有限元法数学基础

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材料力学有限元法知识点总结

材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。

有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。

本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。

1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。

它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。

1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。

1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。

根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。

1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。

1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。

2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。

它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。

2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。

这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。

有限单元法的数学基础

有限单元法的数学基础1、引言有限元方法归根结底是一种数值计算方法，它有严格的数学证明作为其近似的客观性和合理性的保证。

力学问题最终归结为一组微分方程的边值问题或者初值问题抑或是混合问题。

比如弹性静力学最终归结为L-N 方程的微分提法。

在很难或者根本不可能得到所得方程的理论解的情况下，究竟用什么样的方法才能得到方程的近似解（这种近似解已经能够满足实际工程的需要），在这种情况下，二十世纪五六十年代由结构力学家进而由数学家提出和证明了这种思想方法的合理性。

有限元方法产生于力学计算，但是，它本质上并不是力学的专利。

世间万物的变化过程很多都可以通过微分方程特别是偏微分方程来描述，也就是说，微分方程是很多现象和过程的数学结构，而大多数的微分方程是不能得到理论解的，这时候就可以使用有限元方法来求其近似解，因为有限元方法是求解微分方程（组）的数值计算方法。

它适用于力学的微分方程，也同样适用于其它领域的相应的微分方程的数值求解。

2、有限元方法数学根源对于一个给定的微分方程定解问题，为了求其近似解，我们可以使用Ritz 方法和Galerkin 方法。

下面分别阐述这两种方法，然后讨论有限元方法和他们的关系。

（1） Ritz 法Ritz 法源于最小势能原理，设H 是可分的Hilbert 空间，在H 中取有限维空间Sn ，它是由N 个线性无关向量12,,,N φφφ 张成，即：121,,(,,)NN n n i i N N i S C C C C R ωωφ=⎧⎫≡=∀∈⎨⎬⎩⎭∑用N S 代替H ，在N S 上求泛函J(w)的极值,即求N U ∈N S ，使得()N J U =min ()N N S N J ωω∈实际上寻求N U 只需通过解一个线性方程组1()(,)()02J D F ωωωω=-≥D--------双线性形式 F--------线性泛函1NN i i i C ωφ==∑111,111()(,)()21(,)()2N N NN i i i i i i i i i NN i j i j i ii j i J D C C F C D C C F C ωφφφφφφ====== =-∑∑∑∑∑－因此，()N J ω是一个以12,,,N C C C 为未知数（自变量）的二次多项式12(,,,)N j C C C ，如果二次项的系数矩阵,1,2,,[(,)]i j i j N D φφ= 是正定的，那么12(,,,)N j j C C C = 在N+1维空间是一个开口向上的椭球抛物面，它有且只有一个极（最）小值点，所谓在N S 上求()N J ω的极值，就是确定00012,,,N C C C ，使得：00012(,,,)N j C C C ＝1000,,12min (,,,)N C C R N j C C C ∈极值条件：ijC ∂∂|00012,,,N C C C ＝0 （1,,i N = ）得:01()()ni ji i i D CF φφφ==∑ (1,,i N = )即：00012[,,,]T N C C C C = 适合方程组：KC=F11[(),,()]T F F F φφ=112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,),,(,)N N N N N N D D D D D D K D D D φφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，。

有限元基础知识

有限元基础知识
嘿，朋友们！今天咱要来聊聊有限元基础知识啊，这可真是个超有意思的东西！
你们有没有玩过拼图游戏呀？有限元就有点像把一个复杂的东西，比如一个机器零件啦，拆分成好多好多小的部分，就像拼图的小块块一样。

比如说，你想想看一辆汽车，它那么复杂，要是直接去研究它可太难了。

但通过有限元，咱就可以把它分成一个个小区域，分别去分析、去理解，这不就简单多了嘛！
有限元就像是给我们一个探索复杂世界的秘密武器！它让那些看似遥不可及、搞不懂的东西变得清晰起来。

你知道吗？工程师们经常用这个方法来解决各种各样的问题呢！比如设计更牢固的桥梁，或者让飞机飞得更安全、更稳定。

就好比有一座摇摇欲坠的老桥，工程师们就可以用有限元方法，一点一点地分析每个部分，找出问题所在，然后想办法加固它，让它重新变得坚固可靠。

这多了不起啊！
那有限元具体是咋工作的呢？简单来说，就是先划分网格，这就像是给那个复杂的东西画格子。

然后再对这些小格子进行计算和分析。

就好像你在做数学题一样，一步步算出答案。

“哎呀，这听起来好难啊！”你可能会这么说。

但别害怕呀！一开始可能觉得有点难理解，但只要你深入进去，就会发现它的奇妙之处。

而且现在有好多软件可以帮我们进行有限元分析呢，超方便的！
总之，有限元基础知识是个非常有用、非常有趣的东西！它就像一把钥匙，能帮我们打开复杂工程世界的大门，让我们更好地去理解和创造。

