一个小波变换实例及Matlab实现

1、 求n h 。

1,(),()n n h t t ϕϕ-=
或ˆˆ()(2)/()H ωϕ
ωϕω= 2、 由n h 求n g 。

1(1)n n n g h -=- 或()()i G e H t ωωωπ-=
3、 由n g ，()t ϕ构成正交小波基函数()t φ
1,()()n n t g t φϕ-=∑
或ˆˆ()(/2)(/2)G φ
ωωϕω= Haar 小波的构造
1）、选择尺度函数。

101()0t t ϕ ≤≤⎧=⎨ ⎩其他
易知(n)t ϕ-关于n 为一正交归一基。

2）、求n h
1,(),()n n h t t ϕϕ-
=()2t-n)t dt ϕϕ（
其中
11(2)220n n t t n ϕ+⎧ ≤≤⎪-=⎨⎪ ⎩其他
当n=0时，
11(2)20t t ϕ⎧ 0≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其他
当n=1时，
111(21)20t t ϕ⎧ ≤≤⎪-=⎨⎪ ⎩其他
故，当n=0，n=1时
1()(2)0n n t t n ϕϕ =0,=1⎧•-=⎨
⎩其他
当n=0时， ()(2)t t n ϕϕ•-1120t ⎧ 0≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其他
当n=1时，
()(2)t t n ϕϕ•-11120t ⎧ ≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其他
故
n
h ()2t-n)t dt ϕϕ
（1/0n n ⎧=0,=1⎪=⎨ ⎪⎩其他
3）、求n g 。

11/0(1)1/10n n n n g h n -⎧=⎪⎪=-=-=⎨⎪ ⎪⎩
其他
4）、求()t φ。

1,()()n n t g t φϕ-=∑
=0-1,011,1()()g t g t ϕϕ-+
=(2)(21)t t - =110211120t t ⎧ ≤≤⎪⎪⎪- ≤≤⎨⎪ ⎪⎪⎩
其他 其图形如下：
1、 Haar 尺度函数
101()0t t ϕ ≤≤⎧=⎨ ⎩其他
Haar 尺度函数空间：
}{,(22),(21),(2),(21),(21),j j j j j x x x x x ϕϕϕϕϕ++-- j 为非负的整数，该空间又称为j 级阶梯函数空间j V 。

则
01211j j j V V V V V V -+⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂
随j 的增加，分辨更为精细。

2、 性质
函数集}{/22(2):j j x k k Z ϕ-∈是j V 的一个标准正交基。

0()f x V ∈当且仅当(2)j j f x V ∈。

3、 Haar 小波函数
函数满足两点：（1）φ是1V 的成员；（2）φ与0V 正交。

()x φ=(2)(21)x x ϕϕ--
性质：
()0x dx φ+∞
-∞=⎰
()x φ是对称的、局部支撑的函数；
小波函数空间:(2),j j k
k k Z W a x k a R φ∈-∈∑
j W 是j V 的正交互补，即1j j j V V W +=⊕
函数集}{/22(2):j j x k k Z φ-∈是j W 的一个标准正交基
4、 Haar 小波分解与重建
对Haar 小波，有11(2)((2)(2))j j j x x x φφϕ--=+/2 11(21)((2)(2))/2j j j x x x φφϕ---=-
Haar 小波分解定理：
设：()(2),()j j k
j j k Z f x a x k f x V φ∈=-∈∑
则它可以有如下分解：
11j j j f f ω--=+
11111(2),()j j j k j j k Z
f a x k f x V φ-----∈=-∈∑
11111(2),()j j j k j j k Z
b x k x W ωϕω-----∈=-∈∑
12212
j k k k a a a -++= 12212j k
k k a a b -+-= 把函数f 分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量
()2(4)2(41)(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---
解：按照分解定理，此j=2,；k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，得出分解后尺度函数空间元素的系数是2222+=，1102
-=；分解后小波函数空间元素的系数是2202-=，1(1)12
--=；从而 ()2(2)(21)f x x x φϕ=+-
Matlab程序
image1=imread('');
image1=rgb2gray(image1);
subplot(2,2,1);
imshow(image1);
title('original image');
image1=double(image1);
imagew=imread('');
imagew= rgb2gray (imagew);
subplot(2,2,2);
imshow(imagew);
title('original watermark');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca, 'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
M=512;
N=64;
for i=1:N
for j=1:N
Ca(i,j)=cas(i,j)+*imagew(i,j);
end;
end;
IM=idwt2(Ca,chs,cvs,cds,'db1');
IM1=idwt2(IM,ch1,cv1,cd1, 'db1'); markedimage=double(idwt2(IM1,ch,cv,cd,'db1')); subplot(2,2,3);
colormap(gray(256));
image(markedimage);
title('marked image');
imwrite(markedimage,gray(256),'','bmp'); image1=imread('');
image1=rgb2gray(image1);
image1=double(image1);
imaged=imread('');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
[caa,chh,cvv,cdd]=dwt2(imaged,'db1');
[caa1,chh1,cvv1,cdd1]=dwt2(caa,'db1'); [caas,chhs,cvvs,cdds]=dwt2(caa1,'db1');
for p=1:N
for q=1:N
W(p,q)=100*(caas(p,q)-cas(p,q));
end;
subplot(2,2,4);
colormap(gray(256));
image(W);
title('从含水印图像中提取的水印'); imwrite(W,gray(256),'','bmp');。