随机过程2.2 随机过程的分布
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第二章 随机过程总结
图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.2随机过程的分布律和数字特征
任 意 有 限 个 时 刻 过 程 各个 状 态 的 联 合 概 率 分 布 : 给定随机过程 { X (t), t T }.
对任意n (1)个不同的时刻 t1, ,tn T , 相应
的状态可由 n维随机变量 X (t1), X (t2), , X (tn)
描述 .
a cost
,t
,
其中a
0,
且P1
2 3
,
P2
1 3
,
试求随机过程 X (t)，t (,)
的数字特征。
解
mX
EX t a cos t 1 a cos t 2 1 cos t，
3
33
t (,)
RX s,t EX sX t
a coss a cost 1 a cossa cost 2
示一条固定的曲线。如图蓝色曲线
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.称 BX(s,t) = E{[X(s) - mX(s)][X(t) - mX(t)]},s,t T
为 XT 的协方差函数；
3.称 DX (t) BX t,t E[X (t) mX (t)]2 ,t T 为 XT
的方差函数；
4.称 RX (s,t) E[X (s)X (t)]，s,t T 为 XT
2019级研究生课程
彭晓华
辽宁工大基础部数学教研室
第2章 随机过程的基本概念
2.1随机过程的基本概念 2.2随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 2.4几种重要的随机过程
本章小结 思考题与作业
复习2.1 1.怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？
2.随机过程的五个要素都是什么？
2.2平稳随机过程和各态历经过程
2 2 σ X (t ) = σ A y 2 (t ).
X (t )的一维概率密度为 : f X ( x , t ) =
[ xmA y(t )]2 2 2σ A y2 (t )
1 2π σ X
( xmX )2
2 2σ X
e
1 f X (x, t) = e 2π y(t)σ A
一维概率密度与 时间有关， 时间有关，故不 是严平稳过程。 是严平稳过程。
X (t)平 稳
11
例2.2.2 判断图示的四个随机过 程是否平稳. 表达式中 的a, ω , 是常数, A, ,Φ是互相独立的随机变量. 随机变量Φ在[0,2π ]上均匀分布.
P 图 .6 2 59
X (t ) = A cos(ωt + )
(b ) E[ X (t )] = E[ A] cos(ωt + )
P 图 .6 2 59
( d ) : E[ X (t )] = E[ A cos( t + Φ )]
= E[ A] E[cos(t + Φ )]
X (t ) = A cos(t + Φ )
cos(α + β ) = cosα cos β sin α sin β
E[cos( t ) cos Φ sin( t ) sin Φ ]
2
例 : 正弦型随机相位信号 X (t ) = a cos(ω0t + Φ ), 其中 a和
ω0为常数 , Φ 为[0,2π ]上均匀分布的随机变量 .求X (t )
的均值 , 方差, 和自相关函数 .
RX (t1, t2 ) = a E[cos(ω0t1 + Φ) cos(ω0t2 + Φ)]
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
随机过程 第2章
随机变量 随机变量族
e → x(e) (e, t) → xt(e)=x(e, t)
x=xt(ei)
x
e1 e2 e3
e
概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
2.1 随机过程的基本概念
定义：设(Ω, ö,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t ∈T ，有随机变量X(t, e)与之 对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ∈T } 是(Ω, ö,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ∈T }或{Xt，t ∈T }。 ★ X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空 间或相空间，记为I。
由此可将随机过程分为以下四类：
a. 离散参数离散型随机过程； b. 离散参数连续型随机过程； c. 连续参数离散型随机过程； d. 连续参数连续型随机过程。
2. 以随机过程的统计特征或概率特 征分类：
a. 独立增量过程； b. Markov过程； c. d. e. f. g. 二阶矩过程； 平稳过程； 鞅； 更新过程； Poission过程；
称之为随机过程X(t) 的二维概率密度。
2.3 随机过程的分布律
随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随 机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反 映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方 法，我们可以引入随机过程 X(t) 的 n 维分布函数和 n 维概率密度。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , tn )
• 又如移动某基站每天的通话次数，X 显然不 能确定，即为随机变量，进一步分析知这 个 X 还和时间 t 有关，即 X(t)，所以 X(t) 也构成一个过程，即随机过程；类似地， 气温、气压、商店每天的顾客流量等都构 成一个随机过程。
通信原理第2章 随机过程
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
