几何与代数历年真题
代数几何综合(含答案)
23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩， ． 解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。
高等数学试题及答案代数与解析几何
高等代数课程试卷及参考答案代数与解读几何试题<一）一、计算<20分）1）3643141227251531------- 2）ax aaa a x a a a ax ---二、证明：<20分）1）若向量组n αα 1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。
2）若向量组n αα 1中部分向量线性相关，则向量组n αα 1必线性相关三、<15分）已知A 为n 阶方阵A ~为A 的伴随阵，则|A|=0，A ~的秩为1或0。
四、<10分）设A 为n 阶阵，求证，rank<A+I ）+rank<A-I ）≥n 五、<15分）求基础解系⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--032030432143214321x x x x x x x x x x x x 六、<10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、<10分）求证△ABC 的正弦正定理Cc B b A a sin sin sin == 答案(一>一、1）-126 2）1)2]()2([---+n a x a n x 二、证明：1）n αα 1线性无关，r αα 1是其部分向量组，若存在不全为0的数r k k 1使011=++r r k k αα 则取021=++=++n r r k k k ，则000111=++++++n r r r k k αααα ，则可知n αα 1线性相关矛盾，所以r αα 1必线性无关。
2）已知r αα 1是向量组中n αα 1中的部分向量，且线性相关即r k k 1 不全为0，使011=++r r k k αα ，取01===+n r k k ，于是有不全为0的001 r k k ，使000111=++++++n r r r k k αααα 即n αα 1线性相关。
三、证明：I A A A A A A ||||||||~=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=由于|A|=0 ，A 的秩≤n-11）若A 的秩为n-1，则A ~中的各元素为A 的所有n-1阶子式，必有一个子式不为0，又由于A ~的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-<n-1）=1，由此A ~的秩为1。
代数与几何难题(含解析)
代数与几何难题一、选择题1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )．A .B .C .D .二、解答题2、如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．3、已知抛物线y＝a+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
4、已知抛物线．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n的值；，且（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x满足2＜x＜3，求k的取值范围．5、如图，抛物线y=a+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。
6、如图，第一角限内的点A在反比例函数y=的图象上，第四象限内的点B 在反比例函数y=图象上，且OA⊥OB，∠OAB＝60度，则K值为__________7、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（，-），B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）经过A、B、D三点的圆交AC于F，交直线y=x+3于点E．试判断△BEF的形状，并加以证明．代数与几何难题的答案和解析一、选择题1、答案：C试题分析：先过点A向BC引垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可。
中考数学-几何与代数综合专题(含答案)
题型：反比例函数专题题型说明：自从2010年北京中考第23题考查了反比例函数的知识以来，各区县模拟考试题中就开始出现了很多反比例函数的类型题，但是不管如何考查，都基本上会涉及几何变换，数形结合，方程与不等式，整体思想等。
【例1】已知:反比例函数()0ky k x=≠经过点(11)B ，． ⑴求该反比例函数解析式；⑵联结OB ，再把点(20)A ，与点B 连结,将OAB ∆绕点O 按顺时针方向旋转135︒得到''OA B ∆，写出''A B 的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此双曲线上，并说明理由；⑶若该反比例函数图象上有一点(1)F m -（其中0m >），在线段OF 上任取一点E ,设E 点的纵坐标为n ,过F 点作FM x ⊥轴于点M ，连结EM ，使OEM ∆的面积是2，求代数式2n +-【答案】⑴反比例函数解析式：1y x=⑵∵已知(11)B ，,(20)A ， ∴OAB ∆是等腰直角三角形∵顺时针方向旋转135°，∴'(0B,'(A - ∴中点P为(2． ∵((1⋅= ∴点P 在此双曲线上． ⑶∵EH n = ,OM m =例题精讲代数综合(二)∴OEM S ∆=EH OM ⋅21=mn 21=2，∴m = 又∵(1)F m -在函数图象上∴)123(-m m =1． 将m21=∴2n =∴2n +-【例2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． ⑴求直线DE 的解析式和点M 的坐标； ⑵若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； ⑶若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 【答案】⑴设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0）， ∴⎩⎨⎧b k b＋＝＝ 603 解得⎪⎩⎪⎨⎧321 ＝＝b k －∴直线DE 的解析式为y ＝－21x ＋3 ∵点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴点M 的纵坐标为2 又∵点M 在直线y ＝－21x ＋3上，∴2＝－21x ＋3，∴x ＝2,∴M （2，2） ⑵∵y ＝xm （x ＞0）经过点M （2，2），∴m ＝4，∴y ＝x 4又∵点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4 ∵点N 在直线y ＝－21x ＋3上，∴y ＝1 ∴ N （4，1） ∵当x ＝4时，y ＝x 4＝1，∴点N 在函数y ＝x4的图象上 ⑶48m ≤≤【例3】如图，已知直线y ＝－2x ＋b 与双曲线y ＝xk（k ＞0且2k ≠）相交于第一象限内的两点P （1，k ）、Q （22-b ，y 2） ⑴求点Q 的坐标（用含k 的代数式表示）⑵过P 、Q 分别作坐标轴的垂线，垂足为A 、C ，两垂线相交于点B ．是否存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由 （P 、Q 两点请自己在图中标明）【答案】⑴∵P （1，k ）在直线y ＝－2x ＋b 上，∴k ＝－2＋b∴b －2＝k ∵Q （22-b ，y 2）在双曲线y ＝x k上，∴y 2＝22-b k ＝2∴22-b ＝2k∴点Q 的坐标为（2k，2）⑵由P （1，k ）、Q （2k，2）可知P 为AB 与双曲线的交点，Q 为BC 与双曲线的交点 S △OPQ＝S 矩形OABC－S △AOP －S △COQ －S △BPQ ＝1×2－21×1×k －21×2k ×2－21×(1－2k )(2－k ) ＝1－41k2 假设存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍，则有 1－41k2＝2×21×(1－2k)(2－k ) 整理得：3k2－8k ＋4＝0解得：k ＝2（不合题意，舍去）或23k =， 故存在k ＝32，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍 【例4】如图，直线y ＝21x ＋b 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B ，与双曲线y ＝xk（其中x ＞0）相交于第一象限内的点P （2，y 1），作PC ⊥x 轴于C ，已知△APC 的面积为9． ⑴求双曲线所对应的函数关系式；⑵在⑴中所求的双曲线上是否存在点Q （m ，n ）（其中m ＞0），作QH ⊥x 轴于H ，当QH＞CH时，使得△QCH 与△AOB 相似？