实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求已知集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，则A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。

T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。

（Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。

T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F（即Fс∪ｉєＩUi），则ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F⊂ｍ∪ Ui）（iєI）4、开（闭）集类、完备集类。

开集类：Rⁿ，Φ，开区间，邻域、Ė、Pо闭集类：Rⁿ，Φ，闭区间，有限集，E΄、E、P完备集类：Rⁿ，Φ，闭区间、P二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。

第三章测度论基本要求：1、理解外测度的概念及其有关性质。

2、掌握要测集的概念及其有关性质。

3、掌握零测度集的概念及性质。

4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。

5、会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。

要点归纳：外测度：①定义：E⊂Rⁿ Ii（开区间）∞∪ IiכE m*（E）=inf∑ｉ│Ii│②性质：(1) 0≤m*E≤+∞（非负）（2）若AсB则m*A≤ m*B（单调性）（3）m*（∞∪A i）≤∞∑m*A i（次可列可加性）③可测集：E⊂Rⁿ对任意的TєRⁿ有：m*（T）= m*（T∩E）+ m*（T∩CE）称E为可测集，记为mE 其性质：1）T1：E可测⇔∀ A⊂E B⊂C E使m*（A∪B）= m*A+ m*B2）T2：E可测⇔CE可测④运算性质：设S1、S2可测⇒S1∪S2可测（T3）；设S1、S2可测⇒S1∩S2可测（T4）；设S1、S2可测⇒S1-S2可测（T5）。

⑤ S1、S2…S n可测⇒∪S i可测（推论3）∩S i可测（T7）⑥ S1、S2…S n…可测，Si∩Sj=φ⇒∪Si可测 m(∪Si)=∑m(Si)(T6)⑦ Si 递增,S1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪Si)=lim mSi=Ms(T8)⑧ Si 递降可测, S1כS2כS3כ…当m S1<+∞⇒lim m(∩S i)=lim mS n (T9)⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0，1]∩Q、Ф、P零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。

2）区间是可测集 m I=│I│ 3）开集、闭集；4）Borel集定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集如[-1，1]；设F可表为一列闭集之并，则称为Fσ型集，如[0，1]Borel集定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。

T6：设E是任一可测集，存在Gδ集，使E⊂G，且m（G-E）=0T7：设E是任一可测集，存在Gσ集，使F⊂E，且m（F-E）=0可测集是存在的。

第四章可测函数基本要求：1、掌握可测函数的概念和主要性质。

2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…）的概念。

3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。

5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。

6、了解依测度收敛的概念及其性质。

7、理解三种收敛之间的关系。

(一)基本概念1可测函数：ƒ是定义在可测集E Rⁿ上的实函数，任意的α∈RE[ƒ>α]是可测集，称ƒ（x）是E上的可测函数ƒ可测⇔任意的α∈R E[ƒ≧α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ<α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ≦α]是可测集⇔任意的α，β∈R E[α≤ƒ<β]是可测集（│ƒ│<+∞）几乎处处成立2连续函数、简单函数3依测度收敛、收敛 、一致收敛（二）基本结论：可测函数的性质（8个定理）（1） 充要条件（T 1）4 个等价条件（2） 集合分解T 3（2），ƒ在E i 之并S ∪E i 上，且在E i 上可测=> ƒ在S ∪E i 上可测（3） （四则运算）ƒ ，g 在E 上可测ƒ+g ，ƒg ，│ƒ│，1/ ƒ在E 上可测。

（4） 极限运算 { ƒn }是可测函数列，则μ=inf ƒn λ（x ）=sup ƒn 可测（T5）⇒F=lim ƒn G=── lim ƒn 可测（5） 与简单函数的关系：ƒ在E 上可测 ⇒ ƒ总可以表成一列简单函数{φn }的极限函数 ƒ=lim n φn ，而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…2.ЕгopO в定理：mE<+∞ ƒn 是E 上a .e 于一个a .e 有限的函数ƒ的可测函数 ⇒ 对任意的δ>0存在子集E δ⊂E 使得ƒn 在E δ上一致收敛且m （E-E δ）<δ3Лузин定理：ƒ是E 上a.e 有限可测函数,任意δ>0 ∃闭子集E δ⊂E 使得ƒ在E δ上连续 且m （E-E δ）<δ即在E 上a.e 有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。

4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R 上单调函数、零测度集上函数。

5三种收敛之间的关系：（ E ⊂R ⁿ mE ＜+∞）（ Riesz ：f n ⇒f 则{ f n i }→f a.e 于E ）Lebesgue ：1） mE <+∞；2）f n E 上a.e 有限的可测函数列;3) f n E 上a.e 收敛于a.e 有限的ff n ⇒f(x) 在此mE <+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e 收敛补充定理(见复旦§3.2 T5) mE <+∞, fn 是E 上可测函数列 fn ⇒f ⇔{ fn} 的（任何子列）∀fn i ，总可以找到子子列（∃） fn ij →f a.e 于E三、基本方法 ：1判函数可测（1）集合判别法，任意的a ∊R E[f>a] 是可测集 （2） 集合分解法，E=∪E i E i ∩E j =Ф f 在E i 上可测（3） 函数分解法，f 可表为若干函数的运算时（4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1，T 8）（5） 可测函数类2判断三种函数之间的关系第五章 积分论 基本要求：1、 了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数L 可积和L 积分的概念。

