数值分析第四章林成森
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
数值分析第四章
考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1：ab1dx梯b形a公=式b2a[11] f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
xdx
a
b2
a2 2
=
b2a[ab]
a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3a3 3
b2a[a2 b2]
代数精度 = 1
10
n
注：形如 Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
………………
23
< ?
R1 = T3(0)
➢ 理查德森外推法 /* Richardson外推法 */
利用低阶公式产生高精度的结果。 i 与 h 无关
设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由
Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + …
项式
n
Ln(x)f
(xk)lk(，x)即得到
k0
b
n
b
f(x)dx
a
f(xk)alk(x)dxAk
k0
误差 R[ f ]
b
n
f ( x )dx a
Ak f ( xk )
k0
b
b
b
Ak a
jk
(xxj ) (xkxj )
d
x由与节f (点x)
决定， 无关。
[
a
f
(x)
Ln ( x )]dx
是精确的，但对m次1多项式不精确，则称（1） 具有 m次代数精度。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析答案第四章
令
f (x) = x ，则
0 = −1 + 2 x1 + 3 x2
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 2 = 1 + 2 x12 + 3 x2
从而解得
⎧ x1 = −0.2899 ⎧ x1 = 0.6899 或⎨ ⎨ ⎩ x2 = 0.5266 ⎩ x2 = 0.1266
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
1
−1
f ( x)dx = ∫ x3 dx = 0
−1
1
[ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3 ≠ 0
故
∫
1
−1
f ( x)dx = [ f (− 1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3不成立。
h
因此，原求积公式具有 2 次代数精度。 （4）若
7 h T8 = [ f ( a) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11140 2 k =1
复化辛普森公式为
7 7 h S8 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11157 k+ 6 k=0 k =1 2 1
令 f ( x ) = x 2 ，则
b 1 3 3 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 3 (b − a ) b −a 1 3 3 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 3 b
清华第五版数值分析第4章课件
3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析课程课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
《数值分析B》教学大纲
《数值分析B》课程简介课程编号：08014020课程名称：数值分析B（Numerical Analysis）学分:2学时：32 （课内实验(践)：上机：课外实践：）适用专业：机械设计制造及其自动化建议修读学期：4开课单位：数理科学与工程学院先修课程：高等数学、线性代数、数学软件与数学实验或C++等考核方式与成绩评定标准：卷面考试；平时成绩30%，考试成绩70%教材与主要参考书目：教材：数值分析（第五版），李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社，2008年参考书目：1．Numerical Analysis (Seventh Edition)，Richard L. Burden, J. Douglas Faires，Thomson Lerning, Inc.，20012、数值分析及实验（第二版），杜廷松等，科学出版社，2012年内容概述：《数值分析B》是一门应用性很强的基础课，它以数学问题为对象，研究适用于科学与工程计算的数值计算方法及相关理论，是用计算机解决数学问题的重要方法。
数值分析既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征。
现在数值分析几乎成为所有理工科学生的必修课程。
数值分析的研究对象是科学和工程中常见的数学问题，包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、非线性方程求根以及常微分方程数值解等问题。
对机械设计制造及其自动化专业的学生，教学内容侧重方法的实用性，适当讲授方法原理；本课程的宗旨既不以严谨理论为主导，也不是以全篇数据为数值计算，而是两者兼顾，兼授方法的基本理论和实用性。
