中南财经政法大学微积分复习重点
中南财大微积分下.
中南财经政法大学2005^006学年第二学期期末考试试卷课程名称：《微积分》(B )卷 课程代号： ______________ 考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校各经济、管理专业......... 土旧.........................(共9题, 每题2分)s2.设l=tj[f(tx)dx ，其中f(x)连续，snO ，tnO 。
积分I 的值与变量 _________________ 关。
□03.正项级数送u n 收敛的充要条件是__________________________________________QO4•送n!x n的收敛域是_____________________________5 •已知:sin x 宀2，则• o二sin xcosx ,dx 二 xx . z ^cz6.若一 =l n —，则一= __________ 。
z y ex7•若区域D 由1兰x 2+y 2兰4所决定，则J Jd^ = __________ 。
D1 12 1&一、填空题: 1•若 °ln tdt =xln(rx)，则二=9•微分方程/ +/=12y的一般解是____________ 。
1设函数是la,b 1上定义的连续函数，且& f 2(x)dx = 0，则f (x) =0。
* a2、若函数z = f(x, y)在点x o，Y o连续，则函数z = f(x,y)在“y。
点可微分。
得分评阅人、判断正误并说明理由：(共4题，每题5分)3、若数列：是数列「uj的一个子列, x un收敛，则7 U nk也收敛n T n吕.^arctan x2、计算(0 -cta -dx 4、设 f(xy,x-y) =x 2y 2，则 f x (x, y) f y (x,y^2(x y)得分评阅人1 cos2x14xdx（每题8分，共40 分）1 已z3、设z f (xy) y (x y), f,：:具有二阶连续偏导数，求一x : x：y4、计算二重积分Sin y dxdy，其中D是由曲线y?二x，直线x二y所围成的平面区域D y5、求微分方程(sin y xcoty)/ = 1的解。
2025年考研数学微积分重点知识点
2025年考研数学微积分重点知识点考研数学一直以来都是众多考生心中的一座大山，而微积分更是这座大山中的主峰。
对于计划在 2025 年参加考研的同学来说，深入掌握微积分的重点知识点是取得高分的关键。
一、函数、极限与连续函数是微积分的基础，理解函数的概念、性质和分类至关重要。
要清楚函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
极限的概念是微积分的核心思想之一。
需要掌握数列极限和函数极限的定义、性质和计算方法。
极限的计算方法有很多，比如利用极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换、洛必达法则等。
连续的概念是建立在极限基础上的。
要理解函数在一点连续的定义，以及连续函数的性质，如介值定理和零点定理。
二、导数与微分导数是函数变化率的度量。
要掌握导数的定义、几何意义和物理意义。
能够熟练运用求导公式和求导法则计算函数的导数，包括基本初等函数的导数、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导等。
微分则是导数的一种应用。
理解微分的定义和几何意义，掌握微分的计算方法以及在近似计算中的应用。
三、中值定理与导数的应用中值定理是微积分中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理是证明等式和不等式、研究函数单调性和凹凸性的有力工具。
利用导数可以研究函数的单调性、极值和最值。
通过判断导数的正负来确定函数的单调性，进而求出函数的极值和最值。
同时，还可以利用导数来描绘函数的图形，包括函数的凹凸区间和拐点。
四、不定积分不定积分是求导的逆运算。
要掌握不定积分的概念、性质和基本积分公式。
学会运用换元积分法和分部积分法计算不定积分。
换元积分法包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
分部积分法是将一个复杂的积分转化为较简单的积分。
五、定积分定积分的概念是由曲边梯形的面积引出的。
要理解定积分的定义、几何意义和物理意义。
掌握定积分的性质和计算方法，包括牛顿莱布尼茨公式。
定积分的应用非常广泛，如计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、变力做功等。
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
微积分上重要知识点总结
微积分上重要知识点总结1、常用无穷小量替换常用等价无穷小： 当r T 0时,sin 兀〜AT , arcsin x 〜x, tan x 〜x, arctan x 〜x, ln(l + x )〜《v,b —l~x, 1 -cosx — -x 2.2、 关于邻域:邻域的立义、表示（区间表示、数轴表示、简单表示）;左右邻域、空心邻域、有界集。
3、 初等函数:正割函数sec 就是余弦函数cos 的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域4、 收敛与发散、常数A 为数列的极限的左义、函数极限的左义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A 的充要条件、极限的证明。
5、 无穷小量与无穷大量:无穷小量的泄义、运算性质、左理（无穷小量与极限的替换）、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。
6、 极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质（保序性）。
7、 极限的四则运算法则。
8、 夹逼左理（适当放缩）、单调有界迫理（单调有界数列必有极限）。
