选修4-4 平面直角坐标系教案
一平面直角坐标系-人教A版选修4-4坐标系与参数方程教案
一平面直角坐标系-人教A版选修4-4 坐标系与参数方程教案1. 基本概念1.1 平面直角坐标系平面直角坐标系是指在平面上建立起一个直角坐标系，将二维平面上的任意点都能用其坐标表示出来。
平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
坐标轴的交点称为坐标原点O，x轴和y轴的正方向分别取向右和向上。
1.2 参数方程参数方程是指用含有参数的方程表示函数的方法。
其中，参数是自变量，函数的值是关于参数的函数。
通常用一组参数，如t、θ等来表示函数。
2. 教学目标本节课教学目标为：•掌握平面直角坐标系的建立方法，能将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。
•掌握用参数方程描述平面曲线的方法，能解决相关应用问题。
3. 教学重点•平面直角坐标系的建立方法。
•参数方程的概念，应用与推导方法。
4. 教学难点•参数方程描述平面曲线的方法。
•参数方程在几何应用中的解题方法。
5. 教学内容及过程5.1 知识讲解5.1.1 平面直角坐标系要求学生掌握平面直角坐标系的建立方法，说出x轴和y轴的正方向，确定坐标原点，并会将二维平面上的任意点用其坐标表示出来。
5.1.2 参数方程要求学生掌握参数方程的概念，了解参数方程与常规方程的区别，掌握参数方程描述平面曲线的方法，并能解决相关应用问题。
5.2 课堂互动5.2.1 平面直角坐标系练习让学生在纸上绘制出平面直角坐标系并标注好坐标轴、坐标原点以及x轴和y 轴的正方向。
然后，教师可以随机给出几个点的坐标进行练习，并让学生互相交换练习答案。
5.2.2 参数方程的练习让学生练习参数方程的应用，例如让学生求出直线 y = 2x - 1 的参数方程，并根据所求出的参数方程进行绘制。
另外，也可以出一些实际应用中相关的问题，例如让学生通过参数方程求出某行星的轨道方程等。
5.3 课堂小结教师对本节课所讲内容进行总结，强调重点、难点内容，并进行提问、讨论。
同时，对本节课的拓展内容进行展示，并引导学生进行初步了解。
平面直角坐标系教案
平面直角坐标系教案一、教学目标1.了解平面直角坐标系的定义及其基本性质；2.能够在平面直角坐标系中表示点的位置；3.能够计算平面直角坐标系中两点之间的距离和斜率；4.能够解决与平面直角坐标系相关的问题。
二、教学重点1.平面直角坐标系的定义及其基本性质；2.点的位置和坐标的表示方法；3.两点之间的距离和斜率的计算。
三、教学难点1.平面直角坐标系的性质的理解和应用；2.两点之间距离和斜率的计算。
四、教学过程1.导入（约5分钟）引导学生回忆直角坐标系的概念，回顾平面直角坐标系的定义。
2.讲解（约20分钟）（1）平面直角坐标系的定义：两条相互垂直的数轴（x轴和y轴）组成的直角坐标系称为平面直角坐标系。
（2）平面直角坐标系的基本性质：-x轴和y轴的交点为原点O，原点为坐标轴的起点；-x轴正方向为右方，y轴正方向为上方；-x轴和y轴的单位长度相等；-x轴和y轴的正半轴方向与数轴的正方向一致；-x轴和y轴被均匀地分成相等的小段，每一段的长度为1单位。
（3）点的位置和坐标的表示方法：-点在直角坐标系中的位置由它到x轴和y轴的位置决定；-在点A的上方（或下方）的点的y坐标与A的y坐标相比有正（或负）的关系；-在点A的右方（或左方）的点的x坐标与A的x坐标相比有正（或负）的关系；-坐标的表示方法为(x,y)，x表示点在x轴上的位置，y表示点在y 轴上的位置。
（4）两点之间的距离和斜率的计算方法：-两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离d可以用勾股定理计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)；-两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的斜率k可以用斜率公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
3.实例分析（约20分钟）通过具体的实例，引导学生理解平面直角坐标系的定义和基本性质，并能够据此计算两点之间的距离和斜率。
4.练习与巩固（约15分钟）教师出示一系列练习题，让学生进行练习和巩固，检验学生对平面直角坐标系的理解程度。
人教A版高中数学选修4-4：1.1平面直角坐标系 教学案
第一章 坐标系1.1平面直角坐标系一、内容及其解析本节课要学习的内容是平面直角坐标系，指的是回顾直角坐标系中解决实际问题的过程、直角坐标系中的伸缩变换，其核心是直角坐标系中的伸缩变换。
学生以前已经学习过直角坐标系的构建方程、直角坐标系在实际中的应用（解析几何）、三角函数图象的变换等，本节课要学习的内容就是此基础上归纳总结直角坐标系在解决实际问题中的作用、以及图象的伸缩变换方法。
是本单元的基础内容。
重点是直角坐标系中的伸缩变换，解决重点的关键是理解掌握伸缩变换公式。
二、目标及其解析目标定位：1.进一步理解掌握直角坐标系在实际问题中的作用；2.理解直角坐标系中的伸缩变换。
目标解析：1.通过实例理解怎样建立直角坐标系，怎样建立适当的直角坐标系，如何用直角坐标系来表示某点的位置等等；2.理解直角坐标系中的伸缩变换的特征和变换公式。
三、教学过程问题1.如何用直角坐标系解决实际问题？设计意图：通过实例让学生回归直角坐标系解决实际问题的过程。
师生活动：1.思考：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s 。
已知各观测点到中心的距离都是1020m 。
试确定巨响发生的位置。
（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上。
）2.已知ABC ∆的三边,,a b c 满足2225b c a +=，BE,CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系。
问题2.平面直角坐标系中的伸缩变换有什么意义？设计意图：让学生通过三角函数的伸缩变换归纳总结出平面直角坐标系中的伸缩变换。
师生活动：1.怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线sin 2,3sin ,3sin 2y x y x y x ===？2.将上述的变换用数量关系式表示的结果是什么？3.定义：设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换',(0):',(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点'(',')P x y ，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.1.抛射体的运动-人教B版选修4-4坐标系与参数方程教案
2.1.抛射体的运动-人教B版选修4-4 坐标系与参数方程
教案
一、教学目标
1.理解抛射体的运动是一个平面运动。
2.掌握建立平面直角坐标系的方法。
3.掌握建立参数方程的方法。
4.能够应用所学知识解决相关问题。
二、教学重点
1.建立平面直角坐标系。
2.建立参数方程。
三、教学难点
1.建立平面直角坐标系的方法。
2.建立参数方程的方法。
四、教学内容及时间安排
1.抛体运动的基本规律（10分钟）
–抛体的定义。
–垂直抛体和斜抛体的运动规律。
–抛体的最高点和最大射程。
2.建立平面直角坐标系（25分钟）
–平面直角坐标系的概念。
–建立平面直角坐标系的步骤。
–坐标系在解题中的应用。
3.建立参数方程（35分钟）
–参数方程的概念和基本形式。
