数值分析第一章作业

数值分析第一章作业1.数值计算方法设计的基本手段是( ).(A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ).(A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ).(A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响.(A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x+=+⎰,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+6.计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么?(B) 3(3- (D) 99-7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310-⨯,则计算所得体积的相对误差限如何估计?8.设0x >,近似值*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限.9.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限不超过δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?.10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =-+-在2x =处的值.11.已知近似值 1.0000x *=的误差限4()110x ε*-=⨯,21()16f x x =,求(())f x ε*,并说明x *及()f x *的各有几位有效数字.12.设a 为非零常数,已知0y 的近似值0y *,由递推式1n n y ay -=计算序列{}n y 的近似值,分析该算法的稳定性.。

数值分析课第一次作业答案answer1

2 2 答案：利用重节点均差（差商）表。P (x) = 1 4 x (x − 3) 。
计算机习题： 1. 作多项式 p，以 −1，0，1 为零点，首项系数为 2，并计算 p(3)。 4
答案：p = poly ([−1, 0, 1])，s = polyval(p, 3)。 2. 已知函数在下列各点的值为 xi 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
a 6 6e+154 0 1 1
b 10 10e+154 1 -1e+5 -4
c -4 -4e+154 1 1 3.999999
-1e+155 -7e+155 1e+155 答案：第二种方法更准确，因为第一种方法是一个累加的过程。 matlab 的 x = a : h : b 和 x = a + (0 : n) ∗ h 是第二种方法实现的。代码： format long e a = 0; b = 8; n = 9; h = (b-a)/n; x(1) = a; y(1) = a; for j = 1:n, x(j+1) = x(j) + h; y(j+1) = y(1) + j*h; end [x',y',(a:h:b)',a+(0:n)’*h] 第二章插值法 1. 当 x = 1, −1, 2 时，f (x) = 0, −3, 4，求 f (x) 的二次插值多项式。（计算两遍，分别用拉格朗日插值和牛顿插值）
5
f (xi ) 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 求 4 次牛顿插值多项式 P4 (x) 并画图。答案：代码： x=0.2:0.2:1.0; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]; n = length(y); if length(x)~=n, error('x and y are not compatible'); end D = zeros(n,n); D(:,1)=y(:); for j=2:n for i=j:n D(i,j) = (D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end p=D(1,1)*[zeros(1,n-1),1]; for k=2:n p=p+D(k,k)*[zeros(1,n-k),poly(x(1:k-1))]; end x=0.2:0.01:1.0; z=polyval(p,x); plot(x,z) 比较：p = polyf it(x, y, 4)。

《数值分析》第一章答案

习题11．以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。

（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31，4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494；（6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510；（7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-；（8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。

解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-⨯≤，1x 具有4位有效数字。

→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-<⨯-2*241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-⨯<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x 23.4213 =3x 23.4604=-3*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.23110210391.0-⨯≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5)(4) =*4x 31，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-⨯< ,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333 (5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-⨯<5x 具有4位有效数字， →5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096⨯71096.0⨯= =6x 5101.96⨯710961.0⨯==-6*6x x 710001.0-⨯72101021--⨯⨯≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0⨯=⨯=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-⨯=x 3*71096.0-⨯=x =-7*7x x 0 7x 精确 (8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0⨯≤= 8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确 2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747⨯6.83;(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。

数值分析第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

《数值分析》杨大地-答案(第一章)精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版数值分析-第1章1．填空题(1)为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为有限次的四则运算；(2)在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个相近数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值远小于分子的绝对值；(3)误差有四大来源,数值分析主要处理其中的截断误差和舍入误差；(4)有效数字越多,相对误差越小；2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字。