2、 掌握有界函数L 积分的性质。

3、 理解非负函数L 积分与L 可积的概念。

4、 理解一般函数的L 积分确定、L 积分与L 可积的概念。

5、 掌握一般函数的L 积分的性质。

6、 掌握L 积分极限定理。

7、 弄清L 积分与R 积分之间的关系。

8、 熟练掌握计算L 积分的方法。

9、 会利用L 积分极限定理进行有关问题的证明。

10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。

11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。

Lebesgue 积分1、 Riemann 积分 分割、作和、取确界、求极限。

2、 Lebesgue 积分定义1：E=ｎ∪Ei,各E i 互不相交，可测，则称{E i }为E 的一个分划，记作D={E i }定义2：设f 是定义在E ⊂R ⁿ（m E <∞）上的有界函数，D={E i }令B і=ｓｕ ｐｘєＥｉf （x ） b i=ｉｎ ｆｘєＥｉf （x ）大和S （D ，f ）=∞∑Bi m E i = S （D ，f ）小和ş（D ，f ）=∞∑b i m E i=ş（D ，f ）ş（D ，f ）≤S （D ，f ）定义3：设f 是定义在E ⊂R ⁿ（m E <∞）上的有界函数上积分：– ∫Ｅf （x ）dx=inf{ S （D ，f ）}下积分：∫ –Ｅ f （x ）dx=sup ş（D ，f ）若上下积分相等，则称f 在E 上可积，其积分值叫做L 积分值，记（L ）∫E f （x ）dxT1：设 f 是定义在E ⊂R q （m E <∞）上的有界函数，则f 在E 上L 可积‹═›任意的ε＞ 0S （D ，f ）- ş（D ，f ）＜εT2：f 在E 上L 可积⇔f 在E 上可测 （*）对有界函数而言，L 可积⇔可测T3：f ，g 有界，在E 上可测，f±g ，fg ，f/g ， │f │可积T4：f 在[a ，b]上R 可积═›L 可积，且值相等 *L 积分的性质：T-1（1）：f 在E 上L 可积，则在E 的可测子集上也L 可积；反之，E=E 1∪E 2 E 1∩E 2=φ E 1、E 2可测，若f 在E i 上L 可积，则f 在E 上可积∫E fdx= ∫E1fdx+ ∫E2fdx （积分的可加性）（2） f ，g 在E 上有界可测 ∫E （f+g ）dx=∫ E fdx+∫E gdx（3）任意c єR ∫ E c fdx=c ∫E fdx（4）f ，g 在E 上L 可积，且f ≤g 则∫E fdx ≤∫E gdx特别地，b ≤f ≤B ∫E fdx є[bmE ，BmE]推论1：（1）当mE=0 ∫E fdx=0（2）f=c ∫E fdx=cmE（5）f 在E 上可积，则│f │可积，且│∫E fdx │≤∫E │f │dxT-2 （1）设f 在E 上L 可积 f ≥0 ∫E fdx=0 则 f=0 a.e 于E（2）f 在E 上L 可积，则对任意的可测集A 属于E使ｌｉｍ ｍＡ→０ ∫A fdx=0 （绝对连续性）推2：设f ，g 在E 上有界可积，且f=g a.e 于E则 ∫E fdx= ∫E g dx证明思路: E=E 1∪E 2 E 1∩E 2=φ E 1=E [f ≠g]∫E (f- g)dx = ∫E1 + ∫E2 (f- g)dx=0注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E 的一个零测度子集0E 上无定义亦可.2)从E 中除去或添加有限个或可数个点L 积分值不变一般函数的积分一、 非负函数：f, E ⊂E ｑ二、 定义: f ≥0 E ⊂E ｑ mE <∞[f(x)]n={ｆｎ ｆ≤ｎｆ＞ｎ 称[f]n 为（E 上）截断函数性质：（1） [f(x)]n 有界非负， f ≤n（2）单调 [f]1≤[f]2≤[f]3≤…（3）ｌｉｍｎ→∞[f]n=f （x ）定义1：设f 为非负（于E ）可测（mE <∞）称∫Efdx =∫E ｌｉｍｎ→∞[f]n d x （若存在含无穷大）为f 在E 上的L 积分当∫E ｌｉｍｎ→∞[f]n d x 为有限时，称f 为在E 上的非负可积函数注：①非负可积一定存在分② L三、 一般函数的积分设f 在E （mE <+∞）上可测， f ＋ f －在E 上非负可测，则│f │可测 ∫E f ＋ dx ∫E f － dx 存在 f= f ＋ - f －∫E f dx=∫E f ＋ dx-∫E f －dx定义 2：设f 在E （mE <+∞）上可测，若∫E f ＋ dx 和∫E f －dx 不同时为+∞ 则称f 在E 上积分确定当∫E f dx <+∞时，则称f 在E 上L 可积注：①f f 的积分确定可积②有界函数 −−−←][f n 非负函数−−−−←-+f f 一般函数 mE <+∞L 积分的性质：定理1-（1）：若 mE=0，则 ∫E f dx=0（2）：f 