数值分析第四章学习小结
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
数值分析作学习总结
摘 要在科学工作中经常出现这类问题，我们关注求解非线性方程或非线性方程组——求x 使得f （x ）=0或求得X= 使得F （X ）=0。
这些方程中，至少一个变量以任意的非线性方程形式出现。
在实变量变量的实值函数这种最简单的情况下，提出的一般问题是：已知函数f ：R →R ，求x 的解使得f （X ）=0这里主要讨论解决这类问题的一般方法和过程。
在许多应用中可以发现非线性方程的例子。
例如在光的衍射理论中，我们需要用到方程：X-tanX=0在行星轨道的计算中我们需要开普勒方程：X-asinX=b其中a 和b 任意取值。
在科学研究和科学计算中常常碰到以上的非线性方程求解问题。
非线性方程的解一般不能解析求出。
所以数值解法显得非常重要,而数值解法在实际中的实现则更为重要。
本文将介绍几种数值解法以及Matlab 中的实现程序。
为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的Matlab 程序，并进行了近似计算。
结果表明，牛顿迭代法收敛最快。
关键词:非线性方程;Matlab 程序;二分法;迭代法;简单迭代法;弦截法。
()T1n x x x ⋅⋅⋅2，，非线性方程数值解法1 二分法设f (x)在[a,b]连续,假定f (a)<0,f (b)>0,取中点 ,检查f (x0)符号。
若f (x0)=0,则x0就是一个根;若f (x0)>0,记a为a1,x0为b1,则得有根区间[a1,b1];若f(x0)<0,记x0为a1,b为b1,则得有根区间[a1,b1]。
后两种情况都得到有根区间[a1,b1],它的长度为原区间的一半。
对[a1,b1],令 ,再用同样的方法,可得新的有根区间[a2,b2],它的长度为[a1,b1]的一半,如此反复进行下去，其中每一个区间是前一区间的一半。
有这就是方程的根。
而即为方程的近似根,且有估计误差下面用二分法求在区间[1,2]上的根.因为二分法只能求单根,首先可以搜索函数(2.2)在区间[1,2]的根的情况。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中，我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。
通过学习数值分析，我不仅加深了对数学理论的理解，还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。
在此过程中，我收获了很多，也产生了许多感想。
首先，数值分析教给我了科学问题解决的方法。
在数值计算中，我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题，而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。
这种方法可以应用于很多实际问题，例如求解线性方程组、积分、微分方程等。
通过数值分析课程的学习，我掌握了很多常见的数值计算方法，例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。
这些方法在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决许多实际问题，提高计算效率和精度。
其次，数值分析也教会了我如何分析和估计误差。
在数值计算中，误差是无法避免的，而且可能会在计算过程中不断累积。
因此，我们需要了解误差的来源，能够进行误差估计和控制。
通过学习数值分析，我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念，同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。
这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要，能够帮助我们找到优化方法和改进方案。
另外，数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。
在实际工程和科学研究中，常常需要通过数值模拟来研究分析问题。
通过数值分析的学习，我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题，并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。
这对于科学研究和工程设计都非常有价值，能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。
最后，数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。
在数值计算中，一个细微的误差可能会导致完全不同的结果，因此需要我们对问题进行仔细的分析，并保持谨慎的态度。
通过编程实现数值算法，我学会了如何调试代码和检查问题，发现解决bug的方法。
这培养了我的逻辑思维和问题解决能力，也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。
综上所述，通过数值分析的学习，我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法，还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。
数值分析-第四章学习小结