9、 两个重要极限及其变形 10、 等价无穷小疑替换定理11、 函数的连续性:定义（增量泄义法、极限定义法）、左右连续12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点，左、右极限都存在的就是第一类间断 点，第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。
左右极限至少有一个不存在的间断点就是 第二类间断点。
13、 连续函数的四则运算14、 反函数、复合函数、初等函数的连续性15、 闭区间上连续函数的性质:最值左理、有界性泄理、零值迫理、介值定理。
16、 导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。
17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 1•常数和基木初等函数的导数公式18. 隐函数的导数。
19、高阶导数的求法及表示。
大学微积分总复习提纲
2
微积分（一） calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微 结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法
《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)
微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）()()().yz,x z yz ,xz,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数具体形式已知初等函数问题()()().xz,x x 3,dxdz 2,y ,x f ,y y 1xz0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：求具体点偏导解法：*().yz,00y ,x ∂∂可求出类似()().yzy ,x y ,x f ,*.x z ,x z 2,y y ,x f 1xz∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：求偏导函数 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2) 1) 4), Ex9 3) 2)().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=.dy yzdx x z dz ,yz ,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex13 2) 7) 3)().yz,x y z ,y x z,x z ,y ,x f z .3222222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题().y x z ,x z y ,x f z :y x z .P225,*2的偏导再求此新函数关于）（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P253 Ex12 1) 2).,)107(P219,..4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex16 1) 4)两例的法一即可！学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P224~P223.),167(P224),157(P223..5-- 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分 求二元函数的极值和条件最值()()()./8.7P229,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：的极值求二元初等函数问题''''''''⎪⎩⎪⎨⎧='='''= .32P230*解答过程、例例学会配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P254 Ex20 1) 4)()()()()()()()().y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y yx x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：的驻点求）令）解法步骤：下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令令λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：()()()式：之间的关系如下经验公万元费用及报纸广告万元与电台广告费用万元销售收入统计资料据商品的广告报纸两种方式做销售某某公司通过电台、）例y x R ,. 22y 10x 2xy 8y 32x 1415R ---++=.,5.1 求相应的最优广告策略万元且用尽为若提供的广告费用5.1y ,0x Key ==：第三部分 定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！()()()()()()()().a Fb F x F dx x f 2,x F x f ,1.dx x f ,x f .1b a ba ba -==⎰⎰从而）的一个原函数求出利用求不定积分的方法）莱布尼兹公式：—牛顿主要方法）求解定积分具体形式已知问题()[].,,f f f ,c ,b ,a x f *bc ca ba 再进行计算均取明确形式使得右端每个被积函数性质“拆区间”定积分的则需利用为分段点比如以上的分段函数是若重点：⎰⎰⎰+= 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰为偶函数为奇函数有公式如下：定积分称时当积分区间关于原点对特殊方法）f ,f 2f ,0f f ,a 0aa -aa -().1100.1xdx 2dx x 2dx x ,x .0dx x 1x xdx sin x ,x 1x ,x sin x .dx x x 1x x sin x .101011112112221122=++=====∴=-=∴-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰----从而原式为偶函数均有奇函数）特点！