在E 上可积⇒mE[f=+∞]=0 f 有限a .e 于E同（R ）（3）：f 在E 上积分确定⇒ f 在可测子集E 1 ⊂E 上积分确定12E E E fdx fdx fdx =-⎰⎰⎰ E=E 1∪E 2 (4):f 在E 上积分确定,f=g a .e 于E 则f,g 的积分确定且相等 几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等)同(R)(5):f,g 在E 上非负可测⇒∫E (f+g) dx=∫E f dx+∫E fgdx同(R)(6): f,g 在E 上积分确定f ≤g ⇒ ∫E f dx ≤∫E fgdxL 可积性质定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略)积分极限定理T-1 L 控制收敛定理设1）{fn}是E 上一列可测函数2）│fn │≤f （x ） f 为L 可积函数3）fn ⇒f （fn →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E fn d x=∫E f d xL 有界收敛定理设1）{n f }是E 上一列可测函数, mE <+∞2）│n f │≤K （常数）3）n f ⇒f （n f →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E f dxT-2(Levi)设{n f }是E 上一列非负可测函数, n f ≤1n f +则ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E ｌｉｍｎ→∞ n f dxT-3设{n f }是E 上一列非负可测函数,则∫E ∑∞=1n n f n dx=∑∞=1n ∫E n f dx (逐项积分定理)T-4(积分的可数可加性)f 在可测集E ⊂E ｑ 上的积分确定,且E=∞∪Ei其中E i 为互不交的可测集, 则 ∫E f dx=∞E i f dx有界变差函数分划:T:a=x0 <x1<x2<…<xn=b 若E{∑│()i f x - 1()i f x - │}为界数集则称f 在[a,b]上是有界变差函数 ,上确界称为全变差,记V b a （f ）=sup ∑=ni 1│f （xi ）-f （xi-1）│有限闭区间上满足Lipschtz 条件的f 是有界变差有限闭区间上单调有限函数是有界变差V b a（f ）=│f （b ）-f （a ）│T-2性质：1）()()b c b a a cf f V V V =+（f ）可加性2）f 在[a,b]上是有界变差⇒f 有界3）f ，g 有界变差⇒f ±g ，f g 有界变差T-3（Jordan 分解）f ∈V[a ，b] ⇔f 可分解为两个有限增函数之差有界变差函数不连续点至多可列个，f ∈V[a ，b]，V ba（f ）=0=>f =constT-4(Lebesgue)设f ∈V[a ，b],则1) 在[a ，b]上几乎处处存在导数f'(x)2) f'(x)在[a ，b]上可积3) 若f 是增函数,有∫ｂａ f'(x)dx ≤f(b)-f(a)不定积分定义1:设f 在[a ，b]上L 可积, f ∈L[a ，b]∫[a,x] f dx 称为f 在[a ，b]上的不定积分定义2:设F(x ) 是[a ，b]上的有界函数,∀ε>0 ，∃δ>0 [a i ,b i ]不交,只要∑=n i 1( bi- ai)< δ 就有∑=ni 1│F(bi)-F(ai)│<ε,则称f 为[a ，b]上的绝对连续函数(全连续函数)定理1：f ∈[a ，b] F （x ）=∫[a,x] f dx+C 为绝对连续函数绝对连续⇒一致连续且有界变差f 满足Lipschtz 条件⇒f 全连续T2：F （x ）为[a ，b]上绝对连续函数，F'（x ）=0 a .e 于[a ，b]则F （x ）=constT3: f ∈L[a ，F （x ） ,使F'（x ）= f （x ）a.e 于[a ，b](只需取F （x ）=∫[a,x] f dx)T4: f 是[a ，b]上绝对连续函数,则几乎处处有定义的F'（x ）在[a ，b]上可积, 且 F （x ）= F （a ）+ ∫[a,x] f dx即F （x ）总是[a ，b]上可积函数的不定积分.F 是[a ，b]上绝对连续函数⇔F 是一可积函数的不定积分对绝对连续函数,微分再积分也还原(至多差一常数)T5:(分部积分) f 在[a ，b]上绝对连续,λ(x)在[a ，b]上可积且 g(x)-g(a)=⎰xaλ(x)dx 则有∫ｂａf （x ）λ(x)dx= f （x ）λ(x)│ｂａ-∫ｂａf '（x ）λ(x)dx补充：（见南京大学教材）f є V[a ，b]，则f （x ）=φ（x ）+r （x ）+s （x ）φ（x）为全连续；r΄（x）为奇异函数；s（x）为跳跃函数f（x）=p（x）-n（x）+f（a）p（x）为正变分；n（x）为负变分。