–建立参数方程的步骤。
–参数方程在解题中的应用。
4.例题分析（30分钟）
–老师选取相关的例题进行详细分析，并让学生思考解决问题的方法。
5.课堂练习（20分钟）
–老师布置几个简单的练习题，要求学生完成并讲解解题思路。
6.课堂小结（10分钟）
–老师向学生强调本节课的重点和难点，总结所学知识。
五、教学方法
讲授、练习、演示、探究
六、教学评价
1.学生通过课堂练习，检测掌握情况。
2.老师通过问题提问，评估学生的理解情况。
3.课后布置相关作业，检测学生的实际应用能力。
人教课标版高中数学选修4-4第一讲-坐标系一-平面直角坐标系教案
人教课标版高中数学选修4-4第一讲 坐标系一 平面直角坐标系教案考纲要求 备考指津1.会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．考点一 平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫x 轴(或横轴)，竖直的数轴叫y 轴(或纵轴)，整个坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限． 2．各象限内点的坐标特征点P (x ，y )在第一象限x ＞0，y ＞0；点P (x ，y )在第二象限x ＜0，y ＞0；点P (x ，y )在第三象限x ＜0，y ＜0； 点P (x ，y )在第四象限x ＞0，y ＜0.3．坐标轴上的点的坐标的特征 点P (x ，y )在x 轴上y ＝0，x 为任意实数； 点P (x ，y )在y 轴上x ＝0，y 为任意实数；点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.考点二 特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标不同，纵坐标相同；平行于y 轴：横坐标相同，纵坐标不同．3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．考点三 距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离(1)点P (a ，b )到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，即|b |；点P (a ，b )到y 轴的距离等于点P 的横坐标的绝对值，即|a |.(2)点P (a ，b )到原点的距离等于点P 的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即a 2＋b 2.2．坐标轴上两点间的距离(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝x12＋y12.考点四函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．4．函数图象的画法(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．考点五函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．1．在平面直角坐标系中，点P(－1,3)位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点A(2，－3)关于x轴的对称点的坐标为()．A．(2,3) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)3．点P在第四象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P的坐标为__________．4．函数y＝1x－2的自变量x的取值范围是__________．5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间内，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s与t的函数图象大致是()．6．甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s.起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y (m)与时间t (s)的函数图象是( )．一、平面直角坐标系内点的坐标特征【例1】 在平面直角坐标系中，若点(2x ＋1，x －2)在第四象限，则x 的取值范围是( )．A ．x ＞－12B ．x ＜2C ．x ＜－12或x ＞2D ．－12＜x ＜2 解析：根据平面直角坐标系中点的坐标特征可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x －2<0，解得－12＜x ＜2. 答案：D掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，构造不等式(组)是解决此类问题的常用方法．在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n |)一定在( )．A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限二、距离与点坐标的关系【例2】 如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为(2，－1)，则△ABC 的面积为__________平方单位．解析：利用数轴得出B 点坐标为(4,3)，C 点坐标为(1,2)，然后利用割补法，结合点的坐标与距离的关系求出△ABC 的面积．答案：5图形的割补法是解决有关图形面积的常用方法，需要同学们在解题时合理地利用图形进行巧妙分割，此类题型的解法往往不唯一．三、函数图象的应用【例3】 如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．答案：C利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．四、函数自变量取值范围的确定【例4】 函数y ＝x ＋2x －2的自变量x 的取值范围是( )． A ．x ≥－2且x ≠2 B ．x ＞－2且x ≠2 C ．x ＝±2 D ．全体实数解析：要使函数有意义，必须同时满足二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为零，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，解得x ≥－2且x ≠2. 答案：A求函数自变量的取值范围，往往通过解不等式或不等式组来确定．因此，掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，是求函数自变量取值范围的基础，同时要学会这种转化的思想方法．1．(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P (－3,5)关于y 轴的对称点的坐标为( )．A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)2．(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为s ，下面能反映s 与t 的函数关系的大致图象是( )．3．(2011广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为(4,0)，点B 的纵坐标是－1，则顶点A 的坐标是( )．