电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter22

合集下载

复变函数课件演示文稿

复变函数课件演示文稿

主值支 w l n z l n |z | i a r g z L n z l n z i 2 k ,k Z .
(2)运算性 (3)解析性
Ln(z1z2)Ln(z1)Ln(z2);Ln(z1/z2)Ln(z1)Ln(z2);
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业!
2 i
2
c o s z s i n z
注: 正、余弦函数可以大于1.
函数图像
2.性质
(1)单值性
(2)周期性 T 2.
(3)奇偶性 cosz 偶 ,sinz 奇 .
(4)三角公式
(5)解析性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( s i n z ) ' c o s z , ( c o s z ) ' s i n z .
§2.3 初等函数
• 指数函数 • 对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 双曲函数与反双曲函数 • 幂函数 • 小结
2.3.1 指数函数
1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为
w e z e x p (z ) e x ( c o sy is in y ) 函数图像
注:
x 0 E u l e r 公 式 : e i y ( c o s y is i n y ) ;
017-44/1-2
教学方式与要求
• 方式
板书结合PPT 源于课本稍高于课本
• 要求
适当做笔记 按质完成作业
《复变函数与积分变换》主要内容
解析函数(讲 共9周36课时
级数
两者关系: 留数
积分变换
Fourier 变换
Laplace变换
复球面
4.4 罗朗级数
反 函 数

数学物理方法第三版教学设计

数学物理方法第三版教学设计

数学物理方法第三版教学设计一、课程信息•课程名称:数学物理方法•课程学时:64学时•授课对象:本科二年级理工专业学生•教材:《数学物理方法》(第三版),周士勋、王振华编著,高等教育出版社,2016年出版。

二、课程目标本课程旨在通过探讨数学和物理之间的相互关系,使学生掌握各种数学物理方法,并提高解决物理问题的能力。

三、教学内容与方法3.1 教学内容1.数学物理方法概述–数学物理模型及其应用2.常微分方程–一阶、二阶常微分方程及其应用3.偏微分方程–热传导方程、波动方程、拉普拉斯方程及其应用4.矩阵代数和特征值问题–矩阵的运算、逆、行列式、特征值和特征向量及其应用5.变分法–欧拉方程、变分原理及其应用6.常见物理问题的数学模型–自由落体、振动、电路、流体力学等3.2 教学方法本课程采用讲授、讨论和案例分析相结合的方式进行。

教师应在讲解相关概念和方法后,通过讨论解决实例问题,培养学生解决实际问题的能力。

在案例分析环节,教师应为学生提供常见物理问题及其数学模型,引导学生通过应用已学知识解决实际问题。

四、教学评估4.1 课堂表现评估•学生应认真听讲,积极参与课堂讨论、案例分析等环节,遵守课堂纪律。

•根据学生表现评估课堂成绩,如回答问题的准确率、贡献讨论的次数和质量等。

4.2 作业评估•作业应包括对本课程中涉及的理论知识和实例问题的解答。

•教师应根据作业的完成情况评估学生的理论水平和应用能力。

4.3 考试评估•期末考试重点考察学生对已学理论知识的掌握程度和应用能力。

五、教学进度及安排章节课时讲授内容教学方法1 2 数学物理方法概述讲授2 8 常微分方程讲授 + 案例分析3 12 偏微分方程讲授 + 讨论4 10 矩阵代数和特征值问题讲授 + 案例分析5 8 变分法讲授 + 案例分析6 8 常见物理问题的数学模型讲授 + 讨论六、总结本课程通过讲授多种数学物理方法和实例问题的分析,使学生熟悉并掌握了通过数学工具解决物理问题的能力。

数学物理方程三维可视化仿真——《数学物理方法》课程实践

数学物理方程三维可视化仿真——《数学物理方法》课程实践
场 问题 的物理 图像 ,对 培 养 大 学 生 创新 能力 具 有 重 要 意
义。 二、 光 子 晶体 电磁理 论 基础
在倒 易 空 间 中 , r、 T 、 N 、 x 和M 等点 为 布里 渊 区 的高对 称点 , 它们所构成 的多边形区域 ( 深灰色部分)称为不可 约 布里 渊 区。 不可 约布 里 渊 区是 倒 易空 间 中最 小 的 、可 重 复 的 区域 ,可 以 映射 出 电磁 波 在整 个 光 子 晶 体 中 的传 输 特 性 。 对 称 点 坐 标 分 别 为 : r= ( 0 , 0 ) , T = 卫 ( 1 ,
【 探 索与实践 】
数学物理 方程三维 可视化仿真
— —
《 数 学物理方法》 课程 实践
萍, 杨华军 , 何文森 , 罗志华
物理 电子 学 院 , 四川 成都 6 1 0 0 5 4 )

