复变函数论第三版课后习题答案[1]

第一章习题解答
（一）
1
．设z ，求z 及Arcz 。

解：由于3i z e π
-==
所以1z =，2,0,1,3
Arcz k k ππ=-+=± 。

2
．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12
z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ
-==== 所以()6
46
4
12
12222i i i
i
z z e e
e
e π
πππ
π
--===
54()14612
26
11222i
i i i z e e e z e πππππ
+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：1
244
4
(),0,1,2,3k i
i z a e ae
k ππ
π+====。

4．证明2
2
21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2
2
2
1212122Re()z z z z z z +=++
2
2
2
12
12122Re()z z z z z z -=+-
所以2
2
21212
122()z z z z z z ++-=+
其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内
接于单位圆
1
=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1
321
===z z z
，知
321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为
3
33
31z z z ==
()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=
21212z z z z ++=
所以， 1212
1-=+z z z z ，
又
)
())((1221221121212
21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-
()322121=+-=z z z z
故 3
21
=-z z ，
同理
33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

6．下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。

（1） 1212,()z z z z z z -=-≠； 解：点
z 的轨迹是1
z 与2
z
两点连线的中垂线，不是区域。

（2）4z z ≤-； 解：令z x yi =+
由(4)x yi x yi +≤-+，即2222(4)x y x y +≤-+，得2x ≤ 故点
z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面（包括直线2x =）；不是区域。

（3）
1
11
z z -<+ 解：令z x yi =+，
由11z z -<+，得22(1)(1)x x -<+，即0x >； 故点
z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。

（4）0arg(1),2Re 34
z z π
<-<≤≤且；
解：令z x yi =+
由0arg(1)42Re 3z z π⎧
<-<⎪⎨⎪≤≤⎩，得0arg
1423y x x π⎧<<⎪-⎨⎪≤≤⎩
，即0123y x x <<-⎧⎨
≤≤⎩ 故点
z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形（包括直线2,3x x ==；
不包括直线0,1y y x ==-）；不是区域。

（5）2,1z z >>且-3； 解：点
z 的轨迹是以原点为心，2为半径，及以3z =为心，以1为半径的两闭圆外部，
是区域。

（6）Im 1,2z z ><且； 解：点
z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方（不包括直线Im 1z =），且在以原点
为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。

（7）2,0arg 4
z z π
<<<
且；
解：点
z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4
z π=及圆弧1z =为边界的扇形（不包括边界），
是区域。

（8）131,2222
i z z i -
>->且 解：令z x yi =+
由12231
22i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩
，得2
211
()2431()24
x y x y ⎧+->⎪⎪⎨
⎪+->⎪⎩ 故点
z 的轨迹是两个闭圆2
21131
(),()2424
x
y x y +-=+-=的外部，是区域。

7．证明：z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+（a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为
Ax By C +=将
11
Re (),Im ()22x z z z y z z z i
==+==-代入，得
C z B A z B A =-+-)i (21
)i (21
令
)i (21B A a +=
，则)i (21
B A a -=，上式即为
C z a z a =+。

反之：将,z x yi z x yi =+=-，代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有
Ax By C +=；即为一般直线方程。

8．证明：
z 平面上的圆周可以写成
0.Azz z z c ββ+++=
其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2
AC β>。

证明：设圆方程为
22()0A x y Bx Dy C ++++=
其中0,A ≠当2
2
4B D AC +>时表实圆；
将
2
2
11
,(),()22x y zz x z z y z z i
+==+=-代入，得 11
()()022
Azz B Di z B Di z c +-+++=
即0.Azz z z c ββ+++= 其中11
(),()22
B Di B Di ββ=+=- 且2
2211
()444
B D A
C AC β
=
+>∙=； 反之：令,z x yi a bi β=+=+代入2
0()Azz z z c AC βββ+++=>
得22()0,A x y Bx Dy C ++++=其中2,2B a B b == 即为圆方程。

10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。

（1）
t z i)1(+=； （2）t b t a z sin i cos +=；
（3）
t t z i
+
=； （4）2
2i t t z +=，
解（1）⎩⎨⎧∞
<<-∞==⇔+=+=t t y t x t y x z ,)i 1(i 。

即直线x y =。

（2）
π
20,
sin cos sin i cos i ≤<⎩⎨⎧==⇔+=+=t t b y t
a x t
b t a y x z ，即为椭圆12
2=+b y a x ；
（3）
⎪⎩⎪⎨
⎧==⇔+=+=t y t x t t y x z 1
i i ，即为双曲线1=xy ； （4）⎪⎩⎪
⎨⎧==⇔+=+=22221i i t y t x t t y x z ，即为双曲线1=xy 中位于第一象限中的一支。