//见P4解题思路：假定x0是√a的一个近似值，x0>0，则ax0也是√a的一个近似值,且x0和ax0两个近似值必有一个大于√a，另一个小于√a，设想它们的平均值应为√a的更好的近似值，于是x k+1=1 2(x k+ax k)，k=0，1，2，……解：取x0=3，按算法x k+1=12(x k+ax k)，k=0，1，2，……迭代3次有：x1=12(x0+10x0)=(3+103)≈3.167x2=12(x1+10x1)=(3.167+103.167)≈3.162x3=12(x2+10x2)=(3.162+103.162)≈3.1623. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差。

//见P8解：已知f(x)=√x，设x∗是准确值，令x是x∗的一个近似值,则相对误差e(f(x))=f(x)−f(x∗)，由Taylor公式f(x∗)=f(x)0！ +f′(x)1！(x∗−x)+f"(x)2！(x∗−x)2+⋯+f n(x)n！(x∗−x)n+R n(x)其中，R n(x)=f n+1(ξ)(n+1)！(x∗−x)n+1将f(x∗)展开分析有：f(x∗)=√x2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x)∴e(f(x))=f(x)−f(x∗)=− (2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x))∴|e(f(x))|≤ ε(f(x))≤|2√x |ε(x)+⋯+|f n(ξ)n！εn(x)|+|R n(x)|忽略二阶以上无穷小，可得f(x)的误差限公式为ε(f(x))≈2√x(x)。

数值分析练习1-3章

数值分析练习1-3章第⼀章绪论⼀、填空题1、已知 71828.2e =，求x 的近似值a 的有效数位和相对误差：题号精确数xx 的近似数aa 的有效数位a 的相对误差⑴ e 2.7 ⑵ e 2.718 ⑶ e/100 0.027 ⑷e/1000.027182、设原始数据x 1，x 2，x 3和x 4的近似值（每位均为有效数字）如下：a 1=1.1021，a 2=0.031，a 3=385.6，a 4=56.430则⑴ a 1+a 2+a 4= ，相对误差界为；⑵ a 1a 2a 3= ，相对误差界为；⑶ a 2/a 4= ，相对误差界为。

⼆、为使20的近似值的相对误差⼩于0.01%，问应取多少位有效数字？三、当x 接近于0时，怎样计算xxsin cos 1-以及当x 充分⼤时，怎样计算x x -+1，才会使其结果的有效数字不会严重损失。

四、在数值计算中，为了减⼩误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列,1,0,9991=+=?n dx x x I nn ，试构造两种递推算法计算10I ，在你构造的算法中，那⼀种是稳定的，说明你的理由；第⼆章插值法１、在互异的n+1个点处满⾜插值条件P(x i )=y i ,(i=0,1,…n)的次数不⾼于n 的多项式是( )的(Ａ)存在且唯⼀ (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯⼀2、当f(x)是次数不超过n 的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)⾃⾝（D ）次数超过n 3、插值基函数的和j jx l)(= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定4、设f(x)=x 3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定5、( )插值⽅法具有公式整齐、程序容易实现的优点，⽽( )插值⽅法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的⽅法(Ａ)构造性 (Ｂ)解⽅程组 (Ｃ)拉格朗⽇ (Ｄ)⽜顿６、⼀般地，内插公式⽐外推公式( ),⾼次插值⽐低次插值( )，但当插值多项式的次数⾼于七、⼋次时，最好利⽤( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)⾼次７、整体光滑度⾼，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应⽤⼴泛的分段插值⽅法为（）.（Ａ）分段线性插值（Ｂ）分段抛物插值（Ｃ）分段三次埃尔⽶特插值（Ｄ）三次样条插值。

数值分析习题(含标准答案)

]第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。

第一章习题解答 _数值分析

第一章习题解答3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

解：设=()u f x ，()()()()()()||||||||||()||()||||()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ=≈==≤()||10.2(())||()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x xδδδδ==⋅⋅==4、长方体的长宽高分别为50cm ，20cm 和10cm ，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm 2。

