数值分析作业答案(第4章) part2
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4.6.若用复化梯形公式计算积分1
x
I e dx =⎰，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超
过
51
102
-⨯若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？
解：采用复化梯形公式时，余项为
2
()(),(,)12
n b a R f h f a b ηη-''=-
∈ 又
1
0x I e dx =⎰
故
(),(),0, 1.x
x
f x e f x e a b ''====
221()()1212
n e R f h f h η''∴=
≤ 若51
()102
n R f -≤
⨯，则 256
10h e
-≤⨯
当对区间[0,1]进行等分时，
1,h n
=
故有
212.85n ≥
= 因此，将区间213等分时可以满足误差要求。
采用复化辛普森公式时，余项为
4(4)
()()(),(,)1802
n b a h R f f a b ηη-=-
∈ 又
(),x f x e =
(4)4(4)4
(),
1()|()|28802880
x n f x e e R f h f h
η∴=∴=-≤ 若51
()102
n R f -≤
⨯，则 451440
10h e
-≤
⨯
当对区间[0,1]进行等分时
1n h
=
故有
1
54
1440(10) 3.71n e
≥⨯=
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
4.10.试构造高斯型求积公式
)()()(1
11001
x f A x f A dx x f x
+≈⎰
。
解 令公式对3
2,,,1)(x x x x f =准确成立，得
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧=+=+=+=+,72,52,
32,213103012
1020110010A x A x A x A x A x A x A A )
4()3()2()
1(
由于
1011001100)()(A x x A A x A x A x -++=+，
利用方程(1)，方程(2)可化为
3
2
)(21010=
-+A x x x (5)
同样，用方程(2)化方程(3)，方程(3)化方程(4)，分别得
52
)(3211010=-+A x x x x (6) 7
2
)(52121010=-+A x x x x (7)
用方程(5)消去方程(6)中的101)(A x x -，即将101)(A x x -用023
2
x -代替，得
5
2
)32(32100=-+x x x (8)
用方程(6)消去方程(7)中的1101)(A x x x -，即将1101)(A x x x -用03
2
52x -代替，得
7
2
)3252(52100=-+x x x (9) 整理方程(8)和方程(9)，解得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==+.353,7
61010x x x x 从而（注意10x x <）
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=5623710x ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=5623711x ， 代回方程(1)和方程(2)可得
653110+
=A ，.6
5
3111-
=A 得求积公式为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎰
5672736531156727365311)(1
1
f f dx x f x
4.17.确定数值微分公式的截断误差表达式
)]2()(3)(4[21
)(0000'h x f x f h x f h
x f +--+≈
解 数值微分公式
)]2()(3)(4[21
)(0000'h x f x f h x f h
x f +--+≈
是由对过节点))(,(00x f x ，))(,(00h x f h x ++，))2(,2(00h x f h x ++的二次插值多项式)(2x P 求导而得到的。由于
)
,(),(!
3)
()()
)()((!3)
()()(203'''2210'''2x x x f x P x x x x x x f x P x f ∈+=---+=ξωξξ，
其中2,1,0,0=+=i ih x x i ，
)()
)(()
)(()())(())(()())(())(()(2120210121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x P ----+----+----=