( 电子科 技 大学
摘 要 :数 学 物理 方 程 三 维 可视 化仿 真 及 创 新 实践 训 练是 《 数 学 物 理 方 法》教 学模 式 改 革 中的 重 要 内容 。本 文通 过 MA T L A B 程 序 求解 二 维 菱形 晶格 光 子 晶体 的 电磁 场本 征值 方程 , 绘 制 出二 维 能 带 曲线 , 并将 结 果 三 维可视 化 , 体 现 出复杂 数 学 物理 问题 的物 理 图像 , 解 决 大学 生在课 程 学 习过程 中理解 困难 的教 学 问题 , 加 强 大 学生 编程 实践 能 力和 创新 能 力 的培
e c t g 0 e y. b : e 。
改革 中的重要 内容 。利用M A T L A B 数值求解数学物理方 程, 将传统教学手段 与计算机仿真教学相结合 改变只用 公式符号教学 的模式【 l l , 令学生对复杂 、 抽象 、 烦琐的数学 物 理 问题具 有更 深 刻 的理解 。 本论 文 旨在 进行 数 学物 理方 程仿 真 求解 实 践训 练 , 着 力培 养 大学 生应 用 数学 物 理思 想 解决 实 际 问题 的能 力 。 本着“ 重 理论 、 强实 践 、 突 创新 ” 的教 育理念 , 结合科技前沿 , 以光子 晶体 的电磁场理论作为实 践 内容 , 利用 M A T L A B 对 复 杂 的 电磁 场本 征 值 问题 进 行 计 算 机 仿 真 求解 , 将 结 果 三维 可 视 化 , 以 此来 展 现 复 杂 电 磁

最新数学物理方法(MethodofmathematicalPhysics)PPT

最新数学物理方法(MethodofmathematicalPhysics)PPT
-2 -1 0
2021/1/22
数学物理方法
1
(MethodofmathematicalPhysics)
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义:w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
2021/1/22
数学物理方法 (MethodofmathematicalPhysics)
正交性:解析函数的实部与虚部梯度正交,
即 ∇u ∇ v=(uxi+uyj)(vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
(MethodofmathematicalPhysics)
解析函数
应用
例1:已知平面电场的电势为u=x2-y2,求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意:热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter11

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter11

11.3.2 达朗贝尔公式的物理意义 由上面的讨论我们得到了自由弦振动泛定方程 的通解(11.3.4)为
u(x,t) F1(x at) F2(x at)
即定解问题的解可以表示为两个函数 F1(x at), F2(x at) 之 和,而这两个函数的具体形式完全由初始条件来确 定.为了阐述达朗贝尔公式的物理意义, 实际上只需 阐明这两个函数 F1(x at), F2(x at) 的物理意义就行了.
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
(11.3.9)
当函数(x) 是二次连续函数,函数 (x) 是一次连续可微
的函数时,(11.3.9)式即为无界弦自由振动定解问题的
解,表达式(11.3.9)称为达朗贝尔(D.Alembert)公式.
无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解.
uut(t

a x,0)
2u
xx
0, 0 x x,ut x,0
x,
0
x
u0,t 0
(13.4.4) (13.4.5) (13.4.6)
由于端点固定,所以有u(0,t) 0. 为了使用无界的达
朗贝尔公式,故需要把半无界问题延拓为无界问题来
处理,即必须把 u(x,t) 、 (x) 和(x) 延拓到整个无界区
假设方程的行波解具有下列形式
u(x, y) F(y x)
(11.2.2)
代入方程即得
a2F(y x) bF(y x) cF(y x) 0
需要求方程的非零解,故
F(x x) 0
a2 b c 0
(11.2.3)
(i) b2 4ac 0,对应于双曲型方程,式(11.2.3)有两

