USACO 2019 US Open铂金组Platinum竞赛真题(中文)

保证始终存在一种符合条件的方式可以使用一个或两个长方形来告知 Farmer John。这个问 题的运行内存限制为 512MB，超过一般问题所给的 256MB 内存限制。
C++的程序请使用下面的模板：
#include "grader.h"
void addRoad(int a, int b){ // Fill in code here
USACO 2019 US OPEN CONTEST, PLATINUM PROBLEM 3. VALLEYS
Bessie 喜欢观光，而今天她正在寻找景色优美的山谷。
她感兴趣的是一个$N \times N$的方阵，其中每个格子都有一个高度。所有在此正方形方阵 之外的格子的高度可以被看作是无限大。
山谷指的是一块连续、不含洞的一块区域，并且每个相邻的包围该区域的格子都高于这块区域 中的所有格子。
你对上述函数的实现中可以调用下面给出的函数。假设$\texttt{notifyFJ}$会被调用$Q$次。
int getN()：获得$N$的值。 int getQ()：获得$Q$的值。 void setFarmLocation(int ID, int X, int Y)：决定 Farmer John 应当将农场
ooo o.o ooo
这是另一个非有洞区域（中间的格子与右下角的格子沿点相邻）：
ooo o.o oo.
输入格式（文件名：valleys.in）：
输入的第一行包含$N$，其中$1 \le N \le 750$。 以下$N$行每行包含$N$个整数，为方阵每个格子的高度。所有高度$h$满足$1 \le h \le 10^6$。所有高度均为不同的整数。 对于至少 19%的测试数据，额外保证$N \leq 100$。
Farmer John 将农场的位置视为二维坐标系中的点。他更希望被告知出现问题的是某个四边 平行于坐标轴的长方形区域中的某个农场。这样 Farmer John 就可以自己决定如何在农场之 间通行。Bessie 告诉他这有些太困难了，所以只要他被告知两个不包含相同农场并且总共包 含了沿$A$到$B$路径上的所有农场的四边与坐标轴平行的长方形，他就满意了。你需要帮助 Farmer John 决定他应当建造他的农场的位置，使得这一条件被满足。
更形式化地说：
一组格子被称作是“沿边相邻的”，如果可以从其中任意一个格子出发，经过一些沿 上、下、左、右方向的移动，到达其中所有其他格子。 一组格子被称作是“沿点相邻的”，如果可以从其中任意一个格子出发，经过一些沿 上、下、左、右、对角线方向的移动，到达其中所有其他格子。 一个“区域”指的是一组非空并且沿边相邻的格子。 一个区域被称作是“有洞的”，如果这个区域的补集（包括在$N \times N$方阵之外 的无限高格子）不是沿点相邻的。 区域的“边界”指的是所有与该区域内的某个格子正交相邻（上、下、左、右），但 本身不在该区域内的格子。 一个“山谷”指的是某个非有洞区域，满足区域内的任意格子的高度低于该区域边界 上任意格子的高度。
}
void buildFarms(){ // Fill in code here
}
void notifyFJ(int a, int b){ // Fill in code here
}
Java 的程序请使用下面的模板：
import java.io.IOException; // If you find it necessary, you may import other standard libraries here. public class boxes extends Grader {
输出格式（文件名：valleys.out）：
/ 400-1685-070
输出一个整数，为所有山谷的大小之和。
输入样例：
3 1 10 2 20 100 30 3 11 50
输出样例：
30
在这个例子中，有三个大小为 1 的山谷：
o.o ... o..
