刘宁钟 南京航空航天大学 数字图像处理教案第7章

3.中值滤波与极值滤波
3.1中值滤波
与加权平均方式的平滑滤波不同，中值滤波是将 邻域中的象素按灰度级排序，取其中间值为输出象素。 中值滤波能够在抑制随机噪声的同时不使边缘模糊， 因而受到欢迎。
在目标和背景的边界处的像素，当其邻域中大多 数为目标点时，它就取目标的灰度值，当其邻域中大 多数为背景点时，它就取背景的灰度值，因此不模糊。
第七章 邻域运算
目录 引言
相关与卷积 均值平滑 中值滤波和极值滤波 边缘检测 作业
1.引言
邻域运算是指当输出图象中每个象素是由对应的输 入象素及其一个邻域内的象素共同决定时的图象运算， 通常邻域是远比图象尺寸小的一规则形状，如正方形 2x2、3x3、4x4或用来近似表示圆及椭圆等形状的多边 形。信号与系统分析中的基本运算相关与卷积，在实际 的图象处理中都表现为邻域运算。邻域运算与点运算一 起形成了最基本、最重要的图象处理工具。
edge)或屋顶状变化(roof edge)的象素、常存在于目标 与背景之间、目标与目标之间、目标与其影子之间。 分析手段：
因为灰度的变化，可以反映为导数；因此，根据 边缘的形状，可以通过求导的方法来寻求边缘。边缘 的参数包括：边缘强度(edge intensity)和边缘方向 (edge direction)。
2.均值平滑
图象平滑的目的是消除或尽量减少噪声的影响， 改善图象质量。在假定加性噪声是随机独立分布的条 件下，利用邻域的平均或加权平均可以有效地抑制噪 声干扰。
用途：(1)消除噪音。因为系统中难免有噪音，而 噪音常表现为不平滑，即其灰度忽然变大或变小。(2) 增强视觉效果。
关于噪声(Noise) 图像噪声按其产生的原因可分为： 外部噪声：是指系统外部干扰以电磁波或经电源串进 系统内部而引起的噪声。如天体放电现象等引起的噪 声。 内部噪声： 一般可分为下列4种: (1)由光和电的基本性质所引起的噪声。如粒子运动的 随机性。 (2)电器的机械运动产生的噪声。如各种接头的抖动引 起电流变化，磁头、磁带的振动。 (3)元器件材料本身引起的噪声。如磁盘的表面缺陷， 胶片的颗粒性。 (4)系统内部设备电路所引起的噪声。如电源的噪声。
但发现，虽然极小值滤波消除了水面的反光，但 将不是反光的区域的像素的灰度值也减小了，导致图 像偏暗。因而，采用如下的方法：
G(i,
j) =
⎧g(i, j) ⎩⎨Min(i,
, j) ,
if :| g(i, j) − Min(i, otherwise
j) |< T
4.边缘检测
定义： 边缘是指其周围象素的灰度有阶跃变化(step
g(m, n) =
g12
(m,
n)
+
g
2 2
(m,
n)
为减少计算量
g(m,n) =| g1(m,n)| +| g2(m,n)|或g(m,n) =max(| g1(m,n)|,| g2(m,n)|) 辐角： θ (m, n) = tan −1 g 2 (m, n)
g1(m, n)
4.2 方向算子
例：
(1) [2,2,2,2,10,10,10,10]和k=2，得到 [2,2,2,2,10,10,10,10]
(2) [2,2,2,2,10,10,1,10]和k=2，得到 [2,2,2,2,10,10,6,10]。
因为噪音的灰度值跟目标和背景的灰度值都不接近， 所以噪音能被其周围(即邻域)的灰度值修改掉。(注： 这是很理想的情况，在实际应用中的问题，远非如此 简单！)
小结： 在离散情况下常用梯度算子来检测边缘，给定图像U(m,n)在两个正
交方向的H1,H2上的梯度个g1(m,n)和个g2(m,n)如下:
g1(m, n) = U (m, n) * H1(m, n)
g2 (m, n) = U (m, n) * H2 (m, n)
则边缘的强度和方向由下式给出：
也可用交叉的差分表示梯度：
1
G[F (x, y)] = {[F (x, y) − F (x +1, y +1)]2 + [F (x +1, y) − F (x, y +1)]2}2
简化表示为：
G[F (x, y)] =| F (x, y) − F (x +1, y +1) | + | F (x +1, y) − F (x, y +1) |
可见，相关运算是将模板当权重矩阵作加权平 均，而卷积与相关不同的只是在于需要将模板沿中心 反叠（先沿纵轴翻转，再沿横轴翻转；即沿次对角线 翻转）后再加权平均。如果模板是对称的，那么相关 与卷积运算结果完全相同。实际上常用的模板如平滑 模板、边缘检测模板等都是对称的，因而这种邻域运 算实际上就是卷积运算，用信号系统分析的观点来 说，就是滤波，对应于平滑滤波或称低通滤波、高通 滤波等情况。
/ ∂F ] ∂x
对于离散图像，可用差分近似表示梯度：