解：设2()S xy yz zx =++{}[]{}(,,)(,,)(,,)()||()||()||()(,,)(,,)(,,)||||||max (),(),()2()2()2()max (),(),()1S x y z S x y z S x y z e S e x e y e z x y zS x y z S x y z S x y z e x e y e z x y z y z z x x y e x e y e z ∂∂∂≤++∂∂∂⎛⎫∂∂∂≤++ ⎪∂∂∂⎝⎭=+++++< {}[]11max (),(),()2()2()2()4()110.0031254(502010)320e x e y e z y z z x x y x y z <=+++++++===++测量误差小于0.00625时其表面积的误差不超过1cm 2。

7、计算61)1.414≈。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

（1（2）3(3-（3（4）99- 解：计算各项的条件数'()(())||()xf x cond f x f x = 11 1.41461(),(())| 3.5147(1)x f x cond f x x ===+ 322 1.414()(32),(())|49.3256x f x x cond f x ==-=33 1.41431(),(())| 1.4557(32)x f x cond f x x ===+ 44 1.414()9970,(())|4949x f x x cond f x ==-= 由计算知，第三种算法误差最小。

数值分析作业题(1)

第一章误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的方法误差。

0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。

, 建立稳定的数值算法。

该算法是不稳定的。

因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-， 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。

x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，，对应的标准基函数为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一二三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，，写出插商表:xi f(xi) 一二三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。

数值分析课后答案1

1第一章习题解答1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。

解：设 x 的准确值为x *，则有( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ所以e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ另解：e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) |= | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。

求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。

解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。

3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。

由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。

故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。

4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。

解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。

5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。

若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。

数值分析上机作业

《数值分析》上机作业（第一二三章）学院：电气工程学院班级：电气13级硕士2班教师：石佩虎老师姓名：**学号： ******第一章实验1 舍入误差与有效数设2211NN j S j==-∑，其精确值为1311()221N N --+。

(1) 编制按从大到小的顺序222111 (21311)N S N =+++---，计算N S 的通用程序； (2) 编制按从小到大的顺序222111...1(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序； (3) 按两种顺序分别计算210S 、410S 、610S ，并指出有效位数（编制程序时用单精度）； (4) 通过本上机题你明白了什么？解答如下：(1). 按从大到小的顺序计算N S 的通用程序如下所示： n=input('Please Input an N (N>1):'); y=0;accurate=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1)); %精确值 for i=2:1:n %从大到小的顺序 x=1/(i^2-1);x=single(x); y=y+x; enderror= accurate-y; format long;disp('____________________________________________________'); disp('The value of Sn from large to small is:'); disp(y);disp('The value of error is:'); disp(error);(2) 编制按从小到大的顺序计算N S 的通用程序如下所示： n=input('Please Input an N (N>1):'); y=0;accurate=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1)); for i=n:-1:2 x=1/(i^2-1);x=single(x); y=y+x;enderror= accurate-y; format long;disp('____________________________________________________'); disp('The value of Sn from large to small is:'); disp(y);disp('The value of error is:'); disp(error);(3) 计算结果：按从大到小的顺序计算得：(4)总结：当我们采用不同的计算顺序，对于同一个计算式，会得出不同的结果。

数值分析第四版习题及答案

第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+. 27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x 第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

数值分析第二版(丁丽娟)答案

6 2730.5000 5051.0000 5051.5000
7 10922.5000 23483.0000 23483.5000
8 43690.5000 80827.0000 80827.5000
21.000000000000000 17.000000000000000 16.238095238095237 16.058823529411764 16.014662756598241 16.003663003663004 16.000915583226515
3、用规范化幂法求
按模最大的特征值和对应的特征向量，取初值
。当特征值有3位小数稳定时停止。
4、用反幂法求矩阵
练习五
，迭代7次。
的最接近于6 的特征值和对应的特征向量，取初值
例1 令
求
的一次插值多项式，并估计插值误差。
例2 已知函数
的如下函数值表，
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f (x)
1.00
16.007498295841852 16.002385008517887
16.002177786576915 16.00069286350589
则开根号得 4.000114446266071 4.000272214059553 4.000086607000640
，对应的特征向量为
，
第五章答案
2. 解：正则方程组为
38.000
19.5000
18.199999999999999 16.636363636363637
16.578947368421051 16.179487179487179
16.120879120879120 16.038251366120218