（务必注意积分区间的解：求解例()()()()()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]().,Hospital 'L ,2.x v x v f x u x u f dt t f x u x u f dt t f .x f x dt t f x 1.2x u x v x u axa 可求解某些极限法则结合利用以上求导公式）进一步有公式：的求导公式：熟记函数）要点）变限积分的求导及应用问题⎪⎩⎪⎨⎧'-'=''⋅='=Φ'=Φ⎰⎰⎰配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P186 Ex5 1), Ex4 1) 2).:4P1631P1621.3积分变量状选择适当的注意针对不同的区域形例例典型例—求平面图形面积）—几何应用一）要点）济应用定积分的几何应用与经问题+配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P189 Ex22 1) 3) 4)..21624619,6226P1662转体体积运用以上两公式求解旋及其适用的图）（熟记公式及其适用的图）（公式熟记—求旋转体体积）—几何应用二）----.236P166.,.*即运用了此原理）（式例如实心体积所求体积转化为若干则只能间接利用公式将若考察空心旋转体体积特征的旋转体体积“实心”于求解具有以上两公式只能直接用注意：-配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P189 Ex29 3) 5)()()()().9P170,8P169.286~266169~P168.a ,dt t F a F x F ,x F 3xa 例例典型例：）（）（公式熟记为选定的常数其中莱布尼兹公式可得—则由牛顿若已知原理：—已知边际求总量）—经济应用）--'+='⎰ 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P190 Ex33, Ex34第四部分 二重积分相关要点().,y x D ,7.7P238,y x D 3x y 227,y )b (277P239D ;y x 217,x )a (277P239D D 2D 1.dxdy y ,x f ,D .1D果再分别写出累次积分结区域型”“或型”“划分为若干标准的将）性质（则需利用分块积分法则型”“或型”“并非标准的若）形式的累次积分”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若形式的累次积分”内“外写出）（公式则运用区域型”“之图为若的形状：判断）的草图出在平面直角坐标系中画）解法步骤）累次积分次序表达为两种将二重积分具体形式已知区域问题----------⎰⎰2P241例典型例：配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex30 3) 1)().1,,dxdy y ,x f 2,D 1..2D”“问题方法同积分按要求写出另一种累次对于）的形状区域根据题目形式写出积分）要点）积分次序将给定的累次积分交换问题⎰⎰3P241例典型例：配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex31 1) 3) 4) 2)()()()()().)257(),267(~)247(P245~P244,r ,rdrd rsin ,rcos f ,rsin y ,rcos x ,,xyy x y ,x f ,*.,3,y ,x f D 2,D 1.dxdy y ,x f ,D y ,x f .322D即可熟记重点公式具体结果见的累次积分关于内层、外层关于再将此新二重积分化为化为将原积分即令标系计算则上述过程宜采用极坐的形式或为关于且扇形等环、若区域形状为圆、最终求出原二重积分上述累次积分由内层至外层逐层计算）积分次序表达的形式选择适当的累次的形状及根据）的草图画出积分区域）要点）计算的具体形式和积分区域已知问题---θθθθθ=θ=+⎰⎰⎰⎰8P246,5,64,P242例例例例）：（建议按以下顺序复习典型例配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)()()().3.dxdy y x,f V .D y ,x f z .D xy ,y ,x f z .4D中方法求此二重积分再利用问题则平面区域的“底”及作为的函数“顶”由题意准确识别出作为要点：的曲顶柱体体积为底平面上某区域为顶求以非负曲面问题⎰⎰=== 配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P256 Ex35 1) 2)第五部分 其它要点摘录()()()()()()()142x 0ab.z f x,y ,f x,y .2.P147 6.3P186Ex21)2)4).3.e dx .dx,dx,f x dx dx b +∞-∞+∞∞-∞==∈⎰⎰⎰⎰⎰+a-a理清偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系理清的极值点、驻点的关系熟用性质并练习熟记概率积分按定义判定无穷限积分f x f x 的敛散性；能识别瑕积分,并按定义判定瑕积分f x （三类：分别a 、、c a,b 为瑕点）的敛散性。
大一微积分前五章知识点
大一微积分前五章知识点微积分是数学的一门重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。
