无界是指没有界限

无界是指没有界限，但是并没有一个趋势

无穷大是有确定趋势的

你也可以从定义上把它们区分开

例如：

自然数列1，2，......，n，......在n增大的过程中稳定地趋于正无穷，它的通项是无穷大。

数列1，0，2，0，......，n，0，......在n增大的过程中肯定是无界的，但不是无穷大，因为无穷大要求从某一项开始后面的所有项都要大于某个大正数M，这个数列办不到这点。

无穷大一定无界，无界不见得是无穷大。

补充说明：上面的例子不是特例，一般来说无界而又不是无穷大的变量都是由于它们时大时小，不能稳定地趋于无穷。

无穷大，是x的某个变化过程中，|f(x)|无限增大。

对于f(x)=xsinx，x趋向于无穷大时，|f(x)|不是趋向于无穷大，因为它总有为零的点。

所以xsinx是无界变量，但不是无穷大变量。

（当X m(m下标)= m*pi 时，f(x)等于0）

无穷大：我的函数值在这里摆着，你来一瞧，哇，好大啊！那到底有多大呢？不管你随便说一个多大的正数M，我的函数值都比你的M大，就是说要多大有多大，很大，非常大，这个就是无穷大！

无穷大是和自变量一个点x0或者一个极限过程(如趋向于x0或正无穷或负无穷)

有界和无界：无界就是有界的对立面，所以我先说有界，有界和无界都是区间！特性，一定和一个区间对应。

有界：在一个区间内，函数值就那么多，值域也就是一个集合，你来了，随便说了一个正数M,一看所有的函数值的绝对值都小于你说的那个M，也就是说所有的函数值都在-M到M之间，被你这个M圈住了,这个就是有界；

无界：在一个区间内，函数值就那么多，值域也就是一个集合，你来了，随便说了一个正数M想把所有的函数值都圈住,发现有的函数值的绝对值小于你说的那个M，但总有的函数值大于你说的M，最糟糕的是，发现不管你说一个多大的M总能找到圈不住的函数值，完了，看来是无边无界了。。。

举个例子吧，啥都解决了：

f(x)=1/x, 这个函数在x=0点就是无穷大，你可以看一下函数曲线，那个是很大，非常大，要多大有多大

f(x)=1/x 在区间[1,3]内有界，因为在这个区间内函数值的绝对值都小于1;在区间(0,1)内无界，因为不管你说一个多大的正数M,总有函数值比M要大；注意，我在说区间，有界和无界一定是和一个区间对应

说函数无界是指任意G>0，都有x,st,f(x)>G.说的是函数整体性质。函数可以点点取值都有限，但是函数整体无界。

无穷大是在实直线上补充定义的一个抽象的数（定义了正负无穷后成为扩充实直线），x=正无穷是指x比任意数都大。在扩充实直线上可以定义和无穷有关的运算。当然函数可以取值为无穷。这时函数一定是无界的。

一句话总结，无穷大是局部的，无界是整体的。