数值分析-第四章学习小结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第4章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了怎么求出非线性方程和非线性方程组的根，只是有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值方法求出它的根的近似值。
我学习了非线性方程与非线性方程组的迭代解法。
我感到要想求非线性方程组的精确解是不容易的，困难程度远远超过线性方程组的求解。
首先要了解迭代公式的基本思想，迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解，实质上是一个逐步显示化的过程。
最基本的就是在高中学过的二分法，需要在给定的区域选择根，然后在二分，在从中舍弃一个，再选，直到所选的根符合题目所给的条件，但是二分法只能求实根，并且只能求单根和奇数重根，不能求偶数重根和复数根，所以又有它的缺陷，后面又学了斯蒂芬森加速法和牛顿法。
算法都是离不开模型的，我们在学习某种算法时，一定要结合数学模型才能把知识理解到位，比如本章结合几何思想能够很好的理解算法公式的推导说明。
运用这么多的算法去求解非线性方程组，只是能最大程度的求解线性方程组的精确解，但不是精确解。
我们在今后的学习工作中，也可以自己去创造一种算法，使求解更加精确容易。
在求解非线性方程的解的时候，我们要有如下思路：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法二、 本章知识梳理1、非线性方程的迭代解法简单迭代法及其收敛性简单迭代法的基本思想)(0)(x x x f ϕ=⇔=迭代法的基本思想是将隐式方程)(x x ϕ=的求根问题归结为计算一组显式公式)(1k k x x ϕ=+一般形式： ,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ收敛条件：a 、非局部收敛定理b 、局部收敛定理简单迭代法的收敛速度线性收敛的条件m 阶收敛的条件迭代过程的加速加权法 迭代：)(1k k x x ϕ=+ 改进：k k k x LL x L x ---=++11111 埃特金(Aitken)加速法设序列}{k x 线性收敛到s112212)(++++=+---≈k kk k k k k x x x x x x x s Newton 法（切线法）基本思想:(1)构造法:0)(='s ϕ(2)几何上:逐步线性化方法(3)Taylor 展开 ))((')()(k k k x x x f x f x f -+≈迭代函数：)(')()(x f x f x x -=ϕ 迭代公式： ,2,1,0,)(')(1=-=+k x f x f x x k k k k 几何意义收敛性（1）局部收敛定理（2）非局部收敛定理牛顿下山法)(')(1k k k k x f x f x x -=+)(')(1k k k k x f x f x x λ-=+ k k k x x x )1(11λλ-+=++ 其中10≤<λ称为下山因子通过适当选取下山因子保证函数值)(k x f 能单调下降。
数值分析总结
第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。
设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。
如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。
如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。
②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。
当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是一门应用数学的学科，它的目标是使用数值方法来解决数学问题，尤其是那些难以使用解析方法求解的问题。
通过使用计算机来计算近似解，数值分析提供了一种实用而有效的解决方案。
在本文中，我将对我在学习数值分析过程中的一些主要收获进行总结。
一、数值方法的重要性数值方法不仅在科学计算中起着重要作用，而且在工程和实际应用领域也有广泛的应用。
无论是模拟天气预报、设计飞机的机翼，还是分析金融市场的波动，数值分析都可以提供快速、准确的结果。
因此，掌握数值方法成为了现代科学与工程领域必备的技能之一。
二、数值计算的误差与稳定性在数值计算中，我们经常会面对误差的问题。
舍入误差、截断误差和舍入误差都是我们需要关注的。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数计算时的有限精度而引入的，而截断误差则是由于将无限精度的数学问题转化为有限精度计算引起的。
为了减小误差，我们可以使用舍入规则，并尽可能减小截断误差。
稳定性是另一个需要考虑的重要因素。
在一些计算中，输入数据的微小变化可能会导致输出结果的巨大变化。
这种情况下，我们说该算法是不稳定的。
为了确保计算的稳定性，我们需要选择合适的算法和数据结构，并且要进行合理的数值分析。
三、插值和拟合插值和拟合是数值分析的重要应用之一。
在实际问题中，我们往往只能够获得有限个数据点，但是我们需要获得一条曲线或函数来描述这些数据。
插值方法可以通过连接这些数据点来获得平滑的曲线，而拟合方法则通过选择一个合适的函数来逼近数据点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值和拟合方法，并进行适当的调整和优化。
四、求解非线性方程求解非线性方程是数值分析中的一个重要问题。
在实际应用中，很多问题都可以归纳为求解非线性方程。
例如，求解光学系统中的折射问题、解微分方程等。
数值分析提供了多种求解非线性方程的方法，如牛顿法、二分法、割线法等。