大家赶紧去探索一下吧，相信你们一定会爱上它的！。

有限元法的基本原理

第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。

经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。

从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。

它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。

通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。

在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。

尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。

通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。

2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。

3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。

4）有限元的收敛性和误差估计。

由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。

另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。

§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。

2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。

有限元法基础ppt课件

有限单元法
一、数值模拟方法概述二、有限单元法简介三、有限单元法分析步骤四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method）其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。

《有限元基础》课件

广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠。
有限元方法对初值和边界条件的选取比较敏感，不同的初值和边界条件可能导致截然不同的结果。
高阶偏微分方程的离散化困难
对于一些高阶偏微分方程，有限元方法的离散化过程可能会变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为离散的数值，以便进行数值计算。

有限元法

一：有限元的基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。

由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。

通常有限元法都遵循以下基本步骤:物体的离散化:离散化是有限元法的基础，这就是依据结构的实际情况，选择合适的单元形状、类型、数目、大小以及排列方式，将拟分析的物体假想地分成有限个分区或分块的集合体。

假设这些单元在处于它们边界上的若干个离散节点处相互连接，这些节点的位移将是该问题的基本未知参数。

挑选形函数或插值函数:选择一组函数，通常是多项式，最简单的情况是位移的线性函数。

这些函数应当满足一定条件，该条件就是平衡方程，它通常是通过变分原理得到的，可由每个“有限单元”的节点位移唯一地确定该单元中的位移状态。

确定单元的性质:确定单元性质就是对单元的力学性质进行描述。

确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。

一般用单元的刚度矩阵来描述单元的性质，确定单元节点力与位移的关系。

组成物体的整体方程组:组成物体的整体方程组就是由已知的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵集成表示整个物体性质的结构刚度矩阵和结构载荷列阵，从而建立起整个结构己知量-------总节点载荷与整个物体未知量-------总节点位移的关系。

解有限元方程和辅助计算:引入强制边界条件，解方程得到节点位移。

一般整体方程组往往数目庞大，可能是几十个、几百个，以至于成千上万个。

对于这些方程组需要一定的计算数学方法解出其未知量。

然后，根据实际问题进行必要的辅助计算。

完整的有限元的求解过程如下图所示：二：有限元的数学方法从更广泛的观点看，有限元法的数学基础是变分原理。

根据变分原理发展而来的有限元法，在求解微分方程方面得到了广泛的应用。

变分原理是表达物理基础定律的一种普遍形式，其表达课概括如下：给出一个依赖物理状态v 的变量()J v ，同时给出()J v 的容许函数集v ，即一切可能的物理状态，则真是的状态是v 中使()J v 达到极小值的函数。

6.第3章有限元法

牛顿－拉夫逊迭代
建立雅可比矩阵及右端剩余矢量 ΔR
根据边界条件修正方程组计算迭代误差计算各单元 A，B 结束是迭代误差是否小于控制值？否解方程组得到各节点A 计算各单元γ 及 B
第3章有限元法基础
3.8 有限元素的自动剖分
采取自动剖分的必要性：在单元剖分中，为了尽可能的压缩存储，减小计算量，提高精度，必须注意以下问题：
H B H K BK 1 γ H H B 1 HB 2 K 1 K B B B B B 2 BK 1 BK
第3章有限元法基础
2. 改进型的牛顿-拉夫逊迭代法
牛顿-拉夫逊迭代法的优点：
（1）收敛速度快，按平方律收敛，每经一次迭代有效位数基本上增加一倍；（2）自校正功能，即 A(K+1) 仅依赖于 F(A) 与 A(K)，前面迭代的舍入误差不会一步步传递下去。其缺点：
F K A R
e e e
e
第3章有限元法基础
单元雅可比矩阵为：
f i e 以为例，看雅可比矩阵第 ii 项元素对单元 e 的贡献。K 是 A 的函数， Ai
e Kije ，K im 对A的偏导数均不为零，由 (3.66)式可知
fi e Ai e e F e f j J A Ai A f me Ai
第3章有限元法基础
3.8.1 直线内插法
适宜于对以直线段为边界的的场域进行自动剖分。只需给出 x, y方向上两端点的坐标，就可算出所有节点的坐标。 1. 确定 x 方向、y方向节点数及总节点数 x方向节点数 y方向节点数节点总数 2. 确定各节点的坐标 x 和 y 方向节点坐标最小值为x1、y1，最大值为xm、ym，则节点坐标增量分别为