11．函数
z w 1
=
将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,？
（1）x y =； （2）()112
2
=+-y x
解
222211y x y i
y x x iy x z w +-+=+==
，2222,y x y v y x x u +-=+=，可得
（1）
()v
y x y y x y y x x u -=+--=+=+=
2
22222是w 平面上一直线；
（2）
()21
211222222=
+⇔
=+⇔=+-y x x x y x y x ，
于是
21
=
u ，是w 平面上一平行与v 轴的直线。

13．试证)arg (arg ππ≤<-z z 在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z 平面上处处连续。

证 设z z f arg )(=，因为f (0)无定义，所以f (z )在原点z =0处不连续。

当z 0为负实轴上的点时，即)0(000<=x x z ，有
⎩
⎨
⎧-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+=-+
→→→→→ππππx y x y z y x x y x x z z arctan lim arctan lim arg lim 00000
所以z
z z arg lim 0→不存在，即z arg 在负实轴上不连续。

而argz 在z 平面上的其它点处的连续性
显然。

14． 设
00=≠z z 求证()z f 在原点处不连接。

证 由于
()01lim lim lim 42
062400=+=+=→→=→x x x x x z f x x x
y z
()21
lim lim 666003
=+=→=→y y y z f y y
x z
( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = , 0 , 6 2 3 y x xy z f
可知极限
()z f
z0
lim
→不存在，故
()z f在原点处不连接。

16. 试问函数f(z) = 1/(1 –z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？
【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．
因为z在 内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．
(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．
令z n= 1 – 1/n，w n= 1 – 1/(n + 1)，n∈ +．
则z n, w n都在单位圆| z | < 1内，| z n-w n | → 0，
但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．
[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈ | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]
17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．
【解】(⇒) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，
则∀ε > 0，∃N∈ +，使得∀n > N，有| z n -z0| < ε．
此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| < ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| < ε．
故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．
(⇐) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则∀ε > 0，
∃N1∈ +，使得∀n > N1，有| x n -x0| < ε/2；
∃N2∈ +，使得∀n > N2，有| y n -y0| < ε/2．
令N = max{N1, N2}，则∀n > N，有n > N1且n > N2，
故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| < ε/2 + ε/2 = ε．
所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．
20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．
当z0≠∞时，结论是否正确？
【解】(1) ∀ε > 0，∃K∈ +，使得∀n > K，有| z n -z0| < ε/2．
记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n > K时，有
| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n
≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n
= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n
≤M/n + (n-K)/n · (ε/2) ≤M/n + ε/2．
因lim n→∞ (M/n) = 0，故∃L∈ +，使得∀n > L，有M/n < ε/2．
令N = max{K, L}，则当n > K时，有
| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | ≤M/n + ε/2 < ε/2 + ε/2 = ε．
所以，lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．
(2) 当z0≠∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．
例：z n = (-1)n ·n，n∈ +．显然lim n→∞z n = ∞．
但∀k∈ +，有(z1 + z2 + ... + z2k)/(2k) = 1/2，
因此数列{(z1 + z2 + ... + z n)/n}不趋向于∞．
[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]
2．如果it e
z=，试证明
（1）nt z z n n
cos 21=+； （2）nt z z n
n
sin i 21=-
解 （1）
nt e e e e z z n n sin 21
int int int int =+=+=+
-
（2）
nt e e e e z z n n sin i 21int
int int int =-=-=-
-
4．设iy x z +=，试证
y
x z y x +≤≤+2。