这些方法有着各自的特点和适用范围，我们需要根据问题的性质选择合适的方法。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析学习心得体会
数值分析学习心得体会前言在学习数值分析课程的过程中，我深深地感受到了数值分析方法的魅力。
在这门课程中，我不仅学习了许多数值计算的方法，还深入了解了计算机科学的相关知识，同时，也收获了很多关于科学与工程计算的经验和技巧。
在我的学习过程中，我积累了许多心得和体会，现在，我想与大家分享一些自己的感受和思考。
重视实践，加强编程能力数值分析是一门理论与实践相结合的学科。
虽然我们可以通过理论知识来深入了解数值分析的方法和原理，但是，实践才是我们真正学习的方式。
在实践过程中，我们通过代码实现数值计算方法，进而对其进行深度理解。
因此，在学习数值分析过程中，我们不能只停留在理论层面，而应该加强实践环节，提高自己的计算机编程能力。
通过编写代码，我们可以更好地掌握数值计算方法，从而更加深入地理解数值分析的本质。
借鉴他人经验，及时沟通交流数值分析并不是一个孤立的学科，在实际应用中，它与其他科学和技术领域相互交织。
在学习数值分析的过程中，我们应该借鉴他人的经验，及时与同学和老师沟通交流。
借鉴他人的经验不仅可以帮助我们更快地掌握新的知识，还能够提高自己的思考和创造能力。
与同学和老师的交流则可以帮助我们更好地理解课程内容，同时，还可以促进团队合作和学术交流。
注重实际问题，深入开展应用研究数值分析不仅仅是一门学科，它更是一种解决实际问题的技术和方法。
因此，在学习数值分析的过程中，我们应该注重实际问题，根据实际需求深入开展应用研究。
通过深入研究实际问题，我们可以更好地发现问题的本质和规律，从而提出更优秀的数值计算方法和算法。
同时，我们还可以通过实际问题的研究，进一步提高自己的解决问题的能力和综合素质。
结语综上所述，学习数值分析需要我们不断积累经验，不断加强自己的理论基础和实践能力。
在学习过程中，我们应该注重理论与实践相结合，借鉴他人经验，加强交流与合作，注重实际问题，深入开展应用研究。
只有这样，我们才能真正掌握数值分析的精髓，提高自己的技术能力和综合素质。
2024年数值分析学习心得体会
2024年数值分析学习心得体会____年数值分析学习心得体会随着技术的快速发展和应用的广泛推广，数值分析作为一门重要的学科，不断地在各个领域中展现出它的价值和作用。
在____年的这段时间里，我有幸学习了数值分析这门课程，并且在学习的过程中积累了一些心得体会。
在此将我的学习心得体会整理总结，与大家分享。
首先，数值分析是一门综合性的学科。
在学习数值分析的过程中，我逐渐认识到数值分析实际上是一个综合性的学科，它涉及到数学、计算机科学、物理学等多个领域的知识。
在数值分析的学习过程中，我们需要了解和掌握各种数值计算方法、算法和技术，同时还需要对计算机的运行原理和计算机编程有所了解。
只有全面掌握了这些知识，才能更好地应用数值分析方法来解决实际问题。
其次，数值分析需要具备良好的数学基础。
数值分析是建立在数学基础之上的一门学科，对于数学的掌握程度直接影响着数值分析的学习效果和应用能力。
在学习数值分析的过程中，我们需要有扎实的数学基础，特别是在微积分、线性代数、概率论等方面。
只有通过对数学知识的深入学习和理解，才能更好地把握数值分析方法的原理和应用技巧。
再次，数值分析需要具备良好的编程能力。
在数值分析中，计算机编程是必不可少的工具。
通过编程，我们可以将数值分析的方法和算法实现为具体的程序，使得计算机能够高效地完成复杂的计算任务。
因此，作为数值分析的学习者，我们需要具备良好的编程能力。
在学习数值分析的过程中，我通过学习和实践，逐渐掌握了Python等编程语言，学会了使用计算机编程解决数值分析中的各种问题。
此外，数值分析需要具备较强的分析和抽象能力。
数值分析是一个需要深入思考和抽象问题的学科。
在解决实际问题时，我们需要从具体问题中抽象出数学模型，并通过数值分析的方法来求解。
在学习数值分析的过程中，我逐渐锻炼了自己的分析和抽象能力，学会了从问题中抽象出数学模型，并通过数值计算的方法来解决问题。
最后，数值分析需要不断实践和总结。
数值分析期末总结与体会
数值分析期末总结与体会数值分析是一门应用数学课程，主要研究数值计算方法和数值计算误差，并为实际问题提供数值计算解决方案。
在本学期的学习中，我深入学习了数值计算的基本概念与原理，并通过编程实践掌握了常见的数值计算方法。
在期末考试前夕，我对这门课的学习经历进行了总结与体会，下面是我对数值分析的期末总结与体会。
一、总结1. 知识掌握：在学习过程中，我通过系统的学习，掌握了课程中介绍的求根问题、插值问题、数值积分和数值微分等数值计算方法。
我了解了牛顿迭代法、二分法、割线法等求解非线性方程根的方法，熟悉了拉格朗日插值、牛顿插值等插值方法，学会了辛卜生插值多项式、三次样条插值等高级插值方法。
同时，我还学习了梯形法则、辛普森法则等数值积分算法，掌握了欧拉法、龙格-库塔法等数值微分算法。
2. 编程实践：在理论学习的基础上，我通过编写程序加深了对数值计算方法的理解与掌握。
我使用Python语言编写了求解非线性方程根、插值计算、数值积分和数值微分的代码，并通过实际运行验证了这些数值计算方法的正确性与有效性。
编程实践过程中，我深刻体会到了算法的重要性，不同的算法对于同一个数值计算问题，可能会有不同的效果。
3. 数值计算误差：在学习数值计算的过程中，我逐渐认识到数值计算误差的存在与产生机理。
由于计算机内部采用的是二进制表示法，而浮点数的二进制表示无法准确表示所有的实数，从而引入了舍入误差；另外，数值计算方法本身也存在精度误差，例如插值多项式的截断误差、数值积分的数值误差等。
掌握数值计算误差的产生原因和估计方法，对于正确评估数值计算结果的精度至关重要。