一个大小为 2 的山谷：
// Copy this exБайду номын сангаасctly:
Override public static void main(String args[]) throws IOException { new boxes().run(); }
/ 400-1685-070
Override public void addRoad(int a, int b) { // Fill in code here }
输入格式（文件名：escape.in）：
输入的第一行包含两个空格分隔的整数$N$和$K$（$2 \le N \le 30000, 2 \le K \le 6$）。 以下$N$行每行包含$K-1$个空格分隔的整数，为解锁一条水平边上的每扇门需要花费的代 价。 以下$K$行每行包含$N-1$个空格分隔的整数，为解锁一条垂直边上的每扇门需要花费的代 价。 所有的花费均在$1$到$10^9$之间。 对于 20%的测试数据，保证$N \leq 500$，所有的代价均在$1$到$5$之间。 对于另外 20%的测试数据，保证$N \leq 5000$。
Override public void buildFarms(){ // Fill in code here }
Override public void notifyFJ(int a, int b){ // Fill in code here }
}
交互样例：
评测机调用$\texttt{addRoad(0,1)}$
这是一道交互题，你不可以使用标准（或文件）输入输出。 使用标准（或文件）输入输出的 程序将会被取消成绩。 然而，你可以使用全局或是静态变量。为了帮助 Farmer John，你需 要实现如下函数：
void addRoad(int A, int B)：处理一条建造在农场$A$和$B$之间的道路（$0 \le A, B \le N - 1$）。 void buildFarms()：确定 Farmer John 需要建造所有农场的位置。 void notifyFJ(int A, int B)：告知 Farmer John 满足前述条件的一个或两个长方形。
/ 400-1685-070
交互方式如下。首先，$\texttt{addRoad}$会被调用$N-1$次，用来告知你的程序道路系统。 接下来，$\texttt{buildFarms}$会被调用，你需要确定 Farmer John 需要建造每个农场的位 置，并且相应地为每个农场调用$\texttt{setFarmLocation}$。最后，会有$Q$次对 $\texttt{notifyFJ}$的调用，在每次调用中你必须调用一次或两次$\texttt{addBox}$来告知 Farmer John。
评测机调用$\texttt{addRoad(1,2)}$
评测机调用$\texttt{buildFarms()}$
选手程序调用$\texttt{setFarmLocation(0,1,1)}$
选手程序调用$\texttt{setFarmLocation(1,1,2)}$
选手程序调用$\texttt{setFarmLocation(2,2,2)}$
Bessie 的目标是求出所有山谷的大小之和。
一些例子
这是一个区域：
oo. ooo ..o
/ 400-1685-070
这不是一个区域（中间的格子和右下角的格子不沿边相邻）：
oo. oo. ..o
这是一个非有洞区域：
ooo o.. o..
这是一个有洞的区域（“甜甜圈”中间的格子与区域外的格子不沿点相邻）：
输出格式（文件名：escape.out）：
/ 400-1685-070
一个整数：最小花费的逃脱方案的数量，对$10^{9} + 7$取模。
输入样例：
43 11 56 78 11 111 234 111
输出样例：
10
这个测试样例描述了一个 4x3 的方阵，
11 +-----+-----+ ||| 1 | |2 | 1 |5|6| +-----+-----+ ||| 1 | |3 | 1 |7|8| +-----+-----+ ||| 1 | |4 | 1 ||| +-----+-----+
/ 400-1685-070
USACO 2019 US OPEN CONTEST, PLATINUM PROBLEM 2. COMPOUND ESCAPE
Bessie 和她的朋友们被抓走并关在了远离农场的一个秘密房屋，现在该是 Bessie 站出来策 划脱逃的时候了！这一房屋包含$NK$个排列成$N \times K$矩形方阵的囚室，水平和垂直方 向相邻的囚室之间有门互通。每个囚室中有一头奶牛。 Bessie 黑进了系统，可以解锁任意一部分的门，但是每个门均有其代价。为了使奶牛们能够 脱逃，Bessie 必须打开足够多的门使得所有的奶牛可以聚集在一个房间内（这样她们就能拥 有足够的力量挖地洞通向外面！）。Bessie 想要使得总的解锁花费最小。 但是这次行动异常关键，Bessie 不能满足于仅仅一个脱逃方案：她还需要后备方案。帮助她 计算最小代价脱逃方案的数量；如果某一扇门在一个方案中被解锁了而在另一个方案中没有， 那么这两个方案就被认为是不同的。 由于这个数字可能非常大，只需输出该数对$10^9 + 7$取模的余数。
$ID$（$0 \le ID \le N-1$）建造在位置$(X,Y)$，其中$1 \le X, Y \le 10^5。应当仅被 $\texttt{buildFarms}$调用。 void addBox(int X1, int Y1, int X2, int Y2)：增加一个告知 Farmer John 的长方 形，其中$1 \le X1 \le X2 \le 10^5$， $1 \le Y1 \le Y2 \le 10^5$。应当仅被 $\texttt{notifyFJ}$调用。