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴y ＝0代入y ＝21x ＋b ，得x ＝－2b ∴A （－2b ，0）把x ＝2代入y ＝21x ＋b ，得y 1＝1＋b ，∴P 由题意得：S △APC＝21AC ·PC ＝21(2＋2b )(1＋b )＝9 整理得：(1＋b )2＝9，解得b ＝－4（舍去）或b ＝2 ∴P （2，3），把P （2，3）代入y ＝x k，得k ＝6 ∴双曲线所对应的函数关系式为y ＝x6 ⑵由⑴知AO ＝4，BO ＝2,设Q （m ，m6） 当点Q 在点P 左侧时，CH ＝2－m ，QH ＝m 6若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22m -＝46m整理得：m2－2m ＋3＝0，此方程无实数解当点Q 在点P 右侧时，CH ＝m －2，QH ＝m6 若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22-m ＝46mm2－2m －3＝0，解得m ＝－1（负值，舍去）或m ＝3当m ＝3时，CH ＝1，QH ＝2，QH＞CH ，符合题意∴Q （3，2）综上所述，存在点Q （3，2），使得△QCH 与△AOB 相似【例5】如图，直线1y k x b =+与反比例函数y ＝xk 2（x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值； （2）直接写出k 1x ＋b －xk 2＞0时x 的取值范围；0 （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB ＝CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）由题意知：k 2＝1×6＝6∴反比例函数的解析式为y ＝x6 又B （a ，3）在y ＝x6的图象上，∴a ＝2，∴B （2，3） ∵直线y ＝k 1x ＋b 过A （1，6），B （2，3）两点 ∴⎩⎨⎧32611 ＝＋＝＋b k b k 解得⎩⎨⎧93 1 ＝＝－b k（2）x 的取值范围为1＜x＜2（3）当S 梯形OBCD＝12时，PC ＝PE设点P 的坐标为（m ，n ），∵BC ∥OD ，CE ⊥OD ，OB ＝CD ，B （2，3） ∴C （m ，3），CE ＝3，BC ＝m －2，OD ＝m ＋2 ∴S 梯形OBCD＝21(BC ＋OD )·CE ，即12＝21×(m －2＋m ＋2)×3∴m ＝4，mn ＝6，∴n ＝23，即PE ＝21CE∴PC ＝PE【例6】在平面直角坐标系中，函数y ＝xm（x ＞0，m 是常数）的图象经过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB ． ⑴求m 的值； ⑵求证：DC ∥AB ；⑶当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式【答案】⑴∵点A （1，4）在函数y ＝xm图像上 ∴4＝1m，∴m ＝4 ⑵∵点B （a ，b ）在函数y ＝x4图像上 ∴B （a ，a 4），∴D （0，a4） 又∵A （1，4），∴C （1，0），M （1，a4） ∴DM ＝1，MB ＝a －1，AM ＝4－a 4，MC ＝a4 ∴MC DM ＝a 4，AM MB ＝aa 441--＝a 4 ∴MC DM ＝AMMB∵∠DMC ＝∠BMA∴△CDM ∽△ABM ∴∠DCA ＝∠BAC ∴DC ∥AB ⑶设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b∵DC ∥AB ，AD ＝BC∴四边形ABCD 为平行四边形或等腰梯形 情况①：四边形ABCD 为平行四边形则DM ＝MB ，∴1＝a －1，∴a ＝2 ∴B （2，2）∵点A （1，4）、B （2，2）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝42k ＋b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝6 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6情况②：四边形ABCD 为等腰梯形则AC ＝BD ，∴a ＝4∴B （4，1）∵点A （1，4）、B （4，1）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝44k ＋b ＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝5 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋5综上所述，直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6或y ＝－x ＋5【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，1），E 、F 是线段AB 上的两个动点，且∠EOF＝45°，过点E 、F 分别作x 轴和y 轴的垂线CE 、DF 相交于点P ，垂足分别为C 、D ．设P 点的坐标为（x ，y ），令x y ＝k ． ⑴求证：△AOF ∽△BEO ； ⑵当OC ＝OD 时，求k 的值；⑶在点E 、F 运动过程中，点P 也随之运动，探索：k 是否为定值？请证明你的结论．【答案】⑴证明：由已知得OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝90°∴∠OAF ＝∠OBE ＝45°，又∵∠OF A ＝∠ABO ＋∠BOF ＝∠EOF ＋∠BOF ＝∠EOB ∴△AOF ∽△BEO⑵解：如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，则OM ＝21AB ＝22∵OA ＝OB ＝1，OC ＝OD ，∴AC ＝BD ，∴CE ＝DF 又∠OCE ＝∠ODF ＝90°，∴△OCE ≌△ODF ∴OE ＝OF ，∴△EOF 是等腰三角形，∠EOM ＝21∠EOF ＝22.5° 而∠COE ＝∠AOM －∠EOM ＝45°－22.5°＝22.5°＝∠EOM ∠OCE ＝∠OME ＝90°，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△OME∴OC ＝OM ＝22，∴PC ＝PD ＝OC ＝22 ∴k ＝x y ＝PD ·PC ＝21（3）k 为定值如图，过E 作EH ⊥OB 于H ，过F 作FK ⊥OA 于K 由△AOF ∽△BEO 得OB AF ＝BEOA，∴AF ·BE ＝OA ·OB ＝1 又AF ＝2FK ，BE ＝2HE ，∴2HE ·2FK ＝1 ∴HE ·FK ＝21，∴PD ·PC ＝HE ·FK ＝21，∴k 为定值21【例8】如图，点P （a ，b ）和点Q （c ，d ）是反比例函数y ＝x1在第一象限内图象上的两个动点（a b <，a c ≠），且OP ＝OQ ．P 1是点P 关于y 轴的对称点，Q 1是点Q 关于x 轴的对称点，连接P 1Q 1分别交OP 、OQ 于点M 、N ． ⑴求证：a ＝d ，b ＝c ； ⑵求证：11PQ PQ ∥；⑶设四边形PQNM 的面积为S ．①求S 关于a 的函数关系式； ②是否存在这样的点P ，使得S ＝58？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵P （a ，b ），Q （c ，d ），OP ＝OQ ，∴a2＋b2＝c2＋d2又∵b ＝a 1，d ＝c 1，∴a2＋(a 1)2＝c2＋(c1)2整理得(ac ＋1)(ac －1)(a ＋c )(a －c )＝0 ∵a ＞0，c ＞0，且a ≠c ，∴ac ＝1 从而可得a ＝d ，b ＝c（2）证明：分别延长P 1P 、Q 1Q 相交于点A ， 过点P 1、Q 1分别作x 轴、y 轴的垂线相交于点B 由（1）知AP ＝AQ ＝b －a ，AP 1＝AQ 1＝b ＋a ∴∠APQ ＝∠AP 1Q 1＝45° ∴PQ ∥P 1Q 1（3）解：①易得P 1、Q 1的坐标分别为（－a ，b ）、（b ，－a ） ∴S 梯形PP 1Q 1Q＝S △AP 1Q 1－S △APQ ＝21(b ＋a )2－21(b －a )2＝2ab ＝2 设直线P 1Q 1的解析式为y ＝kx ＋n则⎩⎪⎨⎪⎧－ak ＋n ＝b bk ＋n ＝－a 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1n ＝b －a ∴直线P 1Q 1的解析式为y ＝－x ＋b －a 由已知可得直线OP 的解析式为y ＝abx 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b －a y ＝abx 得x ＝b a a b a +-)( ，y ＝b a a b b +-)( 即点M 的坐标为（b a a b a +-)( ，ba ab b +-)( ） ∴S △PP 1M＝21×2a ×[b －b a a b b +-)( ]＝b a b a +22＝ba a+2 由对称性可知S △QQ 1M＝S △PP 1M＝ba a +2 ∴S 四边形PQNM＝S 梯形PP 1Q 1Q－2S △PP 1M＝2－2×b a a+2＝12222+-a a②假设存在这样的点P ，则12222+-a a ＝58，解得a ＝±31∵a ＞0，∴a ＝31，∴b ＝3∴存在满足条件的点P ，点P 的坐标为（31，3）【例9】如图，矩形ABCD （点A 在第一象限）与x 轴的正半轴相交于M ，与y 的负半轴相交于N ，AB ∥x轴，反比例函数y ＝xk的图象过A 、C 两点，直线AC 与x 轴相交于点E 、与y 轴相交于点F ． （1）若B （－3，3），直线AC 的解析式为y ＝ax ＋b①求a 的值；②连结OA 、OC ，若△OAC 的面积记为S △OAC，△ABC 的面积记为S △ABC，记S ＝S △ABC－S △OAC，问S 是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由； （2）AE 与CF 是否相等？