A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2,1)4．(2011内蒙古呼和浩特)函数y ＝1x ＋3中，自变量x 的取值范围为__________． 5．(2011江苏盐城)有六个学生分成甲、乙两组(每组三个人)，分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60 km 的博物馆参观，10分钟后到达距离学校12 km 处有一辆汽车出现故障，接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生，同时第二批学生步行12 km 后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇，当第二批学生到达博物馆时，恰好已到原计划时间．设汽车载人和空载时的速度分别保持不变，学生步行速度不变，汽车离开学校的路程s (千米)与汽车行驶时间t (分钟)之间的函数关系如图所示，假设学生上下车时间忽略不计．(1)汽车载人时的速度为__________km/min ；第一批学生到达博物馆用了__________分钟．(2)求汽车在回头接第二批学生途中(即空载时)的速度．(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04 km ，汽车载人时和空载时速度不变，问能否经过合理的安排，使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能，请简要说出方案，并通过计算说明；如果不能，简要说明理由．1．如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( )．A ．(5,2)B ．(－6,3)C ．(－4，－6)D ．(3，－4)2．若点P (a ，a －b )在第四象限，则点Q (b ，－a )在( )．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．如图是中国象棋棋盘的一部分，若在点(1，－1)上，在点(3，－1)上，则的坐标是( )．A．(－1,1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－2,2)4．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是()．5．点P(1,2)关于x轴的对称点P1的坐标是__________，点P(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是__________．6．已知一条直线l平行于x轴，P1(－2,3)，P2(x2，y2)是直线l上的两点，且P1，P2的距离为4，则P2的坐标为__________．7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是(3,4)，求顶点B的坐标．9．在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，解决下面的问题：(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．参考答案基础自主导学自主测试1．B 2.A 3.(3，－2) 4.x ≠2 5.C 6.C规律方法探究变式训练 A 知能优化训练中考回顾1．B 2.B 3.D 4.x ＞－35．(1)1.2 50 (2)1.8 km/min(3)解：能够合理安排．方案：从故障点开始，在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下，让他们步行，再回头接第二批学生，当两批学生同时到达博物馆，时间可提前10分钟． 理由：设从故障点开始第一批学生乘车t 1分钟，汽车回头时间为t 2分钟，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1.2t 1＋0.2(t 1＋t 2)＝48，0.2(t 1＋t 2)＋1.8t ＝1.2t 1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝32，t 2＝16. 从出发到达博物馆的总时间为：10＋2×32＋16＝90(分钟)，即时间可提前100－90＝10(分钟)．模拟预测1．D 2.A 3.D 4.C 5．(1，－2) (－1，－2) 6.(2,3)或(－6,3)7．y ＝152x (0＜x ＜10) 8．(8,4) 9．解：(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A ′B ′C ′(或先平移再旋转也可)．(2)D (0，－2)，E (－4，－4)，F (2，－3)．S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.。
高中数学选修4-4全套教案（PDF）
高中数学选修4-4全套教案第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课：1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
*变式训练如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？例2已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?*变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）*变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
2014数学文补教案---选修4-4坐标系与参数方程
选修4-4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
课时计划：
实际教学课时：
教学方法：
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知识点：
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：______________的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做_____，自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系.
(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|=ρ(ρ≥0)，以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对______表示.
(3)极坐标与直角坐标的互化公式：
设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，则相互转化公式为
3.直线的极坐标方程
(1)特殊位置的直线的极坐标方程：
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：ρsin(α-θ)=______________.
4.半径为r的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
(2)一般位置的圆的极坐标方程：圆心为M(ρ0,θ0)，半径为r
的圆的极坐标方程为______________________________.
