(名师整理)最新北师大版数学7年级上册第5章第6节《应用一元一次方程—追赶小明》精品习题课件
新北师大版七年级数学上册课件第五章6 应用一元一次方程——追赶小明 (共32张PPT)
从而列出方
程
解：设船在静水中的速度为x km/h，则船顺水航 行的速度为(x+4) km/h，逆水航行的速度为(x-4) km/h. 由题意，得3(x+4)=5(x-4).
两车相向而行.若慢车先行驶28 min，则快车行驶多长
时间后两车相遇？
图5-6-1
解：如图5-6-1.设快车行驶x h后两车相遇.
28 +x+80x=448. 由题意，得60 x
解得x=3.
60
所以快车行驶3 h后两车相遇.
两列车从某一时刻开始同时相向而行到两列 车相遇所用的时间相同,两列车所行驶的路程之
知识 解读
行程问题中的基本关系式：路程＝速度×时间
巧记乐背
相遇距离路程和，追及情况分别看，
不同时走路程同，不同地走时间等. 注意 列方程解行程问题要会用“线段图”来进行分析， 它比较直观地反映出方程中的等量关系，同时还要注 意单位的统一.
例1 甲,乙两地相距448 km，一列慢车从甲地出发每小 时行驶60 km，一列快车从乙地出发每小时行驶80 km，
向甲跑去；遇到甲后，就立即回头向乙跑去，……
直到甲、乙两人相遇小狗才停住.求小狗共跑了多 少千米.
解：设甲、乙两人x h后相遇. 根据题意，得6x+4x=20.
解得x=2.
因为小狗跑的时间与甲、乙相遇时所用的时间相等， 所以小狗跑的时间是2 h. 所以9×2=18(km). 因此，小狗共跑了18 km.
(名师整理)最新北师大版数学7年级上册第5章第6节《应用一元一次方程—追赶小明》精品课件
设爸爸追上小明用了x分钟
小明 小明爸爸
时间
(5+x)分钟 x分钟
速度
80米/分钟 180米/分钟
路程
80×(5+x)米 180x米
可得方程：80×(5＋x) =180x.
【画出线段图】
小明
家
爸爸
？
学校
1000米 可得方程：80×5＋80x =180x.
解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟， 据题意得 80×5＋80x=180x. 解，得 x=4. 答：爸爸追上小明用了4分钟． （2）180×4=720（米），1000-720=280（米） 答：追上小明时，距离学校还有280米．
【变式训练一】
小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑4米，小丽 每秒跑6米，如果小丽站在百米跑道的起点处，小红站在她 前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？
先独立思 考
再小组讨论，画出线 段图，完整的写出
解题步骤
分析：小红所跑的路程-小丽跑的路程=10米 小红用的时间=小丽用的时间
1.会借线段图分析行程问题. 2.各种行程问题中的规律及等量关系. 同向追及问题： ①同地不同时——甲时间＋时间差＝乙时间；
甲路程＝乙路程. ②同时不同地——甲路程＋路程差＝乙路程；
甲时间＝乙时间. 相向的相遇问题： 甲路程＋乙路程＝总路程； 甲时间＝乙时间.
3.解决行程问题的一般步骤：
问题的 已知条件
画出 线段图
找出 等量关系
回答
检验
列方程 并求解
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
相遇问题
速度和×时间=总路程
应用一 元一次 方程— —追赶 小明
追及问题
初中数学北师大七年级上册(2023年修订) 一元一次方程应用一元一次方程追赶小明教案
《追赶小明》教案一、教材及学情分析追赶小明是北师大版七年级（上）第五章应用一元一次方程最后一节的内容。
教材首先由一个实际实例“追赶小明”创设问题情境，激发学生去分析问题、探究解决问题的方法，然后通过画“线段图”建立一元一次方程模型解决问题．目的是培养学生把生活中的实际问题转化为数学模型的能力，让学生体会数学在生活中的作用．教学时是让学生根据事实提出问题并尝试去解决问题，让学生在自主探索、互相启迪、合作交流中提高分析问题和解决问题的能力，梳理所学知识，培养学生的数学能力．认知基础：学生在小学阶段学过有关行程问题的应用题，熟悉路程、时间、速度之间的关系．前几节课又学习了解一元一次方程及一些运用方程模型解决的实际问题的有关知识．学生是学习的“主人”，教学应以学生为中心，从学生已有的生活经验出发，创设有助于学生自主学习的情境，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，促使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习．本节课让学生主动地参与数学活动，并通过亲身实践，演示追赶过程，更进一步认识和体会方程的作用．活动经验基础：学生在小学已能利用线段图来解决一些简单的应用题，并且在本章前几节的学习中，已初步感受到方程是解决实际问题的一种有效途径，学生已具备一定的分析问题、解决问题的能力，已初步形成合作、交流、勇于探究与实践的良好学风，学生间互相评价和师生互动气氛较浓．二、教学目标1．借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，进一步掌握列方程解应用题的步骤．发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．2．能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题．3．培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用，提高学生应用数学的意识．4．培养学生文字语言、图形语言、符号语言这三种语言转换的能力．三、教学重难点、教学重点：1．画出“线段图”找相等关系．2．