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter13

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter13

(l 2m) a1
将它们代入解的表达式中,得到勒让德方程解的形式
y(x)
a0[1
l(l 1) 2!
x2
l(l
2)(l 1)(l 4!
3)
x4
]
a1[ x
(l
1)(l 3!
2)
x3
(l
1)(l
3)(l 5!
2)(l
4)
x5
=pl (x) ql (x)
] (13.1.7)
其中 pl (x) , ql (x) 分别是偶次项和奇次项组成的级数,当 l 不是整数 时, pl (x) , ql (x) 都是无穷级数,容易求得其收敛半径均为 1,而且
关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解,有 下面的定理.
定理 13.1.1 若方程(13.1.1)的系数 p(z) 和 q(z) 为点 z0 的
邻域 z z0 R 中的解析函数,则方程在这圆中存在唯一的
解析解w(z) 满足初始条件w (z0 ) C0 ,w(z0 ) C1 ,其中 C0 、
(即要求在有界解的情况下)求解,则勒让德方程的解 只有第一类勒让德函数即勒让德多项式 Pn (x) .因为第
二类勒让德函数 Qn (x) 在闭区间[1,1] 上是无界的.
13.1.3 奇点邻域的级数解法:贝塞尔方程的求解
前一章分离变量法中,我们引出了贝塞尔方程,本节
我们来讨论这个方程的幂级数解法.按惯例,仍以 x
C1 是任意给定的复常数.
15.1.2 常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解
(注明:推导解的过程仅供了解求解的方法,读者可直接参考其结论)
由分离变量法得到了勒让德方程,下面讨论在 x0 0 邻域上求解 l 阶勒让德方程

数学物理方法(第三版)

数学物理方法(第三版)
方法解决实际问题。
展望
研究前沿
随着科技的发展,数学物理方法 在各个领域的应用越来越广泛, 如量子力学、金融数学、生物信
息学等。
未来趋势
未来,数学物理方法将继续发展, 与其他学科交叉融合,产生新的理 论和方法。
对读者的建议
读者应保持对数学物理方法发展的 关注,不断学习和探索新的理论和 应用。
THANKS
泛函分析方法
总结词
泛函分析是研究函数空间和算子的数学分支,通 过引入抽象的函数空间和算子,泛函分析为解决 复杂的数学问题提供了有力的工具。
总结词
泛函分析方法的应用不仅限于物理学,还涉及到 其他数学领域如微分方程、实变函数、复变函数 等。通过泛函分析的方法,可以更好地揭示数学 问题本质,推动数学的发展。
感谢观看
详细描述
在物理学中,泛函分析方法被广泛应用于量子力 学、统计物理等领域。通过将物理问题转化为泛 函分析问题,可以更好地理解和求解复杂的物理 现象。
详细描述
为了更好地应用泛函分析方法,需要深入理解其 基本概念和性质,如函数空间、算子、谱理论等 。同时,也需要与其他数学方法结合使用,以解 决各种复杂的数学问题。
积分方程方法的应用案例
积分方程在统计学中的应用
01
积分方程被用来描述概率分布,解决统计学中的各种问题,如
参数估计和假设检验。
积分方程在工程学中的应用
02
在解决结构优化、控制系统设计和信号处理等问题时,积分方
程是重要的数学工具。
积分方程在金融学中的应用
03
积分方程被用来描述金融市场的价格变动,评估投资组合的风
都非常重要。
03
促进学科交叉
数学物理方法是一门跨学科的学科,它促进了数学和物理学之间的交叉

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter18

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter18

sech(x) 是钟形的正割双曲函数,其图形与浅水槽中观察到 的孤立波的形状相同.上述 KdV 方程的行波解(18.2.8)称为孤立 波解,从而在数学上证实了孤立波的存在.20 世纪 70 年代两 位美国科学家(Zabusky 和 Kruskal)用数值模拟证实了:两个相 对运动的孤立波在碰撞之后仍为两个稳定的,形状与碰撞前相 同的孤立波,仅仅相位发生了变化,也就是说两个孤立波的碰 撞类似于粒子之间的碰撞.这种孤立波具有类似粒子的性能, 因而这两位科学家将孤立波命名为“孤立子”(Solition).
3du d u 3c u
查积分表,可解得
(18.2.6)
Au
3du
3c u
1 ln c
3c 3c
3c u 3c u
(18.2.7)
其中 A 为积分常数.不妨设 A=0 (否则对 作平移), 则(18.2.7) 式可化简为
c
c
u 3c sech2 ( c ) 3c (e 2 e 2 )2 ,
现在来寻求方程(18.2.1)的平面前进波(简称行波)
解,令
x ct,u(x,t) u( )
(18.2.2)
其中c 是常数,将(18.2.2)式代入(18.2.1),得
cu uu u 0
对 积分一次得
cu
2
u2
u
A
( A 为任意常数)
用u 乘(18.2.3)式两边,并对 积分,得
的解为
u(
x,
y)
_____________________
.
uy (x, 0) 0
二.试用行波法求解右行波的初值问题 (20 分)
uut (x,a0u)x
0, ( (x)