板书设计与典例分析：。
《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）
《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
那么你有了解过教案吗？下面是小编收集整理的《平面直角坐标系》的教案（精选5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《平面直角坐标系》的教案1[教学目标]1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位2、渗透对应关系，提高学生的数感。
[教学重点与难点]重点：平面直角坐标系和点的坐标。
难点：正确画坐标和找对应点。
[教学设计][设计说明]一、利用已有知识，引入1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？二、明确概念平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）。
水平的数轴称为x轴（x—axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y—axis）或纵轴，取向上方向为由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。
从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。
描述平面直角坐标系特征和画法正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。
表示方法为（a，b）。
a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。
例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。
建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。
你能说出例1中各点在第几象限吗？例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。
（）A（3，4）；B（—1，2）；C（—3，—2）；D（2，—2）问题1：各象限点的坐标有什么特征？练习：教材49页：练习1，2、三。
深入探索教材48页：探索：识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。
人教版高中选修4-4一平面直角坐标系课程设计
人教版高中选修4-4一平面直角坐标系课程设计一、设计目的本次课程设计旨在通过对一平面直角坐标系的学习和掌握，使学生能够熟练运用一平面直角坐标系解决各种数学问题，同时锻炼学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、设计内容本次课程设计共分为五个部分，分别为：一、一平面直角坐标系的基本概念；二、一元二次方程的图像和性质；三、直线与圆的位置关系；四、正多边形的坐标和对称性；五、三角函数的概念和性质。
2.1 一平面直角坐标系的基本概念本部分主要介绍一平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、坐标和坐标系等概念，同时讲解如何在一平面直角坐标系中表示点、线段、向量等数学概念，并通过实例演示如何计算两点之间的距离、点到直线的距离等问题。
2.2 一元二次方程的图像和性质本部分主要介绍一元二次方程的图像和性质，包括一元二次方程的标准式、顶点式和根式等，以及如何利用一平面直角坐标系表示一元二次方程的图像。
同时，通过实例演示如何求解一元二次方程的顶点、轴、对称轴等问题，培养学生分析和解决问题的能力。
2.3 直线与圆的位置关系本部分主要介绍直线与圆的位置关系，包括直线与圆的相离、相切和相交等情况，同时演示如何利用一平面直角坐标系求解直线与圆的位置关系的问题。
通过实例演示，培养学生观察和判断几何关系的能力，提高学生的实际应用能力。
2.4 正多边形的坐标和对称性本部分主要介绍正多边形的坐标和对称性，包括正三、四、五边形等多边形的坐标和对称性特点。
同时通过实例演示如何在一平面直角坐标系中表示正多边形的顶点和对称轴等问题，培养学生分类和归纳问题的能力。
2.5 三角函数的概念和性质本部分主要介绍三角函数的概念和性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、周期、对称性和图像等特性。
同时，演示如何利用一平面直角坐标系表示三角函数图像和解决三角函数的应用问题。
通过实例演示，培养学生掌握三角函数的基本技能，并锻炼学生的抽象思维和推理能力。
三、教学方法本次课程设计采用传统教学法与探究式教学法相结合的教学方法。
选修4-4 第一讲 坐标系(平面直角坐标系)教案
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。 3 怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x？ 它是 1、2 的合成，先保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来 y 的 1/2，在此基础上，再将纵坐标变为原来的 3 倍，就得到正弦曲线 x y=3sin2x。 o 即在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为 P’(x’,y’)， 坐标对应关系为
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选修 4-4 第一讲 坐标系
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y
边 AC,CF 上的中线， 建立适当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF
C E
的位置关系。 以△ABC 的顶点Ａ为原点Ｏ，边 AB 所在的直线 x 轴，建
F O (A)
Bx
立直角坐标系，由已知，点 A、B、F 的坐标分别为 A ( 0, 0 ) , B
( c ,0 ) , F ( c/2 ,0 ).
平面直角坐标系中的伸缩变换 在三角函数图象的学习中，我们研究过这样的问题： 1 怎样由正弦曲线 y=sinx 得到 y=sin2x? 在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)， 保持纵坐标不变， 将横坐标 x 缩为原来的 1/2， 就得到正弦曲线 y=sin2x。 “保持纵坐标不变， 将横坐标 x 缩为原来的 1/2”， 上述变换实 质上就是一个坐标的压缩变换（如何解释？） ，即：设 P(x,y)是平面 直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来 1/2，得到点 P’(x’,y’)，坐标对应关系为：
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选修 4-4 第一讲 坐标系
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《平面直角坐标系》数学教案
《平面直角坐标系》数学教案标题：平面直角坐标系数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：理解并掌握平面直角坐标系的定义，能够准确画出平面直角坐标系，并在坐标系中确定点的位置和表示方法。
2. 过程与方法：通过实例分析，引导学生观察、思考、探究平面直角坐标系的构成及其应用，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们严谨、细致的学习态度和实事求是的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：平面直角坐标系的定义及基本性质，点的坐标表示法。
难点：如何根据坐标找到对应的点，以及如何根据点找到对应的坐标。
三、教学过程：(一) 导入新课教师展示一些城市地图，让学生找出自己的家所在的位置。
然后引导学生思考如何用一种更精确的方式来描述位置，从而引出本节课的主题——平面直角坐标系。
(二) 新授内容1. 平面直角坐标系的定义：在一个平面上选取两个互相垂直且有公共原点的数轴，就构成了平面直角坐标系。
2. 坐标轴与象限：通常取水平方向的数轴为x轴，竖直方向的数轴为y轴。
两条数轴将平面分为四个部分，分别称为第一、第二、第三、第四象限。
(三) 实例讲解以教室为例，设定一个坐标系，让学生找出自己座位的坐标。
通过这种方式，让学生亲身体验坐标系的应用，加深对坐标系的理解。
(四) 课堂练习设计一些基础题和提高题，让学生进行练习。
基础题主要考察学生对平面直角坐标系的基本知识的掌握情况；提高题则旨在提升学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
(五) 小结回顾本节课的主要内容，强调平面直角坐标系的重要性，以及它在生活中的广泛应用。
四、作业布置设计一些习题，要求学生在家完成，以巩固他们在课堂上学到的知识。
五、教学反思教学过程中，应注意关注学生的反应，及时调整教学策略，确保每一个学生都能理解和掌握平面直角坐标系的基本知识。
同时，也要注重培养学生的独立思考和解决问题的能力，使他们能够在生活中灵活运用所学知识。
六、参考文献[1] 吴增基, 裘宗燕. 数学分析教程[M]. 高等教育出版社, 2001.[2] 张奠宙, 李兴怀. 数学分析教程[M]. 高等教育出版社, 2006.注：以上仅为大纲式的教案，具体内容需要根据实际情况进行填充和修改。
平面直角坐标系教案
平面直角坐标系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面直角坐标系的定义及构成；（2）学会在平面直角坐标系中确定点的位置；（3）掌握坐标系的变换方法。
2. 过程与方法：（1）通过实例培养学生的观察、分析能力；（2）利用数形结合思想，培养学生解决问题的能力；（3）学会用坐标系描述和分析实际问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力；（2）培养学生勇于探索、积极进取的精神；（3）感受数学与生活的密切联系，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面直角坐标系的定义及构成；（2）坐标系中点的表示方法；（3）坐标系的变换方法。