会进行文字语言、图形语言、符号语言的相互转换．教学难点：借助画“线段图”寻找行程问题中的等量关系．四、教学设计情境创设小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是爸爸以180米/分钟的速度去追小明．问题1：爸爸能追上小明吗？问题2：爸爸追上小明用了多长时间？问题3：追上小明时，距离学校还有多远？设计说明列方程解一些实际问题的过程是一个数学建模的过程，及时鼓励学生通过亲身体验、观察、分析找出其中的等量关系，并尝试用文字语言表述出来，通过画线段图让学生明白了数形结合的好处，教学中可以适当对文字语言、图形语言、符号语言的互相转换加以渗透，既提高了学生的语言表达能力，又培养学生对三种语言进行转换的能力．1．亲身演示，自主探索师：这是行程问题中的追赶问题，我们请两位同学分别扮演小明和爸爸来演示一下追赶的过程．2．语言描述师：根据刚才的演示，你发现了哪些等量关系？(1)爸爸要追上小明，爸爸的速度与小明的速度关系怎样？(2)爸爸从家出发到追上小明时，两人所用的时间有何关系？(3)两人所行的总路程有何关系？3．图形语言师：如下图，你能用简单的“线段图”表示演示的追赶过程吗？4．建立方程模型，得出结论路程、速度和时间三者之间有何关系呢？“线段图”反映了怎样的等量关系？教学说明在学生亲身体验追赶过程的基础上，比较容易画出“线段图”，可以让他们独立完成，教师可以适当帮助一些有问题的学生．充分利用生活实践自己去提出问题并解决问题，这样更有利于扩展学生的思考空间，亲身体会数学变式问题的趣味性，感受到数学的实用性．三种语言的转换在教师点拨引导、学生探究分析过程中自然渗透、自然转换，让学生体会各种表达方式的优越性．另外，求爸爸追上小明时离学校还有多远，由于学生的思路不同，学生的解决方法就不同，有“总路程减去小明走过的路程＝剩余路程”，即1 000－80×(4＋5)＝280(米)，也有“总路程减去爸爸走过的路程＝剩余路程”，即1 000－180×4＝280(米)，出现这些不同的见解，教师就因势利导，培养学生的思维的灵活性，拓宽学生思路．活动一：小强和小斌每天早晨坚持跑步，小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米。
北师大版数学七年级上册5.6《应用一元一次方程——追赶小明》教学设计
北师大版数学七年级上册5.6《应用一元一次方程——追赶小明》教学设计一. 教材分析《北师大版数学七年级上册5.6<应用一元一次方程——追赶小明>》这一节主要通过一个实际问题引导学生应用一元一次方程解决问题。
通过列方程、解方程的过程，让学生掌握一元一次方程在实际问题中的应用。
教材通过追赶小明的例子，让学生理解速度、时间和路程之间的关系，并运用一元一次方程求解实际问题。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经接触过一元一次方程的基本概念和解法，但对于如何将实际问题转化为方程，并将方程应用于解决实际问题可能还有一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为方程，并通过实际问题让学生理解一元一次方程在实际生活中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：学生会将实际问题转化为一元一次方程，并能运用一元一次方程求解实际问题。
2.过程与方法：学生通过自主探究、合作交流的方式，掌握一元一次方程在实际问题中的应用。
3.情感态度与价值观：学生体会数学与生活的紧密联系，培养解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：学生能将实际问题转化为一元一次方程，并能运用一元一次方程求解实际问题。
2.难点：学生如何将实际问题转化为方程，并理解方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法和合作交流法。
通过设置追赶小明的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生自主探究、合作交流，从而掌握一元一次方程在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备与追赶小明相关的实际问题，以及解题过程中可能用到的数学知识。
2.学生准备：学生需要预习相关的一元一次方程知识，并准备参与课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过讲解一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为方程。
例如，教师可以提出一个问题：如果小明每分钟跑60米，小红每分钟跑70米，小明比小红慢多少米？让学生思考如何用数学方法表示这个问题。
北师大版七年级上册第五章5.6应用一元一次方程-追赶小明教案
3.增强学生的运算能力：通过解一元一次方程，训练学生熟练掌握方程的解法，提高运算速度和准确性。
4.培养学生的合作交流意识：在小组讨论和分享解题过程中，培养学生与他人合作交流的意识和能力，共同提高。
3.在小组讨论环节，关注每个学生的参与度，鼓励他们发表自己的观点，培养独立思考的能力。
4.增加实践活动，提高学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
2.教学难点
a.理解速度、时间、距离之间的关系：学生往往难以将这三者之间的关系与一元一次方程联系起来，特别是在涉及相对速度时。
b.方程列出的正确性：学生在从文字描述中抽象出方程时，容易忽略一些关键信息，导致方程列错。
