数值分析第四章林成森

1 = 1.5 2 23、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=-5,f(1)=-3,f(-1)=-15.f(2)=-9,求 Newton 差值多项式及 f(1.5)的值。 计算差商如下表： I 0 1 2 3 0 1 -1 2 ( ) -5 -3 -15 -9 一阶差商 2 6 2 二阶差商 三阶差商
×1 ×1
0.25(0.25 − 1) 0.25(0.25 − 1)(0.25 − 2) 155 ×1+ ×1= 2! 3! 128 0.3(0.3 + 1) 0.3(0.3 + 1)(0.3 + 2) 91 ×2+ ×1 = 2! 3! 16
f(x) = f(2.2 + 0.3) = 8 + 0.3 × 4 +
-0.25
Newton 差值多项式为： = 3 − 0.25( − 1) = −0.25 + 0.25 + 3; (2) 计算差商如下表： I ( ) 一阶差商 二阶差商 0 0 3 1 1 3 0 2 2 5/2 -1/2 -1/4 3 3/2 13/4 -3/2 -2 Newton 差值多项式为： = 3 − ( − 0)( − 1) − (x − 2)(x − 1)x = −
1 f(1.5) = (8 − 3 + )\ = 1.5 = 0.95833 6 2、 已知函数 y=f(x)的观测值为 f(-1)=3,f(0)=1,f(1)=3,,f(2)=9.试求以-1,0,1,2 为基点的 Lagrange 差值多项式， 并求 f(1/2) 的值。 ( )= ( )+ ( )+ ( )+ ( ) ( − 1)( − 2) ( + 1)( − 1)( − 2) ( + 1) ( − 2) =3× +1× +3× +9 −1(−1 − 1)(−1 − 2) 1(−1)(−2) ( + 1)( − 2) × f ( + 1)( − 0)( − 1) = 1+2 (2 + 1)(2 − 0)(2 − 1)
三阶差商
-7/6 + − +3
25、利用 100,121,144 的平方根求√115。 计算差商如下表：
I 0 1 2 Newton 差值多项式为： = 10 + 100 121 144
( ) 10 11 12
一阶差商 1/21 1/23
二阶差商
-1/10626 + + ;
( − 100) −
( − 100)( − 144) = −
第四章
1、已知函数 y=f(x)的观测值为 f(1)=1,f(4)=2,f(2)=1.试求以 1,4,2 为基点的 Lagrange 差值多项式，并求 f(1.5)的值。 ( − 4)( − 2) ( − 1)( − 2) ( − 1)( − 4) ( )= ( )+ ( )+ ( )=1× +2× +1× (4 − 1)(4 − 2) (1 − 4)(1 − 2) (2 − 1)(2 − 4) 1 = (8 − 3 + 6 )
( ! ( ! ) )
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一阶前差
二阶前差
三阶前差
1 1 2
三阶后差 ×1+ ×2+
( )( ! ( )( ! ) )
Newton 前插差值多项式：f(x) = f( Newton 前插差值多项式：f(x) = f( f(0.25) = f(0 + 0.25) = 1 + 0.25 × 1 +
+ s) = 1 + s × 1 + + t) = 8 + t × 4 +
√115 = 4.14012 29、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=1,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8, 求 Newton 前插和后插差值多项式。计算 f(0.25)、f(2.5)。 解：前插和后插表： I 0 1 2 3 I 0 1 2 3 ( ) 1 1 2 2 4 4 8 ( ) 一阶后差 二阶后差
-4 -4
0
Newton 差值多项式为： = −5 + 2 − 4( − 1) = −4 + 6 − 5; f(1.5) = −5 24、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=3,f(1)=3,f(2)=5/2,求 Newton 差值多项式，再条件 f(3/2)=13/4，Newton 差值多项 式 (1)计算差商如下表： I 0 1 2 0 1 2 ( ) 3 3 5/2 一阶差商 0 -0.5 二阶差商