2. 教学难点：（1）坐标系中点的位置确定；（2）坐标系的变换方法。
三、教学方法1. 情境教学法：通过生活实例引入平面直角坐标系，使学生感受数学与生活的密切联系；2. 数形结合法：利用图形辅助学生理解坐标系中点的表示方法及坐标系的变换；3. 实践操作法：让学生动手实践，在实际操作中掌握坐标系的相关知识。
四、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件；2. 学具：练习本、尺子、圆规。
五、教学过程1. 导入新课：（1）利用生活实例，如地图、棋盘等，引导学生思考如何表示点的位置；（2）展示平面直角坐标系图形，引导学生观察其特点。
2. 自主探究：（1）让学生自行研究坐标系中点的表示方法；（2）引导学生发现坐标系的变换规律。
3. 教师讲解：（1）讲解坐标系的定义及构成；（2）详细讲解坐标系中点的表示方法；（3）阐述坐标系的变换方法。
4. 课堂练习：（1）让学生在坐标系中确定给定点的位置；（2）让学生运用坐标系的变换方法解决问题。
5. 总结拓展：（1）让学生总结本节课所学知识；（2）引导学生思考坐标系在实际生活中的应用。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对平面直角坐标系概念的理解程度，以及学生在坐标系中表示点和解决问题时的操作能力。
选修4-4极坐标与参数方程教学案1
4．1 坐标系基础知识1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。
）设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以ρθ射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。
那么有序数对(,)称为点M的极坐标。
其中ρ称为极径，θ称为极角。
说出下图中各点的极坐标A（）B（）C（）D（）E（）F（）G（）①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③不同的极坐标是否可以写出统一表达式P7约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为ρθ，则（x，y）和(,)x=2ρ=y=tanθ=题型练习1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 2．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π 3．已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形4.已知△ABC 的三边a,b,c 满足2225b c a +=,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系，探究BE 与CF 的位置关系。
4-4平面直角坐标系教案
4-4第一讲： 平面直角坐标系1、了解用有序实数对确定点的位置，用方程刻画几何图形，体会坐标系的作用；2、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
本节课首先通过实例让学生感受到建立适当的坐标系解决几何问题带来的方便，然后在三角函数图像变换的基础上了解坐标的伸缩变换。
“坐标法”是解析几何的始终，同学们在解决问题的过程中不断地体会“数形结合”的思想方法。
启发法、诱导发现教学法选修4-4平面直角坐标系是在学生原有知识的基础上进行拓展，通过本节课的学习学生感受到应用坐标系解决几何问题带来的方便并在三角函数图形变换的基础上理解坐标系的伸缩变换，对学生的知识进行了一定的拓展，并对数学的系统知识有了进一步的理解。
本节课的设计首先通过实例让学生感受到建立适当的坐标系解决几何问题带来的方便，然后在三角函数图像变换的基础上了解坐标的伸缩变换，并进行实例应用让学生对知识加以理解。
一、平面直角坐标系1、利用平面直角坐标系解决几何问题：例：已知平面上定点1F ,2F 且21F F =8，则满足21MF MF +=18的点的轨迹是（ ）。
练习：已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知BC =4,点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹方程。
x 2-6y+5=0例：已知△ABC 的两个顶点B(-2，0),C(2，0)，顶点A 在抛物线12+=x y 上移动， 求△ABC 的重心的轨迹方程。
3132+=x y二、平面直角坐标系中的伸缩变换：1、伸缩变换的定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>=>=)0(')0('x μμλλϕy y x ：的作用下，点P((x,y)对应到点)',''y x P （称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换，简称为伸缩变换。
2、伸缩变换中对λ，μ的理解：1）当λ>1时，横向拉伸变换，0<λ<1横向压缩变换；2）当μ>1时，纵向拉伸变换，0<μ<1纵向压缩变换。
人教A版高中数学选修4-4第一讲1.1平面直角坐标系教案
⼈教A版⾼中数学选修4-4第⼀讲1.1平⾯直⾓坐标系教案平⾯直⾓坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作⽤，掌握坐标法的解题步骤，会运⽤坐标法解决实际问题与⼏何问题.⼀、温故⽽知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹⽅程.回顾：⼆、重点、难点都在这⾥【问题1】：某信息中⼼接到位于正东、正西、正北⽅向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到⼀声巨响，正东观测点听到巨响的时间⽐它们晚4s.已知各观测点到中⼼的距离都是1020m.试确定巨响发⽣的位置.（假定声⾳传播的速度为340m/s ，各观测点均在同⼀平⾯上.）练⼀练：3．相距1400m 的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s.已知声速为340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4．有三个信号检测中⼼A 、B 、C ，A 位于B 的正东，相距6千⽶，C 在B 的北偏西300，相距4千⽶.在A 测得⼀信号，4秒后B 、C 同时测得同⼀信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千⽶/秒）.课前⼩测典型问题【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满⾜2225a c b=+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建⽴适当的平⾯直⾓坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、懂了，不等于会了5．选择适当的坐标系，表⽰边长为1的正三⾓形的三个顶点的坐标.6．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平⽅和为26，求点M 的轨迹.7．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.8．求证：三⾓形的三条⾼线交于⼀点.四、试试你的⾝⼿呀9．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直⾓三⾓形的顶点C 的轨迹⽅程是 . 10．已知A （-3，0），B（3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则点M 的轨迹⽅程是 .11．已知B 村位于A 村的正西⽅向1公⾥处，原计划经过B 村沿着北偏东600的⽅向埋设⼀条地下管线m.但在A 村的西北⽅向400⽶处，发现⼀古代⽂物遗址W.根据初步勘察的结果，⽂物管理部门将遗址W 周围100⽶范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？技能训练变式训练五、你有什么收获？写下你的⼼得应该记住的内容：重点内容：个⼈⼼得：12．在体育场排练团体操，甲、⼄两名同学所在位置的坐标分别为（2，1）、（3，2），丙同学所在位置的坐标为),5(a .若这三名同学所位置是在⼀条直线上，则a 的值为．13．到两坐标轴距离相等的点的轨迹⽅程是．14．已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是．本课⼩结七、记下你的疑惑4.1.1—第⼀课【问题1】解：巨响在信息中⼼的西偏北450⽅向，距离m 10680处，．【问题2】解：BE 与CF 互相垂直，解答见课本第4页. 1．轨迹是线段AB 的垂直平分线，轨迹⽅程是x y -=；2．轨迹是双曲线的左⽀，轨迹⽅程是)3(116922-<=-x y x ；本课质疑3．爆炸点在以A 、B 为焦点的双曲线上，双曲线⽅程为122990026010022=-y x ；4．点P 位于点A 的北偏东300，相距10千⽶的位置；5．答案不唯⼀.对于图（1），)23,0(),0,21(),0,21(C B A -；对于图（2），)23,21(),0,1(),0,0(C B A ；6．点M 的轨迹是以这两个定点的中点为圆⼼，2为半径的圆； 7．)31,3(),2,21(--； 8．如图，以AB 所在直线为x 轴，边AB 上的⾼CD 所在直线为y 轴建⽴直⾓坐标系.设),0(),0,(),0,(c C b B a A -，则bck a c k BC AC -==,.∵AC BE BC AD ⊥⊥,，∴c a k c b k BEAD -==,，∴直线AD 、BE 的⽅程分别为)(),(b x cay a x c b y --=+=，联⽴解得0=x .所以AD 、BE 的交点H 在y 轴上.因此，三⾓形的三条⾼线交于⼀点；9．)0(422≠=+y y x；10．)0(14922≠=-y y x ； 11．如图，以A 为原点，正东⽅向和正北⽅向分别为x 轴和y 轴的正⽅向建⽴直⾓坐标系，则A （0，0），B （-1000，0），)2200,2200(-W .由于直线m 的⽅程是010003=+-y x ，于是点W 到直线m 的距离为100)625(100>--=d ，所以埋设地下管线m 的计划可以不修改；12．4； 13．0=-y x ；14．（4，2）.。