c.方程解法的运用：对于一些基础薄弱的学生，解一元一次方程的过程可能会遇到困难，如不知道如何移项或合并同类项。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元一次方程的基本概念。一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。它在解决实际问题中起着关键作用，尤其是涉及速度、时间和距离的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将追赶小明的实际问题转化为一元一次方程，并通过解方程找到答案。
北师大版七年级上册第五章5.6应用一元一次方程-追赶小明教案
一、教学内容
北师大版七年级上册第五章5.6应用一元一次方程-追赶小明教案：
1.知识点：一元一次方程的应用。
2.教学内容：
a.了解追赶小明的实际情境，理解一元一次方程在解决实际问题中的应用。
b.掌握根据实际情境列出相应的一元一次方程的方法。
(名师整理)最新北师大版数学7年级上册第5章第6节《应用一元一次方程—追赶小明》精品课件
速度快的行程－速度慢的行程＝两者的距离 三、解决路程问题的关键是… …，方法是……
❖ 解决路程问题的关键是什么？ 找出等量关系，列出方程。
❖ 找出等量关系的重要方法是： 画线段图。
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
相遇问题
解析：两列火车相向而行从相遇到错开的路程 为两列火车的车身的长度之和，速度为两车的 速度和.设乙车的速度为x米/秒，则甲车的速 度为（x+15）米/秒.依题意，得8x+8（x+15） =160+200.解得x=15.因此，甲车的速度为30米 /秒，乙车的速度为15米/秒.
7.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需 要4 h，逆水航行需要6 h，水流的速度是2 km/h，求两个码头之间的距离.
速度和×时间=总路程
应用一 元一次 方程— —追赶 小明
追及问题
顺流(风) 逆流(风)
问题
速度差×追及时间=追及路程
顺水速度=原来速度+水流 （风）速度 逆水速度=原来速度-水流（风）速度.
板书设计
光读书不思考也许能使平庸之辈知识 丰富，但它决不能使他们头脑清醒。
—— 约·诺里斯
根据上面的事实提出问题并尝试去解答.
问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？
解：设联络员第一次追上前队时用了x小时，由题意得:
12x = 4x + 4
解方程得：x =0.5
答：联络员第一次追上前队时用了0.5小时。
议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。（1）班的学生组成 前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生组成后队，速度为6 千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络 员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度 为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答.
最新北师大版七年级数学上册《应用一元一次方程——追赶小明》名师教案
5.6 应用一元一次方程——追赶小明教学目标：1.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题，感知数学在生活中的作用.2.通过观察、抽象、探索、理解与运用，学生进一步体会到方程的模型作用，提高应用数学的意识．借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力．3.通过师生间、学生间的探索与交流以及情境的创设，激发学生的学习热情和求知欲望．从而进一步提高学习数学、应用数学解决实际问题的意识，养成良好的学习习惯．教学重点与难点：重点：分析题意，寻找等量关系，列方程解决行程问题．难点：利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型．教法与学法指导：本节课主要是通过学生亲身的生活体验来展开，再加以延伸，从中抽象出数学问题，再通过建立模型解决实际问题．通过练习来巩固所学知识．消除了学生对新课、新知识的抵触情绪和畏惧心理，各个环节的过渡都非常自然．让学生在不知不觉中学完本节课．同时也体现出了从生活发现数学，让数学回归生活的设计理念．课前准备：制作课件，检查学生预习稿的完成情况，收集学生预习中遇到的问题信息.教学过程:一、创设情境，导入新课师：我们来看两张图片．（教师出示课件）生（热情洋溢地）：是博尔特百米比赛，我们学校刚刚举行的运动会.师：看来同学们对这两张图片很熟悉，你知道其中蕴含着什么数学问题吗？生：路程、速度、时间.师：这三个量之间有怎样的关系呢？速度=路程÷时间路程=速度时间时间=路程÷速度行程问题中速度、路程、时间之间的关系?s=vt v=s/t t=s/v生：路程=速度⨯时间；速度=时间路程；时间=速度路程. 师：(展示课件)师：很好！那就用你的知识完成下面的问题吧．1.若小亮每秒跑4米，那么他10秒能跑多少____米.（路程=速度⨯时间）2.小亮用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_____米/分. （速度=时间路程） 3.已知小亮家距离学校1000米，他以5米/秒的速度骑车到达学校需要_____分钟. （时间=速度路程） 师：好，看来同学们对这三个量的关系掌握的很好，请想一想生活中的行程问题都有那些？生：相遇问题、追及问题.(学生之间互相补充并说明特点)师：这节课我们就来共同研究有关相遇、追及等方面的问题．