作为大一学生的你，将要学习微积分的前五章内容。
下面将介绍这五章的主要知识点和概念。
第一章：数列与极限1. 数列的概念：数列是由一系列有序的数按一定规律排列而成的。
2. 数列的极限：当数列的项随着自变量的变化而趋近于一个确定的常数时，称该常数为数列的极限。
3. 收敛数列与发散数列：若数列存在极限，则称为收敛数列，否则称为发散数列。
4. 数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性和保号性等重要性质。
第二章：函数与极限1. 函数的概念：函数是一个自变量和因变量之间的映射关系。
2. 函数的极限：当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值根据一定的规则趋近于一个确定的常数，称该常数为函数的极限。
3. 函数极限的运算法则：极限有四则运算法则、复合函数的极限法则等。
4. 无穷小量与无穷大量：在函数极限的计算中，我们常常会用到无穷小量和无穷大量的概念。
第三章：连续函数与导数1. 连续函数的定义：函数在某一点上的函数值等于该点的极限，我们称该函数在该点连续。
2. 连续函数的性质：连续函数具有保号性、介值性和局部有界性等重要性质。
3. 导数的概念：导数是描述函数变化快慢程度的量，用于研究函数在任意点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：导数具有基本运算法则、常用函数的导数公式等。
第四章：微分学的应用1. 微分的几何应用：微分学常用于求曲线的切线和法线、求曲率等几何问题的解决。
2. 最值与最值问题：利用微分学的知识，可以求函数的最大值、最小值及其所对应的自变量。
3. 函数的单调性与曲线的凹凸性：通过函数的导数可以判断函数的单调性和曲线的凹凸性。
第五章：不定积分1. 不定积分的概念：不定积分是反导数的概念，表示求函数的原函数的过程。
2. 基本积分表：基本积分表是常见函数的积分公式，学习时需要熟记并掌握应用。
3. 不定积分的计算方法：通过基本积分表、换元积分法、分部积分法等方法可以计算不定积分。
大一微积分下期期末知识点
大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。
下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。
大一微积分需要记的知识点
大一微积分需要记的知识点微积分是现代数学的重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念与方法。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些基本的知识点是非常必要的。
下面将介绍大一微积分需要记住的知识点。
1.函数的基本概念函数是一种特殊的关系，可以将一个集合的元素与另一个集合的元素进行对应。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的定义域、值域、图像等是我们需了解的重要概念。
2.极限的定义与性质极限是微积分的基本概念，描述函数在某一点附近的特性。
若函数f(x)当自变量趋向于某个值a时，函数值趋向于某个常数L，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作limf(x)=L。
掌握极限的定义、性质以及求解方法是大一微积分的重要内容之一。
3.导数的概念与计算导数是刻画函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为函数f(x)在点x处的极限，记作f'(x)或df(x)/dx。
通过求导可以求得函数的切线、函数极值等重要信息。
4.常见函数的导数运算在大一微积分中，我们需要熟悉常见函数的导数运算规则。
例如，常值函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数等等。
掌握这些导数运算规则可以帮助我们更快地求解导数问题。
5.高阶导数与导数应用除了一阶导数，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数，以此类推。
高阶导数可以帮助我们进一步研究函数的性质。
导数在物理、经济等领域有着广泛的应用，如速度、加速度等概念可以通过导数来描述。
6.不定积分与定积分的概念不定积分是导数的逆运算，也称为原函数。
定积分是对函数某一区间上的面积进行求解的数学工具。
掌握不定积分和定积分的概念以及基本计算方法是大一微积分的重点内容。
7.基本微积分定理基本微积分定理将不定积分与定积分联系起来，是微积分的重要定理之一。
它指出，若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则函数在区间上的定积分可以通过求解该原函数在区间端点处的函数值之差得到。
大学微积分l知识点总结(完整版)
大学微积分l 知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式：ab 2ba ≥+ab2b a 22≥+3abc 3c b a ≥++ ()n n21n 21...a a a n a ...a a ≥+++abc 3c b a 333≥++2b a 2b a ab b1a 1222+≤+≤≤+b a b a b -a +≤±≤()nn 21n 21n 21n x ...x x y p p x ...x x x ...x x y ⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++•••=的最大值为：则为常数，且扩展：若有柯西不等式：设a 1、a 2、...a n ，b 1、b 2、...b n 均是实数，则有：()()()()()()()()()22221222212n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++()时取等号为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ2、函数周期性和对称性的常用结论1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），则f （x ）具有对称性。