1
G[F (x, y)] = {[F (x, y) − F (x +1, y)]2 + [F (x, y) − F (x, y +1)]2}2
进一步简化：
G[F (x, y)] =| F (x, y) − F (x +1, y) | + | F (x, y) − F (x, y +1) |
统计学观点：
(1)按统计特性分为平稳和非平稳噪声。其统计特性不 随时间变化的噪声称为平稳噪声，反之，称为非平稳 噪声。
(2)按噪声幅度分布形状而分。成高斯分布的称为高斯 噪声。
(3)按噪声和信号之间的关系分为加性噪声和乘性噪声。 输出为S(t) +n(t)形式的成为加性噪声，输出为S(t)(1 +n(t))形式的成为乘性噪声。
1）最大值滤波：
对于一个滑动窗口NxM内的各象素求灰度级的最大 值，用该最大值来代替窗口中心象素原来的灰度级。
2）最小值滤波：
对于一个滑动窗口NxM内的各象素求灰度级的最小 值，用该最小值来代替窗口中心象素原来的灰度级。
一般很少使用极值滤波器来消除噪声，因为需要知道 噪声表现为极大或极小。相反，极值滤波器倒是常用 在目标形状的处理中。例：水面反光的消除，因为知 道反光在图像中表现为极大值，所以可以用极小值滤 波。
5 -3 -3 5 0 -3 5 -3 -3
5 5 -3 5 0 -3 -3 -3 -3
用Kirsch边缘检测的一个例子：
原图
用Kirsch检测后的图像
4.3 二阶算子 Laplacian, LoG
1) Laplacian算子
对阶跃边缘边缘而言，边缘点处的二阶导数过0 点，或二阶导数在边缘点处出现零交叉(ZeroCrossing)，即边缘点两旁的二阶导数异号。因此下面 我们讲述基于该原理的边缘点检测，即拉普拉斯
以围绕模板（filter mask, template）的相关与卷 积运算为例，给定图象f(x,y)大小N×N，模板T(i, j)大 小m×m（m为奇数），常用的相关运算定义为: 使模 板中心T((m-1)/2,(m-1)/2)与f(x,y)对应，
卷积运算定义为:
当m=3时，
g(x, y) = T (0,0) f (x +1, y +1) + T (0,1) f (x +1, y) + T (0,2) f (x +1, y −1) + T (1,0) f (x, y +1) + T (1,1) f (x, y) + T (1,2) f (x, y −1) + T (2,0) f (x −1, y +1) + T (2,1) f (x −1, y) + T (2,2) f (x −1, y −1)
Baidu Nhomakorabea
∂f ∂f 容易看出，虽然 ∂x ，∂y ，不是各向同性的，但
是它们的平方和是各向同性的，即：
进一步可以证明Laplacian算子也是各向同性 （isotropic）的。
2）LoG算子
根据图象边缘处的一阶微分（梯度）应该是极值 点的事实，图象边缘处的二阶微分应为零，确定过零 点的位置要比确定极值点容易得多也比较精确。但是 显然二阶微分对噪声更为敏感。
(Laplacian)算子。对于一个连续的二元函数F(x, y)，
其拉普拉斯算子定义为：
对于数字图像离散情况下，取它的二阶导数平方 和为关于x轴方向和y轴方向的二阶导数之和，拉普拉 斯算子可以简化为 ：
有几种不同的模板计算形式：
Laplacian算子也是各向同性（isotropic）的，考 虑坐标旋转变换，设旋转前坐标为，旋转后为，则有：
当 r = ±σ 时，
当
时，
； r > 3σ 时，
由连续Gaussian分布求离散模板，需采样、量化，并使模板归一化。
均值滤波特点： (1)系数之和等于1。 (2)系数都是正数。 (3)执行速度快。 (4)容易造成图像模糊。实质上在求平均值的过程中，噪
声的灰度值也代入了均值中，从而向周围扩散，导致 图象模糊，边缘不清晰。 (5)”能量守恒”，即滤波前后图像的亮度不变。
2.3 K近邻均值滤波
改进的其他方法：造成模糊的原因是没有区分背 景和目标，将背景象素和目标象素的灰度值相加，从 而模糊了目标和背景的边界。
例：[2,2,2,2,10,10,10,10]和T=[1,1,1]/3
得到[2,2,2,5,7,10,10,10]
解决的方案是避免这种情况的发生。考虑，当该 点pi是目标点且位于目标和背景的边界上时，该点的 邻域中肯定也有目标点pk、pj等，且pi、pk、pj等是灰 度接近的，因为灰度接近才算它们属于同一个目标。 所以：K个邻点平均法：本来窗口中有N*M个象素，现 只用其中的k个象素的灰度平均值代替。
⎢⎣ 1 1 1 ⎥⎦
⎡ −1 0 1⎤ ⎢⎢− 1 0 1⎥⎥ ⎢⎣− 1 0 1⎥⎦
平均、微分对噪声有抑制作用.
