述：________________．(2)性质定理的作用：可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．一、选择题1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面() A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均可能3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是() A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l3二、填空题7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q 在CD上，则PQ＝________．9．已知(如图)A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______________．三、解答题10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．能力提升12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________．13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．5．2 平行关系的性质(一) 答案知识梳理过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 (1)⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ββ∩α＝b ⇒a ∥b 作业设计 1．C 2．D3．C [∵截面PQMN 为正方形， ∴PQ ∥MN ，PQ ∥面DAC ．又∵面ABC ∩面ADC ＝AC ，PQ 面ABC ， ∴PQ ∥AC ，同理可证QM ∥BD ． 故有选项A 、B 、D 正确，C 错误．]4．A [∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点， ∴EF ∥AB ．又AB ⊆平面EFGH ，EF 平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH ．又AB 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH ．]5．B [设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a ∥平面α，则a ∥b ．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．]6．A [∵l 1∥l 2，l 2γ，l 1⊆γ，∴l 1∥γ．又l 1β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．]7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ， ∵n ⊆α，l α，∴n ∥α．8．223a解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3．9．平行四边形解析 平面ADC ∩α＝EF ，且CD ∥α， 得EF ∥CD ；同理可证GH ∥CD ，EG ∥AB ，FH ∥AB ． ∴GH ∥EF ，EG ∥FH ．∴四边形EFGH 是平行四边形．10．解 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD ． ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA ∥GH ．11．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH ．又GH 平面BCD ，EF ⊆平面BCD ．∴EF ∥平面BCD ．而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF 平面ACD ， ∴EF ∥CD ．而EF 平面EFGH ，CD ⊆平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH ． 12．m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE ∶EB ＝m ∶n ．13．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD 平面PAD ， BC ⊆平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ． 又平面PAD ∩平面PBC ＝l ，平面PBC ，所以BC ∥l ．(2)解 MN ∥平面PAD ． 证明如下：如图所示，取DC 的中点Q ． 连接MQ 、NQ ． 因为N 为PC 中点， 所以NQ ∥PD ．因为PD 平面PAD ，NQ ⊆平面PAD ， 所以NQ ∥平面PAD ．同理MQ ∥平面PAD ． 又NQ 平面MNQ ，MQ 平面MNQ ， NQ ∩MQ ＝Q ，所以平面MNQ ∥平面PAD ． 所以MN ∥平面PAD ．5．2 平行关系的性质(二)【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________． (1)符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． (2)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线． (3)面面平行的其他性质：①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βaα⇒______，可用来证明线面平行；②夹在两个平行平面间的平行线段相等； ③平行于同一平面的两个平面平行．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在惟一一条与a 平行的直线3．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于()A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α． A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题10．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED ＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．强调两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．5．2 平行关系的性质(二) 答案知识梳理那么它们的交线平行 (3)①a ∥β 作业设计1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C ．] 2．D [直线a 与B 可确定一个平面γ， ∵B ∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b ．由线面平行的性质定理知b ∥a ，所以存在性成立． 因为过点B 有且只有一条直线与已知直线a 平行， 所以b 惟一．]3．B [面α∥面ABC ，面PAB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝(A ′B ′AB )2＝(PA ′PA )2＝425．]4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．]5．D [如图所示，A ′、B ′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 中点E ．连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′、CC ′．则CE ∥AA ′，∴CE ∥α． C ′E ∥BB ′，∴C ′E ∥β． 又∵α∥β，∴C ′E ∥α．∵C ′E ∩CE ＝E ．∴平面CC ′E ∥平面α．∴CC ′∥α．所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．]6．B [当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P 同侧时可求得BD ＝245．]7．(1)相似 (2)全等 8．平行解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的． 9．15解析 由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15．10．证明 方法一 过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ．∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN ，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE ＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°， ∴Rt △AME ≌Rt △BNF ， ∴EM ＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF ∥MN ．又MN 平面ABCD ，EF 平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD ． 方法二过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ， ∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B ， ∴FG ∥B 1C 1∥BC ．又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ．又EF 平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD ． 11．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点． 12．解当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ． 证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ， ①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ， 则BM ∥OE ， ② 由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ， 又BF 平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC ．13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形， 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22， ∴A 1H ＝3．∴S △A 1MN ＝12×22×3＝6．故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝26．。
北师大必修2平行关系辅导教案
1．直线与平面平行的判定与性质
1．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，
中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
GH∥平面P AD.