请证明你的结论．【答案】（1）①方法一：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k） ∵y ＝ax ＋b 经过A 、C 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧3ka ＋b ＝3－3a ＋b ＝－3k ∴(3k ＋3)a ＝3k ＋3∵k ＞0，∴3k＋3≠0，∴a ＝1 方法二：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k ），D （3k ，－3k） ∴AB ＝3k ＋3，AD ＝3k＋3，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形 ∴∠AEO ＝∠ACD ＝45°，∴OE ＝OF ＝b ∴E （－b ，0），∴－ab ＋b ＝0 ∵b ≠0，∴a ＝1②∵S ＝S △ABC－S △OAC＝S △ACD－S △OAC＝S △AOM＋S △CON＋S 矩形ONDM＝21×3k ×3＋21×3×3k ＋3k ×3k ＝91k2＋k ＝91(k ＋29)2－49∴当k ＞－29时，S 随着k 的增大而增大 又∵k ＞0，k 没有最小值，∴S 没有最小值 （2）答：AE ＝CF ，理由如下： 方法一：如图，连接MN ，设AB 交y 轴于点P ，BC 交x 轴于点Q∵S 矩形APOM＝S 矩形CQON＝3k ×3＝k ，∴DN ·AD ＝DM ·CD ∴CD DN ＝ADDM，又∵∠D ＝∠D ，∴△DNM ∽△DCA ∴∠DNM ＝∠DCA ，∴MN ∥AF又∵AM ∥FN ，∴四边形AFNM 是平行四边形，∴AF ＝MN 同理CE ＝MN ，∴AF ＝CE ∴AE ＝CF 方法二：设A （m ，m k ），C （n ，n k ），则AM ＝m k ，AD ＝m k －nk，CN ＝－n ，CD ＝m －n∵EM ∥CD ，∴△AEM ∽△ACD ，∴AC AE ＝AD AM ＝n k m k mk -＝nk m k mk -＝m n n- ∵FN ∥AD ，∴△CFN ∽△CAD ，∴AC CF ＝CDCN ＝n m n --＝m n n- ∴AC AE ＝ACCF，∴AE ＝CF 方法三：设A （m ，mk ），C （n ，n k ），则M （m ，0）、N （0，n k）从而⎩⎪⎨⎪⎧ma ＋b ＝m kna ＋b ＝nk ∴(m －n )a ＝m k －nk∴a ＝－mn k ，∴b ＝mn k n m )(+，∴直线AC 的解析式为y ＝－mn k x ＋mnkn m )(+ ∴E （m ＋n ，0），∴EM ＝m －(m ＋n )＝－n ，∵CN ＝－n ，∴EM ＝CN ∵EM ∥BA ∥CN ，∴∠AEM ＝∠FCN又∵∠AME ＝∠FNC ＝90°，∴△AEM ≌△FCN ∴AE ＝CF【例10】已知二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象经过点(10)，和(30)-，，反比例函数1ky x=（0x >）的图象经过点（1，2）．（1）求这两个函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象； （2）若反比例函数1k y x =（0x >）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一象限内交于点00()A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数2k y x=（00k x >>，）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一初中数学.中考冲刺.第06讲.教师版 Page 11 of 11 象限内的交点为A ，点A 的横坐标0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围．【答案】（1）把(10)，和(30)-，分别代入23(0)2y ax bx a =+-≠解方程组，得 12a =，1b = ∴ 抛物线解析式为23212-+=x x y ∵ 反比例函数1k y x =的图象经过点（1，2），∴ k =2. ∴ 12y x= （2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象 由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2.（3）由函数图象或函数性质可知：当23x <<时，对23212-+=x x y ，y 随着x 的增大而增大，对2(0)k y k x=>，2y 随着x 的增大而减小.因为00()A x y ，为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，得2y y > 即2k ＞2322212-+⨯，解得5k >. 同理，当03x =时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得2y y >， 即2333212-+⨯＞3k ，解得18k <. 所以k 的取值范围为518k <<.。
高中数学练习题代数与几何
高中数学练习题代数与几何高中数学练习题：代数与几何一、代数题1. 已知多项式函数 f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求 f(x) 在 x = 2 处的函数值。
解析：将 x = 2 代入 f(x) 中即可得到函数值。
2. 若 a + b = 8，ab = 15，求 a^2 + b^2 的值。
解析：根据二次方程的求根公式，我们可以得到 a 和 b 的值，然后再计算 a^2 + b^2。
3. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，求 A 与 B 的交集、并集以及差集。
解析：根据集合的定义和运算规则，可以求得 A 与 B 的交集、并集以及差集。
二、几何题1. 在平面直角坐标系中，过点 A(2, 6) 和点 B(-4, -3) 的直线 k 的方程是什么？解析：使用两点式求得直线 k 的方程。
2. 已知等边三角形 ABC 的边长为 6cm，求三角形的高、面积以及内切圆半径。
解析：根据等边三角形的性质，可以求得三角形的高、面积以及内切圆半径。
3. 已知平面图形 ABCD 是一个正方形，AB 的边长为 5cm。
点 E、F、G 分别是 AB、BC、CD 上的点，且 AE = BF = CG。
求三角形 EFG 的面积。
解析：根据正方形的性质，可以求得三角形 EFG 的面积。
三、综合题已知函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2，考察其在数轴上的特征点。
解析：通过求导、求值等方式，可以确定函数 f(x) 的驻点、拐点以及零点等特征点。
综上所述，本篇文章涵盖了高中数学代数与几何方面的练习题，包括代数题和几何题。
通过解析各题目，我们可以了解到问题的解法和相关概念。
这些题目旨在帮助高中生巩固数学知识，提高解题能力。
数学代数与几何复习题集及答案
数学代数与几何复习题集及答案<数学代数与几何复习题集及答案>一、代数复习题1. 解方程：求解以下方程组(1) 2x + y = 5x - y = 1(2) 3x + 2y = 84x - y = 2(3) x^2 + 4y^2 = 92x + 3y = 6(答案略)2. 因式分解：将下列多项式进行因式分解(1) x^2 + 5x + 6(2) 2x^2 + 3x - 2(3) x^3 - 8(答案略)3. 等比数列：求解等比数列问题(1) 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则第6项为多少？(2) 一个等比数列的首项为3，前5项的和为242。
求该等比数列的公比。
(3) 若一个等比数列的前n项和为S_n，其中首项为a，公比为r。
证明：S_n = a * (1 - r^n)/(1 - r)(答案略)二、几何复习题1. 三角函数：计算下列问题(1) 计算 sin(45°) - cos(30°)(2) 已知直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为3/5，求该锐角的余弦值。
(3) 已知直角三角形的一条直角边长为6，斜边长为10。
求另一条直角边的长。
(答案略)2. 平面向量：解决平面向量问题(1) 已知平面向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，计算 a + b 和 a - b。
(2) 若平面向量a = (x, y)满足 a · (3, 1) = 4，求a的坐标。
(3) 已知平面向量a = (2, 1)，b = (3, 4)。
计算 a · b 和 |a × b|。
(答案略)3. 三角形：解决三角形问题(1) 在三角形ABC中，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠C = ?(2) 若在三角形ABC中，a = 5，b = 7，∠C = 30°，则c = ? （使用余弦定理）(3) 若在三角形ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，是否为直角三角形？(答案略)综上所述，本篇文章为数学代数与几何的复习题集及答案，旨在提供读者复习相关知识点，加深对代数与几何的理解。