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter7

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter7
若 f (x) 为奇函数,我们可推得奇函数 f (x)
的傅里叶积分为傅里叶正弦积分:
f (x) 0 B() sin xd
(7.2.7)
式(7.2.7)满足条件 f (0) 0 .其中 B() 是
f (x) 的傅里叶正弦变换:
B() 2
f (x) sin xdx
0
(7.2.8)
3. 偶函数的傅里叶积分
i kπx
f (x) Cke l
k
(7.1.9)
利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数
Ck
1 2l
l
f
(
i
x)[e
kπx l
]*
d
x
1
l
2l
l
i kπx
f (x)[e l ]d x
l
(7.1.10)
式中“*”代表复数的共轭.
上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为 2l 的
l
kπx
f (x) cos( ) d x
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin( kπx) d x l
( 7. 1. 4)
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里 叶级数的收敛性问题 ,有如下定
理:
狄利克雷(Dirichlet)定理 7.1.1 若函数
f (x) 满足条件:(1)处处连续,或在每个周期内
f (x) F ()eixd
其中
(7.2.13)
F
()
[
[ A() A(| |)
iB()]/ 2, iB(| |)]/ 2,
( 0) ( 0)
将(7.2.4)代入上式可以证明无论对于 0 ,还 是 0 均可以合并为

数学物理方法第三版.ppt

数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下,先令z沿径向逼近零,
即z ei 0
则:lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零,
即z ei iei 0
则:lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件,又称 为柯西—黎曼条件(简称C-R条件)。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明:由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解:因为:u 2x,u 2 y
x
y
所以:v 2 y,v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关,为方便计 算,取如图所示路径积分可得:
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点: Zo及其邻域均不属于点集E,则 该点叫作E的外点。
境界线:若Zo及其邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点,则该点为境界 点,境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域:(1)点集中的每个点都是内点 (2)点集是连通的,即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ,且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2

[数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军 (6)[68页]

[数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军 (6)[68页]

(2)倒数映射w 1 也可将圆周映射成圆周. z
事实上,设 z 平面上的圆周C 的方程为
A x2 y 2 Bx Cy D 0
向量 b .
整式线性映射是不改变图形形状的相似变换,它 在整个复平面上处处是保角的、一一对应的。因而该
映射能把 z 平面上的圆周映射成w 平面上的圆周,这
一性质称为整式线性映射的保圆周性.
1. 倒数映射(或反演映射)
定义 6.2.3 倒数映射: 我们把映射w 1 称为 z
倒数映射(或反演映射).
第六章 保角变换
6.1 保角映射的概念
我们在讨论解析函数导数的几何意义时 已经提到了保角映射这一概念.
6.1.1 保角映射的概念
定义 6.1.1 保角映射 凡具有保角性和伸缩率不变性
的映射称为保角映射.
凡具有保角性(角度相同,旋转方向相同)和伸缩率不
变性的映射称为第一类保角映射. 凡 具有保角 性 (角度 相同但旋 转方向 相反 )和伸 缩率不变
性的映射称为第二类保角映射. 我们将主要讨论第一类保角映射,根据前面的讨论,我
们有下面的结论:
定理 6.1.1 若函数w f z 在区域D 内解析,且对任意的 z0 D ,有 f z0 0 , 那么w f z 必是区域 D 内的一个保角映射.
6.1.2 保角映射所解决的两个基本问题 根据实际问题的需要,对于保角映射我们提出 需要研究的两个基本问题:
域的变换关系(映 射).
6.2分式线性映射
6.2.1 分式线性映射的概念
定义 6.2.1 分式线性映射 我们把形如w az b , cz d
ad bc 0 的映射称为分式线性映射,其中a,b, c, d 均
为复常数. 由于它是德国数学家莫比乌斯( Mobius, 1790~