通过本门课的学习使学生正确理解相关基本概念，掌握常用的基本数值方法，培养和提高应用计算机进行科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好的数学基础。
Numerical Analysis B is an important elementary course with extensive applicability. Its object is mathematical problem. It researches numerical computation methods and correlation theories, which are the main ways to solve mathematical problems with computer. Numerical Analysis B not only has the abstract and strictness of the theory, but also has the technical feature of practicability and experiment. It almost is thecompulsory course of all science and engineering students.The course includes: numerical approximation, numerical integration, numerical solution of the linear system, solution of Non-linear Equation and numerical solution of ordinary differential equation etc.The course teaching focuses on the applicability for the students of machine design manufacture and automation specialty. Calculation and theory are all paid attention to.Students can understand conception correctly, master the base methods by learning the course, and enhance the ability of computing the science and engineer problem. Good mathematical foundation is obtained by Numerical Analysis B for the later study and application.《数值分析B》教学大纲课程编号：08014020课程名称：数值计算（Numerical Analysis）学分:2学时：32 （实验：上机：课外实践：）适用专业：机械设计与制造专业建议修读学期：4开课单位：数理科学与工程学院/信息与计算科学系先修课程：高等数学、线性代数一、课程性质、目的与任务数值分析B是理工类本科公共基础课，是一门数学与计算机技术紧密结合的学科，主要任务是研究利用计算机技术解决科学与工程中常见数学问题的数值算法。
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
数值分析-数值计算方法
(6.3)
一般地，一个 p 进制数 x 可以表示为
t
x p J dk pk
(6.4)
k 1
其中 dk , k 1,, t 都是0,1,2,, p 1中的一个数字
或记 x a p J
(6.5)
其中
t
a dk 10 k 0.d1d2 dt
k 1
称为数 x 的尾数（其值小于 1）
rz
ez z
x ( f )( x, y) ex
z x
x
y ( f )( x, y) ey
z y
y
x z
f ( x )( x, y)rx
y z
( f )( x, y
y )ry
(5. 2)
初始数据误差和计算结果中产 生的误差之间有下列关系
（1） f (x, y) x y : 绝对误差： ex y ex ey ；
产生的误差。即z f (x, y) 的误差。 假设绝对误差ex , ey 的绝对值都很小，
且 f (x, y) 可微，
则 z 的误差
ez z z f (x, y) f (x, y)
可以近似地表示成
ez
(
f x
)(
x
,
y
)ex
(
f y
)(
x
,
y
)e
y
（5. 1）
而且，
例： 计算 a 的 Newton 法的一种算法
输入 初始近似值 x0 ；最大迭代次数 m
输出 a 的近似值 p 或迭代失败的信息
step1 p0 x0 step2 对 n 1,, m 做 step3 — 4
数值分析考试大纲
数值分析》考试大纲一、考试标准(命题原则)1、考察学生对数值分析的基础知识（包括基本概念、基本内容、基本定理）的掌握程度以及运用已掌握的知识分析和解决问题的能力，衡量学生的数值分析及计算的能力。
2、题型比例客观题（判断题、填空题与选择题）约30--40%解答题（包括证明题）约60--70%3、难易适度，难中易比例：容易：40%，中等：50%，偏难10%。
4、考试知识点复盖率达80%以上。