4. 应用实例：在学习过程中，我们还分析了各种实际问题，并通过数值计算方法得到了解决方案。
例如，在求根问题中，我们可以利用牛顿迭代法估计气体状态方程的参数；在插值问题中，我们可以使用拉格朗日插值方法恢复图像；在数值积分中，我们可以利用梯形法则或辛普森法则计算定积分；在数值微分中，我们可以应用欧拉法或者龙格-库塔法求解微分方程等。
数值分析学习心得体会
数值分析学习感想一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。
这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。
他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。
数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。
像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。
数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。
像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。
而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。
在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。
数值分析第四章实验报告
数学与信息科学学院实验报告课程名称：现代数值计算姓名：学号：专业班级：指导教师：2018-2019 学年 1 学期实验（二）数值实验二课后习题实验日期： 2018年10月24日 实验类型： 验证型 实验成绩：一、实验目的1. 了解并熟悉拉格朗日插值的定义和计算过程；2. 熟悉如何使用Matlab 计算以n+1个等距节点为条件的插值多项式；3. 熟悉如何使用Matlab 计算以切比雪夫点为条件的插值多项式；4. 进一步熟悉并掌握Matlab 的基本命令以及绘图命令的简单操作；二、实验内容1. 在区间[]5,5-，使用21个等距节点，找出龙格函数()12()1f x x -=+的20阶插值多项式()p x ，并打印出()f x 和()p x 的图形，观察()f x 和()p x 的最大偏差；2. 在同样的条件下，使用切比雪夫点()5cos 20i x i π=，020i ≤≤，找出函数()12()1f x x -=+的20阶插值多项式()q x 。
打印出()f x 和()q x 图形，观察()f x 和()q x 偏差值；3. 对比两次插值结果，分析得出结论；三、实验结果与分析1.源程序1）拉格朗日(Lagrange)函数的Function 文件function YValue_Inter = Lagrange( XValue_Real,YValue_Real,XValue_Inter) n = length(YValue_Real);YValue_Inter = zeros(size(XValue_Inter));for k = 1:npt = ones(size(XV alue_Inter));for j = [1:k-1 k+1:n]pt = pt .* (XValue_Inter - XValue_Real(j)) / (XValue_Real(k) - XValue_Real(j));endYValue_Inter = YValue_Inter + YValue_Real(k) * pt;endend以下是运行程序：clc;clear all;clc;Xmin = -5;Xmax = 5;Length_Interval = Xmax - Xmin;N_Value = 20;X_Value = Xmin: Length_Interval / N_Value : Xmax;Y_Value = 1 ./ (1+ X_Value.^2);X_Inter_Value = Xmin: Length_Interval / (N_Value * 5) : Xmax;Y_Inter_Value = Lagrange(X_Value,Y_Value,X_Inter_Value);X = Xmin: Length_Interval / (N_Value * 5) : Xmax;Y = 1 ./ (1+ X.^2);Different_Value = Y - Y_Inter_Value;Different_Value_ABS = abs(Different_Value);Max_Different_Value = max(Different_Value_ABS);Min_Different_Value = min(Different_Value_ABS);figure(1);plot(X_Inter_Value,Y_Inter_Value,'r--',X,Y,'bo');legend('Lagrange interpolating polynomial','f(x)');figure(2);plot(X,Different_Value_ABS);legend('Different Value');运行结果如图1所示。
数值分析绪论-学习小结
第1章绪论--------学习小结一、本章学习体会本章是对《数值分析》这本书的简单阐述和对入门基础的介绍，其中最大的收获就要是范数和算法了。
1.范数是进入研究生以来，学的一个新的数学概念，用于定义向量或者矩阵的大小即向量或者矩阵的模，又由于其正定性，可让我们联想到计算方阵大小的行列式的绝对值即）（A。
范数的其难点：①范数是一个比较抽象的概念，我们无法通过想象确定它是某一个确定的范畴；②范数存在的现实意义，由于我们所学所指的有限，我们无从知道范数的现实意义，无法加深对其的理解；③范数用于定义向量、矩阵的大小，有时是不固定的。