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter15

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter15

于是
V
(x,
p)
(
p)e
1
p
x
最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(15.2.16)的解为:
u(
x,t)
L
1[V
(
x,
p)]
e
x
t
x
u
t
x

u(x,t
)
e
x
t
x
0
t x
t x
(15.2.47)
本章综合习题
用傅氏变换法求解下列 15.1;15.2;15.3 题;用拉氏变换 法求解下列 15.4;15.5;15.6 题
最后得到原定解问题的解为
u(x, y) y f ( ) d
π (x )2 y2
容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式.
15.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题
由于要作傅氏变换的函数必须定义在(,) 上,故当我们讨
论半无界问题时,就不能对变量 x 作傅氏变换了.由此本节介 绍另一种变换法:拉普拉斯变换法求解定解问题.
U (x, p) ( )
1
p x
e a d F( , p)
1
p x
e a d
2a p
2a p
(15.2.4)
对(15.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表, 得原定解问题(15.2.1)的解为
u(x,t)
( )
1 2a
πt
exp
(x )2
4Hale Waihona Puke 2tdt 0f ( , )
L[u(x,t)] U (x, p), L[ut (x,t)] pU (x, p) u(x,0)
L[q(t)] Q( p)

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter5

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter5

1. 可去奇点
定义 5.1.3 可去奇点 设 z0 为 f (z) 的
孤立奇点,若 f (z) 在点 z0 的去心邻域内
的罗朗级数无主要部分(即无负幂次项),
则称 z0 为 f (z) 的可去奇点
这时, f (z) 在 z0 的去心邻域内的罗朗级数
实际上就是一个普通的幂级数
a0 a1(z z0 ) ak (z z0 )k (5.1.2) 因此,这个幂级数的和函数 F(z) 是在 z0 解 析的函数,且当 z z0 时, F(z) f (z); 当 z z0 时, F (z0 ) a0 .
可去奇点.
定理 5.1.1 可去奇点的判定定理
(1) f (z) 在奇点 z0 的去心邻域内的罗朗级数中
无主要部分;
(2) lim z z0
f
(z)
a0, (a0
)

(3) f (z) 在 z0 的去心邻域内有界;
以上任何一条均可作为判别奇点是否为可去奇点
的判断标准,也可作为可去奇点的定义.
2.极点 由于极点与零点有 一定关系,而零点的概 念易于理解 ,故先给出零点的概念 ,然后介绍 极点的定义 ,以及极点与零点的关系 ,最后介 绍极点的判定定理.
式.
对应于(5.2.2)展开式中的负幂次项,为 (t) 在 t 0的
主要部分,故我们 对应地称( 5.2.3)展式中的正幂次
ak zk 为 f (z) 在 z 的主要部分.
k 1
由上述定义及前面讨论的有限远奇点的性质,容易
推证下述定理:
定理 5.2.1 函数 f (z) 的孤立奇点 z 为可去
在 z0 点及其邻域| z z0 | 内是解析函数,且 (z0 ) 0 .

数学物理方法电子教案

数学物理方法电子教案

《数学物理方法》电子教案李高翔吴少平第一篇复变函数论第一章复变函数和解析函数思考:复变函数和实变函数的区别和联系。

实变函数:实变量的函数。

例:x,y—实变量;f(x,y) —实变函数复变函数:复变量的函数,实变函数的推广。

实数→实变量→实变函数复数→复变量→复变函数§1.1 复数 (复数的定义,几何表示,运算规则)数的扩展:正数→负数→实数在实数范围内:方程当时,没有实根。

→扩大数域,引进复数02=++c bx ax 042<−=Δac b设1Z =11x +iy 2Z 22=(x +iy ),则:以下的交换律、结合律、分配律成立1221Z Z Z Z +=+ (加法交换律)1221Z Z Z Z = (乘法交换律)123123()()Z Z Z Z Z Z ++=++ (加法结合律)123123()()Z Z Z Z Z Z = (乘法结合律)1231323()Z Z Z Z Z Z Z +=+ (分配律)§ 1.2 复变函数复数 → 复变量 → 复变函数一、复变函数的定义定义:设E 为一复数集,如果E 上每一个复数z 有唯一确定的w 与之对应,则称在E 上确定了一个单值函数。