代数与几何试题
代数与几何 试题A 考试形式：闭卷 答题时间： 120 分钟 本卷面成绩占课程成绩 100%（所有答案必须写在答题纸上、标清题号）一、填空题（6⨯5分）1．设平面π通过点M １(2, 2, -1), M ２(-3, 2, 1), M ３(1, 2, 3), 此平面的方程为__________2. 通过点(２，-１，３)且与平面2x -y +3z =2和x +4y -z =0平行的直线方程为__________ .3．已知α1, α2为2维列向量，矩阵A=(2α1+α2 , α1-α2), B= (α1, α2),若行列式|A|=6，则|B|= ____4. 设α为n 维列向量，T α是α的转置. 若矩阵T αα的主对角线上元素全为1， 则ααT = .5. 设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，则|4A -1-E|=______.6. 设二次型f=x 21+23223x x ++2t 21x x +231x x 是正定二次型，则t 的取值范围是______. 二、选择题（6⨯5分）1. 下列方程表示双叶双曲面方程的是1)(222=++z y x A 1)(222=-+z y x B 1)(222=--z y x C 0)(222=--z y x D2．设对方阵A 施行初等变换得到方阵B ，且|A|≠0，则必有(A) |A|=|B| (B) |B|≠|A| (C) |B|≠0 (D) |B|=0或|B|≠0, 依赖于所作的初等变换3. 设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得 C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101001010)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101010)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110001010)(C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001110)(D4. 设A,B 为满足AB=E 的任意两个非零矩阵，则必有(A) A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关.(B) A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关.(C) A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关.(D) A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关.5.设非齐次线性方程组AX=β的导出组为AX=0，则下列结论不成立的是（ ）.(A) 设u 是AX=0的通解，η为AX=β的特解，则η+u 是AX=β的通解(B) 设ηξ,为AX=β的解，则a ξ+b η是AX=0的解(C) 若AX=β有唯一解，则AX=0有唯一解(D) 若AX=β有无穷多解，则AX=0有无穷多解6.设A 为3阶对称矩阵,且A 2+A=0,若A 的秩为2,则A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000000)(A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000010001)(C ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100010001)(D三. （10分）求直线 1101zyx ==- 绕z 轴旋转所生成的旋转曲面的方程．四. （10分）设齐次线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=+有公共解，求a 的值及所有公共解。
几何与线性代数习题集册
习题一 几何向量及其运算姓名 学号 班级一、填空题1． 下列等式何时成立：1）βαβα-=+， 当 ；2）βαβα+=+，当 ；3）αβαβ+=-， 当 ；4）ββαα=，（,αβ为非零向量），当 ； 5）βαβα->+， 当 。
2．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）},{αθ是 ； 2）βα,不平行，},{βα是 ；3）γβα,,共面，},,{γβα是 ；4）γβα,,不共面，},,{γβα是 。
3．在空间直角坐标系中，点(2,3,5)M -关于关于yoz 平面的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于z 轴的对称点是 ；在xoy 平面上的投影点坐标是 ；在y 轴上的投影点是 ；到yoz 平面的距离是 ；到原点的距离是 ；到x 轴的距离是 。
二、设,,OA OB P αβ==u u u r u u u r 为线段AB 上任一点，证明存在数λ，使得λβαλ+-=)1(OP 。
三、已知向量313221,,e e e e e e +=+=+=γβα，证明αγγββα---,,共面。
四、判断题1．若γαβα⋅=⋅，且αθ≠，则βγ=。
（ ）2．γβα,,共面的充分必要条件是0)(=⨯⋅γβα。
（ ）3．><⋅=⨯βαβαβα,sin 。
（ ） 4．βαβα⋅≤⋅ 。
（ ）五、填空题1．已知向量4,3,32===βαπϕβα的夹角和，则 1）βα⋅= ；2） 2βα+= ；3）(32)(2)αβαβ-⋅+= 。
2．已知βαβα3,2-=-=AD AB ，其中6,,3,5πβαβα>=<==，则三角形ABD 的面积S = 。
六、已知 21,2,,,,3παβαβωλαβγαβ==<>==+=-。
问 1）λ为何值时，ω与γ平行； 2）λ为何值时，ω与γ垂直。
七、已知α与β垂直，且3,4αβ==，计算：(提示: ,.αβααββ⨯⊥⨯⊥)1）αβα⨯⨯)(； 2）)()(βαβα-⨯⨯； 3）)2()3(βαβα-⨯-。
北京交通大学几何与代数历年试题
北 京 交 通 大 学2007-2008学年第一学期《几何与代数（B ）I 》期末考试试卷(A)答案及评分标准一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1、已知(1,3,1α=-，(1,2,2)β=-，αγ⊥， βγ⊥且1γ=，则=γ,1). 2、若123123123000ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a= 1，-2 ..3．若点(1,2,3)P ，(2,,1)Q a ，(,1,4)R b 共线，则,a b 的值分别是14,2a b ==. 4. 由曲线22221y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩围绕y 轴旋转一周所成曲面的方程是 222221.y x z b c ++= 5．已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--的秩为2，则t =3 .6． 设A 为(2)n n ≤阶方阵，A 的行列式*2,A A =为A 的伴随矩阵，则*A 的伴随矩阵**()A = 22n A -7. 向量组()()()1231,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14ααα=-==的一个极大线性无关组是 12,αα ,8. 通过点(1,2,3)且与直线x y z ==垂直的平面方程是60x y z ++-= .9. 设A 是3阶方阵，1，2，3是A 的3个特征值。
则E A += 24 .10. 已知三阶方阵()121113A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭。
则11116222333n n A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .二. (10分)计算n 阶行列式21...1113 (1)1.........11...111...1n+1n解 21...1111 (1113)...1102...11..................11...n 101...n 111 (1)n +101 (1)n +1=11...1111 0.........10...10-10...0nn -=-- ....8分11111 (11120)1...111(2)!.........2300 (100)0...nnn n n +++⋅⋅⋅+==+++⋅⋅⋅+-....10分三．（12分） 当a,b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解（用导出组基础解系表示）。
代数几何综合题(含答案)
代数几何综合题1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长.3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0<x 2． (1)求m 的取值范围；(2)设点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m 的值；(3)在上述条件下，若点D 在第二象限，△DAB ≌△CBA ，求出直线AD 的函数解析式.4.一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
