选修4-4 平面直角坐标系教案

一、分析本节考纲要求

课标要求：理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

二、分析近五年中高考题与本节知识的关联

(2014重庆)已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与

曲线的公共点的极经________. 【答案】

【解析】 .

5ρ,.

541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x

三、教学目标

知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

能力与与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

四、重难点

教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。

五、教法

本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望，提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。

六、教学过程

（一）、平面直角坐标系与曲线方程

1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？

2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？ （2）.在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r 的圆的方程是什么?

3、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。教师准对问题讲解。

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

（1）、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 l ⎩⎨⎧+=+=t y t x 32t x l C =ρ5

（2）、平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定

（3）、空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定

（4）、抽象概括：在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：A.曲线C 上的点坐标都是方程f(x,y)=0的解；B.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上。那么，方程f(x,y)=0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f(x,y)=0的曲线。

（5）、学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。

4、学生练习：课本P3练习中1、2题。

5、建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。

（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；

（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；

（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换

1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响。

2、探究：(1)在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x 。上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐

标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来1

2 ，得到点P ’(x ’,y ’).坐标对应关系为12

''x x y y =={ 通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

（2）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.

设点P （x,y ）经变换得到点为P ’(x ’,y ’)

'12'3{x x y y == 这就是变换公式。通常把这样的变换叫

做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

3、例题：课本P4例1.在下列平面直角坐标系中，分别作出以圆点为圆心，6为半径的圆：

(1)、x 轴与y 轴具有相同的单位长度；（2）、X 轴上的单位长度为Y 轴上单位长度的2倍；（3）、X 轴上

的单位长度为Y 轴上单位长度的1

2倍。

教师分析：关键是建立坐标伸缩变换关系式。

学生练习，教师准对问题讲评。

反思归纳：在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。

4、巩固训练：课本P6页练习题。

（三）求轨迹方程

1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程。

2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2

1tan -=∠=∠MNP PMN

，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程。

反思归纳：求轨迹方程的方法和一般步骤。方法：定义法、直接法、相关点法、待定系数法、参数法。一般步骤：（1）、恰当建系；（2）、分析曲线特征，揭示隐含条件；（3）、找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件；（4）列出方程。

（四）小结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤；3．什么时候需要建标；4、求轨迹方程的方法和一般步骤；5、在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。

八、布置作业