测试技术基础(江征风)部分习题参考答案

j 第二章部分题目答案2-21．求正弦信号)2sin()(t TA t x π=的单边、双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时4/T 后，其各频谱如何变化？解： (1)由于22()sin()cos()2x t A t A t T T πππ==-，符合三角函数展开形式，则 在2Tπ处：1n A =，所以，单边频谱图为图1的（a ）。

对)2sin()(t T A t x π=进行复指数展开：由于222()sin()()2j t j tT T jA x t A t e e T πππ-==- 所以，在2Tπ-处：2n jA C =，0nR C =，2nI A C =，||2n A C =，2n πθ=在2T π处：2n jA C =-，0nR C =，2nI A C =-，||2n A C =，2n πθ=-所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。

TT-(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图图1 正弦信号x (t)的频谱 （2）当延迟4/T 后，()x t 变为2()sin ()4T x t A t Tπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，由于222()sin ()cos ()cos 442T T x t A t A t A t T T T πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，符合三角函数展开形式，则在2Tπ处：1n A =，所以，单边频谱图为图2的（a ）。

对222()sin ()sin()cos()42T T x t A t A t A t TT T πππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦进行复指数展开，由于222()cos()()2j t j tT TA x t A t e e T πππ--=-=+ 所以，在2Tπ-处：2n A C =-，2nR A C =-，0nI C =，||2n AC =，n θπ=在2Tπ处：2nAC=-，2nRAC=-，0nIC=，||2nAC=，nθπ=所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。

TT-(a)单边幅频图(b) 实频图(c) 虚频图(d) )双边幅频图(e)双边相频图图2正弦信号x(t)延迟后的频谱2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为⎪⎭⎫⎝⎛-+-=tttAtf05cos513cos31cos4)(ωωωπ求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。

解：均值a=0；该方波各谐波的频率分别为ω、3ω、5ω…；对应的幅值分别为π4A、π34A、π54A…，即,...5,3,1,)1(421=--nnA nπ，该方波的单边幅频谱图如图3所示。

00000图3 方波的单边幅频谱2-23 试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将()f t看成矩形窗函数与(2)δ-t、(2)δ+t脉冲函数的卷积)。

图2.55 习题2-23解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数与δ(t-2)、δ(t+2)的卷积：⎪⎩⎪⎨⎧>≤=111)(tttw即，)]2()2([*)()(-++=tttwtfδδ而)2(sin 2)()(f C jf W t w π=⇒，根据时移特性：22)2(⋅⇒+f j e t πδ；22)2(⋅-⇒-f j e t πδ 则)(t f 的频谱函数为：)()2(sin 2)()2(sin 2)]2(()2(([)()]2()2([*)()(442222f j f j f j f j e e f C e e f C t F t F jf W t t t w t f ππππππδδδδ-⋅-⋅+⋅=+⋅=-++⋅⇒-++=2-24．一时间函数)(t f 及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数t t f t x 0cos )()(ω=设m ωω>0[m ω为)(t f 中最高频率分量的角频率]，试出)(t x 和)(t x 的双边幅频谱)(ωj X 的示意图形，当m ωω<0时，)(ωj X 的图形会出现什么样的情况？(a) )(t f 的时域波形 (b) )(t f 的频谱图2.56 )(t f 的时域波形及其频谱解：令t t x 01cos )(ω=，则)()()(1t x t f t x =，即为)(t f 和t 0cos ω的乘积，所以其图形如图4(a)所示。

若)()(11ωj X t x ⇔，)()(ωj F t f ⇔，则)(*)()()()()(11ωωωj F j X j X t x t f t x =⇔=由于)]()([21)(001ωωδωωδω++-=j X ，其双边幅频图如图4(b)所示。