人教课标版高中数学选修4-4：《平面直角坐标系》教案-新版
1.1平面直角坐标系一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点1．适当直角坐标系的选择．2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2．预习自测（1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( ) A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12 B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12 【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 21sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D（2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】422=+y ．端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ．（3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 42后得到的图形对应的方程是（ ） A ．0142=-'+'y x B ．01=-'+'y x C ．014=-'+'y xD ．0116=-'+'y x【知识点】伸缩变换【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程． 【答案】B（4）将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 对应的方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】【解题思路】设),(11y x 为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C 上对应的点为),(y x ，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，而12121=+y x ，得1)2(22=+y x ，所以曲线C 的方程为1422=+y x ．【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】1422=+y x(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系． 2．问题探究探究一 结合实例，感受坐标法思想★例 1 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）●活动① 实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为C B A ,,，爆炸点记为P .由于C B ,同时听到由点P 发出的响声，因此PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线l 上，由于点A 听到的响声比C B ,晚s 4，所以AB PB PA <=⨯=-13603404，说明点P 在以点B A ,为焦点的双曲线Γ上,所以点P 在直线l 与双曲线Γ的交点. 【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】解:以信息中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设C B A ,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(C B A -于是直线l 的方程为 x y -=设双曲线Γ的方程是)0,0(12222>>=-b a by a x由已知得222234056801020,1020,680⨯=-===b c a ,于是双曲线Γ的方程是134056802222=⨯-y x 将x y -=代入上述方程,解得5680,5680 =±=y x ,由已知,响声在双曲线Γ的左半支上,所以)5680,5680(-P ,10680=OP所以巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处.同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想【解题过程】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． ∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)， ∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．①又|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)． ②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)， ∴k P A ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解． 【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③ 学以致用,理论实践例2 已知△ABC 的三边 c b a ,,满足 2225a c b =+ , BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF 的位置关系.【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程 【数学思想】数形结合 【解题过程】解: 如图, 以△ABC 的顶点A 为原点O, 边AB 所在的直线为x 轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F 的坐标分别为)0,2()0,(),0,0(c F c B A ,设点C 的坐标为),(y x ,点E 的坐标为)2,2(yx .由2225a c b =+可得2225BC AB AC =+即 []22222)(5y c x c y x +-=++,整理得05222222=-++cx c y x因为 ),2(),2,2(y x cy c x --=-=所以0)5222(41222=-++-=∙cx c y x CF BE由此,BE 与CF 相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE 与CF 相互垂直.同类训练 已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2+|PB |2+|PC |2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系 【数学思想】数形结合思想【解题过程】 如右图,以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A (0,23 a ),B (-2a ,0),C (2a ,0).设P (x ,y ),则|P A |2+|PB |2+|PC |2 =x 2+(y -23 a )2+(x +2a )2+y 2+(x -2a)2+y 2 =3x 2+3y 2-3ay +452a =3x 2+3(y -63a )2+a 2≥a 2,当且仅当x =0,y =63a 时,等号成立∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心. 【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题 【答案】所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心 【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势. 探究二 探究平面直角坐标系中的伸缩变换 ●活动① 温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin =吗？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，就的到曲线x y 2sin =.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到点),(y x P '''，则⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 21 ①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动② 温故知新、提炼概念那么如何由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y sin 3=呢？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就的到曲线x y sin 3=.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),(y x P '''，则⎩⎨⎧='='y y xx 3 ②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动③ 巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin 3=呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，再保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就可得曲线x y 2sin 3=.类比上述情况，即 ：设平面直角坐标系中任意一点),(y x P 经过上述变换后为点),(y x P '''，那么⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321 ③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>∙='>∙=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念． 