在解决问题时，如何找到恰当的范数是至关重要的。
2.数值计算的算法问题用数值计算方法求解数值问题是通过具体的算法实现的。
所谓算法就是规定了怎样从输入数据计算出数值问题的解得一个有限的基本运算序列。
①“良态”问题和“病态”问题：在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。
病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。
数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。
②稳定算法和不稳定算法：如果用数值方法计算时,误差在计算过程中不扩散的算法称为稳定算法。
否则称为不稳定算法。
在遇到问题是，要尽量选择稳定算法进行计算。
③数值计算应注意的问题：避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法。
二、 本章知识梳理三、 本章思考题1.对于范数的引入：方阵行列式的绝对值是一个范数。
范数 有绪论研究对象误差算法范数研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现误差算法 来源分类模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差相对误差设计算法五原则1.避免相近两数相减2.防止大数吃小数3.减少计算次数，差积累4.避免绝对值小的数做除数5.设法控制误差的传播向量范数矩阵范数点儿类似于方阵行列式的绝对值，是否范数的引入来源于此，如果不是，它是如何引入的呢？2.矩阵的奇异与否与其范数有何关系？3.遇到数值问题时，具体的算法该如何选择？在没有精确值的情况、两个算法都得到收敛的、稳定的结果时，该如何判断哪一个值更准确、更接近于精确值？ 四、 本章测验题已知：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123654321,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=456x 试求：),2,1(x p ∞=p 以及F A A A ∞，1。
数值分析第四章小结
数值分析第四章小结第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结姓名马赫班级环境科学与工程学号 S2*******一、本章学习体会通过本章知识的学习，了解了怎么样求出非线性方程和非线性方程组的根，但是只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，而对于绝大数的非线性方程，我们只能用数值方法求出其根的近似值。
在本章的学习中，学会了一些常用的有效数值迭代方法去求方程的根。
同时在本章中主要是掌握了求解非线性方程的各种迭代方法，而对于求解非线性方程组的迭代方法只需要了解即可。
求解非线性方程解的迭代法有如下几种方法：对分法；简单迭代法；Steffensen 迭代法；Newton 法；求m 重根的Newton 法；割线法以及单点割线法等。
我们在运用这些方法求根是应到注意到其迭代公式必须收敛才有可能解出根，同时针对不同类型的非线性方程求解，还须注意用哪种迭代方法更适合求解，不能盲目地随意使用其中一种迭代方法，而是要通过比较选出恰当的方法求解。
比如求方程m 重根的Newton 法不知道重根数会导致计算量较大，但是其收敛速度较快。
此外，本章知识应当以掌握求解非线性方程的迭代方法为主，并配合适当的实验以及习题加深对知识的理解。
二、本章知识梳理第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法……理解并掌握4.1非线性方程的迭代解法……重点掌握4.1.1对分法……定义：将含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
优点：程序简单，总能求得近似根，对f(x)的要求不高；缺点：收敛速度慢，不能求偶重根，复根。
对分法一般用于求根的近似值。
4.1.2简单迭代法及其收敛性……定义：是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
一般形式：其中为迭代函数。
收敛性：若由迭代公式产生的序列{x k }收敛于 x *，则x *为原方程的根。
数值分析总结汇报
数值分析总结汇报数值分析总结汇报数值分析是一门研究使用数值方法处理数学问题的学科，它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。
在这份汇报中，我将对我在数值分析课程中学到的知识和技能进行总结和归纳，同时分享我对该领域的理解和见解。
首先，在数值分析的学习过程中，我明白了数值方法是为了解决实际问题而发展起来的一套数学方法。
它利用数学模型和算法来近似求解复杂的数学问题，如线性方程组的求解、非线性方程的求根、数值积分和微分方程的数值解等。
我学会了根据实际问题的特点选择合适的数值方法，并利用计算机编程实现求解过程。
其次，我学会了如何对数值方法的误差进行分析和估计。
在数值计算中，存在着舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机只能表示有限位数的数字而导致的误差，而截断误差是由于应用了一些近似方法而产生的误差。
我学会了如何通过误差分析来评估数值方法的准确性和可靠性，并了解了误差的传播规律和控制方法。
另外，我在数值分析课程中还学习了数值线性代数的基本理论和方法。