记为:w=f(z)w :z 的函数;z :w 的自变量(或宗量))(E z ∈如果对于自变量Z,对应着两个和两个以上的w,则称在E上确定了一个多值函数。

因为z=x+i y,所以复数的实部和虚部应是x,y的函数。

即w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)——一个复变函数是两个实变函数的有序组合。

→实变函数的许多定义、公式,定理可直接移植到复变函数中。

1.点a的ε邻域:以复数a为圆心,任意小的正实数ε为半径的一个开圆,即满足|z-a|<ε的点的集合。

点a的无心邻域:0<|z-a|<ε(不包含a点)2.内点:若某点的ε邻域中所有的点属于D,则该点称为D的内点。

3.边界点:若某点不属于D,但其ε邻域内含有属于D的点,则该点称为D的边界点。

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter20

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter20

x)
(20.3.5)
Z
v x
Zv
(x)
Z v 1 ( x)
(20.3.6)
从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z 或消去 Z 可得
Zv1
(
x)
Zv
1
(
x)
2Z
v
(x)
Zv 1 ( x)
Zv 1 ( x)
2v x
Zv
(x)
即为从 Z v1 (x) 和 Z v (x) 推算 Zv1(x) 的递推公式.
上式也可以写成为
Zv1
(
x)
Zv1
(
x)
2
v x
Zv
(
x)
Zv1(x) Zv1(x) 2Z (x)
(20.3.7) (20.3.8)
任一满足一组递推关系的函数 Z v (x) 统称为柱函数.
例 20.3.1 证明柱函数满足贝塞尔方程
【证明】 以满足 (20.3.7)和 (20.3.8)
这一组递推公式来进行证明:
) n ]
N (x) 的级数表示为
N
(x)
2 [
π
ln
x 2
]J
n
(
x)
1 π
n1 k 0
(n
k 1)! ( x )m2k k! 2
1 (1)k {(k) (m k)}( x )m2k
π k0 k !(m k)!
2
20.2.3 第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数(又称为汉克尔(Hankel)函

(
x(m) 1
)2
(
x(m) 2
)2
(
x(m) n
)2
0

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter10

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter10

至少有一个不恒为0,否则,就不能构成二阶偏微分方程.
首先考虑 A(x, y) 或 C(x, y) 不恒为0的情形.不妨设 A(x, y) 0 .这时可作变换
(x, y), (x, y) 为了保证 和 仍然是独立变量,这一组变换的雅可俾式
必须满足
( ,) 0
(x, y)
在这一组变换下,有
2u 2u ( )2 2 2u 2u ( )2 u 2 u 2 ,
y2 2 y
y y 2 y y2 y2
由此方程(10.2.1)即为
a
2u
2
b
2u
c
2u
2
d
u
e
u
fu=g
(10.2.2)
其中系数
a A( )2 B C( )2,
x
x y y
b 2A B( ) 2C ,
第十章 二阶线性偏微分 方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方 程的基本概念、,分类方法和偏微分 方程的标准化. 特别对于常系数的二 阶线性偏微分方程的化简方法也进 行了详细讨论,这对后面的偏微分方 程求解是十分有用的.
10.1 基本概念
(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程,如
F (x, y,,u, u , u ,, 2u , 2u , 2u ,) 0 x y x2 y2 xy
并规定这个常微分方程的积分曲线族为特征曲线族. 这
个特征曲线族,根据判别式 的不同符号(正、零、负),
分别对应于(1)两个实函数族;(2)一个实函数族;(3)
一对共轭复函数族.在下面的讨论中我们会看到,特征
方程所对应的函数族能给出将原偏微分方程转化为标准
形式方程的自变量变换【13】.来自1.双曲型偏微分方程于是
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