根据)(*)()()(2121ωωj X j X t x t x ⇔，则)(*)]()([21)(*)()(001ωωωδωωδωωωj F j F j X j X ++-==根据)()(*)(ωωδωj x j j x =，)()(*)(00ωωωωδω-=-x x 和)()(*)(00ωωωωδω+=+x x 则)]()([21)(*)]()([21)(*)()(00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-==F F j F j F j X j X|])(||)([|21)(*|])(||)([|21)(*|)(||)(|00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-==F F j F j F j X j X )(210ωω-F 表示把)(21ωF 的图形搬移到0ω处，图形的最大幅值为)(21ωF ； )(210ωω+F 表示把)(21ωF 的图形搬移到0ω-处，图形的最大幅值为)(21ωF ； |)(|210ωω-F 表示把|)(|21ωF 的图形搬移到0ω处，图形的最大幅值为|)(|21ωF ； |)(|210ωω+F 表示把|)(|21ωF 的图形搬移到0ω-处，图形的最大幅值为|)(|21ωF ； 由于)(1t x 的频谱图用双边幅频图表示，所以)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(c)所示，当m ωω<0时，)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(d)所示。

t)(t x(a) )(t x 的时域波形 (b) t t x 01cos )(ω=的频谱m00m00(c) )(t x 的频谱 (d)m ωω<0时，)(t x 的频谱图4 习题2-23的示意图2-25．图2.57所示周期三角波的数学表达式为402()402A T A t t T x t A T A t t T ⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。

图2.57 周期性三角波解：周期三角波的傅立叶级数展开式为：)5cos 513cos 31(cos 8)(020202 +++=t t t A t x ωωωπ其单边频谱图如图5所示。

00000(a) 幅频图 (b) 相频图图5 周期性三角波的频谱补充：画出0cos t ω、0sin t ω复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双边相频谱，并验证是否满足信号的时移定理。

解：()0001cos 2j tj t t e e ωωω-=+ 在0ω-处：12n C =，12nR C =，0nI C =，1||2n C =，0n θ=在0ω处：12n C =，12nR C =，0nI C =，1||2n C =，0n θ=(a) 实频图 (b) 虚频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相频图图6()000sin 2j tj t j t e e ωωω-=- 在0ω-处：2n j C =，0nR C =，12nI C =，1||2n C =，2n πθ=在0ω处：2n j C =-，0nR C =，12nI C =-，1||2n C=，2n πθ=-(a) 实频图 (b) 虚频图 (c) )双边幅频图 (d) 双边相频图图70000sin cos()cos ()22t t t ππωωωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦，则002t πω= 在0ω-处：相移：0000()()22t ππωωω--=--=在0ω处：相移：000022t ππωωω-=-=-有图6和7比较可知，0sin t ω比0cos t ω在0ω-、0ω处的相移为2π和2π-，因此满足信号的时移定理。

第三章部分题目答案3-19 若压电式力传感器灵敏度为90 pC/MPa ，电荷放大器的灵敏度为0.05V/pC ，若压力变化25MPa ，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50mm ，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联后的总灵敏度为：123yS S S S x∆=⋅⋅=∆，其中S1=90 pC/MPa ，S2＝0.05V/pC ，∆x=25MPa ，∆y=50mm ，则3125040.44442590/0.05/9y mm mm mmS x S S MPa pC MPa V pC V V∆====∆⋅⋅⋅⋅ 3-20 图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。

图4.24 习题3-20图解：第一个框图为一阶系统，由于66/2315215/217.51s s s ==+++，而317.51K s s τ=++，所以其灵敏度为3;第二个框图的灵敏度为7.3;第三个框图为二阶系统，由于22n n2222n n n n3.322K s s s s ωωξωωξωω=++++，所以其灵敏度为3.3； 系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。

3-21 由传递函数为1 1.5() 3.50.5=+H s s 和2n 222n n 100() 1.4H s s s ωωω=++的两个环节，串联组成一个测试系统，问此系统的总灵敏度是多少？解：显然，)(1s H 和)(2s H 和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式的形式，则1735.05.35.11)(1+=+=+=s s s K s H τ K=3 22222222227.021004.11002)(n n n n n n n n n s s s s s s K s H ωωωωωωωξωω+⋅+=++=++= K=100而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.3-22 用时间常数为2s 的一阶装置测周期为2s 、4s 的正弦信号，试求周期为4s 装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s 装置的几倍？解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s 时，1()0.1572A ω====1122()arctan()arctan(2)80.972o T ππϕωτ=-=-⋅=- 正弦信号周期为4s 时，2()0.3033A ω====222()arctan()arctan(2)72.324o T ππϕωτ=-=-⋅=- 由于21()2()A A ωω=，22()72.320.8936()80.97ϕωϕω-==-，则周期为4s 装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s 装置的2和0.8936倍。