第一章习题解答 _数值分析

第一章3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

解：设=()u f x ，()()()()()()||||||||||()||()||||()||()||||r r rx e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ=≈==≤ ()||10.2(())||()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x xδδδδ==⋅⋅==4、长方体的长宽高分别为50cm ，20cm 和10cm ，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm 2。

解：设2()S xy yz zx =++{}[]{}(,,)(,,)(,,)()||()||()||()(,,)(,,)(,,)||||||max (),(),()2()2()2()max (),(),()1S x y z S x y z S x y z e S e x e y e z x y zS x y z S x y z S x y z e x e y e z x y z y z z x x y e x e y e z ∂∂∂≤++∂∂∂⎛⎫∂∂∂≤++ ⎪∂∂∂⎝⎭=+++++<{}[]11max (),(),()2()2()2()4()110.0031254(502010)320e x e y e z y z z x x y x y z <=+++++++===++测量误差小于0.00625时其表面积的误差不超过1cm 2。

7、计算61)1.414≈。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

（1（2）3(3- （3（4）99- 解：计算各项的条件数'()(())||()xf x cond f x f x = 11 1.41461(),(())| 3.5147(1)x f x cond f x x ===+ 3221.414()(32),(())|49.3256x f x x c o n d f x ==-= 33 1.41431(),(())| 1.4557(32)x f x cond f x x ===+ 44 1.414()9970,(())|4949x f x x cond f x ==-= 由计算知，第三种算法误差最小。

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。

* * e* x * _x解：近似值x*的相对误差为:.=e*x* x*1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e*x*进而有；(ln x*)::.2•设x的相对误差为2%求x n的相对误差。

解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1n A.x nx .又7 f '(x)= nx n」C p|=nn又；；r((x*) n) ： C p ；,x*)且e r (x*)为2.；r((x*)n) 0.02 n3 •下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0.解：x；=1.1021是五位有效数字；X2 =0.031是二位有效数字；X3 =385.6是四位有效数字；x4 = 56.430是五位有效数字；x5 -7 1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4.* * * *其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:*1 4；(x-| ) 102* 1 3;(x 2) 102* 1 1；(x 3) 10 * 1 3；(x 4) 102* 1 1；(x 5) 102 (1)；(为 X 2 X 4)=；(为)亠：(x 2)亠：(x 4)=1 10 4 110 J 丄 10^2 2 2= 1.05 10”* * * (2)(X 1X 2X 3)* * * ** * ** *X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2)1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10(3) XX 2/X 4)X 40.031 110” 56.430 丄 10’2 256.430 56.430=10°5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 43解：球体体积为V R 3则何种函数的条件数为=1.1021汉 0.031 汉 * 汉10」+0.215RV' R 4 - R2Ik -3；r(V*) ： C pL；r(R*) =3；r(R*)1故度量半径R时允许的相对误差限为；r(R*) 1 ：0.3336•设Y0=28，按递推公式丄J783 (n=1,2,…)100计算到Y oo。

数值分析答案Ch1-Ch2

第一二章习题提示第一章误差1.计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差是多少？答案：V =43πR 3，εr (V )=ε(V )V =4πR 2ε(R )43πR 3=3εr (R )。