活动④ 巩固基础，检查反馈例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 2131后的图形. ⑴14922=+y x ； ⑵1121822=-y x ⑶x y 22= 【知识点】伸缩变换．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】．⑴由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2131得⎩⎨⎧'='=y y x x 23代入14922=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为122='+'y x同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为13222='-'y x⑶式经过伸缩变换后的图形方程为x y '='232 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程.同类训练 在平面直角坐标系中, 求方程032=+y x 所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 32后的图形对应的方程为 . 【知识点】坐标的伸缩变换． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 32得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 321代入032=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为0='+'y x【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】0='+'y x●活动⑤ 强化提升、灵活应用例4 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3后，曲线C 变为曲线9922='-'y x ，求曲线C 的方程．【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3代入曲线9922='-'y x 得到曲线C 对应的方程为122=-y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】122=-y x ．同类训练 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312后，曲线C 变为曲线1922='+'y x ，求曲线C 的方程． 【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312代入曲线1922='+'y x 得到曲线C 对应的方程为1422=+y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】1422=+y x ． 3.课堂总结 知识梳理（1） 坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.（3）一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>∙='>∙=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 重难点归纳（1）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法．（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )A.21B.2C.3D.31 【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．【解题过程】:∵1,3,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩∴3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x . 【思路点拨】函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错． 【答案】C2.曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='yy xx 43 变换后得到的新曲线的方程是（ ）.A ．14322='+'y xB ．191622='+'y xC ．116922='+'y x D ．116922='+'y x 【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='y y x x 43变换后,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4131代入到圆的方程,可得116922='+'y x 即所求新曲线的方程为 116922='+'y x ． 【思路点拨】将y x ,表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程. 【答案】D ．3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆B.C.比原来小的圆D.双曲线【知识点】伸缩变换的应用．【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆． 【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得． 【答案】D4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )A ．2332x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B ．3223x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．x'y y'x =⎧⎨=⎩D ．11x'x y'y =+⎧⎨=-⎩【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】设此变换为,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩则3,22,3x'x y'y λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以所求变换为3,22,3x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到． 【答案】B ．5．已知函数=)(xf +则)(x f 的最小值为__________． 【知识点】平面直角坐标系的应用． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f (x )的最小值为.【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理． 【答案】22．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线322='+'y x ，则曲线C 的方程为________． 【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】将伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入322='+'y x ，得392522=+y x ．【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式． 【答案】392522=+y x ． 能力型 师生共研7．设曲线C 对应的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧>∙='>∙=')0()0(:μμλλϕy y x x 后得到曲线C ',则曲线C '为（ ） A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．随μλ,的系数不同曲线也不同【知识点】双曲线，伸缩变换．【解题过程】将变换,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x μλ11代入双曲线方程得)0,0(1222222>>='-'b a b y a x μλ，所以曲线C '为双曲线.【思路点拨】伸缩变换公式的应用以及双曲线定义． 【答案】A ．8．在同一平面直角坐标系中，将曲线01283622=+--x y x 变成曲线03422=+'-'-'x y x ，求满足条件的伸缩变换．【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为24()2x -－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得42,23,x x y y -⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩ 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象． 【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．【答案】,23.x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．探究型 多维突破9．△ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程． 【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程． 【数学思想】数形结合【解题过程】解：以边BC 所在的定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(0，b )． 设△ABC 的外心为M (x ，y )．