①求直线AC 的解析式；②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线285y x kx=-+上，求k 的值；③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。
1、已知抛物线)0(22>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。
（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。
高等代数与几何考试试题
高等代数与几何考试试题高等代数与几何是数学领域中非常重要的基础学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象能力和解决问题的能力有着至关重要的作用。
以下是一套涵盖了高等代数与几何主要知识点的考试试题，希望能够帮助同学们检验自己的学习成果。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、设矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，则 AB 等于（）A 19 22; 43 50B 19 26; 31 40C 19 22; 31 40D 19 26; 43 502、若向量组α1 ＝（1, 2, 3)，α2 ＝（2, 4, 6)，α3 ＝（1, 0, 0)线性相关，则（）A k1 ＝ 2k2B k1 ＝－2k2C k1 ＝ 3k2D k1 ＝－3k23、二次型 f(x1, x2, x3) ＝ x1^2 ＋ 2x2^2 ＋ 3x3^2 ＋ 4x1x2 6x2x3 的矩阵是（）A 1 2 0; 2 2 －3; 0 －3 3B 1 2 0; 2 2 3; 0 3 3C 1 2 －3; 2 2 0; －3 0 3D 1 2 －3; 2 2 0; －3 0 －34、设空间直角坐标系中，直线的方程为 x 1 ＝（y 2) ／ 2 ＝（z3) ／ 3，则直线的方向向量为（）A （1, 2, 3)B （1, 1/2, 1/3)C （1, 2, －3)D （1, －2, 3)5、若平面π的方程为 2x 3y ＋ 4z 5 ＝ 0，则平面π的法向量为（）A （2, －3, 4)B （2, 3, －4)C （－2, 3, 4)D （－2, －3, －4)6、设曲线的参数方程为 x ＝ t^2，y ＝ t^3，则在 t ＝ 1 处的切线方程为（）A 3x 2y 1 ＝ 0B 3x 2y ＋ 1 ＝ 0C 2x 3y 1 ＝ 0D 2x 3y ＋ 1 ＝ 0二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、设矩阵 A 的特征值为 1，2，3，则 det(A) ＝。
理学院几何与代数B第一学期期末考试试卷2及答案
交 通 大 学2008-2009学年第一学期《几何与代数（B ）I 》期末考试试卷(A)一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1 已知向量,αβ满足||2,||3,==和αβαβ的夹角为3π，则以向量 34,2A B =-=+αβαβ为邻边的平行四边形的面积是2 当13141234020020x ax x x ax x x x +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有非零解，则a= 1/4 .3 若平面经过点(1,2,1)A -和z 轴,则此平面方程为 20x y -=.4 由曲线22140x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩围绕x 轴旋转一周所成曲面的方程是222()14x y z -+=. 5 已知3阶矩阵1231223123,,,3,32,22A B ==----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦αααααααααα 且||16B =，则||A = 4 .6设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A 且1||2A =.则1*123A A -⎛⎫-= ⎪⎝⎭n+127 已知向量β可由向量组()()()1231,2,3,0,2,5,1,0,2ααα=-=-=-线性表示,则向量组123,,,αααβ的秩为 2 .8 设A 为3阶方阵且行列式|||2||3|0E A E A E A -=-=-=，（其中E 为3阶单位阵）。
则*A = 36 .（其中E 为3阶方阵）。
9 已知四阶行列式1171318021435125D -=-. 设ij A 为行列式D 中第i 行第j 元素ij a 的代数余子式，则14243444325A A A A +-+= 010 一个动点与(1,0,0)A 的距离是此动点到平面4x =距离的一半，则此动点的轨迹方程为：22234412x y z ++=.二. (10分)计算n 阶行列式解 （1）如果0x =，任意两列对应成比例，故0n D = ----------2分 (2) 如果0x ≠, 第i 行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得xxx x a a a x D n021--+=（箭形行列式）-----------3分-----------3分三．（12分） 当a 为何值时，线性方程组123123123322ax x x ax ax x x x ax +++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 121121121121n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a a a a a a x a D ----++=+112111000000(1)00000000j j na xn nj na nx j a a a a x x x x -==+==+∑∑无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。
高等代数与解析几何复习题
高等代数与解析几何复习题(总18页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数与解析几何复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。
3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。
4.设矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。
（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。
6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。
7.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。
8.设矩阵200012035A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
9.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。
10.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩()R A = 。
11.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
12.设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==13.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。
14.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
15.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
16.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）。
17.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。
第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学(最新整理)
B 4、设 a, b 为两个向量，则正确的是
（A） a b a b =0；
（） （B） a b a b =0；
（C） a b 表示以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积；
（D） a b a b = 0 ．
利用数量积和向量积的性质: a b 0 a b ， a b 0 a b ，
2 s
2 n
= 2
|4| 2
3
2 . arc sin 3
2. 3
0910B
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
1、 过 点 (3,0,1) 且 与 平 面 3x 7 y 5z 12 0 垂 直 的 直 线 方 程
为
．
与平面垂直的直线和该平面的法向量平行，
x 3 y z 1 3 7 5
为
.
M1M 2 (2 1,3 2,1 (1)) (1,1, 2) ， n (1, 1,1)
i j k
所求平面的法向量 n1 1 1 2 3i j 2k.