应用随机过程-期末复习资料
第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。
为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。
以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。
乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。
定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。
E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。
例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),0[∞+注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。
第二章随机过程的概念与基本讲解
例 6、设 { X i , i 1,2,} 是一独立随机变量序列，且有 相同的两点分布
X i -1 1
pi 1/2 1/2
n
令Y (0) 0,Y (n) X i 。 i 1
试求：随机过程 {Y (n),n 0,1,2,} 的均值函数和相关 函数。
§ 2.3 复随机过程
定义 2.5 设 { X t , t T } ，{Yt , t T } 是取实数值的两
例 2 设随机过程
X (t) Y Zt, t 0
其中，Y,Z 是相互独立的 N(0,1)随机变量，求此随机过 程的一、二维概率密度族。
注:二维正态分布的密度函数:
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
第二章 随机过程的概念与基本类型
随机过程---随机信号 随机过程是与确定性过程相对立的一个概念.从信 息论的观点 ,对接收者来讲只有信号表现出某种不可预 测性才可能蕴涵信息.因为如果在信号收到以前接收者 已准确地预测它的一切,则这种信号是毫无用处的.类似 地,若接收者能从信号的过去正确地预测它的将来,将来 的部分信号即成多余。
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
例 3 设 X(t)是实随机过程，x 为任意实数，令
Y
(t)
1, 0,
X (t) X (t)
x, x,
证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别为 X(t)的 一维和二维分布函数。
随机过程的统计特性
2.2 随机过程的统计特性
2.2.1 随机过程的概率分布 1. 一维概率分布
对于任意的时刻t，X(t)是一个随机
变量F，X设(xx为,t任) 意P实{数X，(t定) 义 x}
为随机过程X(t)的一维分布函数。
若 则定F义X ( x, t)
的一阶偏导数存在，
f
X
(
x,
t)
FX (x, x
t)
为随机过程X(t)的二维概率密度。
对于任意的时刻t1,t2,…, tn， X(t1),X(t2),…, X(tn)是一组随机变量，
PF{X 定过X(x(义程1t,1x这X)2(,组t)x的随1,,nx机X维n;(变t概t12,量)t率2的,分x联2布,,合tn，)分,即X布定(为t义n )随机xn}
4FXY ( x1, x2, y1, y2;t1, t2, t1' , t2 ' ) x1x2y1y2
若两个随机过程互相独立，则有
f XY (x1,, xn, y1,, ym;t1,,tn,t1',,tm' ) f X (x1,, xn;t1,,tn ) fY ( y1,, ym;t1',,tm' )
当
时，
t1 t2
当 CX (t1, t1)时，RX (t1, t1) mX (t1)mX (t1) E[ X (t1) X (t1)] mX 2 (t1) E[ X 2(t1)] E2[ X (t1)]
X 2 (t1)
若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0, 那么随机过程的任意两个时刻状态间 是不相关的。
[x mX (t1)][y mY (t2)] fXY (x, y;t1,t2)dxdy
2.2.1 随机过程的概率分布 1. 一维概率分布
对于任意的时刻t，X(t)是一个随机
变量F，X设(xx为,t任) 意P实{数X，(t定) 义 x}
为随机过程X(t)的一维分布函数。
若 则定F义X ( x, t)
的一阶偏导数存在，
f
X
(
x,
t)
FX (x, x
t)
为随机过程X(t)的二维概率密度。
对于任意的时刻t1,t2,…, tn， X(t1),X(t2),…, X(tn)是一组随机变量，
PF{X 定过X(x(义程1t,1x这X)2(,组t)x的随1,,nx机X维n;(变t概t12,量)t率2的,分x联2布,,合tn，)分,即X布定(为t义n )随机xn}
4FXY ( x1, x2, y1, y2;t1, t2, t1' , t2 ' ) x1x2y1y2
若两个随机过程互相独立，则有
f XY (x1,, xn, y1,, ym;t1,,tn,t1',,tm' ) f X (x1,, xn;t1,,tn ) fY ( y1,, ym;t1',,tm' )
当
时，
t1 t2
当 CX (t1, t1)时，RX (t1, t1) mX (t1)mX (t1) E[ X (t1) X (t1)] mX 2 (t1) E[ X 2(t1)] E2[ X (t1)]
X 2 (t1)
若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0, 那么随机过程的任意两个时刻状态间 是不相关的。
[x mX (t1)][y mY (t2)] fXY (x, y;t1,t2)dxdy
第二章 随机过程基本概念
随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
2.2.12.2随机过程的数字特征
t1, , tn;u1, , un E eiu,X
E ei(u1Xt1 un Xtn )
称为随机过程Xt , t T的有限维特征函数.