口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性（1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a（4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a （5）若f （x+a ）=【1+f （x ）】/【1-f （x ）】，则T=4a 3、对称性（1）若f （a+x ）=f （b-x ），则f （x ）的对称轴为x=（a+b ）/2（2）若f （a+x ）=-f （b-x ）+c ，则f （x ）的图像关于（（a+b ）/2，c/2）对称引申双向不等式： 两侧均在ab ≥0或ab ≤0时取等号4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
大学微积分知识点归纳总结
大学微积分知识点归纳总结微积分是数学的分支之一，是研究变化率和累积效应的数学工具。
在大学中，微积分通常是理工科学生必修的一门课程，也是后续学习高等数学和其他相关学科的基础。
本文将对大学微积分中的一些重要知识点进行归纳总结，帮助读者复习和回顾相关概念和技巧。
一、导数与微分导数是微积分中最基础的概念之一，表示函数在某一点处的变化率。
导数的计算方法包括用极限和求导法则两种途径。
其中，求导法则主要包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。
通过运用这些法则，我们可以计算各种函数的导数。
微分是导数的一种应用形式，表示函数在某一点附近的近似线性变化量。
微分的计算方法是利用导数的概念，通过对变量的微小改变进行线性逼近得到。
微分在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值，例如在运动学中描述物体的速度和加速度。
二、积分与不定积分积分是导数的反运算，表示函数曲线下某一区间上的累积效应。
积分的计算方法包括定积分和不定积分两种形式。
其中，定积分是计算函数在给定区间上的累积值，可以通过黎曼和牛顿-莱布尼茨公式进行求解。
而不定积分是求解函数的原函数，通常表示为一个函数族，通过添加常数项来表示原函数的不确定性。
在应用方面，积分可以用于求解曲线下的面积、物体的质量和流体的体积等问题。
它也是微分方程中的重要工具，用于求解描述变化规律的方程。
三、微分方程与应用微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，描述了变量之间的关系。
微分方程在自然科学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
常见的微分方程类型包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等。
求解微分方程的方法主要包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征根法、常系数线性微分方程的待定系数法和变化参数法等。
通过运用这些方法，我们可以推导出函数的解析表达式，揭示变量之间的定量关系。
微积分作为数学的一门基础课程，不仅具有理论的重要性，更有实际的应用价值。
中南财经政法大学微观经济学复习重点
《微观经济学》复习考试大纲第二章需求与供给的一般原理重点掌握：需求曲线、供给曲线、供求曲线的共同作用、需求弹性与供给弹性、运用供求曲线的事例复习要求：识记需求、需求曲线、供给、供给曲线、均衡价格、均衡数量，掌握价格机制的形成、各弹性概念。
习题：一、概念：需求供给均衡价格需求弹性供给弹性需求的收入弹性需求的交叉弹性二、简答与分析1、分析并说明引起需求和供给变动的因素分别是什么？2、运用供求原理说明谷贱伤农的道理3、影响需求价格弹性的因素有哪些？三、计算1、若市场需求曲线为，求价格2时需求的点弹性，并解释怎样调整价格才能使得总收益增加。
第三章消费理论重点掌握：效用的基本概念、序数效用理论的消费者均衡、价格变化与收入变化对消费者均衡的影响、价格变动的替代效应与收入效应复习要求：识记总效用、边际效用、基数效用与序数效用、消费者剩余、无差异曲线的性质、预算约束线、恩格尔曲线、恩格尔系数、收入效应与替代效应的含义，了解边际效用递减法则、等边际原理习题一、名词解释效用边际效用预算线无差异曲线商品的边际替代率消费者剩余二、简答与分析1、以序数效用论分析消费者均衡。
2、对正常物品而言，为什么消费者的需求曲线向右下方倾斜？请以收入效应和替代效应的图示说明。
3、低档物品的需求曲线的特征如何？以收入效应和替代效应的图示说明。
4、吉芬物品的需求曲线的特征如何？以收入效应和替代效应的图示说明。
三、计算1、若某人的每月收入为120元，其效用函数为，X、Y的价格分别为2元和4元，试问：（1）为获得最大化的效用，他分别购买几单位的两种商品？（2）货币的边际效用和总效用分别是多少？（3）若X的价格提高44％，Y的价格保持不变，为保持其原有效用水平，收入必须增加多少？2、假定某消费者的效用函数为，两水平的价格分别为、，消费者的收入为M，求消费者对于两种商品的需求函数。
第四章生产理论重点掌握：一种可变生产要素的生产函数、边际报酬递减规律、两种可变生产要素的生产函数（等产量线、边际技术替代率）、等成本线、最优生产要素组合、规模报酬复习要求：识记生产函数、边际技术替代率、单一生产要素的合理投入区域、总产量、平均产量、边际产量的概念与公式及图形、边际报酬递减规律、生产的三个阶段、等产量曲线的含义与特性、最优生产要素组合、规模报酬的含义及类型习题一、名词解释边际产量边际报酬递减规律等产量线规模报酬二、简答与分析1、单一生产要素的合理投入区域如何确定？2、为什么边际技术替代率会出现递减？3、以图示说明厂商在既定成本条件下实现最大产量的最优要素组合原则。
中南财经政法大学微积分上期末复习题
