几种典型带电体的场强和电势公式

几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R ，带电量为q ）电场强度矢量：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=）（球面内，即。

）（球面外，即R r r E R r rr q r E 0)( , 41)( 3επ电势分布为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==（球内）。

（球外）， 41 41 0 0R qr U r q r U επεπ2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q ）电场强度矢量：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=）（球体外，即。

）（球体内，即，R r rr q r E R r R r q r E 41)( 41)( 3030επεπ 电势分布为：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=即球内）（。

即球外）（， 3 81 41 3220 0R r R r R q r U R r r q r U επεπ 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ）电场强度矢量：离无关。

）（平板两侧的场强与距 ) (2)(0i x E ±=εσ电势分布为：()()r r r U -=002εσ其中假设0r 处为零电势参考点。

若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。

即00=U 。

那么其余处的电势表达式为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=≥-=0 2 0 2 00x x x U x x x U εσεσ 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R ，单位长度的带电量为λ。

）电场强度矢量 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=，即在柱面内）（。

即在柱面外）（，R r r E R r r r r E 0)( , 2 )( 2επλ 电势分布为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=即柱体内）（。

即柱体外）（ ln 2 , ln 2 00R r R r r U R r r r r U a a επλεπλ其中假设a r 处为零电势参考点。

且a r 处位于圆柱柱面外部。

（即a r >R ）。

若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。

（即()0=R U ）。

那么，其余各处的电势表达式为：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-=≤≤=即在圆柱面外即在圆柱面内 ln 2 0 0 0R r R r r U R r r U επλ 5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为ρ、半径为R 。

）电场强度矢量： ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤≤=圆柱体外圆柱体内2 0 2 2020R r r r R r E R r r r Eερερ电势： ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=≤≤-=圆柱体外圆柱体内ln 2 4 0 4020202R r r R R R r U R r r r U ερερερ 其中假设圆柱体轴线处为零电势参考点。

即()00==r U 。

6、均匀分布的带电圆环（带电量为q ；圆环的半径为R 。

）在其轴线上x 处的电场强度和电势电场强度矢量： ()()0232241x Rxqxx E+=επ。

其中0x 为轴线方向的单位矢量。

讨论： （a ）当 20 4 )( x iq x E x R x p επ ≅∞→>>时或。

此时带电圆环可视为点电荷进行处理。

（b ）当0)0( 0 =→<<p E x R x 时或 。

即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。

电势： ()()21220 41R x qx U +=επ 。

其中电势的零参考点位于无穷远处。

带电圆环在其圆心处的电势为： Rq x U x 004)(πε== 。

7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度λ，直线长为l ） （1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d 的P 点处：电场强度矢量： ()()i d l d i d l d l d E p ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=114 400επλεπλ 。

()ddl d U p +=ln 40επλ 。

（2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d 的Q 点处：电场强度矢量为：()j d l d lj d l d l d E Q 2202242 42 4+=+⎪⎭⎫⎝⎛=επλεπλ。

电势：()222202222044ln 42222ln4dl l d l l d l l d l l d U Q ++-++=+⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=επλεπλ。

（3）在直线外的空间中任意点处：电场强度矢量： ()j E i E r E y x+= 。

其中：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=210120 4 4 θθεπλθθεπλCos Cos E Sin Sin E y x 。

或者改写为另一种表示式:即: k E r E z r E z r p+=0),( 。

其中：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++--++-+-=22220222222220)2(1)2(1 4 )2()2()2(1)2()2()2(1 4 l z r l z r E l z r l z r l z l z r l z r l z r E z r επλεπλ电势： 22220)2(2)2(2ln 4lz r l z lz r l z U p -++-++++=επλ 。

（4）若带电直线为无限长时，那么，与无限长带电直线的距离为d 的P 点处： 电场强度矢量： ()()r rr E d d d E p p 2000 2 2επλεπλ==或 。

电势： ()()rr r U d d d U p p 0000ln 2 ln 2επλεπλ==或 。

其中假设d 0或（r 0）为电势的零参考点。

（5）半无限长带电直线在其端点处：（端点与带电直线的垂直距离为d ）电场强度矢量：dE E j E i E E y x y x 0 4 επλ==+=其中。

8、电偶极子P的电场强度和电势（1）在电偶极子的延长线上x 处：其中（X >>l ）电场强度矢量：()()30302 41 2 41r Pr E x P x Eεπεπ==或 。

电势： ()()2020 41r U 41r Px P x U επεπ==或 。

（2）在电偶极子的中垂线上y 处：其中（Y >>l ）电场强度矢量： ()30 41yPy Eεπ-= 。

电势： ()0 410=⎪⎭⎫⎝⎛-+=r q r q y U επ 。

（3）在空间中任意点r 处：其中（r >>l ）电场强度矢量：（采用平面极坐标系）()13 4 2 4122003030+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θεπθθθεπCos r PE r PSin r r pCos r E 其大小为，方向为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--θϕθθtg tg E E tg E E arctgrr 2111。

其中ϕ为E 与0r 之间的夹角。

电势：()302 41 41rrP r Cos P r U o•==επθεπ 。

电场强度矢量的另一种表达式为：上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E 矢量分解在电偶极矩e P 和矢径r的方向上。

可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。

()[]r p r p rE e e ˆˆ3413⋅+-=επ方向的单位矢量。

为矢径式中：r r rˆ=若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）：因为各物理量之间的关系为：。

， rxCos 22222yx x y x r +==+=θ 所以电势的表达式为： ()()23220 41y x Pxr U +=επ 。

而电场强度的表达式为： j E i E E y x+= 。

其中：()()()。

， 3 41 2 41252202522220y x Pxy y U E y x y x P x U E yx +=∂∂-=+-=∂∂-=επεπ其大小为：()222220224 41yx yx P E E E yx++=+=επ 。

若采用三维笛卡尔坐标系（即三维直角坐标系）则有如下关系式：。

， 2222222zy x z rzCos z y x r ++==++=θ 那么，电势的表达式为： ()()232220 41z y x zP r U ++=επ 。

而电场强度的表达式为： k E j E i E E z y x++= 。

其中：()(); z x 3 4 3 4252220252220++=∂∂-=++=∂∂-=y zy P y U E z y x z x P x U E y x επεπ； ()()。

2 4252222220z y x y x z P z U E z ++--=∂∂-=επ9、带电圆盘在其轴线上距离圆心为x 点处：电场强度矢量： i R x xx E p⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22012)(εσ。

对上式结果进行讨论：（a ）当 02020 4)( 4)( x r rq r E i x q x E R x p p επεπ≅≅∞→>>或时或 此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。

（b ）当。

则，时或 2)( 0 0i x E x R x pεσ≅→<<即此时带电圆盘可视为无限大带电平板进行处理。

电势： ()x x Rx U p -+=222)(εσ 。

带电圆盘在其圆心处附近处的电势为：　。

　02)(εσR x U x == 10、均匀分布的带电半球面在其球心处：（球面的面电荷密度为σ，球面的半径为R 。

）电场强度矢量： i E004εσ= 。

电势： 。

42 )(00RQR x U p επεσ==此时电势并不是⎰∞•=0)(r d E x U o p ，因为04)()(εσ=≠x E x E o 。