相似三角形解题技巧及口诀

相似三角形解题技巧及口诀 常见相似类型：

A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型），双垂直（母子型），,旋转形

【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：

【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；

【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

（1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD ²=AD •BD

⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC ²=AD •AB

（3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC ²=BD •AB

结论：⑵÷⑶得AC ²:BC ²=AD:BD

结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式

【证明等积式(比例式)策略】:

1、直接法：找同一三角形两条边

变化：等号同侧两边同一三角形， 三点定形法

2、间接法：

对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．

⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；

⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型

②先证其它三角形相似——创造边、角条件

相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比

【口诀】：

遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；

四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边；

彼相似，我角等，两边成比边代换。

或：

遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似；

不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截；

平行线，转比例，等线等比来代替；

☞遇等积，改等比，横看竖看找关系

①△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD•CN=BM•CE ．

②等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两

点。求证：BP •PC=BM •CN

B C A

D E

☞斜边上面作高线，比例中项一大片

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF 分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两对三角形相似证得结论。

☞有射影，或平行，等比传递我看行

①ABCD中，AC是平行四边形ABCD的对角线G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E，

②梯形ABCD中，AD证：DE²=BE·CE.

☞两共线，上下比，过端平行条件边。

引平行线应注意以下几点：

1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

AD是△ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.

②在△ABC中，AB>AC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.

12

F

E

D

B C

A

P

D

A

B

C

E

3

2

1

E

D

A

B C

③在△ABC中，BF交AD于E.

(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC

(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED

（3）BD:CD=2:3, AE:ED=3:4 ，求AF:FC

④在△ABC中，P、Q分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AP于D，交AQ于E，若BM=10cm，试求BD、DE、EM的长.

☞彼相似，我条件，创造边角再相似

①AE²＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，试说明△EBC∽△DEB.

②已知ABD

∆∽ACE

∆，求证：ABC

∆∽ADE

∆．

E

A

B C

D

F

③D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC。

④D、E分别在△ABC的AC、AB边上，且AE•AB=AD•AC，BD、CE交于点O.求证：

△BOE∽△COD.

巧求三角形中线段的比值

例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。

解：过点D作DG如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD

解：过点C作CG(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求

AF:FC

(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED

O

C

D

B

A

E

（3）BD:CD=2:3, AE:ED=3:4 ，求AF:FC

E

A C F E A

C

F E

A C F