7
离散型随机过程
当时间参数集T取离散值n1, , nk , 时， 这种随机过程称为离散时间随机过程 . 此时，Xt是一串随机变量Xn1 , , Xnk , 所构成的序列，称为时间序列 .
方差函数
t T，随机过程 Xt , t T的一维分布函数
为 Ft x ，密度函数为 ft x ，则
2 Xt
Var X t
E X t
EX
t
2
2
x Xt dFt x
E Xt2 EXt 2 .
称为随机过程Xt , t T的方差函数.
3方差函数Fra bibliotek特殊地，
若E
当t1 t2 t，cX t1 , t2 2Xt .
5
自相关函数
t1 , t2 T，
RX t1, t2 E X X t1 t2
称为随机过程Xt , t T的自相关函数.
当t1 t2 t，RX t1 , t2 E X t 2 .
6
特征函数
t1 , , tn T，n 1
1 e 2t1 1 e 2 t2 t1 1 e 2t1 1 e 2 t2 t1
2
2
1 e 2 t2 t1
2
2
2
12
例子
P X X t1 t2 1
P Xt1 1, Xt2 1
0 t1 t2
Xt1 1, Xt2 1
P Xt1 1, Xt2 1 P Xt1 1, Xt2 1
X t
1, 若随机点在
1,
若随机点在
0, t 内发生偶数次
E ei(u1Xt1 un Xtn )
称为随机过程Xt , t T的有限维特征函数.
7
离散型随机过程
当时间参数集T取离散值n1, , nk , 时， 这种随机过程称为离散时间随机过程 . 此时，Xt是一串随机变量Xn1 , , Xnk , 所构成的序列，称为时间序列 .
方差函数
t T，随机过程 Xt , t T的一维分布函数
为 Ft x ，密度函数为 ft x ，则
2 Xt
Var X t
E X t
EX
t
2
2
x Xt dFt x
E Xt2 EXt 2 .
称为随机过程Xt , t T的方差函数.
3方差函数Fra bibliotek特殊地，
若E
当t1 t2 t，cX t1 , t2 2Xt .
5
自相关函数
t1 , t2 T，
RX t1, t2 E X X t1 t2
称为随机过程Xt , t T的自相关函数.
当t1 t2 t，RX t1 , t2 E X t 2 .
6
特征函数
t1 , , tn T，n 1
1 e 2t1 1 e 2 t2 t1 1 e 2t1 1 e 2 t2 t1
2
2
1 e 2 t2 t1
2
2
2
12
例子
P X X t1 t2 1
P Xt1 1, Xt2 1
0 t1 t2
Xt1 1, Xt2 1
P Xt1 1, Xt2 1 P Xt1 1, Xt2 1
X t
1, 若随机点在
1,
若随机点在
0, t 内发生偶数次
第二章随机过程基本概念
2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量.对随机过程的统计分析称为随机过程论,它是随机数学中的一个重要分支，产生于本世纪的初期.其研究对象是随机现象，而它特别研究的是随“时间”变化的“动态”的随机现象.一随机过程的定义1 定义设E为随机试验，S为其样本空间，如果（1）对于每个参数t∈T, X(e,t)为建立在S上的随机变量，（2）对每一个e∈S, X(e,t)为t的函数，那么称随机变量族{X(e,t), t∈T, e∈S}为一个随机过程，简记为{X(e,t), t∈T}或X(t)。
()()()()(){}{}[]()为随机序列。
时，通常称，取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式：参数一般表示时间或空间，或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数，或称随机的一般函数，通常称为为对于：上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意：t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321,,,,3,2,1,0,1,2,3,,3,2,1,0T ,.4,.3,,2,:,.1=---==ÎÎ×δ®´L L L为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币，例),()(cos )(},{1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =Îîíì====p 2 随机过程举例îíì=====为随机变量的函数均为和解释：T e t He t t e X t t t T X t t H X 000cos ),(),(cos ),((p p 2121cos ),(000p t t t e X p 并且：例2：用X(t)表示电话交换台在(0，t)时间内接到的呼唤的次数,则(1)对于固定的时刻t, X(t)为随机变量,其样本空间为{0，1，2，…..},且对于不同的t,是不同的随机变量.(2)对于固定的样本点n, X(t)=n是一个t的函数.(即：在多长时间内来n个人?)所以{X(t),t>0}为一个随机过程.相位正弦波。
第二章、随机过程的基本概念