二、考试时间：120分钟（2个小时）三、考试对象：数学与应用数学专业本科生四、考核知识点第一章引论(一)、知识点§1 数值分析的研究对象§2 数值计算的误差§3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害§4 矩阵、向量和连续函数的范数(二)、基本要求1、了解向量和矩阵范数的定义和计算2、了解误差分析第二章插值法(一)、知识点§1 Lagrange插值§2 均差与Newton插值公式§3 插值余项的Peano估计§4 差分与等距节点插值公式§5 Hermite插值§6 分段低次插值§7 三次样条插值的计算方法§8 三次样条插值函数的性质与误差估计§9 B-样条函数§10 二元插值(二)、基本要求1、理解插值概念和插值问题的提法2、熟练掌握插值基函数、拉格朗日插值公式，会用余项定理估计误差3、掌握差商的概念及其性质，熟练掌握用差商表示的牛顿插值公式4、掌握埃米尔特插值、分段插值的定义和特点第三章函数逼近(一)、知识点§1 正交多项式§2 函数的最佳平方逼近§3 最小二乘法§4 周期函数的最佳平方逼近§5 快速Fourier变换§6 函数的最佳一致逼近§7 近似最佳一致逼近多项式§8 Chebyshev节约化(二)、基本要求1.了解正交多项式定义2．理解函数的最佳平方逼近3．掌握最小二乘法4．掌握周期函数的最佳平方逼近5．了解快速Fourier变换6．理解函数的最佳一致逼近7．了解近似最佳一致逼近多项式8．掌握Chebyshev节约化第四章数值积分和数值微分(一)、知识点§1 Newton-Cotes求积公式§2 复合求积公式§3 Peano的误差表示§4 Gauss求积公式§5 Romberg求积公式§6 奇异积分与振荡函数的积分§7 二维近似求积(二)、基本要求1、理解数值求积的基本思想，代数精度的概念2、熟练掌握梯形、辛普生等低价牛顿-柯特斯求积公式3、掌握复化求积公式：复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式4、掌握龙贝格求积公式5、掌握高斯求积公式的定义和特点6、掌握几个数值微分公式第五章解线性代数方程组的直接方法(一)、知识点§1 Gauss消去法§2 主元素消去法§3 直接三角分解方法§4 矩阵的奇异值和条件数，直接方法的误差分析§5 解的迭代改进§6 稀疏矩阵技术介绍(二)、基本要求1、了解向量和矩阵范数的定义和计算2、掌握高斯消去法、按列选主元的高斯消去法、三角分解法3、了解求解特殊方程组的追赶法和Cholesky平方根法第六章解线性代数方程组的迭代方法(一)、知识点§1 迭代法的基本概念§2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛(SOR)迭代法§4 共轭梯度法(二)、基本要求1、掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法2、了解方程组右端项和系数矩阵的扰动对解的影响、方程组解法的误差分析第七章非线性方程和方程组的数值解法(一)、知识点§1 单个方程的迭代法§2 迭代加速收敛的方法§3 Newton迭代法§4 割线法与Muller方法§5 非线性方程组的不动点迭代法§6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法(二)、基本要求1.掌握单个方程的迭代法2．了解迭代加速收敛的方法3．掌握Newton迭代法4．掌握割线法与Muller方法第八章代数特征值问题计算方法(一)、知识点§1 特征值问题的性质和估计§2 正交变换及矩阵分解§3 幂迭代法和逆幂迭代法§4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式§5 QR方法§6 对称矩阵特征值问题的计算(二)、基本要求1.了解特征值问题的性质和估计2．理解正交变换及矩阵分解3．掌握幂迭代法和逆幂迭代法4．了解正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式5．掌QR方法6．掌握对称矩阵特征值问题的计算第九章常微分方程初值问题的数值解法(一)、知识点§1 基本概念、Euler方法和有关的方法§2 Runge-Kutta方法§3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性§4 线性多步法§5 线性差分方程§6 线性多步法的收敛性与稳定性§7 一阶方程组与刚性方程组(二)、基本要求1、了解一阶常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念：步长、差分格式、单步法、多步法、显式法、隐式法、局部截断误差、整体截断误差、方法的阶数2、掌握欧拉法、改进欧拉法、梯形格式3、掌握龙格--库塔法的定义和特点4、了解亚当姆斯线性多步法5、了解差分法的收敛性和稳定性概念6、了解常微分方程边值问题五、考试要求书面答卷，闭卷考试，自带计算器。
工程数值方法详解
工程数值方法学习内容：Chapter 1 线性代数方程组的数值解法Chapter 2 插值问题与数值微分Chapter 3 数值积分方法Chapter 4 常微分方程(组)初值问题的数值方法Chapter 5 常微分方程(组)边值问题的数值方法Chapter 6 椭圆型偏微分方程的数值方法Chapter 7 加权残值方法参考书目：[1]武汉大学、山东大学合编，计算方法，高教版，1979[2]林成森编，数值计算方法（上、下），科学出版社，2000[3]中科院研究生数学丛书，工程中的数值方法，科学出版社，2000[4]曾绍林编，工程数学基础（研究生数学丛书），科学出版社，2001[5]李庆扬编，数值分析基础教程，高等教育出版社，2002[6]李庆扬编，数值分析（第4版），清华版，2003[7]关治编，数值计算方法，清华版，2004[8]李岳生、黄有谦编，数值逼近，高教版，1978[9]李荣华编，微分方程数值解法，人教版，1980[10]邱吉宝编著，加权残值法的理论与应用，宇航版，1992Chapter 1 线性代数方程组的数值解法线性代数方程组的求解是工程实践中最常遇到的问题。