凡是 “%”后的语句为解释语句,MATLAB不执行)
(1)题目定义
g='squareg';
% 定义单位方形区域
b='squareb3';
% 左右零边界条件,顶底零导数边界条件
c=1;a=0;f=0;d=1;
(2)初始的粗糙网格化
[p,e,t]=initmesh('squareg');
(3)初始条件
22.1 用偏微分方程工具箱求解微分方程
直接使用图形用户界面(Graphical User Interface,简记作GUI)求解.
例 22.1.1 解热传导方程 ut u f
边界条件是齐次类型,定解区域自定。
计算机仿真
【解】 第一步:启动MATLAB,键入命令pdetool并回
车,就进入GUI.在Options菜单下选择Grid命 令,打开栅格.栅格使用户容易确定所绘图形的 大小. 第二步:选定定解区域 本题为自定区域 :自拟定解区域如图22.1所 示:E1-E2+R1-E3.具体用快捷工具分别画椭 圆E1、圆E2、矩形R1、圆E3.然后在Set formula栏中进行编辑并用算术运算符将图形对 象名称连接起来. (或删去默认的表达式,直接键入E1-E2+R1-E3)
2.动画图形显示 为了将所得的解形象地表示出来,还要通过一些动画图形命 令.为了加速绘图,首先把三角形网格转化成矩形网格.调用形 式如下: (1)uxy=tri2grid(p,t,u1,x,y) p、t是描述三角形网格的矩阵,x、y是求解区域中矩形网格的坐 标点(矩阵x、y必须都是递增顺序),u1是各时刻三角形网格中 的解.输出矩阵uxy是用线性插值法在矩形网格点上得出的相应u 值. (2) [uxy,tn,a2,a3]=tri2grid(p,t,u,x,y) uxy、p、t、u、x、y意义同上,tn是格点的指针矩阵,a2、a3是内 插法的系数. (3) uxy=tri2grid(p,t,u,tn,a2,a3) 用此命令之前,应先用一个tri2grid命令得出矩阵tn、a2、a3.用此 方法可以加快速度.
(7)在0~5时间内动画显示
newplot;
%建立新的坐标系
newplot;
M=moviein(n);
umax=max(max(u1));
umin=min(min(u1));
for i=1: n, ...
%注意‘…’符号不可省略
if rem(i,10) == 0, ... %当n是10的整数倍时,在命令窗口打印出相应的数字
%若要显示持续不断的动画,则再加上下面语句:
nfps=5;
movie(M,10,nfps);
动态解图可以直接通过MATLAB仿真程序执行看出,
图22.7 是动态图的某一瞬间的解的分布。
图 22.7 某一瞬时的波动方程的解图
例 22.1.2 求解下列热传导定解问题.
u (2u t x2 u(x, y,t) |x
图 22.4 偏微分方程的图解图
第七步:单击 Plot 菜单中 Parameter 选项,打开 Plot Selection 对话框,选中 Color, Height(3-D plot)和 Show mesh 三项.再单击 Polt 按钮,显示三维图形解,如图 22.5 所示.
图 24.15
图 22.5 偏微分方程的三维图形解
计算机仿真求解的偏微分方程类型分为:
椭圆型方程: (cu) au f
抛物型方程: d u (cu) au f t
双曲型方程: d 2u (cu) au f t 2
特征值问题: (cu) au du
特征值偏微分方程中不含参数 f .
❖ (2)用M文件编程求解.
❖ 本章首先对可视化方法(GUI)求解作初步介绍, 然后详细介绍用M文件编程解几类基本偏微分方 程,并对典型偏微分的解的静态(或动态)显示曲 线分布进行了讨论。
t 2
求解双曲型方程调用形式如下:
(a、c、d、f 是参数).
(1) u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)
其中:参数 c、a、f、d 决定了方程的类型.b 代表求解域的边界条件.b 可以是边界 条件矩阵,也可以是相应的 PDE 边界条件 M 文件名.
(3) [p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t)
即是迭代过程,得到更细小的网格,使结果更精确.
其中:u0、ut0(ut 即是 u / t )是初始条件.
tlist 是 t=0 时刻以后均匀的时间矩阵. hyperbolic 函数返回的是 u 在 tlist 中各个时间点、在区域各三角形网格处的值 u1.u1 的每行是由 p 中相应列上的坐标值所得的函数值,u1 的每一列是矩阵 tlist 中相 应的时间项所对应的函数值.