利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定
，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质AD＝4，∠P AD
的中点，
⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1.
的高．又∵AO ＝1
2AC ＝1，AA 1＝2，
＝S ×A O ＝1. 中点，求证：
，
，在侧面PBC内，有
利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线
方法与技巧
1．平行问题的转化关系
1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()
．①③B．①④C．②③D．②④
答案B解析①中易知NP∥AA′，MN A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．
、
1
EG＝
2BB1.
的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有
MN∥平面CDEF；
A－CDEF的体积．
由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝
BF的中点G，连接MG、NG，由M、的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
MNG∥平面CDEF，。
北师大版高中必修25.1平行关系的判断课程设计
北师大版高中必修25.1平行关系的判断课程设计1.引言平行关系是高中数学必修课程中的一个重要概念，是初中数学中同步学习的知识点。
本课程设计针对北师大版高中必修25.1平行关系部分内容，从学生已经学习的知识点出发，引导学生对平行关系的理解和判断。
课程设计将依次介绍平行线的定义和基本性质、判断平行线的方法和平面内角、外角关系及其应用。
2.课程内容分析2.1 平行线的定义和基本性质平行线是在同一平面内且不相交的两条直线，其基本性质包括平行线的性质、平行线之间的相交线性质和平行线之间的距离关系等内容。
2.2 判断平行线的方法判断平行线的方法包括平行线的判定定理和应用题等内容，其中重点讲解的有同位角、内错角、外错角等方法。
2.3 平面内角、外角关系及其应用该部分包括如何计算平面内角、外角度数及其相关公式的推导，以及角的补角、邻角、余角等概念的介绍，应用方面主要有平行四边形面积计算的相关问题。
3.授课方法和课时安排本课程设计采用授课+演示+练习的方式，每次课程时间为50分钟，具体授课内容和安排如下：第1-2课时：平行线的定义和基本性质授课内容：平行线的基本定义和性质、平面内角关系的讲解和应用。
授课方式：采用讲解+图示演示的方式，通过例题讲解平行线之间的各种关系。
练习题目：《北师大版高中必修数学25.1平行关系的判断》部分例题和课后习题。
第3-4课时：判断平行线的方法授课内容：同位角、内错角、外错角的概念及其判断平行线的方法。
授课方式：采用讲解+图示演示的方式，通过例题讲解判断平行线的具体方法。
练习题目：《北师大版高中必修数学25.1平行关系的判断》部分例题和课后习题。
第5-6课时：平面内角、外角关系及其应用授课内容：平面内角和平面外角的概念、计算公式和相关性质。
授课方式：采用讲解+图示演示的方式，通过例题讲解平面内角和外角计算及其应用。
练习题目：《北师大版高中必修数学25.1平行关系的判断》部分例题和课后习题。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 5.1平行关系的判定》0
直线与平面平行的判定教案会昌中学王少群一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，通过探索得出直线与平面平行的判定定理，并掌握直线与平面平行的判定定理及其灵活应用。
3、情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点重点：直线与平面平行的判定定理及应用。
难点：直线与平面平行的判定定理的探索及应用。
三、学法与教学用具学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
教学用具：投影仪（片）四、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面α有哪几种位置关系？并完成我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为aα提问2：根据直线与平面平行的定义没有公共点来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
（二）判定定理的探求过程根据日常生活的观察体验，教师提问：从直观上感知哪些实例给我们以直线与平面平行的印象？生1：教室的日光灯与地面平行。
生2：黑板的边缘与地面平行。
生3：课桌上的笔与地面平行，足球场上球门的横梁与足球场平行……从学生列举的日光灯的实例出发，教师提问：如果将日光灯平稳下降，日光灯与地面越来越近，最终……生4：最终日光灯管会落到地面师：对，日光最终灯管会平稳地落到地面．教师利用多媒体动态演示这一过程，并将原来日光灯所在直线记作a，平移到地面（记作平面α）内之后记作直线b，提问：直线a与b是什么位置关系？a//生5：b师：直线a与b有没有公共点？生6：没有公共点师：在平面α内平移b得到c，则直线a与c是什么位置关系？a//生7：c师：直线a与c有没有公共点？生8：没有师：直线a和平面α内的无数条直线都平行吗？学生思考片刻，做出准确回答师追问：直线a 和平面α内的这无数条直线有公共点吗？生8：没有！师：反过来，直线a 和平面α内的这无数条直线都平行，直线a 与平面α平行吗？学生充分讨论后，认为答案是正确的师追问：为什么？生8：这无数条直线可以组成平面，而直线a 与它们均没有公共点，故直线a 和平面α没有公共点 师继续追问：直线a 和平面α没有公共点意味着什么？生8：α//a教师充分肯定学生的发现后，借助多媒体演示直线“铺满”平面的过程，并规范学生的表述，揭示数学的本质师继续追问：直线a 需要和平面α内的这无数条直线都平行吗？生8：不需要师继续追问：几条可以？生：一条！师：（追问）为什么？生9：平面内的无数条直线都可以通过平面内的一条直线平移得到．师：非常好．教师抓住时机，面向全体学生发问：大家能得到空间直线与平面平行的一个判定方法吗？学生思考片刻后，生10举手发言，教师及时肯定学生并纠正其提法，得到定理并板书（教师带领全体学生齐声诵读定理内容）。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 5.1平行关系的判定》
