0衡水中学物理最经典-物理建模系列(十) 人船模型问题

物理建模系列(十) 人船模型问题

1．“人船模型”问题的特征：两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒．在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比．这样的问题归为“人船模型”问题．

2．运动特点：两个物体的运动特点是“人”走“船”行，“人”停“船”停． 3．处理“人船模型”问题的两个关键：

(1)处理思路：利用动量守恒，先确定两物体的速度关系，再确定两物体通过的位移的关系．

①用动量守恒定律求位移的题目，大都是系统原来处于静止状态，然后系统内物体相互作用，此时动量守恒表达式经常写成m 1v 1－m 2v 2＝0的形式，式中v 1、v 2是m 1、m 2末状态时的瞬时速率．

②此种状态下动量守恒的过程中，任意时刻的系统总动量为零，因此任意时刻的瞬时速率v 1和v 2都与各物体的质量成反比，所以全过程的平均速度也与质量成反比，即有

m 1v 1－m 2v 2＝0.

③如果两物体相互作用的时间为t ，在这段时间内两物体的位移大小分别为x 1和x 2，则有m 1x 1t －m 2x 2

t

＝0，即m 1x 1－m 2x 2＝0.

(2)画出各物体的位移关系图，找出它们相对地面的位移的关系．

4．推广：原来静止的系统在某一个方向上动量守恒，运动过程中，在该方向上速度方向相反，也可应用处理“人船模型”问题的思路来处理．例如，小球沿弧形槽滑下，求弧形槽移动距离的问题．

例 长为L 、质量为M 的小船停在静水中，一个质量为m 的人立在船头，若不计水的黏滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，人和船对地面的位移各是多少？

【思路点拨】

【解析】 选人和船组成的系统为研究对象，因系统在水平方向不受力，所以动量守恒，人未走时系统的总动量为零．当人起步加速前进时，船同时加速后退；当人匀速前进时，船匀速后退；当人减速前进时，船减速后退；当人速度为零时，船速度也为零．设某时刻人对

地的速率为v 1，船对地的速率为v 2，根据动量守恒得m v 1－M v 2＝0①

因为在人从船头走到船尾的整个过程中时刻满足动量守恒，对①式两边同乘以Δt ，得mx 1－Mx 2＝0②

②式为人对地的位移和船对地的位移关系，由图还可看出： x 1＋x 2＝L ③

联立②③两式得⎩⎨⎧

x 1＝M M ＋m

L

x 2

＝

m

M ＋m L

【答案】

M M ＋m L m

M ＋m

L

[高考真题]

1．(2017·课标卷Ⅰ，14)将质量为1.00 kg 的模型火箭点火升空，50 g 燃烧的燃气以大小为600 m/s 的速度从火箭喷口在很短时间内喷出．在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽略)( )

A ．30 kg·m/s

B ．5.7×102 kg·m/s

C ．6.0×102 kg·m/s

D ．6.3×102 kg·m/s

【解析】 由于喷气时间短，且不计重力和空气阻力，则火箭和燃气组成的系统动量守恒．

燃气的动量

p 1＝m v ＝0.05×600 kg·m/s ＝30 kg·m/s ， 则火箭的动量

p 2＝p 1＝30 kg·m/s ，选项A 正确． 【答案】 A

2．(2017·课标卷Ⅲ，20)一质量为2 kg 的物块在合外力F 的作用下从静止开始沿直线运动．F 随时间t 变化的图线如图所示，则( )

A ．t ＝1 s 时物块的速率为1 m/s

B ．t ＝2 s 时物块的动量大小为4 kg·m/s

C ．t ＝3 s 时物块的动量大小为5 kg·m/s

D ．t ＝4 s 时物块的速度为零

【解析】 A 对：前2 s 内物块做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a 1＝F 1m ＝22 m/s 2

＝1 m/s 2，t ＝1 s 时物块的速率v 1＝a 1t 1＝1 m/s.

B 对：t ＝2 s 时物块的速率v 2＝a 1t 2＝2 m/s ，动量大小为p 2＝m v 2＝4 kg·m/s.

C 错：物块在2～4 s 内做匀减速直线运动，加速度的大小a 2＝F 2

m ＝0.5 m/s 2，t ＝3 s 时物

块的速率v 3＝v 2－a 2t 3＝(2－0.5×1)m/s ＝1.5 m/s ，动量大小p 3＝m v 3＝3 kg·m/s.

D 错：t ＝4 s 时物块的速度v 4＝v 2－a 2t 4＝(2－0.5×2)m/s ＝1 m/s. 【答案】 AB

3．(2017·天津卷，4)“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一．摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动．下列叙述正确的是( )

A ．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变

B ．在最高点时，乘客重力大于座椅对他的支持力

C ．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零

D ．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变

【解析】 A 错：摩天轮转动过程中，乘客的动能不变，重力势能不断变化，故乘客的机械能不断变化．

B 对：乘客在最高点时，具有向下的加速度，处于失重状态．

C 错：根据I ＝Ft 知，重力的冲量不为0.

D 错：根据P ＝mg v cos θ，θ为力方向与速度方向之间的夹角，摩天轮转动过程中，θ不断变化，重力的瞬时功率不断变化．

【答案】 B

[名校模拟]

4．(2018·山东临沂高三上学期期中)如图所示，曲线是某质点只在一恒力作用下的部分运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知质点从M点到P点的路程大于从P点到N点的路程，质点由M点运动到P点与由P点运动到N点的时间相等．下列说法中正确的是()

A．质点从M到N过程中速度大小保持不变

B．质点在M、N间的运动不是匀变速运动

C．质点在这两段时间内的动量变化量大小相等，方向相同

D．质点在这两段时间内的动量变化量大小不相等，但方向相同

【解析】质点在恒力作用下从M到N的过程速度减小，确定是匀变速运动，故A、B均错；由动量定理F·Δt＝Δp可知，质点在这两段时间内动量变化量大小相等，方向相同，C对，D错．

【答案】 C

5．(2018·山东烟台高三上学期期中)A、B两物体的质量之比m A∶m B＝2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上在摩擦阻力的作用下做匀减速直线运动，直到停止．则在此过程中，A、B两物体所受摩擦力的冲量之比I A∶I B与A、B两物体克服摩擦力做的功之比W A∶W B分别为()

A．4∶12∶1 B．2∶14∶1

C．2∶12∶1 D．1∶21∶4

【解析】由动量定理可知I＝m v，再由动能和动量的关系可知，E k＝I2

2m，所以W A∶W B＝(I A∶I B)2·(m B∶m A)＝2∶1，故C正确．

【答案】 C

6．(2018·山东潍坊高三上学期期中)质量为m的子弹，以水平速度v0射入静止在光滑水平面上质量为M的木块，并留在其中．在子弹进入木块过程中，下列说法正确的是() A．子弹动能减少量等于木块动能增加量

B．子弹动量减少量等于木块动量增加量

C．子弹动能减少量等于子弹和木块内能增加量

D．子弹对木块的冲量大于木块对子弹的冲量

【解析】子弹动能的减少量一部分转化为系统内能，一部分转化为木块动能，A、C 均错；由动量守恒可知，子弹动量减少量等于木块动量的增加量，B对；力的作用是相互的，