取BC 的中点N ，则MN ⊥BC ，即MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴|MA |＝|MB |. 又|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝y 2＋a 2，x 2＋y －b2＝y 2＋a 2，化简，得所求的轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量. 【答案】02222=-+-a b by x ． 自助餐1．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得到的曲线方程为( )．A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′ 【知识点】三角函数图形、伸缩变换． 【解题过程】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，转化为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 312代入y ＝sin x 可得【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用． 【答案】D2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )A ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，3y ＝0B ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，y 3＝0 C ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，y 2＝0 D ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，2y ＝0【知识点】伸缩变换．【解题过程】设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝3y ′，代入F (x ，y )＝0得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′，3y ′＝0.．【思路点拨】正确使用伸缩变换公式． 【答案】A3．双曲线C:16422=-y x 经过⎩⎨⎧='='yy x x 23:ϕ变换后所得曲线C '的焦点坐标为________．【知识点】双曲线的性质、伸缩变换．【解题过程】 将变换⎩⎨⎧='='y y x x 23ϕ变形为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 231代入曲线C 中得：116922=-y x ，所有焦点坐标为)0,5(或)0,5(-．【思路点拨】先将曲线C '的方程求解，在根据双曲线的性质求焦点坐标． 【答案】)0,5(或)0,5(-．4．在同一平面直角坐标系中，曲线369422=+y x 经过伸缩变换ϕ后变成曲线1222='+'y x ，则伸缩变换ϕ为________． 【知识点】伸缩变换公式．【解题过程】将369422=+y x 变形为14922=+y x 与1222='+'y x 比较可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 2231． 【思路点拨】对伸缩变换公式进行适当的变形．【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2231． 5．如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．【知识点】双曲线的定义、直角坐标系． 【数学思想】坐标法思想．【解题过程】解：设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在BC的中垂线上．因为k BC＝－3，BC的中点D(－4，3)，所以直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又因为|PB|－|P A|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8或x＝－3211(舍去)，所以y＝5 3.所以点P的坐标为(8,53)．【思路点拨】根据实际问题建立合适的直角坐标系，转为数学问题．【答案】(8,53)．。
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一、分析本节考纲要求
课标要求：理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
二、分析近五年中高考题与本节知识的关联
(2014重庆)已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与
曲线的公共点的极经________. 【答案】
【解析】 .
5ρ,.
541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x
三、教学目标
知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
能力与与方法：体会坐标系的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
四、重难点
教学重点：体会直角坐标系的作用
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。
五、教法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。
在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望，提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。
既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
六、教学过程
（一）、平面直角坐标系与曲线方程
1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？
2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？ （2）.在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r 的圆的方程是什么?
3、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。
教师准对问题讲解。
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
（1）、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 l ⎩⎨⎧+=+=t y t x 32t x l C =ρ5
（2）、平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定
（3）、空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定
（4）、抽象概括：在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：A.曲线C 上的点坐标都是方程f(x,y)=0的解；B.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上。
那么，方程f(x,y)=0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f(x,y)=0的曲线。
（5）、学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。
4、学生练习：课本P3练习中1、2题。
5、建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x 。
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐
标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来1
2 ，得到点P ’(x ’,y ’).坐标对应关系为12
''x x y y =={ 通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P （x,y ）经变换得到点为P ’(x ’,y ’)
'12'3{x x y y == 这就是变换公式。
通常把这样的变换叫
做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
3、例题：课本P4例1.在下列平面直角坐标系中，分别作出以圆点为圆心，6为半径的圆：
(1)、x 轴与y 轴具有相同的单位长度；（2）、X 轴上的单位长度为Y 轴上单位长度的2倍；（3）、X 轴上
的单位长度为Y 轴上单位长度的1
2倍。
教师分析：关键是建立坐标伸缩变换关系式。
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。
4、巩固训练：课本P6页练习题。
（三）求轨迹方程
1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程。
2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2
1tan -=∠=∠MNP PMN
，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程。
反思归纳：求轨迹方程的方法和一般步骤。
方法：定义法、直接法、相关点法、待定系数法、参数法。
一般步骤：（1）、恰当建系；（2）、分析曲线特征，揭示隐含条件；（3）、找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件；（4）列出方程。
（四）小结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤；3．什么时候需要建标；4、求轨迹方程的方法和一般步骤；5、在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。
八、布置作业。