有限元法基础知识介绍

有限元法基础知识介绍
有限元的基本思想
有限元法中的几个基本概念
• 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化离散化。离散化 • 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点结点。结点 • 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力单元之间只能通过结点来传递内力。单元之间只能通过结点来传递内力 • 通过结点来传递的内力称为结点力结点力，作用在结点上的荷载结点力结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成称为结点荷载结点荷载它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移结点位移。结点位移
有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
③ 计算等效节点力：将外在的负载力等效到各个节点上。物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。
[K]——整体刚度矩阵； {δ}——全部结点位移组成的列阵； {R}——全部结点荷载组成的列阵。
在位移法中，只有{δ}是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程： [M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}
有限元分析方法的发展与应用

有限元课件ppt

整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可以用于分析各种类型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场的问题，如热传导、热对流和热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也有广泛应用，可以用于求解流体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量

有限元基本要求

有限元基本要求
有限元分析是一种重要的工程分析方法，它可以模拟复杂的结构和物理现象。

在学习有限元分析之前，需要掌握以下基本要求：
1. 数学基础：有限元分析涉及到大量的数学知识，如线性代数、微积分、偏微分方程等。

因此，需要有扎实的数学基础。

2. 机械力学基础：有限元分析主要用于工程结构力学问题的求解，因此需要了解基本的机械力学知识，如静力学、动力学、材料力学等。

3. 编程基础：有限元分析通常需要使用计算机进行求解，因此需要有一定的编程基础。

常用的有限元软件如ANSYS、ABAQUS等也需要掌握。

4. 有限元方法基础：需要了解有限元方法的基本原理、离散化方法、单元类型、形函数等基本概念。

5. 实践能力：通过实践应用，掌握有限元分析方法的具体操作和应用技巧，能够有效地解决实际工程问题。

以上是学习有限元分析的基本要求，只有掌握了这些基本知识和技能，才能在实践中灵活应用、解决复杂的工程问题。

- 1 -。

有限元法-基础

度和刚度分析，是工程设计的重要内容之一。随着科学技术的进步和生产的发展，工程结构的几何形状和载荷情况日益复杂，加上新材料不断出现，使得寻找结构分析的解析解十分困难，甚至不可能。因此，人们转向寻求它的近似解。
图 4-5 H 型钢轧制过程仿真分析 1908 年，里兹(W．Ritz)提出一种近做解法，具有重要意义。它利用带未知量的试探函数将势能泛函近似，对每一个未知量求势能泛函的极小值，得到求解未知量的方程组。里兹法大大促进了弹性力学在工程中的应用。里兹法的限制是试探函数必须满足边界条件。对于几何形状比较复杂的结构来说，寻找满足整个边界条件的试探函数也非易事。 1943 年，库兰特(R．Courant)对里兹法作了极重要的推广。他在求解扭转问题时，将整个截面划分成若干个三角形区域。假设翘曲函数在各个三角形区域内近似线性分布，从而克服了以前里兹法要求整个近似函数满足全部边界条件的困难。库兰特这样应用里兹法与有限单元法的初期思想是一致的。但是这种近似解法要进行大量数值计算，在当时还是个难题，因此未能得到发展。在 1946 年电子计算机诞生以后，首先采用它来进行数值计算的是杆系结构力学。其理论依据是由结构力学位移法和力法演变成的矩阵位移法和矩阵力法，统称结构矩阵法。它采用矩阵代数运算，不仅能使算式书写简明，而且编制计算机程序非常方便。结构矩阵法的力学概念清楚，全部理论公式按结构力学观点讲都是准确的。仅在数值运算过程中，由于计算机实数存贮位数有限，造成舍人误差。 1956 年，特纳(M．J．Turner)、克劳夫（R．W．Clough）、马丁(H．C．Martin) 和托普(L．J．Topp)在纽约举行的航空学会年会上介绍一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。同期，阿吉里斯(J．H．Argyris)在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分