{V (t),t 0}。 1、设已给概率空间(, F, P)及参数集T (,),则称
{X (,t), ,t T},
2020年5月6日星期三
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随机过程(西电版) 2.1 随机过程的定义
第2章 随机过程的基本概念
为该概率空间上的随机过程，简记为 {X (t),t T}。
随机过程(西电版)
2.4 复随机过程
第2章 随机过程的基本概念
设 {X (t),t T},{Y (t),t T}为两个实随机过程,则称
{Z(t) X (t) iY(t),t T}
为复随机过程.
1、复随机过程的数字特征 设复随机过程 {Z (t),t T} 称
(1)均值函数为 mZ (t) E[Z (t)] mX (t) imY (t);
x2
P
A
x1,
A 2
x2
PA x1, A 2x2
3•
x1 2x2
2•
P( P(
A A
x1), x1 2x2 ), x1
2
x2 2x2
1•
•
•
•
1 23
x1
0,
x1
2x2 ,
x1
1或x1
2x2 ,
x2
1 2
F
0,
3
;
x1,
x2
1 3
,
x1
2x2,1
x1
2或x1
2x2 ,
0,
3
;
x1,
x2
.
2020年5月6日星期三
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随机过程2(西.电2版随) 机过程的有限维分布函数族第2章 随机过程的基本概念
随机过程第四版_Ch2_刘次华_研究生课件
• 相关函数 RX (s, t) E[X (s)X (t)] , s, t T
☆显然有关系式
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
随机过程数字特征之间的关系
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
当s t时, EX2(t) RX [t,t]
• 有限维特征函数族
gt1, ,tn (1,2 , ,n ), t1, t2 ,
分布函数族F
,tn T , n 1
其中gt1, ,tn (1,2 ,
,n )
E
exp
i
n
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
(tk
)
k 1
2.2 随机过程的分布和数字特征
定义2.3 设{X(t)，t T }是随机过程，定义
• 均值函数
解 mX (t) EX (t) E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)EY sin(t)EZ 0
BX (s, t) E[(X (s) EX (s))(X (t) EX (t))] E[X (s)X (t)] EX (s)EX (t) E[X (s)X (t)]
E[(cos(s) cos(t)Y 2 cos(s) sin(t)YZ)
• 求F1.5 (x), F2 (x), F1.5,2 (x1,x2),
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 有限维分布函数族的性质
(1)对称性
Ft1,,tn ( x1, x2 ,, xn ) Fti1 ,,tin ( xi1 , xi2 ,, xin )
其中 ti1 , ti2 ,是, tin 的t1,任t2 ,意,排tn 列 (2)相容性
☆显然有关系式
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
随机过程数字特征之间的关系
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T
当s t时, EX2(t) RX [t,t]
• 有限维特征函数族
gt1, ,tn (1,2 , ,n ), t1, t2 ,
分布函数族F
,tn T , n 1
其中gt1, ,tn (1,2 ,
,n )
E
exp
i
n
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
(tk
)
k 1
2.2 随机过程的分布和数字特征
定义2.3 设{X(t)，t T }是随机过程，定义
• 均值函数
解 mX (t) EX (t) E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)EY sin(t)EZ 0
BX (s, t) E[(X (s) EX (s))(X (t) EX (t))] E[X (s)X (t)] EX (s)EX (t) E[X (s)X (t)]
E[(cos(s) cos(t)Y 2 cos(s) sin(t)YZ)
• 求F1.5 (x), F2 (x), F1.5,2 (x1,x2),
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 有限维分布函数族的性质
(1)对称性
Ft1,,tn ( x1, x2 ,, xn ) Fti1 ,,tin ( xi1 , xi2 ,, xin )
其中 ti1 , ti2 ,是, tin 的t1,任t2 ,意,排tn 列 (2)相容性
第二章随机过程基本概念.