1 1 1
所求平面方程为: 3(x 1) ( y 2) 2(z 1) 0 或 3x y 2z 7 0
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
y2 z2 2x 0
2、
曲
线
z
3
在 xOy 面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 是
（）
y2 2x
（A）
z
0
；
y2 2x 9
（B）
z
0
；
（C） y 2 2x 9 ；
y2 2x 9
（D）
z3
．
在 xOy 面上的投影曲线，消去曲线中的变量 z，然后联立 z=0.
y
z
几何与代数历年真题
几何与代数历年真题01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则Tαβ= ；Tαβ== ；100()T αβ=；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则行列式1AB -=；3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵1111011*********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；5． 设矩阵A及A E+均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G -=；6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ； 8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x xkx x x x =+++，则当k 满足条件时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线230z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。
试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线2221x y zx y z +-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？2．当方程组有无穷多解时，求出其通解。
代数与几何期末测试题有答案
1999年代数与几何期末测试卷带答案试卷（一）一、填空题（每小题3分）（4）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值为 .解：1,0,,0.n n -个由特征多项式1111111111111111---------=--------λλλE A λλ111111111111nn n n --------==--------λλλλλλλ行11111111()11111111n ----=-⋅--------λλλλ111100()0000n ==-λλλλ行1(),n n -=-⋅λλ 故特征值为1,0,,0.n n -个二、选择题（每小题3分）（4）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（A ）当m n >时，必有行列式0≠AB ；（B ）当m n >时，必有行列式0=AB ； （C ）当n m >时，必有行列式0≠AB ； （D ）当n m >时，必有行列式0=AB . 解：（B ）正确AB 是m 阶方阵由{}{}()min (),()min ,r r r m n ≤≤AB A B当m n >时，必有()r m <AB ，即AB 不是满秩阵， 故0=AB ，所以选（B ），由此，（A ）显然不对.当n m >时，无法确定AB 是否满秩阵.令10101,01,01010⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 则00,0,01⎛⎫== ⎪⎝⎭AB AB 故（C ）不正确. 若101,010⎛⎫= ⎪⎝⎭A 则11,0,01⎛⎫=≠⎪⎝⎭AB AB 故（D ）不正确.十、（本题满分8分）设矩阵15310ac b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A ，其行列式1=-A ，又A 的伴随矩阵*A 有 一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为T (1,1,1)=--α，求0,,a b c λ和的值.解：根据题设可得*==-AA A E E 和*0=A αλα.于是 *00()==AA αA λαλAα. 又 *=-=-AA αEαα， 所以0=-λAαα，即 011153111011a c b c a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭λ. 由此可得 000(1)1(1)(53)1(2)(1)1(3)a c b c a -++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩λλλ由（1）和（3），解得01=λ. 将01=λ代入（2）和（1），得3,b a c =-=.由1=-A 和a c =，有153331,10a aa aa--=-=--- 故2a c ==. 因此02,3,2,1a b c ==-==λ.设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B 为m n ⨯实矩阵，T B 为B 的转置矩阵，试证：T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩()r n =B .证：必要性，设T B AB 为正定矩阵，则对任意的实n 维列向量≠x 0，有T T ()0>x B AB x ，即T ()()0,>Bx A Bx 于是，≠Bx 0.因此，=Bx 0只有零解，从而()r n =B .充分性，因T T T T T ()==B AB B A B B AB ，故T B AB 为实对称矩阵.若()r n =B ，则线性方程组=Bx 0只有零解，从而对任意实n 维列向量≠x 0有≠Bx 0.又A 为正定矩，所以对于≠Bx 0有T ()()0>Bx A Bx .于是当≠x 0时，T T ()0x >B AB x ，故T B AB 为正定矩阵.试卷（二）二、选择题（每小题3分）（5）212322212223(),()0333245354435743x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x --------=-------记行列式为则方程的根的个数为（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4.解：（B ）正确213141212321012221222322101()333245353312244357434373c c c c c c x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ======---------------=------------- 212101101000122331223734373x x r r x x x x x x x =======----------------按第二行展开=====311211215(1)76376c c x x x xx x x x +--→---=-=------可见()0f x =的根的个数为2，故选（B ）.设矩阵111111111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，矩阵X 满足*12-=+A X A X ，其中*A 是A 的伴随矩阵，求矩阵X .解：由原等式得*1(2)--=A E X A ，其中E 是3阶单位矩阵，有矩阵A 左乘等式两端，(2),-=A E A X E可见 (2)-A E A 可逆，从而1(2).-=-X A E A由于1111114,1111-=-=-A 11122111,111-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A故111111112111--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭X 11010114101⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭十二、（本题满分8分）设向量组[][][]TTT1231,1,1,3,1,3,5,1,3,2,1,2,p ==--=-+ααα[]T42,6,10,,p =--α（1）p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量[]T4,1,6,10=α用1234,,,αααα线性表出；（2）p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.解：对矩阵[]1234αααα作初等行变换：113241132413261021431511060641223121004762p p p p ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭1132411324021430214300707001010092300021p p p p ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭ （1）当2p ≠时，向量组1234,,,αααα线性无关. 此时设11223344x x x x =+++ααααα解得12343412,,1,.22p px x x x p p --====--（2）当2p =时，向量组1234,,,αααα线性相关，此时，向量组的秩等于3. 123,,ααα（或134,,ααα）为其一个极大线性无关组.试卷（三）一、填空题（每小题3分）（3）设101020101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，而2n ≥为正整数，则12n n --=A A .解：0.2101101020020101101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 20210104020202,202101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A所以 1222(2)0n n n ---=⋅-=A A A A A二、选择题（每小题3分）（3）设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121,,,m -ααα线性表示，记向量组（Ⅱ）： 121,,,m -ααα，β，则 （A ）m α不能由（Ⅰ）线必性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示； （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示； （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示； （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示.解：（B ）正确因为β可由向量组12,,,m ααα线性表示，所以1m i i i k ==∑βα （i k 为常数） （1）现断言0m k ≠，如若不然应有11m i i i k -==∑βα，这说明β可由11,,m -αα线性表示，与已知条件矛盾，既然0m k ≠，故由（1）式有111111().m m i m i i i i i m m mk k k k k --===-=-∑∑αβαβα这说明m α可由121,,,,m -αααβ即向量组（Ⅱ）线性表示，故（A ）、（D ）不对. 以下说明m α不能由（Ⅰ）线性表示，否则有11m m i i i a c -==∑α （i c 为常数） （2）将（2）代入（1）：1111()m m i i m i i i i k k c --===+∑∑βαα11()m i m i i i k k c -==+∑α因此，β表成11,,m -αα线性组合，这与已知条件矛盾.由此（C ）不对，故选择（B ）.（2）设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）-=-λE A λE B ；（B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C ）A 与B 都相似于一个对角阵；（D ）对任意常数,t t -E A 与t -E B 相似.解：（D ）正确A 与B 相似，则它们有相同的特征多项式，即：-=-λE A λE B ，但得不出-=-λE A λE B ，后者意味着=A B ，故（A ）不对.,A B 相似，则它们特征值相等，但特征向量未必相同. 反例如下：令 111121111,,,00000101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B P P 取则111111112,00000100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP B A B 所以对于特征值0=λ，可求得A 的特征向量111,1k -⎛⎫= ⎪⎝⎭ξB 的特征向量为222,1k -⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ12120,0,,11k k --⎛⎫⎛⎫≠≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性无关，121211k k --⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，特征向量不相等.事实上，11,,--===A ξαξB P AP A PBP因为111(),()()---==PBP ξλξB P ξλP ξ所以说明1-P ξ是B 的属于λ的特征向量.,A B 相似并非相似对角阵，故（C ）显然不对.因为,A B 相似，故存在可逆阵P ，使1-=P AP B ，于是对任意常数t ，有111()t t ----=-P E A P P EP P AP t =-E B这说明t -E A 与t -E B 相似，故选（D ）. 九、（本题满分9分） 同试卷（一）、十.十、（本题满分7分）设A 为m n ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵T λ=+B E A A ，试证，当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵. 证 因为T T T T ()λλ=+=+=B E A A E A A B ，所以B 为n 阶对称矩阵，对于任意的实n 维向量x ，有T T T ()λ=+x Bx x E A A x T T T λ=+x x x A Ax T T ()()λ=+x x Ax Ax . 