直线与平面平行的判定教学设计（第一课时）【教学内容解析】本节教材选自北师大版数学必修2第一章第5节，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位．空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础之前的课程已学过空间点、线、面的位置关系及4个公理．空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理借助日常生活中直线与平面平行的例子,通过直观感知、合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的教学重点是直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线面平行的性质、面面平行的判定与性质的学习作用重大，因为研究过程渗透的数学思想都是化归与转化．【教学目标设置】通过直观感知——观察提炼的认识方法初步理解并掌握直线与平面平行的判定定理．初步掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力．通过定理的运用，让学生学会在具体问题中正确使用定理，理解使用定理的关键是找平行线，并知道证明线线平行的一般途径．通过对空间直线与平面平行的判定定理的感知、提炼、论证以及应用的过程，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决问题的能力．在定理的获得和应用过程中进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题降维转化为平面问题的一般方法．通过本节课的学习，进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．【学生学情分析】通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．【教学策略分析】新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．综合考虑教学内容与学生学情，本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助日常生活中直线与平面平行的例子，通过直观感知，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力．教学目标：1理解并掌握直线与平面平行的判定定理2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理．3直线与平面平行的判定定理的简单应用,进一步培养发现问题、分析问题、解决问题的能力教学重点:直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．教学难点:直线与平面平行的判定定理的应用学法指导:学生借助实例,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,直线与平面平行的判定定理课时安排:1课时【教学过程】1在空间中直线与平面有几种位置关系？（1）直线在平面内：有无数个公共点；图形:（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行：没有公共点符号语音:__________ ____________ ____________师：强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊆/α．2如何判断直线在平面内这一位置关系？1定义: 直线在平面内：有无数个公共点2公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即直线在平面内）3如何判断直线与平面平行这一位置关系？定义：直线与平面平行：没有公共点讨论：根据定义好判断吗？师:根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．带领同学体会本节课学习的必要性，引出课题．[设计意图：通过提问，学生复习空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。
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§5平行关系5．1平行关系的判定学习目标核心素养1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、面面平行．(重点)2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．(重点、易错点)3．能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明空间线面关系．(难点)1.通过理解线面、面面平行的判定定理，培养直观想象数学抽象素养．2．通过运用判定定理证明空间线面关系，提升逻辑推理素养.1．直线与平面平行的判定定理定理表示直线与平面平行的判定定理文字叙述若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示⎭⎬⎫lαl∥bbα⇒l∥α图形表示行吗？提示：由线面平行的判定定理知，该结论错误．应是平面外的一条直线．2．平面与平面平行的判定定理定理表示平面与平面平行的判定定理文字叙述如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行符号表示⎭⎪⎬⎪⎫aαbαa∩b＝Aa∥βb∥β⇒α∥β平面也平行吗？提示：不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．1．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．aα，bα，a∥bD [若bα，a∥b，则a∥α或aα，故A错；若bα，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或aα，故B错；若bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD，则a∥α或aα，或a与α相交，故C错；而D项是线面平行的判定定理不可缺少的三个条件．]2．正六棱柱的底面和侧面中互相平行的面有()A．1对B．2对C．3对D．4对D[正六棱柱两底面互相平行，六个侧面中，相对的侧面互相平行，故共有4对互相平行的面．]