线性代数在数值分析中起着重要的作用，它不仅可以用于描述和分析线性方程组的解空间，还可以应用于矩阵分解、特征值和特征向量的计算等问题。
我学会了使用高斯消元法、LU分解、QR分解等方法来求解线性方程组，并理解了这些方法的原理和应用条件。
此外，数值积分和数值微分也是数值分析的重要内容之一。
在数值积分方面，我学会了使用梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等方法进行复杂函数的数值积分，并了解了数值积分的收敛性和误差估计。
在数值微分方面，我掌握了前向差分、中心差分和后向差分等方法来计算函数的导数，并了解了数值微分的稳定性和收敛性。
最后，数值分析在实际问题中有着广泛的应用。
它可以用于求解工程问题、经济问题、物理问题等领域中的数学模型。
例如，利用有限元法可以求解结构力学中的应力、应变分布；利用数值模拟可以研究流体力学中的流动和传热问题。
我认识到数值分析是一种强有力的工具，可以帮助科学家和工程师解决很多实际问题。
数值分析 (颜庆津)第4章学习小结
第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法姓名班级学号一、本章学习体会通过对本章的学习，我学到了，几种常用的有效的数值求根方法，它们都属于迭代法，并讨论了这些方法的收敛性和收敛速度。
经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。
前者例如高斯消去法,改进的平方根法等，后者的例子包括雅克比迭代法，高斯赛德尔迭代法等。
这些方法的计算复杂度在可以接受的范围内，因此被广泛采用。
另外，使用迭代法可以根据不同的精度要求选择终止时间，因此比较灵活。
通过对本章的学习，我感觉自己在一些概念和公式的证明上存在一些不足，并且一些公式和定理的内容也比较容易混淆，不知道该用哪个定理比较好。
发现自己需要深入学的知识还有很多，同时也有很大的压力。
二、本章知识梳理第四章1.非线性方程的迭代简单迭代法的收敛速度Steffensen 迭代Newton求方程m重根的Newton法割线法简单迭代法及其收敛单点割线法对分法优点：程序简单，总能求出近似根，对f（x）要求高缺点：收敛速度慢，不能求偶重根，复根。
优点：至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。
割线法是函数逼近法（又称函数插值法）的一种缺点：对重根收敛速度较慢（线性收敛）对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解。
2.非线性方程组的迭代解法简单迭代法Newton离散Newton法第四章三、 本章思考题割线法有何特点？割线法，又称弦割法，弦法。
是求解非线性方程的根的一种方法。
属于逐点线性化方法。
割线法是函数逼近法（又称函数插值法）的一种，基本思想是用用区间上的割线近似代替目标函数的 导函数的曲线。
并用割线与横轴交点的横坐标作为方程式的根的近似。
四、本章测验题写出方程的Newton 迭代格式，并迭代一次求近似解 (1)013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根。
(2)023)(2=+--=x e x x x f 在10=x 附近的根。
解：（1）33)(,13)(2'3-=--=x x f x x x f)1(313231----=+k k k k k x x x x x 取20=x ，则9171=x （2）x x e x x f e x x x f --=+--=32)(,23)('2则kk x k x k k k k ex e x x x x --+---=+322321， 取10=x ，则ex +=111。
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
数值分析期末复习总结
定理
设 f(x) Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，有
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
其中 x(a, b) 且与 x 有关, n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) 证明：（板书）
注：0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字 12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。
数字末尾的0不可以随意添加或省略！
6
有效数字
定理：设近似值 x* 可表示为
x* = a1.a2·al 10m (a10)， · · 若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足 1 r* 10-(n-1) 2a1 反之，若 x* 的相对误差限满足 1 r* 10-(n-1) 2(a1+1) 有效位数越多， 则 x* 至少有 n 位有效数字。 相对误差限越小 7
k 0
n1
问题
如何从 pn-1(x) 得到 pn(x) ? 怎样确定参数 a0 , … , an ? 需要用到 差商（均差）
21
差商
什么是差商
f [ xi , x j ]
设函数 f(x)，节点 x0 , … , xn
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
xk xi
x* - x er* = x*
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限
4
有效数字
有效数字：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单