一、填空题：1、()3201sinlim arctan x x x x →= . 2、lim x →+∞= . 3、设0x →时，()()21cos ln 1x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比()21x e -高阶的无穷小，则正整数n = .4、()f x 二阶可导，()()000lim 1x f x f x →'''==，，则()0f 是()f x 的 （填极大值、极小值）。
5、曲线()()2121arctan 12x x x y e x x +-=⋅+-的水平渐近线为 . 6、设0tan ()lim (1)x tx f t t x→=+，0t ≠，则()f t '= . 7≈ （答案请用分数表示）。
8、()f x =，则0x =是函数的 （填间断点具体类型）。
9、微分方程'2sin 0y y x -=的通解为__________________________________.10、设()ln 1f x x '=+，且()01f =，则()f x = .二、计算题：1. 求极限sin 01lim (ln ).x x x +→2. ()3221.1dx x +⎰3. 已知()y f x =在(,)-∞+∞连续, 其导函数()f x '的图形如下图所示. 指出()y f x =的极大、极小值点, 并说明理由。
4. 设2()3(ln )fx y f x e =，其中()f x 可导，求.y ' 5. 已知22ln 40y x y x +-=，求dy .6. 求.x7.设()F x 为()f x 的原函数，且当0≥x 时，()()2xxe f x F x =. 又已知(0)2F =，()0>F x ，试求()f x .8. 求极限1.lim()→∞+x x x三、证明题：已知函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()00,11f f ==.证明:(1)存在()0,1ξ∈，使得()1f ξξ=-；(2)存在两个不同的点(),0,1ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=.四、应用题：某产品的成本函数2()C Q aQ bQ c =++，需求函数为1()Q d P e=-，其中C 为成本，Q 为需求量（即产量），P 为单价；,,,,a b c d e 为正数，且d b >. 试求：（1）产量为何值时利润最大；（2）价格取何值时，商品的需求弹性为单位弹性，并说明其经济含义。
微积分重点知识点梳理
微积分重点知识点梳理微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念和方法。
它是研究函数变化规律、求解曲线斜率和曲线面积等问题的数学工具。
本文将对微积分的重点知识点进行梳理，帮助读者理解和掌握微积分的核心内容。
1. 函数的极限函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点处的极限可以描述函数的趋势和性质。
在函数的极限求解过程中，常用的方法有代数运算法、夹逼准则法和无穷小量法等。
函数极限的概念和求解方法对于理解微积分的后续内容非常重要。
2. 导数与微分导数表示函数在某一点处的变化率，是微积分的重要概念。
求导的过程可以帮助我们研究函数的斜率和变化趋势。
在求导的过程中，需要掌握基本的导数公式和求导法则，并能够应用它们解决实际问题。
3. 高阶导数与导数应用高阶导数是导数的导数，表示函数变化率的变化率。
通过研究高阶导数，我们可以更深入地理解函数的曲率和变化趋势。
在实际问题中，高阶导数的应用非常广泛，如求解最值、曲线拟合和泰勒展开等。
4. 积分与不定积分积分是导数的逆运算，求解函数曲线下的面积和定积分值。
通过对函数进行积分，我们可以得到函数的原函数或不定积分。
在积分的过程中，需要掌握积分的基本公式和常用积分法则，并能够应用它们解决实际问题。
5. 定积分与面积应用定积分表示函数在给定区间上的面积或曲线长度等量值。
通过定积分，我们可以求解实际问题中的面积、曲线长度、质量和质心等相关量。
在定积分的应用过程中，需要理解积分区间的选择、积分上下限的确定以及定积分的几何和物理意义。
6. 微分方程微分方程是描述变量之间关系的数学方程，是微积分与方程的结合体。
微分方程在自然科学和工程技术等领域中具有广泛的应用，如物理学中的运动学、化学中的反应动力学等。
掌握微分方程的基本概念和解法，可以帮助我们解决与变化和变动有关的实际问题。
总结起来，微积分是一门研究函数变化和趋势的数学学科，涵盖了函数极限、导数与微分、高阶导数与导数应用、积分与不定积分、定积分与面积应用以及微分方程等重要概念和方法。
大一微积分前五章知识点总结
大一微积分前五章知识点总结微积分是数学的重要分支，它的应用广泛且深远。
作为大一学生，学习微积分是我们深入理解数学和科学的基础。
在大一的微积分课程中，前五章的知识点是我们建立起微积分基础的关键。
本文将对大一微积分前五章的知识点进行总结，帮助大家更好地掌握这些重要的概念和技巧。
第一章：导数导数是微积分的核心概念之一。
它描述了函数的变化率，并且在计算曲线的斜率和速率等问题中起到了重要作用。
在学习导数时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 利用极限的定义计算导数：通过求极限的方式，我们可以得到函数的导数。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
2. 导数的几何意义：导数可以解释为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
这个概念有助于我们理解函数的变化趋势以及求解最值等问题。
3. 常见函数的导数：对于常见的函数（如多项式函数、三角函数、指数函数等），我们需要熟悉它们的导数公式，并能够熟练地应用这些公式进行求导。
4. 高阶导数：导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率的变化率。