3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对C[当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．]4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，则和平面C1D1E 平行的棱为________．CD和A1B1[∵CD∥C1D1且C1D1平面C1D1E，CD平面D1C1E，故CD∥平面C1D1E，同理A1B1∥平面C1D1E，而AB虽然与C1D1平行，但AB平面C1D1E.]线面平行的判定1111 A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.[证明]连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．[跟进训练]1．如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.[证明]连接AC交BD于点O，连接MO，∵M为SC中点，O为AC中点，∴MO∥SA.又SA平面MDB，MO平面MDB，∴SA∥平面MDB.面面平行的判定分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，∵BC平面PBC，MQ平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．[跟进训练]2.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.[证明]连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，则ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED平面A1BD1，A1B平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1綊BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴C1D∥平面A1BD1.又C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.线面平行、面面平行判定定理的综合应用1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，试判断直线EG与平面BDD1B1是否平行？提示：连接SB(图略)，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.2．在上述问题中，平面EFG∥平面BDD1B1吗？提示：平行．连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例3】如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面P AD.[思路探究](1)由于N为PC的中点，故可取PD的中点H，证明四边形MNHA为平行四边形，进而利用判定定理证明MN∥平面P AD.(2)若平面MNQ∥平面P AD，又M为AB的中点，从而可确定Q的位置．[解](1)证明：如图，取PD的中点H，连接AH，NH.由N是PC的中点，知NH∥DC，NH＝12DC.由M是AB的中点，知AM∥DC，AM＝12DC，∴NH∥AM，NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH.∵MN平面P AD，AH平面P AD，∴MN∥平面P AD.(2)若平面MNQ∥平面P AD，则应有MQ∥P A，∵M是AB中点，∴Q是PB的中点，即当Q为PB的中点时，平面MNQ∥平面P AD.将证明面面平行问题转化为线面平行问题，而将证线面平行问题，转化为线线平行问题.在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，可使问题顺利得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口，这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视.[跟进训练]3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解]如图，取线段AB的中点为M，连接A 1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD∥AC且MD＝12AC，OE∥AC且OE＝12AC，因此MD∥OE且MD＝OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．3．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．1．思考辨析(1)若一条直线与一个平面内无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行．(2)若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行．(3)若平面α内的任意一条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行．[解析](1)×，此直线也可能在平面内．(2)×，两平面也可能相交．[答案](1)×(2)×(3)√2．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．平行或相交[∵a∥平面α，∴a与平面α没有公共点，若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能，∴b∥α或b与α相交．]3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.①②④[如图，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，故①④正确；又AD1与DC1为异面直线，故③错误；又由B1D1∥BD，可知②正确．]4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点．求证：AF∥平面PCE.[证明]取PC的中点M，连接ME，MF，则FM∥CD且FM＝12CD.又∵AE∥CD且AE＝12CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，∴AF∥ME.又∵AF平面PCE，EM平面PCE，∴AF∥平面PCE.。