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第四章学习小结本章为非线性方程与非线性方程组的迭代解法，由此可分为两大节4.1非线性方程的迭代解法和4.2非线性方程组的迭代解法。
本章以人口增长模型为引言，由于在实际应用中只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值法求出它的根的近似值，本章将要介绍几种常用的有效的数值求根方法，它们都属于迭代法，因而还要讨论这些方法的收敛性和收敛速度。
4.1.1对分法 （1）基本思想：①确定方程有根的区间；②将区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列{}k x ，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
收敛速度与公比为12的等比数列的收敛速度相同。
(2)迭代终止条件或者 (3)二分法的优缺点：优点：程序简单，总能求出近似根，对()f x 要求不高。
缺点：收敛速度慢，只能求单根和奇数重根，不能求偶重根，复根。
二分法一般用于对根求近似根。
4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法的基本思想: 迭代法是一种逐次逼近法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使12a bx +=2k k b a ε-<2k kk b a x s ε--≤<⇔=0)(x f )(x x ϕ=1(),0,1,2,k k x x k φ+==之逐步精确化，最后得到满足精度要求的解。
迭代法的基本思想是将隐式方程()x x ϕ=的求根问题归结为计算一组显式公式1()k k x x ϕ+=，逐步过程实际上是一个逐步显示化的过程。
收敛性：若由迭代公式1().1,2,3...k k x x k ϕ+==产生的序列{}k x 收敛于x *，则x *是原方程的根。
收敛条件：a ．非局部收敛性定理：设函数()[,]x C ab ϕ∈，在（a ，b ）内可导，且满足两个条件：（1）当[,]x a b ∈时，()[,]x a b ϕ∈；（2）当[,]x a b ∈时，'()1x L ϕ≤<，其中L 为一常数。
则有如下结论：（1）方程()x x ϕ=在[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取的0[,]x a b ∈，简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101k k L s x x x L -≤--或11k k k Ls x x x L--≤-- 这种形式的收敛定理称为大范围收敛性定理，但当条件不够充分时，预先指定一个区间常常是不可能的。
b ．局部收敛性定理设'(),()s s x ϕϕ=在包含s 的某个开区间内连续。
如果'()1s ϕ<，则存在0δ>当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
4.1.3简单迭代法的收敛速度当k K ≥（某个正整数）时，1k rke c e +≤成立，则称序列{}k x 收敛于s 具有r 阶收敛速度，简称{}k x 是r 阶收敛的。
r 的大小反映了序列{}k x 收敛的快慢程度，r 越大收敛越快。
r=1时称序列线性收敛的，r=2时，为平方收敛的。
线性收敛的条件：设函数()[,]x C a b ϕ∈，'()(,)x C a b ϕ∈，且满足如下条件：（1）当[,]x a b ∈时，()[,]x a b ϕ∈；（2）当[,]x a b ∈时，'()1x L ϕ≤<，其中L 为一常数。
则对任取的0[,]x a b ∈，简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列{}[,]k x a b ⊂收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 内的唯一的根s ，并且当0x s ≠时{}k x 是线性收敛的。
m 阶收敛的条件：设()(),()m s s x ϕϕ=在包含s 的某个开区间内连续（2m ≥）。
如果()()()0(1,2,,1),()0i m s i m s ϕϕ==⋅⋅⋅-≠则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+但0x s ≠时，简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列{}[,]k x a b ⊂以m 阶收敛速度收敛于s 。
4.1.4 迭代的加速过程1.加权迭代法:或者 缺点：L 值的确定需要函数的迭代信息，不便于实际应用。
2．Aitken 加速法：设序列{}k x 线性收敛于s ，则 3.Steffensen 迭代法迭代公式： ⎪⎩⎪⎨⎧=+---===+,2,1,0,2)()(),(21k x y z x y x x y z x y k k k k k k k k k k k ϕϕ),(1k k x x ϕ=+迭代：k k k x LL x Lx ---=++11111改进：])([111k k k Lx x Lx --=+ϕ121,k k k k x s x sL Lx s x s+++--≈≈--121k k k k x s x s x s x s +++--≈--kk k k k k x x x x x x s +---≈+++++1221222)(1k x +=无论迭代法是否收敛于s ， Steffensen 迭代法都能以不低于二阶的收敛速度收敛于s 。