【教师板书课题：5.6 应用一元一次方程—追赶小明】【设计意图】通过图片的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题——追及问题，激发学生的好奇心，引起每位同学的兴趣，唤醒学生的思维和问题意识，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题.二、合作探究，获取新知师：（多媒体展示例题）例１ 小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？（学生读题）师：同学们，你是否遇到过类似小明的经历呢．生（很兴奋,七嘴八舌）：有的说有,有的说没有.师：家人要追上你与什么因素有关呢？生：绝大数学生都可能会说与速度有关，少数学生可能会说与距离有关等等.（学生仔细审题，理清题目中的数量关系，提高阅读能力.根据自己的理解口述题目中的内容．）师：在这个问题里已知条件是什么？求的是什么？生：小明家到学校距离1000m，小明的速度是80米/分，爸爸的速度是80米/分，小明提前5分钟出发.求的是爸爸追上小明的时间．师：这个问题中涉及了哪个数量关系？生：路程、速度、时间．师：你能将他们的行走过程用图形表示出来吗？（学生先自己画图但不够完整，教师适当点拨补充完善．）小明先走的路程小明又走的路程追及点家学校师：结合图形，你找到有几个等量关系？生：①小明走的路程=爸爸走的路程；②小明所用时间=5+爸爸所用时间．（对于第一个关系学生很容易得出，第二个关系需要教师提示．）师：你将用哪一个等量关系建立方程？生：小明走的路程=爸爸走的路程．师：如果设爸爸追上小明用了x分钟，你能将数量关系用线段图表示出来吗？生：生：80×5＋80x=180x．师：好！根据我们的分析，你能将这题的步骤整理出来吗？（师生一起规范整理步骤）生：解：设爸爸追上小明用了x分钟，根据题意，得80×5＋80x=180x．解得x=4．答：爸爸追上小明用了4分钟．师：你能独立完成问题（2）吗？生：（在前面的基础上学生比较容易得出结果．）180×4=720（米），1000-720=280（米）．答：追上小明时，距离学校还有280米．（师生小结：追及问题若甲先走，乙后走则等量关系有：甲的路程=乙的路程；甲的时间=乙的时间＋时间差．）【设计意图】从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边感兴趣的事件给学生提出有关的数学问题，唤起学生的思维和问题意识．三、变式训练，巩固提高变式训练(一)：师：（多媒体展示问题）在前面的问题中如果小明的爸爸要赶时间上班，他必须在5分钟之内追上小明,那么爸爸的速度至少应是多少？生：表现出浓厚的兴趣，互相讨论．一部分同学借助上题的经验与方法，开始思考本道题的解题思路．师：这个问题与上面的问题有什么不同？生：本题限制了时间，所要解决的问题是爸爸的速度．师：（根据学生的讨论情况，进行适当的提示）．1．如爸爸5分钟追上小明,这时小明共走了几分钟？2．追上小明时，小明走过的路程是多少？3．爸爸走的路程与小明所走的路程有什么关系？4．那么，爸爸的速度呢?生：在练习本上画出线段图，并完成书写步骤．（学生类比上题画出本题的线段图，互相交流改进补充完整．）小明前5分钟走的路程 小明后5分钟走的路程家生：解：设爸爸的速度为x 米/分，根据题意，得 5x=80×10．解这个方程，得 x=160．答：爸爸的速度至少应是160米/分．【设计意图】通过问题情境的转换，让学生在探索和教师的引导中进一步掌握用画线段图解决行程问题中的追赶问题，启发学生的思维，锻炼学生的解决问题能力．变式训练(二)：师：（多媒体展示问题）在前面的问题中若当小明到校后才发现忘带语文课本，赶紧打电话给爸爸，爸爸立即以180米/分的速度从家出发，同时小明从学校以100米/分的速度从学校返回，两人几分钟后相遇？生：（阅读题目，理清题目中的逻辑关系）师：这个问题与上面的问题有什么区别？生：从两个地点相向而行．师：你能正确画出线段图并完成书写步骤吗？（教师进行点拨，规范．）生：（在练习本上画出线段图，并完成书写步骤．）生：解：设经过x 分钟相遇，根据题意，得 180x +100x =1000．解得x=257．答：经过257分钟相遇．（师生小结：相向而行，等量关系：甲所用时间=乙所用时间；甲的路程＋乙的路程=总路程．）【设计意图】分析相遇问题，由于已有对上一个问题的理解故而学生能比较正确地画出线段图，并得出其中的等量关系，正确列出方程，解决问题，最终能规范写出解题过程．四、学以致用，解决问题师：（多媒体展示问题）育红学校七年级学生步行到郊外旅行.七(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七(2)班学生组成后队，速度为6千米/时.前队出发一小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时．生：（积极的合作探究，根据上面的事实分组提出问题、讨论、交流，并尝试解答．）师：（在学生仔细读题后提问）这个问题与我们的例题有什么异同？生：（小组讨论，分析比较后得出）相同之处是有两个“人”一前一后，且后面的速度比前面的快，不同的是这个问题中有个联络员．师：提示学生从速度、时间、路程三个角度进行挖掘．生：通过小组讨论、交流比较容易得出：问题1：后队追上前队用了多长时间？解：设后队追上前队用了x小时，根据题意，得6x = 4x + 4×1．解这个方程，得x =2．答：后队追上前队时用了2小时．问题2：联络员第一次追上前队时用了多长时间？解：设联络员第一次追上前队时用了x小时．由题意，得12x = 4x + 4．解这个方程，得x =0.5．答：联络员第一次追上前队时用了0.5小时．问题3：后队追上前队时联络员行了多少路程？问题4：当后队追上前队时，他们已经行进了多少路程？问题5：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？对于问题3、4、5学生不容易得出，教师适当引导提出问题，并鼓励学生课下利用方程解决问题．