当≠x 0时，有T T 0,()()0>≥x x Ax Ax . 因此，当>0λ时，对任意的≠x 0，有即B 为正定矩阵.试卷（四）一、填空题（每小题3分） （3）同试卷（三）之一、（3）.（4）已知-=AB B A ，其中120210002-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则=A __________.解：11021102002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.由已知，()-=A B E B ，而 020200001-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭B E ，令 0220-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ，则1102102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C ， 从而 110021()002001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B E ， 11()[()]()--=-=-+⋅-A B B E B E E B E 1()-=+-E B E11021102002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题（每小题3分） （3）同试卷（三）之二、（3）.九、（本题满分7分）设矩阵3221423k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A . 问当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得1-P 为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵.解：由322122||101423001k k k λλλλλλλ-----=+-=+---++E A 2(1)(1)λλ=+-可得A 的特征值1231,1λλλ==-=.对于11λ=-，有422422()00422000kk k k ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A . 当0k =时，有11142222()000000.000000⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎪ ⎪--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭E A 对应的特征向量为T T 12(1,2,0),(1,0,2)=-=αα. 对于31,3λ=有222101()2010424000kk ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A 对应的特征向量为T 3(1,0,1)=α.因此，当0k =时，令111200021-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则1100010001--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P AP十、（本题满分9分） 已知线性方程组1231232221230,0,0.x x x ax bx cx a x b x c x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩（1）,,a b c 满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）,,a b c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解.解：系数行列式222111()()()D ab c a b b c c a a b c ==---. （1）当,,a b b c c a ≠≠≠时，0D ≠，方程组仅有零解 1230.x x x ===（2）下面分四种情况：1）当a b c =≠时，同解方程组为12330,0.x x x x ++=⎧⎨=⎩方程组有无穷多组解，全部解为T 1(1,1,0)k -（1k 为任意常数）. 2）当a c b =≠时，同解方程组为12320,0.x x x x ++=⎧⎨=⎩方程组有无穷多组解，全部解为T 2(1,0,1)k -（2k 为任意常数）. 3）当b c a =≠时，同解方程组为12310,0.x x x x ++=⎧⎨=⎩方程组有无穷多组解，全部解为T 3(0,1,1)k -（3k 为任意常数）. 4）当a b c ==时，同解方程组为 1230,x x x ++=方程组有无穷多组解，全部解为T T 4(1,1,0)(1,0,1)s k k -+-（45,k k 为任意常数）.。
空间解析几何与向量代数测试题
空间解析几何与向量代数测试题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题六一、 填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100→=→OM 则向量角为,600_________________.3. 过()3,1,2-点且平行于向量{}3,2,2-=和{}5,3,1--=的平面方程为__________.{}{}=-=-=→→λλλ则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a .5. ()向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M - =→a ________________{}{}上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1-==→→a b .的模等于则向量已知→→→→→→→-==⎪⎭⎫ ⎝⎛==n m a n m n m 3260,,2,50.垂直的平面方程是且与平面过点⎩⎨⎧=+-+=-+--012530742)3,0,2(z y x z y x .9. 设a b c →→→,,两两互相垂直,且a b c →→→===121,,,则向量s a b c →→→→=+-的模等于_____________.10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.1 =⎩⎨⎧=-+-=+-+D x z y x D z y x 则轴有交点与若直线,06222032.二、 选择题1． 表示方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面=y B A():.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面=y D C2． :,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k j i a →→→→→++=⎪⎭⎫⎝⎛+-±⎪⎭⎫⎝⎛++±→→→→→→k j i B k j i A 33)(33)(():22)(22)答⎪⎭⎫ ⎝⎛+±⎪⎭⎫⎝⎛-±→→→→k i D k i C3.=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→→→→→b a b a b a 则且已知,4,,2,1π ():.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A +4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( ) 5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,>>→→→→b a b a→→→→→→→→->+-=+b a b a B b a b a A )(;)(():)()(答→→→→→→→→+=+-<+ba b a A b a b a C6．是旋转曲面1222=--z y x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A )( 轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B )( 轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )( ():)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D7. :,0,0结论指出以下结论中的正确设向量→→→→≠≠b a ;0)(垂直的充要条件与是→→→→=⨯b a b a A ;0)(平行的充要条件与是→→→→=⋅b a b a B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与→→→→b a b a C():.0),()(答则是数若=⋅=→→→→b a b a D λλ8. =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→→→c b a c b a 则为三个任意向量设,,,→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯b c a c B bc c a A )()( ():)()(答→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯cb ac D cb c a C9.方程x y y 224912+==⎧⎨⎪⎩⎪在空间解析几何中表示 (A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( ) 10. 对于向量,,，有（A ） 若0=⋅b a ，则,中至少有一个零向量（B ） ()())(c a c b c b a ⋅+⋅=⋅+（C ） ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ （D ） ()()0=⋅⋅1 1. 方程y z x 22480+-+=表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)()x p y qz p q 22200-=>>,与xoy 平面交线是 (A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )三、 计算题（本题共6小题，每小题8分，满分48分。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]
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(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ ）A ）B ）C ） 6D ）9532. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ ）A ） B C ） D ）13811815818. 设求是：（）,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r a b ⨯r r A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k9. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ ABC (3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -）A ）B ）C ）D ）33623643210. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．填空题(1) a ∙b = （公式）(2) a ·b = （计算）(3).=⨯b a r r (4)][c b a r r r =(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) 坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：yoz 0),(=z y f z (8) 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。
几何与线性代数习题及答案
证明：用反证法。若 ξ 1 + ξ 2 是 A 的属于某特征值 λ 的特征向量，则
49
A(ξ1 + ξ 2 ) = λ (ξ1 + ξ 2 ) ， （1）
由于 ξ 1 , ξ 2 分别是 A 的属于 λ1 , λ 2 的特征向量，所以
Aξ1 = λ1ξ1 , Aξ 2 = λ 2ξ 2 ，
由（1） 、 （2）可得：
= E−
1
λ
BA λE = ( E −
1
λ
BA)λE
= λE − BA 。 当 λ = 0 时，
0 E − AB = (−1) n AB = (−1) n BA = 0 E − BA 。
所以， AB 与 BA 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 七、证明： 1）如果 A 可逆，则 AB 与 BA 相似。 2）如果 A 可逆， A ~ B ，则 A ~ B 。 3）如果 A 与 B 相似， C 与 D 相似，则 ⎢
λi (i = 1,2,", n) 两 两 互 异 ， 所 以 A 可 对 角 化 ， 设
α i (i = 1,2,", n) A 的分别属于 λi (i = 1,2,", n) 的特征向量（它们是线性无关的） ，令
P = (α 1 , α 2 , ", α n ), M = diag (λ1 , λ 2 ,", λ n ), 则P −1 AP = M，AP = PM ，
6 ，(
1 * −1 A ) = 2
0 。
2/9
。
3．设 A 为 n 阶方阵， Ax = 0 有非零解，则 A 必有一特征值为
4．假设 n 阶矩阵 A 的任意一行中 n 个元素之和都为 a ，则 A 有一特征值为 a ，对应于此特 征值的一个特征向量是 (1,1, " ,1) 。
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也线性无关； 1 2, k2 3,3 1
1 1 1 1
4．
矩阵
A
0
0
1 0
1 1
1 1
的伴随矩阵
A*
=
0 0 0 1
；
5．
设矩阵
A
及
A
E
均可逆，则 G
E
(A
，且 E)1
G 1
时，
6． 与向量 (1,0,1) ， (1,1,1) 均正交的单位向量为
；
7． 四 点 共 A(1,1,1), B(1,1, x),C(2,1,1), D(2, y,3) 面 的 充 要 条 件
12．．
求求参一数正交k,l的阵值
；
Q, 使得QT
AQ
B.