据不完全统计，在工程实践中提出的计算问题中，有近一半涉及到求解线性方程组。
例如：结构有限元分析问题，大地测量问题，气象预报问题，电力传输网分析问题，各种电路分析问题，数据拟合问题，以及非线性方程组与微分方程的数值求解问题等等。
因此，学习并掌握线性代数方程组求解的基本理论与方法无疑是十分必需的。
本章将介绍目前一些利用计算机求解线性代数方程组常用的、且简单有效的数值方法。
求解线性方程组的数值方法尽管很多，但归并起来可分为两大类：（1）直接法（精确法）凡经有限次的四则运算，若运算中没有舍入误差即可求得方程组精确解LDL 的方法。
如：克莱姆（Cramer）法则方法、消元法、LD分解法、T分解法等等。
（2）迭代法（近似法）将求解方程组的问题转化为构造一个无限迭代的序列，在实现该序列过程中的每一步计算结果，均是把前一步所得的结果施行相同的计算步骤进行修正而获得的，而这一无限序列的极限就是原方程组的精确解答。
数值分析第四章小结
数值分析第四章小结第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结姓名马赫班级环境科学与工程学号 S2*******一、本章学习体会通过本章知识的学习，了解了怎么样求出非线性方程和非线性方程组的根，但是只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，而对于绝大数的非线性方程，我们只能用数值方法求出其根的近似值。
在本章的学习中，学会了一些常用的有效数值迭代方法去求方程的根。
同时在本章中主要是掌握了求解非线性方程的各种迭代方法，而对于求解非线性方程组的迭代方法只需要了解即可。
求解非线性方程解的迭代法有如下几种方法：对分法；简单迭代法；Steffensen 迭代法；Newton 法；求m 重根的Newton 法；割线法以及单点割线法等。
我们在运用这些方法求根是应到注意到其迭代公式必须收敛才有可能解出根，同时针对不同类型的非线性方程求解，还须注意用哪种迭代方法更适合求解，不能盲目地随意使用其中一种迭代方法，而是要通过比较选出恰当的方法求解。
比如求方程m 重根的Newton 法不知道重根数会导致计算量较大，但是其收敛速度较快。
此外，本章知识应当以掌握求解非线性方程的迭代方法为主，并配合适当的实验以及习题加深对知识的理解。
二、本章知识梳理第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法……理解并掌握4.1非线性方程的迭代解法……重点掌握4.1.1对分法……定义：将含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
优点：程序简单，总能求得近似根，对f(x)的要求不高；缺点：收敛速度慢，不能求偶重根，复根。
对分法一般用于求根的近似值。
4.1.2简单迭代法及其收敛性……定义：是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
一般形式：其中为迭代函数。
收敛性：若由迭代公式产生的序列{x k }收敛于 x *，则x *为原方程的根。
数值分析 (颜庆津)第4章学习小结
第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法姓名班级学号一、本章学习体会通过对本章的学习，我学到了，几种常用的有效的数值求根方法，它们都属于迭代法，并讨论了这些方法的收敛性和收敛速度。
经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。
前者例如高斯消去法,改进的平方根法等，后者的例子包括雅克比迭代法，高斯赛德尔迭代法等。
这些方法的计算复杂度在可以接受的范围内，因此被广泛采用。
另外，使用迭代法可以根据不同的精度要求选择终止时间，因此比较灵活。
通过对本章的学习，我感觉自己在一些概念和公式的证明上存在一些不足，并且一些公式和定理的内容也比较容易混淆，不知道该用哪个定理比较好。
发现自己需要深入学的知识还有很多，同时也有很大的压力。
二、本章知识梳理第四章1.非线性方程的迭代简单迭代法的收敛速度Steffensen 迭代Newton求方程m重根的Newton法割线法简单迭代法及其收敛单点割线法对分法优点：程序简单，总能求出近似根，对f（x）要求高缺点：收敛速度慢，不能求偶重根，复根。
优点：至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。
割线法是函数逼近法（又称函数插值法）的一种缺点：对重根收敛速度较慢（线性收敛）对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解。
2.非线性方程组的迭代解法简单迭代法Newton离散Newton法第四章三、 本章思考题割线法有何特点？割线法，又称弦割法，弦法。
是求解非线性方程的根的一种方法。
属于逐点线性化方法。
割线法是函数逼近法（又称函数插值法）的一种，基本思想是用用区间上的割线近似代替目标函数的 导函数的曲线。
并用割线与横轴交点的横坐标作为方程式的根的近似。
四、本章测验题写出方程的Newton 迭代格式，并迭代一次求近似解 (1)013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根。
(2)023)(2=+--=x e x x x f 在10=x 附近的根。