球体积要使相对误差限为1%，R 时允许的相对误差是1300=0.003333。

2.考虑正弦函数sin x 的求值，特别是数据传递误差，即自变量x 发生扰动h 时函数值的误差。

(1)估计sin x 的绝对误差。

(2)估计sin x 的相对误差。

(3)估计这个问题的条件数。

(4)自变量x 为何值时，这个问题高度敏感？答案：(1)cos xh 。

(2)cot xh 。

(3)相对条件数x cot x 。

(4)x =kπ，k =0时，这个问题高度敏感。

注：误差估计与近似值取法有关，要舍去高阶无穷小。

如：sin (x +h )≈sin x +cos xh ，则误差为−12sin xh 2等。

3.设Y 0=28，按递推公式Y n =Y n −1−1100√783，(n =1,2,...)计算到Y 100。

若取√783≈27.982(保留5位有效数字)，试问计算Y 100将有多大误差。

答案：Y 100=Y 0−√783，ε(Y 100)=ε(27.982)(假设Y 0无误差)。

Y 100的误差限为12×10−3。

4.正方形的边长大约为100cm ，问测量时允许多大的误差才能使其面积误差不超过1cm 2。

答案：测量边长的误差应不超过0005cm 。

上机题1.编程观察无穷级数∞∑n =11n的求和计算。

(1)采用IEEE 单精度浮点数，观察当n 为何值时求和结果不再变化，将它与理论分析的结论进行比较(注：在MATLAB 中可用single 命令将变量转成单精度浮点数)。

(2)用IEEE 双精度浮点数计算(1)中前n 项的和，评估IEEE 单精度浮点数计算结果的误差。

答案：format longs =single(0);u =single(1);t =0;k =1;while u ~=su =s;s =s +1/k;t =t +1/k;k =k+1;endk -1s -t这里单精度浮点数的和为s =15.404，双精度浮点数的和为t =15.133。

(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值分析李庆杨版习题及答案

第四版数值分析习题答案第一章绪论习题参考答案1． ε（lnx ）≈***()()r x x xεεδ==。

2．1******()()()()0.02n nnr nn n x x x n x x n xxxεεεε-=≈==。

3． *1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字，*5x 有2位有效数字。

4．******4333124124()()()()0.5100.5100.510 1.0510x x x x x x εεεε----++≈++=⨯+⨯+⨯=⨯************123231132123()()()()0.214790825x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=****62224***24441()()()8.85566810x x x x x x x εεε-≈-=⨯。

5．1()1()()()0.00333333r r r V R V V V εεεε=≈===。

6．33100111()100101010022Y ε--=⨯⨯⨯=⨯。

7．12855.982x =≈，21280.0178655.982x ==≈≈。

8． 21arc 12N dx tgN x π+∞=-+⎰9．121()()0.0052x S S εεε-=≈=。

10． ()()0.1S g t t g t εε≈=，2()2()0.2()12r g t t t S t t gt εεε≈==，故t 增加时S 的绝对误差增加，相对误差减小。

11． 1081001()10()102y y εε==⨯，计算过程不稳定。

12．61)0.005051f =≈，1.4=，则611)0.004096f ==，20.005233f ==，33(30.008f =-=，40.005125f ==，5991f =-=，4f 的结果最好。

13．(30) 4.094622f =-，开平方时用六位函数表计算所得的误差为41102ε-=⨯，分别代入等价公式)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2221++-=--=中计算可得411()ln(1(60103102f x εε--=+≈=+=⨯⨯=⨯，47211()ln(1108.3310602f ε--=+≈=⨯⨯=⨯。

数值分析习题答案

第一章绪论3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：**1 1.1021x =,**20.031x =, **3385.6x =, **456.430x =,**57 1.0.x =´解：*1 1.1021x =是五位有效数字；是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字；是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字；是四位有效数字；*456.430x =是五位有效数字；是五位有效数字； *57 1.0.x =´是二位有效数字。

是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

题所给的数。

解：解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x e e e e e -----=´=´=´=´=´ ***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x e e e e ----++=++=´+´+´=´***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x e e e e ---=++=´´´+´´´+´´´»**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x e e e ---+»´´+´´=´= 6．设028Y =，按递推公式11783100n n Y Y -=- （n=1,2,n=1,2,……）计算到100Y 。

数值分析第一章作业

最新应用数值分析第四版第一章课后作业答案