(1若有的一维密度函数。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
第二章 随机过程
• 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。 • 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
随机过程第二章
X (t)
Y (t)
mX (t)
mY (t)
其中 X (随t)时间变化缓慢，这个过程在两个不同 时刻的状态之间有较强的相关性; 而 Y的(样t) 本函数变化激烈，波动性大，其不同时刻 的状态之间的联系不明显，且时刻间隔越大，联系越
弱.
因此，必须引入描述随机过程在不同时刻 之间相关程度的数字特征。
自相关函数（简称相关函数）就是用来描 述随机过程两个不同时刻，状态之间内在联 系的重要数字特征。
随机过程数字特征之间的关系：
(1)
2 X
(t)
RX
(t,t)
(2)
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t)
m2 X
(t)
(3)
BX (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) mX (t1)mX (t2 )
从这些关系式看出，均值函数
mX (t)
和相关函数 RX (t1,t是2 ) 最基本的两个数字特征，其它
称为样本函数，对应于e的一个样本轨道或实现，
变动e ，则得到一族样本函数， 样本函数的全e为一个数， 即在t时刻系统所
处的某一个状态。
对接收机的输出噪声电压，作一次“长 时间的观察”，测量获得的噪声电压Xt是一 个样本函数
e 1, x1(t) e 2, x2 (t) e 3, x3(t) e k, xk (t)
随机变量， 当t连续变化时， 即得一族随机变量，
所以X t,0 t 是一个连续参数， 连续状态
的随机过程, 称为随机相位正弦波。 例. 某电话交换台在时间段[0,t)内接收到的呼叫
次数X (t)是与t有关的随机变量， 对于固定的t, X (t)是一个取非负整数的随机变量，
随机过程知识点归纳
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k kp xEX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。
独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1(p EX =pq DX =二项分布 kn k k n qp C k X P -==)(np EX =npq DX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-==λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX =2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλλ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21ex p{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-π),,,(21n a a a a =，),,,(21n x x x x =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。
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2) 对任意固定的自然数m<n,均有
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
φ(t1, t2 , , tm ;θ1,θ2 , ,θm )
φ(t1, t2 , , tm , , tn;θ1,θ2 , ,θm ,0, ,0)
定理2.2.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果有限分布函数族
F {F(t1, t2, , tn; x1, x2,, xn ), t1, t2, , tn T , n 1}
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn}
称为过程的n 维分布函数.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
记 F ˆ {F (t1 , t2 , , tn; x1 , x2 ,, xn ) :
ti T , xi Ri , i 1,2, , n, n 1}
x1 π
1 da, a2 x2
x 1;
0
其它 .
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
1
ln(
1
1 x2 ),
π
x
0，
其 它.
x 1;
思考题：
为什么可以用有限维分布函数族描述 随机过程的统计特性?
电子科技大学
X(t) － 2cost 2cost
p
1/3
2/3
特别
X(0) － 2 2
p 1/3 2/3
p X( 4 ) 2 2
p1/3 2/3来自电子科技大学2) 分析
随机过程的分布
04.9.4
2
2
x(t,ω1)=2cost
2 x(t,ω2)=－2cost
-2
有 (X(0), X(p/4)) (2, 2) (2, 2)
称F为XT 的有限维分布函数族.
XT的任意有 限维分布函
数的全体构
成的集合
定义2.2.3 过程 { X (t),的t nT维} 特征函数定义为
φ(t1 , t2 , , tn;θ1 , θ2 , , θn )
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
E{e } j[θ1 X (t1 ) θn X (tn )]
满足相容性和对称性,则存在一个概率空间上
的一个随机过程 XT X (t以), tF为T有限维分布
函数族, 即
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
F (t1, t2 , , tn; x1, x2 ,, xn )
P{ X (t1 ) x1, , X (tn ) xn }.