解：（1）33)(,13)(2'3-=--=x x f x x x f)1(313231----=+k k k k k x x x x x 取20=x ，则9171=x （2）x x e x x f e x x x f --=+--=32)(,23)('2则kk x k x k k k k ex e x x x x --+---=+322321， 取10=x ，则ex +=111。
数值分析第4章答案
第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1) h f (x)dx A 1f ( h) A0f (0) A1f(h);2h(2) 2h f(x)dx A1f ( h) A0 f (0) A1f(h);1(3) 1f(x)dx [f( 1) 2f(x1) 3 f ( x2)]/ 3; h2(4) 0f(x)dx h[ f (0) f(h)]/ 2 ah2[f (0) f (h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
h(1)若(1) f(x)dx A 1f( h) A0 f (0) A1f(h)令f (x) 1 ，则2h A 1 A0 A1令f (x) x ，则0 A 1h A1h2令f (x) x2，则23 2 2h3 h2A 1h2A13从而解得A04h031A11h31A 1 h13令f (x) x3，则hhf (x)dx x3dx 0hhA1f ( h) A0 f (0) A1f(h) 0h故f (x)dx A1f ( h) A0 f (0) A1f ( h)成立。
令f (x) x4，则h h4 25 f (x)dxx 4dx h 5hh 525 A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f(h) h 53故此时，hf (x)dx A 1 f ( h) A 0 f(0) A 1 f(h)h故f (x)dx A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f (h) 具有 3 次代数精度。
2h(2)若 f ( x)dx A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f (h)令 f (x) 1 ，则4h A 1 A 0 A 1 令 f (x) x ，则 0A 1h A 1h令 f (x) x 2 ，则从而解得A 0 43hA 1 83h3令 f (x) x 3 ，则A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f(h) 0 2h故 2h f(x)dx A 1f( h) A 0f (0) A 1f(h) 成立。
数值分析-数值计算方法
相对误差：
rx y
x
x
y
rx
x
y
y
ry
从上式可见，接近相等的同号数相减时，
会使计算结果的误差变得很大。
故应避免相减相消。
（2） f (x, y) xy : 绝对误差： exy yex xey ； 相对误差： rxy rx ry
（3） f (x, y) x / y :
数据误差在算术运算中的传播
• 初始数据误差和计算结果中产生的误差 之间的关系
• 避免相减相消。
设 x, y 分别是初始数据x, y 的近似值，即
x x ex , y y ey
ex , ey 分别是 x, y 的绝对误差。
考察用 x, y 分别代替x, y 计算函数值
z f (x, y)
例：
若 p 2, t 3, L 1,U 2
则相应的规格化浮点数共有 33 个浮点数。
J=-1 J=0 J=1 J=2
1
1
1
2
4
2
5
5
5
5
16
8
4
2
3
3
3
3
8
4
2
7
7
7
7
16
8
4
2
以及数 0.
6.2 浮点运算和舍入误差
若浮点数 x F ，可选 F 中最接近于 x 的浮点数 xR
定义 fl(x y z) fl( fl(x y) z)
据(6.17)式，
fl(x y z) fl((x y)(1 1) z) ((x y)(1 1) z)(1 2 ) (x y)(1 1)(1 2 ) z(1 2 )
数值逼近实验报告3
实验报告实验项目名称数值积分与数值微分实验室数学实验室所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期2013年10月30日班级11信息与计算科学学号2011119404姓名冯学宁成绩公式以及高斯-勒让德公式的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
实验：用不同数值方法计算积分(1) 取不同的步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？(2) 用龙贝格求积计算完成问题（1）。
(3)用勒让德多项式确定零点，再代入计算高斯公式，使其精度达到10-4（1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现复合梯形求积公式的程序代码如下：function s=T(n)a=0.0000001;b=1;h=(b-a)/n;s=h*(f(a)+f(b))/2;if n>1for k=1:n-1x=a+k*h;s=s+h*f(x);endE=s+4/9%复合梯形误差end在command Windows中输入命令：T(10)，T(100)以及T(1000)，得出的结果为：>>T(10)E =0.02719.1563e-06ans =-0.4444总结由结果（1）、（2）可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即n越大、h越小时，积分精度越高。
实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。