【设计意图】这是一个开放性的问题，答案不唯一，旨在拓展学生思维，寻求个性发展.教师应鼓励学生交流、讨论，结合例题大胆提出问题，如后队追上前队用了多少时间；后队追上前队时联络员行了多少路程；通讯员第一次追上前队时，用了多少时间；当后队追上前队时，他们已经行进了多少路程；联系员在前队出发多少时间后，第一次追上前队等，教师还应鼓励学生尝试利用方程去解决这些问题，并与同伴交流自己的问题和解决问题的过程．五、巩固训练，提升能力1．小兵每秒跑6米，小明每秒跑7米，小兵先跑4秒，小明几秒钟追上小兵．2．甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距150千米的两地相向而行，经过5小时相遇，已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程的3倍少6千米，求乙骑自行车的速度.3．七年级一班列队以每小时6千米的速度去甲地.王明从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟，求队伍的长.4.甲、乙两人相距280米，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，那么甲出发几秒与乙相遇？【设计意图】进一步强化本节的内容，通过题目的练习让学生真正理解和掌握用画线段图来解决行程问题中的相遇和追赶问题．六、课堂小结，反思归纳师：今天你们学到了什么知识?是怎样学到的?还有什么疑问?（让学生自己总结，可以加深印象，提高学生学习的积极性.师适时点拨．）生1：借助“线段图”能帮助我们分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题.生2：相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=总路程.生3：追及问题：前者走的路程+两者间的距离=追者走的路程.生4：路程=速度×时间；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间.【设计意图】强调本课的重点内容是要学会借线段图来分析行程问题，并能掌握各种行程问题中的规律及等量关系.引导学生自己对所学知识和思想方法进行归纳和总结，从而形成自己对数学知识的理解和解决问题的方法策略．七、达标检测，反馈矫正多媒体出示：1．A，B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米，一列快车从B 地开出，每小时行65千米，若两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由条件列出的方程为．2．甲乙两站相距450千米，一列慢车从甲站开出速度是52千米/时，一列快车从乙站开出速度是70千米/时，慢车开出0.5小时后快车开出，两车相向而行，问快车经过几小时与慢车相遇？设快车经过x小时与慢车相遇则可列方程（）A、52x+70x=450B、70x=52x+52×0.5C、70x=52x+450D、52×0.5+52x+70x=4503．一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30分，逆风需要6小时，已知风速每小时24千米，则顺风中飞机的速度为多少？逆风中飞机的速度为多少？【设计意图】通过达标检测及时反馈学生对本节课的知识点的掌握程度,以便有的放矢进行后续教学．七、布置作业，拓展延伸必做题：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/小时的速度前进．突然，1号队员一45千米/小时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/小时的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？选做题：给定方程2.5x+2.5(x+2)=55，你能联系生活实际编写一道数学问题吗？与同学探讨，并负责讲解．【设计意图】作业分层体现分层教学思想，让不同学生得到不同程度的发展．板书设计：教学反思：励志名言： 1、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
北师大版七年级数学上册：5.6应用一元一次方程追赶小明优秀教学案例
1.解题思路：引导学生总结解题思路，明确解决追赶问题的关键步骤。让学生从实际问题中提炼出关键信息，找出问题中的等量关系，列出方程，求解未知量。
2.解题方法：总结一元一次方程的解法，让学生掌握解题方法。强调解题步骤的重要性，让学生学会如何将实际问题转化为数学问题。
3.应用拓展：鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，解决类似问题。引导学生关注身边的人和事，提高学生的数学应用意识。
3.媒体辅助：利用多媒体课件展示追赶问题的生活场景，让学生更直观地理解问题背景。通过动态演示，让学生观察和分析问题，找出问题中的等量关系。
（二）问题导向
1.自主探究：在解决问题的过程中，教师提出一系列问题，引导学生自主探究，激发学生的思考。例如，教师可以提问：“小明和小华的速度如何表示？他们分别跑了几分钟？如何列出方程解决问题？”
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同讨论解决问题。在讨论过程中，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
2.分工合作：在小组内部，分工合作，明确每个学生的责任。例如，一个学生负责找出等量关系，另一个学生负责列出方程，共同解决问题。