高阶导数在函数的凹凸性和曲率等问题中有重要的应用。
第二章：微分学微分学是导数的应用。
它帮助我们研究函数的性质和应用，包括函数的极值、最值、增减性以及函数模型的建立等。
下面是关于微分学的几个重要知识点：1. 微分的定义和性质：微分是导数的应用之一，它表示函数在某一点附近的近似变化。
微分的定义和求解方法对于后续的应用问题具有重要意义。
2. 函数的极值与最值：利用导数的概念，我们可以找到函数的极值点（包括最大值和最小值）。
这里需要注意的是，极值点必然是函数导数为零或不存在的点。
3. 函数的增减性：通过对函数的导数进行区间判断，我们可以得到函数的增减性。
这个概念可以帮助我们研究函数的单调性和区间划分等问题。
4. 函数模型的建立：利用微分学的知识，我们可以建立函数模型，描述实际问题中的变化规律。
这对于工程、经济等领域的问题求解具有重要意义。
8-3微积分(下)中南财经政法大学
多元函数的各偏导数存在
全微分存在
xy 例如， 2 2 x y f ( x, y) 0
在点( 0,0 ) 处偏导存在，且
x2 y2 0
.
x2 y2 0
f x(0,0) f y(0,0) 0
但函数在点( 0,0) 处不可微.证明如下：
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
,
依定义知在(0,0) 处， f x ( 0,0 ) f y ( 0,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续.
对多元函数来说,函数的偏导数
存在与否与函数的连续性无必然关系.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
全微分概念的极限形式
z ( A x B y) x y
2 2
x 0 y0
lim
0
三、可微的条件
定理8.1 （必要条件） 如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数 z z 、 必存在，且函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的 x y 全微分为 z z dz x y ． x y
0,0时 方向趋于
0即（x, y） 0,0, 当（x, y）沿x＝y
x y
ห้องสมุดไป่ตู้lim
y x x 0
( x ) 2 ( y) 2
1 x x , lim 2 2 x 0 ( x ) ( x ) 2
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杨皓&罗捍东微积分重点综合来源：汪凤的日志
杨皓&罗捍东微积分重点综合
考试范围Unit6~Unit9 6，8章为绝对重点！
第六章定积分 30%
见到和即可判断是否为定积分
积分上限函数求导（牛顿莱布尼兹公式的应用）
定积分计算（还愿、定积分性质、奇偶、分段、三角函数）
定积分几何应用（面积、体积、最值，其中体积只考旋转法）一定要画图！！定积分经济应用广义积分初步老师米有说
第七章无穷级数 15%
正项级数敛散性判别（小题）
常数项级数（条件收敛绝对收敛）
幂级数（收敛半径域和函数）
幂级数展开（仅间接展开最基本的少并且easy）
第八章多元函数微积分学 40%
8.1不考
偏导数
全微分及其应用（不要鸟定义）
多元复合函数求导法则（抽象符合——从简啊从简） BUT 也是难点。
多元函数的极值与最值10’+
二重积分（化、换次序、求直角极坐标）
No 8.8
第九章微分方程初步 <15%
一阶微分方程只考最最直接简单的
应用题from定积分应用平面面积旋转V 多元函数极值最值
课后习题&练习册重要啊！
When you are old and grey and full of sleep,
And nodding by the fire, take down this book,
And slowly read, and dream of the soft look
Your eyes had once, and of their shadows deep;
How many loved your moments of glad grace,
And loved your beauty with love false or true,
But one man loved the pilgrim soul in you,
And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled
And paced upon the mountains overhead
And hid his face amid a crowd of stars.
The furthest distance in the world
Is not between life and death
But when I stand in front of you
Yet you don't know that
I love you.
The furthest distance in the world
Is not when I stand in front of you
Yet you can't see my love
But when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.
The furthest distance in the world
Is not being apart while being in love
But when I plainly cannot resist the yearning
Yet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the world
Is not struggling against the tides
But using one's indifferent heart
To dig an uncrossable river
For the one who loves you.。