八（6%）已知n 阶方阵 A 相似于对角阵，并且， A 的特征
向量均是矩阵 B 的特征向量。证明： AB BA。
-3-
02-03 学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）
1
1． 025
1
2002
3
-1-
所截有界部分在 x y 平面上的投影区域的草图（应标
明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线
x x
2y y
z 2z
2且与 x y 平面垂直的
1
平面方程.
四（12%）求矩阵方程 XA 2X B 的解，其中，
. 3
A
0 0
1 1 0
1 0 3
,
B
1 3
0 2
1 1
6．若４阶方阵 A 的秩为２，则伴随矩阵 A的秩为 ；
7．若可逆矩阵
P
使
AP
PB
，
B
1 0
2 3
，则方阵
A
的特征多
项式为 ；
8．若３阶方阵 A 使 I A,2I A, A 3I 都不可逆，则 A 与对角阵
相似（其中， I 是３阶单位阵）；
0 1 1
9．若
A
x 1
1 2
y 0
与对角阵相合，则
几何与代数历年真题
01-02 学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一（30%）填空题：
1．
设
， (1, 2)
，则 (1, 1)
T
；T =
；
( T )100
；
1 2 0
2 3 4
2．
设矩阵
A
Байду номын сангаас
0
3
， 1
B
0
5
6
，则行列式
AB1
；
1 3 0
0 0 7
3． 若 向 量 组 1,2,3 线 性 无 关 ， 则 当 参 数 k
0
，求
X
99
．
1
三． 计算题、解答题（三小题共３２分）
16．设向量组
1 1 2 2
1
2
1
,
2
1 0
,
3
1 1
,
5
3
0 2 a b
-5-
V 是 L(1,2,3) 生 1,2,3 成 的 空 间 ． 已 知 ， 维(V ) 2 V ． （１） 求 a,b ； （２） 求V 的一个基，并求 在此基下的坐标； （３） 求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程
五（12%）设线性方程组
x1 x2 x3
x4
0
x1
3x2 5x3 x2 px3
5x4 2 x4
2 q
3x1 2x2 x3 ( p 3)x4 1
1． 问：当参数 p,q 满足什么条件时，方程组无解、
有唯一解、有无穷多解？
2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
1 1 1 1
二．计算题（每小题 8 分，共 24 分）
20 1 5
13． 1 1 0 1 1 2 3 1 30 1 2
14．求直线 l : x 2 y 1 z 1 在平面 : x y 2z 1 0 上的垂直投 2 12
影直线方程．
1 0 2
1
15．设
XA
AB
X
，其中
A
0 1
2 0
， 0
1
B
；
2 3 0 1
2．
1 0
1 0
0 2
；
3．若 A 是正交矩阵，则行列式 A3AT ；
4．空间四点 A(1,1,1) ， B(2,3, 4) ， C(1, 2, k) ， D(1, 4,9) 共面的充要
条件是 k ；
5．点 P(2, 1,1) 到直线l : x 1 y 1 z 的距离为 ； 2 2 1
x12 x22 4x1x2 2x1x3 2x2 x3 1
求出正交变换和标准形）并指出曲面类型． 18．设 D 为由 yoz 平面中的直线 z 0，直线 z y,(y 0) 及抛物
线 y z2 2围成的平面区域．将 D 绕 y 轴旋转一周得旋 转体 ．（１）画出平面区域 D 的图形；（２）分别 写出围成 的两块曲面 S1, S2 的方程；（３）求 S1, S2 的 交线 l 在 zox 平面上的投影曲线 C 的方程；（４）画 出 S1, S2 和l ， C 的图形． 四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分） 19．设 是线性方程组 Ax b 的一个解， b 0 ，1,2 是导出 组 Ax 0的基础解系．证明：,1 ,2 线性无关． 20．设 是３维非零实列向量， 2 ．又 A T ．（１） 求 A 的秩；（２）求 A 的全部特征值；（３）问 A 是 否与对角阵相似？（４）求 I A3 ．
为
；
8． 设实二次型 ，则当 满足条件 f (x1, x2, x3) x12 kx22 x32 2x2x3
k
时， f (x1, x2, x3) 1是椭球面；当 k 满足条件
时，
是柱面。 f (x1, x2, x3) 1
二
（8%）记
1
为由曲线
z
x
y2 0
3
绕
z
轴旋
转所产
生的旋转
曲面,2 为以1与平面3 : x y z 1的交线为准线，母线平 行于 z -轴的柱面。试给出曲面1及2的方程 ，并画出1被3
六（12%）设矩阵
A
3 1
1 3
2 k
0 2
，已知
秩(
A)
2
。
1． 求参数k 的值；
2． 求一 4 2矩阵B,使得AB O,且秩(B) 2;
3． 问：是否存在秩大于 2 的矩阵 M 使得 AM O ？为什
么？
七（12%）设实对称矩阵
0 0 1
1
A
0 1
k 0
0 0
与B
l
1
相似.
-2-
(x,
y)
；
10 ． 设 ， A A1, A2, A3, A4 其 中 列 向 量 线 A1, A2, A4 性 无 关 ， A3 2A1 A2 A4 ，则齐次线性方程组 Ax 0的一个基础解
-4-
系是 ；
11．设 A, B 都是３阶方阵， AB O ， r(A) r(B) 2 ，则 r(A) r(B)
（ ）
（Ａ）5； （Ｂ）4； （Ｃ）3； （Ｄ）2
12．设 n 阶矩阵 A 满足 A2 2A，则以下结论中未必成立的
是（ ）
（Ａ） A I 可逆，且 (A I)1 A I ；
（Ｂ） A O 或 A 2I ；
（Ｃ）若 2 不是 A的特征值，则 A O； （Ｄ） A 0或 A 2I 。