3.互动评价：小组成员之间相互评价，共同提高。在小组合作过程中，鼓励学生相互倾听、相互反馈，培养学生的评价能力和自我反思能力。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的成长。评价时，教师要以鼓励为主，充分激发学生的学习积极性，提高学生的自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.故事引入：以一个有趣的追赶小明的故事作为导入，引发学生的兴趣。教师讲述故事，让学生在轻松愉快的氛围中进入本节课的学习。故事中，小明和小华进行一场跑步比赛，小华要追赶小明，正好追上。引导学生思考：小华和小明分别跑了几分钟？他们的速度如何？
七年级数学上册 第五章 一元一次方程 6 应用一元一次方程—追赶小明素材 北师大版(2021年整理)
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能追上小明吗活动与探究8个人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障，此时离火车站停止检票的时间还有42分钟,这时惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/时．这8个人能赶上火车吗？过程：这是开放性的问题，为学生提供了思维的空间．可以分多种情形讨论．第一种情形:小汽车分2批送8个人．如果第2批人在原地不动．第二种情形:如果在汽车送第一批人的同时,其他人先步行,可节省一点时间．第三种情形:如果这辆汽车行驶到途中一定位置放下第一批人,然后掉头再接另一批人使得两批人同时到达火车站，比较省时．结果：第一种情形：小汽车需来回走15×3=45（千米），所需时间为45÷60=43(小时）=45分〉42分．因此单靠汽车来回接送无法使8人赶上火车．第二种情形:如果设这些步行的速度为5千米/时，汽车送完第1批人后,用了x 小时与第二批人相遇，根据题意有：5x +60x =15—6015×5，解得x =5211，从汽车出故障开始，第二批人到达火车站要用41+2×5211=5235小时〈42分．因此不计其他时间的话，这8人能赶上火车． 第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中,一定位置放下第一批人,然后掉头再接另一批人,使得两批人同时到达火车站，那么比较省时，需要37分．（一)学会解开放题随着素质教育的不断深入,考查学生灵活运用的综合能力成为热点．而开放性问题有利于培养学生灵活运用能力和创造性思维能力．［例1］按要求运用数字135和25％编一道应用题，要求:(1)要联系市场经济,其解符合实际．（2）数25％要用两次．（3）列出的方程是一元一次方程，写出这道应用题的整个解的过程．解:依据题目要求可编出应用题：某个体商店同时出售两件衣服，每件售价都是135元,按进价核算，其中一件盈利25％，另一件亏本25%．试问在这次销售中，商店是亏还是赚？解这道应用题，设其中一件进价x元，另一件进价y元，由题意,得x(1+25％)=135，则x=108；y(1—25%）=135，则y=180．∴2×135-（x+y）=-18因此是亏，亏了18元．根据题目要求还可编出一道应用题：某商店降价25%后,又提价25%，该商品现价为135元，问该商品原价多少元？解:设该商品原价x元，则（1-25%)(1+25)x=135．解，得x=144所以该商品原价是144元．［例2］下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每年每人工时按2400工时计算；市场部：预测明年的产品销量是10000~12000件;技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这种部件60000个．请判断：(1)工厂明年的生产量至多为多少件？(2）为减少积压，至多裁减多少人用于开发其他新产品．解：（1)据人事部、技术部、供应部的信息,明年生产量为x件，则4x=6000+60000，解得x=16500120x=800×2400，解得x=16000受工时限制x应取16000．(2）据市场部信息，设应裁减y人，则2400（800—y）=12000×120解，得y=200．应裁减200人．（二)参考练习列方程解应用题1．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为17．5千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时两人相距32．5千米？2．在一直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7．5千米，水流速度为每小时2．5千米,A、C两地间的距离为10千米．如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地有多远？答案：1．解:（1)相遇前经过x小时，甲、乙二人相距32．5千米，根据题意,得:(17．5+15）x+32．5=65x=1(2)相遇后甲乙继续前进,设从出发到相遇后经过x小时相距32．5千米，根据题意，得(17．5+15）x-32．5=65x=3所以经过1小时或3小时甲、乙两人相距32．5千米．2．解:设乙船由B地航行到C地用了x小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了(4-x）小时．(1）若C地在A、B两地之间,有（4-x)(7．5+2．5）—x(7．5-2．5）=10解,得x =210×2=20千米（2）若C 地不在A 、B 两地之间，有x （7．5—2．5）-（4-x ）（7．5+2．5）=10解，得x =31010×3100310 千米．所以乙船从B 地到达C 地时甲船驶离B 地有20千米或3100千米．。
北师大版七年级上册应用一元一次方程-追赶小明(课件)
总结：1.