有限元分析理论基础大全超详细

有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。

由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。

并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。

在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。

如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。

由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。

在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。

研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。

它包括大位移大应变及大位移小应变问题。

有限元法基础理论

（1）正应力σ
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σ x 是作用在垂直于 x
轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。（2）剪应力τ 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪
一个坐标轴。例如，剪应力τ xy 是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。
如图 2 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接
1
点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1 个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。
u(x)
=
ui
+
ui+1 − ui Li
(x
−
xi )
其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 ε i ，应力为σ i ，内力为 Ni ：
5
或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。三、基本变量
1.应力的概念 1）外力：面力和体力作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面
积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ、Υ、Ζ
结点位移
(1)
内部各点位移
(2)
(3)
(4)
应变
应力
结点力
单元分析
以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。
3

有限单元法知识点总结

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

有限元基础知识归纳

有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。

5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。

每个部分称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

fem算法数学基础

fem算法数学基础FEM算法是有限元法（Finite Element Method）的缩写，它是一种数值计算方法，用于求解复杂的数学模型和物理问题。

在FEM算法中，数学基础是非常重要的，它涉及到线性代数、微积分、偏微分方程等多个数学学科的知识。

在FEM算法中，线性代数是基础中的基础。

线性代数主要研究向量、矩阵和线性方程组等概念和运算。

在FEM算法中，我们将待求解的问题离散化为无数个小单元，每个小单元的解可以用一个向量表示。

而这些向量之间的关系可以通过矩阵运算来表示。

因此，矩阵的运算和性质在FEM算法中起着重要的作用。

例如，矩阵的乘法和求逆运算，可以帮助我们求解线性方程组，从而得到问题的解。

在FEM算法中，微积分也是必不可少的数学基础。

微积分主要研究函数的导数、积分和极限等概念和运算。

在FEM算法中，我们需要对问题的模型进行离散化，并构建数学方程。

这些数学方程往往是偏微分方程，通过对这些方程进行适当的变换和求解，我们可以得到问题的数值解。

而这个过程中，微积分的知识和方法是必不可少的。

例如，通过对偏微分方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或代数方程，从而简化求解的过程。

除了线性代数和微积分，FEM算法还涉及到其他数学学科的知识。

例如，数值分析和数值优化等学科的知识可以帮助我们选择合适的数值计算方法和算法，以提高计算的精度和效率。

此外，概率论和统计学等学科的知识可以帮助我们对计算结果进行不确定性分析和可靠性评估，从而更好地理解问题的本质和特性。

FEM算法的数学基础是非常重要的。

线性代数、微积分和其他数学学科的知识都是我们理解和应用FEM算法的基础。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题和要求，选择合适的数学方法和工具，以提高计算的准确性和效率。

同时，我们也要不断学习和掌握新的数学知识和技巧，以推动FEM算法的发展和应用。

o.c.zienkiewicz 有限元法基础

有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，常用于工程和科学领域，特别是结构力学、流体力学和热力学问题的求解。

以下是关于有限元法的基础知识：一、有限元法的基本原理有限元法的基本原理是将一个连续的物理问题建模为离散的小单元，然后利用有限元法的数学理论和算法进行求解。

这些小单元可以是三角形、四边形、四面体或六面体等不同形状的几何体。

通过将整个问题分解成小单元，并建立它们之间的相互关系，可以用有限元法准确地描述整个系统的行为。

二、有限元法的步骤1. 离散化：将连续的物理问题进行离散化，将其分解为小单元，并确定每个离散单元之间的联系。

2. 建立方程：利用变分原理或加权残差法等数学方法，建立离散单元的平衡方程和边界条件。

3. 组装方程：将每个离散单元的平衡方程组装成整体的方程组，进一步求解整个物理问题。

4. 求解方程：通过数值方法求解整体方程组，得到物理问题的近似解。

5. 后处理：对求解结果进行分析和后处理，得出所关心的物理量的数值解。

三、有限元法的优点1. 适用性广：有限元法可用于各种不规则几何形状和复杂边界条件的求解。

2. 精度高：通过增加离散单元的数量，可以得到任意精度的解。

3. 灵活性强：可以根据具体问题的特点选择不同类型的离散单元，提高求解效率和精度。

四、有限元法的应用领域1. 结构力学：用于求解结构的应力、应变、位移等问题。

2. 流体力学：用于求解流体的速度、压力、温度等问题。

3. 热力学：用于求解传热、燃烧等问题。

4. 电磁场：用于求解电场、磁场等问题。

以上是有限元法的基础知识和应用范围，有限元法在工程和科学领域有着广泛的应用前景，对于复杂问题的求解具有重要的意义。