第八步:若要画等值线图和矢量场图,单击 Plot 菜单中 Parameter 选项,在 Plot selection 对话框中选中 Contour 和 Arrows 两项.然后单击 Plot 按钮,可显示解的等值 线图和矢量场图,如图 22.6 所示。
图 22.6 解的等值线图和矢量场图
22.2 计算机仿真编程求解偏微分方程
故参数 a,b, c, d 分别是 1,0,10,1.
第五步:选择 Mesh 菜单中 Initialize Mesh 命令, 进行网格剖分. 选择 Mesh 菜单中 Refine Mesh 命令,使网格密集化, 如图 22.3.
图 22.3 网格密集化
❖ 第六步: 解偏微分方程并显示图形解
❖ 选择Solve菜单中Solve PDE命令,解偏微分 方程并显示图形解,如图 22.4 所示。
x=p(1,:)';
% 注意坐标向量都是列向量
y=p(2,:)';
u0=atan(sin(pi/2*x));
ut0=2*cos(pi*x).*exp(cos(pi/2*y));
(4)在时间段0~5内的31个点上求解
n=31;
tlist=linspace(0,5,n);
% 在0~5之间产生n个均匀的时间点
注意:如果矩形网格点在三角形网格之外,则结果中将会出现出错信息 ‘NAN’.主要的绘图(包括动画)命令函数有:moviein、movie、pedplot、 pdesurf等,其具体应用见下面的例题.
例24.2.1 用 MATLAB 求解下面波动方程定解问题并动态显示解的分布
2u t 2
(
2u x2
网格坐标描述矩阵 p,e,t 是由网格初始化命令得到的:
(2) [p,e,t]=initmesh(g)
其中:g 代表求解区域几何形状,是相应的 PDE 几何分类函数 M 文件名. initmesh 函数的作用是将求解区域进行三角形网格化,网格大小由区域的几何形状决 定.输出的 p、e、t 都是网格数据.点阵 p 的第 1、2 行分别包含了网格中点的 x、y 坐标.e 是边缘矩阵,其各行的意义与求解步骤无直接关系,从略.t 是三角矩阵, 其中的几行描述了区域的顶点.有时还会用到修整网格(精细化)命令
2u ) y 2
y1 u
0 |x y1
0
u(
x,
y,
0)
1 0
(r 0.4) (r 0.4)
求解域是方形区域,其中空间坐标的个数由具体问题确定.
图 22.8 某一瞬时的热传导方程解分布
22.1.3 椭圆型:稳定场方程的求解
稳定场方程属于椭圆方程,下面我们来求解含有源项的标准稳定场方程, 也即是泊松方程.在 MATLAB 中是指如下形式:
2u y 2
)
0
u
u
u
|x1
u
|x1
0,
yHale Waihona Puke y1 yy1 0u(x,
y, 0)
atan[sin( π 2
x)], ut
( x,
y, 0)
2 cos(πx) exp[cos( π 2
y)]
已知求解域是方形区域,空间坐标的个数由具体问题确定.
【解】采用步骤如下(注:在MATLAB环境下运行时,下面的中文不输 入。
图22.1 所讨论定解问题的区域
第三步:选取边界 首先选择Boundary菜单中Boundary Mode命
令,进入边界模式.然后单击Boundary菜单中 Remove All Subdomain Borders选项,从而去掉子 域边界,如图22.2.单击Boundary菜单中Specify Boundary Conditions选项,打开Boundary Conditions对话框,输入边界条件.本例取默认条 件,即将全部边界设为齐次Dirichlet条件,边界显 示为红色.如果想将几何与边界信息存储,可选择 Boundary菜单中的Export Decomposed Geometry,Boundary Cond’s命令,将它们分别存储 在g、b变量中,并通过MATLAB形成M文件.
(2) 用有限元法(FEM)求解PDE.即网格的生成、方程的离 散以及求出数值解;
(3) 解的可视化. 用PDE Toolbox可以求解的基本方程有:椭圆方程、抛物方程、 双曲方程、特征值方程、椭圆方程组以及非线性椭圆方程.
具体操作上可用两个途径: (1) 直接使用图形用户界面(Graphical User Interface, 简记作 GUI)求解.
❖ 求解偏微分方程除了上节介绍的直接使用偏微分方程工具 箱外,还可以用编写程序(对于MATLAB仿真,可以编写 M文件)的方法求解偏微分方程。
❖ 22.2.1双曲型:波动方程的求解 ❖ 1. 求解双曲型方程
❖ 下面将讨论标准波动方程的求解问题.波动方程属于双曲 型方程,即
2u d (cu) au f
相关文档
最新文档