探索&交流
路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间．
2.
(1)相遇问题中的等量关系：
①甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙出发点之间的路程；
②若甲、乙同时出发，甲用的时间＝乙用的时间． (2)追及问题中的等量关系：
①快者走的路程－慢者走的路程＝追及路程；
探索&交流
分析 等量关系： 小明走的路程=爸爸走的路程
小明走的总时间－爸爸追的时间=5 min
家
学
80m/min
校
5min
180m/min
怎么求爸爸追上小明的时间？
探索&交流
家
80×5
80x 学校
180x
1．用简单的“线段图”表示演示的追赶过程. 2．路程、速度和时间三者之间有何关系呢？“线段图”反应了 怎样的等量关系？
例题欣赏 ☞
例题&解析
例2.一艘轮船在A、B两地之间航行，顺流用3h，逆流航行比顺流
航行多用30min，轮船在静水中的速度为26km/h，求水流的速度。 分析 等量关系：
3h 顺水中
逆水中
3.5h
26km/h
?
顺水中的航速=静水中的航速 +水流速度
逆水中的航速=静水中的航速－水流速度
顺水中的航程=逆水中的航程
解：设小明的速度为x m/s，
则他的哥哥的速度为 3 x m/s，
2
由题意得160x＝160×
3 2
x
－400.
解得x＝5.
则小明的哥哥的速度为5×
3 2
＝7.5(m/s)．
设经过y s他们第一次相遇，
初中数学北师版七年级上册《5.6 应用一元一次方程——追赶小明》PPT课件(示范文本)
1.甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑
6米，甲先跑10秒，乙开始跑，设乙x秒后追上甲，
依题意列方程得（ B ）
A． 6x =4x
B． 6x=4x+40
C． 6x= 4x-40
D． 4x+10=6x
2.甲车在乙车前500千米，同时出发，速度分别为每
小时40千米和每小时60千米，多少小时后，乙车追
校还有多远？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等. 解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的
数量关系可用线段图表示.
80×5
80x
180x
据题意，得 80×5＋80x=180x.
解得
x=4.
答：爸爸追上小明用了4分钟． （2）180×4=720（米），1000－720=280（米）.
答：追上小明时，距离学校还有280米．
同学们， 下节课见！
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的.
根据题意，得 8x－5x＝25－1.
解得
x＝8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的.
课堂小结
解决行程问题的基本步骤：
问题的已 知条件
画出线 段图
找出等 量关系
列方程 并求解
回答
同向追及问题
同地不同时： 甲路程＝乙路程 同时不同地：甲路程＋路程差＝乙路程；
相向相遇问题 甲的路程＋乙的路程=总路程
归纳总结
两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题． 往往根据路程之和等于总路程列方程．如图所示， 甲的行程＋乙的行程＝两地距离．
练一练
A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别从A，
B两地出发相向而行，甲的速度是8千米/时，乙的
速度是6千米/时．经过多长时间两人相距4千米？
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思路导引：火车“完全通过桥”是指从火车头上桥到 火车尾离桥，如图①所示．“火车在桥上”是指从火 车尾上桥到火车头离桥，如图②所示．
解：设火车的长度为 x m. 依题意有1 20500＋x＝1 20300－x，解得 x＝300. 则1 20500＋x＝1 2005＋0 300＝30. 答：火车的长度为 300 m，火车的速度为 30 m/s.
100x－80x＝720
(3)两车同时开出，背向而行，x h后两车相距1 080 km， 则可列方程为___8_0_x_＋__1_0_0_x_＋__7_2_0_＝__1_0_8_0__________；
(4)慢车先开出1 h，两车相向而行，慢车开出多少小时 后，两车相距280 km?
解：设慢车开出 x h 后，两车相距 280 km. 依题意，得 80x＋100(x－1)＋280＝720 或 80x＋100(x－
5 4 min.