Ex1.设随机过程 X (t,), t R只有两条样本
F
(
t1
,
t
2
,
, tn; x1,, xm ,
xn )
注 联合分布函数能完全确定边缘分布函数.
类似地,随机过程的有限维特征函数满足:
1) 对1,2,…,n的任一排列j1 , j2 , …, jn 有
φ(t j1 , , t jn ;θ j1 , ,θ jn ) φ(t1, t2 , , tn;θ1,θ2 , ,θn )
随机过程的分布
04.9.4
需研究随机过程与有限维分布函数的关系.
随机过程的有限维分布函数有以下性质:
1) 对称性:对1, 2, …, n的任一排列j1 , j2 , … , jn ,均有
F (t j1 , , t jn ; x j1 , , x jn ) F (t1, t2 , , tn; x1, x2 ,, xn )
注 因事件乘积满足交换律.
2) 相容性:对任意固定的自然数m<n,均有
F t1 , t2 , , tm ; x1 , x2 ,, xm
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
F (t1, t2 , , tm , , tn; x1, x2 ,, xm , )
lim
xm1 , , xn
04.9.4
t R,
其中ω是正常数, 随机变量A 与Θ相互独立, A～U(0,1), Θ～U(-p, p), 试求过程的一维概率 密度.
解 1) 首先设 Y (t ) acos(t )
其中a 是常数,易求得Y(t)的一维概率密度为
fY
(
y)
π
1, a2 y2
y a;
0,
其它.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
2) 因 Y (t ) X (t A a) ,有 fX A( x a) fY ( x)
用连续型全概率公式
f
X
(
x; t )
fX
A(x
a )dFA (a )
f
X
A(
x
a)
f
A (a)da
1
0
f
X
A(x
a)da
6
6
当T/6≤t<5T/6,
P{Y (t,) A} P{t T X t} 1;
6
5
当5T/6≤t<T,
P{Y (t,) A} P{t T X 5T } 6 (T t). 电子6科技大学 6 5T
随机过程的分布
Ex.3 设随机过程
X (t ) Acos(t ),
随机过程的分布
04.9.4
§2.2 随机过程的分布
一、分布函数
定义2.2.1 随机过程 XT X，(t)对, t T
t T , 随机变量X(t)的分布函数
F(t; x) A PX(t) x, x R,
称为过程XT 的一维分布函数. 注 一维分布函数描述了随机过程在各个孤
立时间点处的统计特性, 未给出过程的整体
p
1/3
2/3
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
服从二维两点分布，余自解.
问题 随机变量X(0)和X(p/4)是否相互独立?
Ex. 2 (脉冲位置调制信号)
P10例14
1)每隔T秒输出宽度为T/6,幅度为A的脉冲;
2)各脉冲开始时间为Xj , j=1,2, …, n,相互独立. 3) Xj～U(0,5/6T).
函数
X (t,1 ) 2cos t, X (t,2 ) 2cos t, t R
且
P {ω1 }
2 3
,
P{ω2 }
1 3
求 1) 一维分布函数F(0; x) 和 F(p/4; x);
2) 二维分布函数F(0, p/4; x, y).
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
解 1) 对任意实数t∈R,有
解 Xj 的概率密度为
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
f
X
(
x)
6 5T
,
0,
0 x 5T; 6
其它.
A
0t
T
T
6
当0≤t<T/6, P{Y (t, ) A} P{0 X t} 6t ;
5T
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
0
t－T/6
t
tT
T
5T
统计特性.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
定义2.2.2 随机过程 { X (t),对t 任T给} 的
t1 , t2 , , tn T , 随机向量
X (t1 ), X (t2 ), , X (tn )
的联合分布函数
F (t1, t2 ,L , tn; x1, x2 ,L , xn ) A
称 {φ(t1 , t2 , , tn;θ 1 ,θ 2 , ,θ n ) :
t1 , t2 , , tn T , n 1}
为XT 的有限维特征函数族.
特征函数和分布函数是相互唯一确定.
2. 随机过程存在定理
随机过程的n维分布函数能近似地描述 过程的统计特性, n越大则描述越趋于完善.
电子科技大学