实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析概要

第一章集合基本要求：

1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求已知集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集基本要求：

1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：

1、聚点性质§2 中T1聚点原则：

P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）

2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3

T2：设A⊂B，则A⊂B，·

Ａ⊂

·

Ｂ，

－

Ａ⊂

－

Ｂ。

T3：（A∪B）′=A′∪B′.

3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、

4、5）

T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―

Ｅ都是闭集。（Ė称为开核，

―

Ｅ称为闭包的理由也

在于此）

T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI

它覆盖了F（即Fс

∪

ｉєＩUi），则ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们

同样覆盖了F（即F⊂ｍ

∪ Ui）（iєI）

4、开（闭）集类、完备集类。

开集类：Rⁿ，Φ，开区间，邻域、Ė、Pо

闭集类：Rⁿ，Φ，闭区间，有限集，E΄、E、P

完备集类：Rⁿ，Φ，闭区间、P

二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。

第三章测度论基本要求：

1、理解外测度的概念及其有关性质。

2、掌握要测集的概念及其有关性质。

3、掌握零测度集的概念及性质。

4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。

5、会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。

要点归纳：

外测度：①定义：E⊂Rⁿ Ii（开区间）∞

∪ IiכE m*（E）=inf

∑

ｉ│Ii│

②性质：(1) 0≤m*E≤+∞（非负）

（2）若AсB则m*A≤ m*B（单调性）

（3）m*（∞

∪A i）≤

∞

∑m*A i（次可列可加性）

③可测集：E⊂Rⁿ对任意的TєRⁿ有：m*（T）= m*（T∩E）+ m*（T∩CE）称E为可测集，记为mE 其性质：

1）T1：E可测⇔∀ A⊂E B⊂C E使m*（A∪B）= m*A+ m*B

2）T2：E可测⇔CE可测

④运算性质：设S

1、S

2

可测⇒S

1

∪S

2

可测（T3）；

设S

1、S

2

可测⇒S

1

∩S

2

可测（T4）；

设S

1、S

2

可测⇒S

1

-S

2

可测（T5）。

⑤ S

1、S

2

…S n可测⇒∪S i可测（推论3）∩S i可测（T7）

⑥ S

1、S

2

…S n…可测，S

i

∩S

j

=φ⇒∪S

i

可测 m(∪S

i

)=∑m(S

i

)(T6)

⑦ S

i 递增,S

1

⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪S

i

)=lim mS

i

=Ms(T8)

⑧ S

i 递降可测, S

1

כS2כS3כ…当m S1<+∞⇒

lim m(∩S i)=lim mS n (T9)

⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0，1]∩Q、Ф、P

零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。

2）区间是可测集 m I=│I│ 3）开集、闭集；

4）Borel集定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集

如[-1，1]；设F可表为一列闭集之并，则称为Fσ型集，如[0，1]

Borel集定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。

T6：设E是任一可测集，存在Gδ集，使E⊂G，且m（G-E）=0

T7：设E是任一可测集，存在Gσ集，使F⊂E，且m（F-E）=0

可测集是存在的。

第四章可测函数基本要求：

1、掌握可测函数的概念和主要性质。

2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、

几乎处处收敛…）的概念。

3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。

5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。

6、了解依测度收敛的概念及其性质。

7、理解三种收敛之间的关系。

(一)基本概念

1可测函数：ƒ是定义在可测集E Rⁿ上的实函数，任意的α∈R

E[ƒ>α]是可测集，称ƒ（x）是E上的可测函数

ƒ可测⇔任意的α∈R E[ƒ≧α]是可测集

⇔任意的α∈R E[ƒ<α]是可测集

⇔任意的α∈R E[ƒ≦α]是可测集

⇔任意的α，β∈R E[α≤ƒ<β]是可测集（│ƒ│<+∞）

几乎处处成立