答案显示
6 (1)80x＋100x＝720.
(2)100x－80x＝720.
(3)80x＋100x＋720＝1 080.
(4)3
h
或
1 69h.
提示：点击 进入习题
7
12 11.
8 (1)20 m/s，16 m/s. (2)81 s.
9B
10 20 km 或103游时，有8＋x 2＋8x－＋22＝3，即1x0＋ x＋6 2＝3，解得 x＝10. 答：甲、乙两地间的距离为 12.5 km 或 10 km.
4．(中考·株洲)家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游 玩，据以往的经验，他获得如下信息： (1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1 km； (2)他上山2 h到达的位置离山顶还有1 km； (3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2 km； (4)下山用1 h. 根据上面的信息，他做出如下计划：
3．某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流 而上到丙地，共用了3 h．已知船在静水中的速度 是8 km/h，水流的速度为2 km/h，甲、丙两地相 距2 km，求甲、乙两地间的距离．
解：设甲、乙两地间的距离为 x km，分两种情况： ①当丙地在甲、乙两地之间时，有8＋x 2＋x8－－22＝3，即1x0 ＋x－6 2＝3，解得 x＝12.5；
【点拨】时针和分针第一次相遇时，时针比分针少旋转
了一周，分针旋转一周用 60 min，时针旋转一周用 720
min.设分针旋转 x 周后，时针和分针第一次相遇，根据 题意可得 60x＝720(x－1)，解得 x＝1121.
【答案】1121.
8．甲、乙两列火车的长分别为144 m和180 m，甲车比 乙车每秒多行4 m．两列车相向而行，从相遇到完 全错开需9 s.
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而 建立方程解决实际问题． 2．发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换 能力.
提示：点击 进入习题
长 度 为 300 m ， 1 速度为30 m/s.
速度为660 km/h， 2
航程为5 440 km.
3 12.5 km或10 km.
4 7：30.
1)－280＝720，解得 x＝3 或 x＝619.
答：慢车开出
3
h
或
1 69h
后，两车相距
280
km.
7．(中考·赤峰)甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发， 同向运动，若甲的速度是乙的速度的 2 倍，则甲运动 2 周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的 3 倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是 乙的速度的 4 倍，则甲运动43周，甲、乙第一次相遇…… 以此探究正常走时的时钟，时针和分针从 0 点(12 点) 同时出发，分针旋转_____周，时针和分针第一次相遇．
答：孔明同学应该在7：30从家出发．
5．(中考·柳州)如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛 在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C 点时用了6 min，那么还需要多长时间才能到达B点？
解：设蜗牛还需要 x min 才能到达 B 点， 则(6＋x)×36＝5，解得 x＝4. 答：蜗牛还需要 4 min 才能到达 B 点．
2．一架飞机在A，B两城市之间飞行，风速为20 km/h，顺风 飞行需要8 h，逆风飞行需要8.5 h．求无风时飞机的飞行 速度和A，B两城市之间的航程．
解：设无风时飞机的飞行速度为x km/h. 根据题意，得8(x＋20)＝8.5(x－20)，解得x＝660. 所以8(x＋20)＝8×(660＋20)＝5 440. 答：无风时飞机的飞行速度为660 km/h，A，B两城 市之间的航程为5 440 km.
(1)在山顶游览1 h； (2)中午12：00回到家吃午餐． 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应 该在什么时间从家出发？
解：设上山的速度为v km/h，则下山的速度为(v＋1)km/h. 由题意得2v＋1＝(v＋1)＋2，解得v＝2，即上山的速度是2 km/h.
则下山的速度是3 km/h，上山的路程为5 km.故计划 上山的时间为5÷2＝2.5(h)．计划下山的时间为1 h，则共 用时间为2.5＋1＋1＝4.5(h)．所以出发时间为7：30.
6．A，B两地相距720 km，一列慢车从A地开出，每小时 行80 km，一列快车从B地开出，每小时行100 km.
(1)两车同时开出，相向而行，x h相遇，则可列方程为 ________________；
(2)两8车0x同＋时10开0x出＝，72同0 向而行，x h后快车追上慢车，则可 列方程为________________；
1．一座铁路桥长1 200 m，现有一列火车从桥上匀速通过， 测得火车从上桥到完全通过桥共用时50 s，整列火车 在桥上的时间为30 s．求火车的长度和速度．
【点拨】图示法解决行程问题更方便．行程问题一般比较 复杂，不易找到等量关系，因此解决行程问题时可以画出 示意图，根据图示找出等量关系．本题通过设火车的长度 为未知数，根据图示可知火车的速度可以用两个不同的式 子表示，令两个式子相等就可列出方程，再解方程即可．