又两个相应的关于h 的误差（余项）其中η属于a到b。
可知h愈小，余项愈小，从而积分精度越高。
（2）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现龙贝格算法的程序代码如下：function [q,n]=Roberg(f,a,b)M=1;abs0=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(f,a)+subs(f,b));while abs0>0.0001k=k+1;h=h/2;p=0;for i=1:Mx=a+h*(2*i-1);p=p+subs(f,x);endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*p;M=2*M;for j=1:kT(k+1,j+1)=((4^j)*T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);endabs0=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));。
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-4 -4
0
Newton 差值多项式为： = −5 + 2 − 4( − 1) = −4 + 6 − 5; f(1.5) = −5 24、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=3,f(1)=3,f(2)=5/2,求 Newton 差值多项式，再条件 f(3/2)=13/4，Newton 差值多项 式 (1)计算差商如下表： I 0 1 2 0 1 2 ( ) 3 3 5/2 一阶差商 0 -0.5 二阶差商
×1 ×1
0.25(0.25 − 1) 0.25(0.25 − 1)(0.25 − 2) 155 ×1+ ×1= 2! 3! 128 0.3(0.3 + 1) 0.3(0.3 + 1)(0.3 + 2) 91 ×2+ ×1 = 2! 3! 16
f(x) = f(2.2 + 0.3) = 8 + 0.3 × 4 +
-0.25
Newton 差值多项式为： = 3 − 0.25( − 1) = −0.25 + 0.25 + 3; (2) 计算差商如下表： I ( ) 一阶差商 二阶差商 0 0 3 1 1 3 0 2 2 5/2 -1/2 -1/4 3 3/2 13/4 -3/2 -2 Newton 差值多项式为： = 3 − ( − 0)( − 1) − (x − 2)(x − 1)x = −
1 = 1.5 2 23、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=-5,f(1)=-3,f(-1)=-15.f(2)=-9,求 Newton 差值多项式及 f(1.5)的值。 计算差商如下表： I 0 1 2 3 0 1 -1 2 ( ) -5 -3 -15 -9 一阶差商 2 6 2 二阶差商 三阶差商
√115 = 4.14012 29、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=1,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8, 求 Newton 前插和后插差值多项式。计算 f(0.25)、f(2.5)。 解：前插和后插表： I 0 1 2 3 I 0 1 2 3 ( ) 1 1 2 2 4 4 8 ( ) 一阶后差 二阶后差
1 f(1.5) = (8 − 3 + )\ = 1.5 = 0.95833 6 2、 已知函数 y=f(x)的观测值为 f(-1)=3,f(0)=1,f(1)=3,,f(2)=9.试求以-1,0,1,2 为基点的 Lagrange 差值多项式， 并求 f(1/2) 的值。 ( )= ( )+ ( )+ ( )+ ( ) ( − 1)( − 2) ( + 1)( − 1)( − 2) ( + 1) ( − 2) =3× +1× +3× +9 −1(−1 − 1)(−1 − 2) 1(−1)(−2) ( + 1)( − 2) × f ( + 1)( − 0)( − 1) = 1+2 (2 + 1)(2 − 0)(2 − 1)
第四章
1、已知函数 y=f(x)的观测值为 f(1)=1,f(4)=2,f(2)=1.试求以 1,4,2 为基点的 Lagrange 差值多项式，并求 f(1.5)的值。 ( − 4)( − 2) ( − 1)( − 2) ( − 1)( − 4) ( )= ( )+ ( )+ ( )=1× +2× +1× (4 − 1)(4 − 2) (1 − 4)(1 − 2) (2 − 1)(2 − 4) 1 = (8 − 3 + 6 )
三阶差商
-7/6 + − +3
25、利用 100,121,144 的平方根求√115。 计算差商如下表：
I 0 1 2 Newton 差值多项式为： = 10 + 100 121 144
( ) 1Leabharlann 11 12一阶差商 1/21 1/23
二阶差商
-1/10626 + + ;
( − 100) −
( − 100)( − 144) = −
( ! ( ! ) )
一阶前差
二阶前差
三阶前差
1 1 2
三阶后差 ×1+ ×2+
( )( ! ( )( ! ) )
Newton 前插差值多项式：f(x) = f( Newton 前插差值多项式：f(x) = f( f(0.25) = f(0 + 0.25) = 1 + 0.25 × 1 +
+ s) = 1 + s × 1 + + t) = 8 + t × 4 +