3 Sobel算子 水平和垂直掩模为：
⎡−1 −2 −1⎤
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 1 2 1 ⎥⎦
⎡ −1 0 1⎤ ⎢⎢− 2 0 2⎥⎥ ⎢⎣ − 1 0 1⎥⎦
加 加权（距离越近，贡献越大）
1) Sobel方向算子 有时为了检测特定方向上的边缘，也采用特殊的
方向算子，如检测450或1350边缘的Sobel方向算子：
⎡2 1 0 ⎤ ⎢⎢1 0 −1⎥⎥ ⎢⎣0 −1 − 2⎥⎦
⎡0 −1 − 2⎤ ⎢⎢1 0 −1⎥⎥ ⎢⎣2 1 0 ⎥⎦
2) Kirsch方向算子
Kirsch边缘检测算子采用8个卷积核组成，设Out1,Out2,…Out8 为8个模板卷积计算的结果，则Kirsch算子定义为：
R(h, w) = max{Out1,Out2,...Out8}
8个卷积核：
555 -3 0 -3 -3 -3 -3
-3 5 5 -3 0 5 -3 -3 -3
-3 -3 5 -3 0 5 -3 -3 5
-3 -3 -3 -3 0 5 -3 5 5
-3 -3 -3 -3 0 -3 55 5
-3 -3 -3 5 0 -3 5 5 -3
4.1 常用边缘检测算子 1 Roberts算子 定义为：
G(i ,j)=|f(i,j)-f(i+1,j+1)|+|f(i+1,j)-f(i,j+1)|
⎡1 0 ⎤ ⎢⎣0 − 1⎥⎦
⎡ 0 1⎤ ⎢⎣− 1 0⎥⎦
2 Prewitt算子
水平和垂直掩模为：
⎡−1 −1 −1⎤
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
比如： 由此，可以看出求导和边缘检测的关系。
F(x,y)为图像函数，在点(x,y)上的梯度定义为矢量
⎡∂F ⎤
G[F
(x,
y)]
=
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂F
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ ∂y ⎥⎦
梯度的幅度为：
G[F
(
x,
y)]
=
[(
∂F
)2
+
(
∂F
)2
1
]2
∂x ∂y
梯度矢量的辐角：
θM
= arctan[∂F ∂y
200显然是个噪声。
特点：
(1)计算复杂度非常高(因为排序)，执行速度慢(当然有专 门的文章讨论快速实现的问题)。
(2)”能量不守恒”，即滤波前后图像的亮度发生改变(但非 常接近)。
(3)不容易造成图像模糊，具有非常好的抗噪性能。中值 滤波能够在抑制随机噪声的同时不使边缘模糊，因而 受到欢迎。
3.2极值滤波
图象平滑实际上是低通滤波，让主要是信号的低 频部分通过，阻截属于高频部分的噪声信号。显然， 在减少随机噪声点影响的同时，由于图象边缘部分也 处在高频部分，平滑过程将会导致边缘模糊化。
2.1 邻域均值平均（矩形邻域和圆形邻域）
2.2 高斯均值滤波（Gaussian Filters）
高斯函数即正态分布函数常用作加权函数，二维高斯函数如下：