证 由于
y
x y x y x y x z +=++≤
+=22
222
及
()
2
2
22
2222
22
2
y x y
x y x y x y x z +=
++≥+=
+=
有
y
x z y
x +≤≤+2
6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数z 的共轭) 【解】此题应该要求b * z + a * ≠ 0．
| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | · | z | = | (a * z * + b *) · z | = | a * z * · z + b * · z | = | a * | z |2 + b * · z | = | b * z + a * |． 故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．
8. 试证：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为
1
1133
2211w z w z w z = 0． 【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如
z'z 3
1
2
我们将采用下述的观点来证明：
以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转．
记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移)；f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移)； 那么，三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似 ⇔ 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z ， 使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k )，(k = 2, 3)，其中z 0∈ \{0}
⇔ 存在z 0∈ \{0}，使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1，(k = 2, 3) ⇔ (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1) ⇔
1
31
31212w w z z w w z z ----= 0
⇔
1
11
013131212w w z z w w z z ----= 0 ⇔
1
11
33
2211
w z w z w z = 0．[证完] 9. 试证：四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是 (z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)为实数．
【解】在平面几何中，共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为
(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB )．
这是射影几何中的重要的不变量．
类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为
[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 – z 3)/(z 2 – z 3) : (z 1 – z 4)/(z 2 – z 4)．
本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． (⇒) 分两种情况讨论
(1) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为实数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是实数． 设(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) = t ，t ∈ ．则z 4 = (1 – t )z 1 + t z 2，
故z4在z1, z2所确定的直线上，即z1, z2, z4共线．
因此，同理，z1, z2, z3也共线．所以，z1, z2, z3, z4是共线的．
(2) 若(z1–z4)/(z1–z2)为虚数，则(z3–z4)/(z3–z2)也是虚数．
故Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) ≠kπ，Arg ((z3–z4)/(z3–z2)) ≠kπ．
而Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))
= Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)) = kπ．
注意到Arg ((z–z4)/(z–z2)) = Arg ((z4–z)/(z2–z))是z2–z到z4–z的正向夹角，
若Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) = Arg ((z3–z4)/(z3–z2))，
则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，且它们对z2, z4所张的角的大小相同，
故z1, z2, z3, z4是共圆的．
若Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) = Arg ((z3–z4)/(z3–z2)) + π，
则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，且它们对z2, z4所张的角的大小互补，
故z1, z2, z3, z4也是共圆的．
(⇐) 也分两种情况讨论
(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t∈ \{0, 1}，使得
z4 = (1 –s)z3 + s z2，z4 = (1 –t)z1 + t z2，
那么，z3–z4 = s (z3 –z2)，即(z3–z4)/(z3–z2) = s；
而z1–z4 = t (z1 –z2)，即(z1–z4)/(z1–z2) = t，
所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2) = t/s∈ ．
(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，
若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，
Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) = Arg ((z4–z3)/(z2–z3))
因此(z4–z1)/(z2–z1) : (z4–z3)/(z2–z3)是实数．
也就是说(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)是实数．
若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，
则Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，
故Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2))
= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))
= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) + Arg ((z3–z2)/(z3–z4))
= Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，
所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)仍为实数．[证完]
这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．
11. 试证：方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 < k ≠ 1，z1≠z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．
【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆．
设0 < k ≠ 1，z1≠z2，z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．
∀z∈ ，| z -z0 | = ρ
⇔| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |
⇔| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |
⇔| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|
⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|
⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |
⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2
⇔| z -z1 |2/k2 + k2 | z-z2 |2 = | z -z1 |2 + | z-z2 |2
⇔(1/k2 - 1)| z -z1 |2 = (1-k2 ) | z-z2 |2
⇔| z -z1 |2/k2 = | z-z2 |2
⇔| z -z1 |/| z-z2 | = k．[证完]
直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的．
命题：若复数z, w≠ 0，则| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | = | w -z |．
证明：我们用z*表示复数z的共轭．
| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |2
= | | z | ·w /| w| |2 + | | w| ·z /| z| |2- 2Re[( | z | ·w /| w|) · (| w| ·z /| z|)* ]
= | z |2 + | w|2- 2Re( w ·z* ) = | w -z |2．
或更直接地，| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |
= | | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | · | z*/| z| | · | w*/| w| |
= | (| z | ·w /| w| - | w| ·z /| z|) ·(z*/| z|) · (w*/| w|) |
= | (| z | · (z*/| z|) - | w| ·(w*/| w|)) | = | w -z |．
12. 试证：Re(z) > 0 ⇔ | (1 -z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题．
【解】Re(z) > 0 ⇔点z在y轴右侧
⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧
⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧
⇔点z到点-1的距离大于点z到点1的距离
⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔| (1 -z)/(1 + z) | < 1．
不用几何意义可以用下面的方法证明：
设z = x + i y，x, y∈ ．
| (1 -z)/(1 + z) | < 1 ⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔|1 + z |2 > | 1 -z |2
⇔ 1 + z2 + 2Re(z) > 1 + z2- 2Re(z) ⇔Re(z) > 0．
[由本题结论，可知映射f(z) = (1 -z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．
问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]
∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞∙︒ℵℜ℘∇∏∑⎰ ⊥∠ √§ψ
∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂
∀m∈ +，∃m∈ +，★〈α1, α2, ..., αn〉lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，
∀ε > 0，∃δ> 0，【解】⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。