4.1.5 Newton 法基本思想：（1）构造法推导 → ， →推出迭代公式Newton 法可求方程的实数根和复数根，求实数根时有明显的几何意义。
当获得k x 之后，过曲线()y f x =上的点(,())k k x f x 作该曲线的切线，此曲线与X 轴相交的交点的横坐标就是Newton 法迭代序列的第k+1个元素1k x +，因此Newton 法又称为切线法。
局部收敛性定理：设s 是方程()x x ϕ=的根，在包含s 的某个开区间内''()f x 连续且'()0f x ≠，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由Newton 法产生的序列{}k x 收敛于s ；若''()0f s ≠且0x s ≠，则序列{}k x 是平方收敛的。
非局部收敛性定理：设函数()f x 在区间[,]a b 上存在二阶连续导数，且满足条件：（1）()()0f a f b <；（2）''()f x 在区间[,]a b 上不变号；（3）当[,]x a b ∈时，'()0f x ≠；（4）''000[,],()()0x a b f x f x ∈>。
则有Newton 法产生的序列{}k x 单调收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 内唯一的根s ，并且至少是平方收敛的。
4.1.6求方程m 重根的Newton 法设s 是方程()x x ϕ=的m 重根（m 2≥），()f x 在s 的某邻域内有m 阶连续导数，这时 ()0s φ'=0)(=x f 0)()(=x f x h ()0h s ≠x x x f x h =+)()(,2,1,0,)(')(1=-=+k x f x f x x k k k k (1)()()()()0,()0m m f s f s f s f s -'===≠ ()()'()f x x x f x φ=-结论 线性收敛。
（2）变形的Newton 法令 则 至少平方收敛，缺点是不知道重根的重数m 。
（3）若s 是方程()x x ϕ=的m 重根，则s 为 的单根。
迭代函数：迭代公式： 优点：至少二阶收敛；缺点：计算''()f x 工作量大。
4.1.7割线法基本思想：用割线代替切线，用增量割线斜率11()()k k k k f x f x x x ----替换导数'()k f x 。
迭代公式 几何意义：收敛性：设()0f s =，在s 的某邻域内''()f x 连续且'()0f x ≠，则存在0ε>，当10,x x I ε-∈时，由割线法产生的序列{}k x 收敛于s ，且收敛速度的阶至少为1.618.1(),()1s s s mφφ'==-()()'()mf x x x f x φ=- (),()0s s s φφ'== ()()'()f x u x f x =2()()()()'()[()]()()u x f x f x g x x x u x f x f x f x '=-=-'''-12()(),0,1,2,[()]()()k k k kk k k f x f x x x k f x f x f x +'=-='''- 111()(),0,1,2,()()k k k k k k k f x x x x x k f x f x -+--=-=-4.1.8单点割线法1.基本思想：用固定点00(,())x f x 代替11(,())k k x f x --，也就是点00(,())x f x 永远是割线上的一点。
2.迭代公式：3.几何意义：4收敛性：设函数()f x 在区间[,]a b 上存在二阶连续导数，且满足条件：（1）()()0f a f b <；（2）''()f x 在区间[,]a b 上不变号；（3）当[,]x a b ∈时，'()0f x ≠；（4）01,[,]x x a b ∈且''0001()()0,()()0f x f x f x f x ><。
则由单点割线法产生的序列{}k x 单调收敛于方程在[,]a b 内唯一的根s ，并且收敛速度是一阶的。
4.2非线性方程组的迭代解法4.2.1一般概念:1.非线性方程组的一般形式：向量形式 2.非线性方程组的一般解法：①简单迭代法②线性化方法③求函数极小值的方法。
010()(),0,1,2,()()k k k k k f x x x x x k f x f x +-=-=-12112212(,,,)0(,,,)0(,,,)0nn n n f x x x f x x x f x x x ⎧=⎪⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()()(21x f x f x f x F n ()0F x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21∑==ni ninxxx f x xx 122121)],,,([),,,(ϕ4.2.2简单迭代法设方程组：(x)=0F 1.迭代公式： x G （）—迭代函数 2.收敛性：非局部收敛性定理设n n :G D R R ⊂→在闭区域0D D ⊂上满足两个条件：（1）G 把0D 映入它自身，即00G ⊂（D ）D ；（2）G 在0D 上压缩映射，即存在常数L ∈（0,1），使对任意的0x,y D ∈有()()G x G y L x y -≤- 则有下列结论： （1）对任取的(0)0x D ∈，由迭代公式产生的序列{}()0k x D ⊂，且收敛于方程内的唯一解x *； （2）成立误差估计式()(1)(0)1kk L x xx x L*-≤-- 或 ()()(1)1k k k Lx x x x L*--≤-- 实际计算时，可预先给定精度水平0ε>，当迭代序列满足()(1)()k k k x x x ε--≤时停止迭代，取当前的()k x 作为方程组的近似解。