ADMM算法原理及实例讲解
admm算法matlab代码
admm算法matlab代码ADMM算法（Alternating Direction Method of Multipliers）是一种用于解决凸优化问题的迭代算法。
它通过将原问题转化为一系列子问题，并通过交替更新变量的方式逐步逼近最优解。
本文将介绍ADMM算法的基本原理，并给出其在MATLAB中的代码实现。
ADMM算法的基本原理是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一系列子问题。
假设我们要求解的原问题为：minimize f(x) + g(z)subject to Ax + Bz = c其中，f(x)和g(z)是凸函数，A和B是已知矩阵，c是已知向量。
ADMM算法的目标是找到x和z的最优解。
首先，我们将原问题转化为增广拉格朗日函数：L(x, z, y) = f(x) + g(z) + y^T(Ax + Bz - c) + (ρ/2) ||Ax + Bz - c||^2其中，y是拉格朗日乘子，ρ是正则化参数。
然后，ADMM算法通过交替更新x、z和y来逐步逼近最优解。
具体的更新步骤如下：1. 更新x：固定z和y，求解以下最小化问题：x^(k+1) = argmin f(x) + (ρ/2) ||Ax + Bz^k - c + (1/ρ)y^k||^22. 更新z：固定x和y，求解以下最小化问题：z^(k+1) = argmin g(z) + (ρ/2) ||Ax^(k+1) + Bz - c + (1/ρ)y^k||^23. 更新y：根据拉格朗日乘子更新规则，更新y：y^(k+1) = y^k + ρ(Ax^(k+1) + Bz^(k+1) - c)4. 判断终止条件：如果满足终止条件，则停止迭代；否则，返回步骤1。
下面是ADMM算法在MATLAB中的代码实现：```matlabfunction [x, z] = admm_algorithm(A, B, c, f, g, rho, max_iter, tol)% 初始化变量[m, n] = size(A);x = zeros(n, 1);z = zeros(n, 1);y = zeros(m, 1);% 迭代更新for iter = 1:max_iter% 更新xx = argmin(@(x) f(x) + (rho/2) * norm(A*x + B*z - c +(1/rho)*y)^2, x);% 更新zz = argmin(@(z) g(z) + (rho/2) * norm(A*x + B*z - c +(1/rho)*y)^2, z);% 更新yy = y + rho * (A*x + B*z - c);% 判断终止条件if norm(A*x + B*z - c) < tolbreak;endendendfunction argmin_val = argmin(func, x0)options = optimoptions('fminunc', 'Display', 'off');argmin_val = fminunc(func, x0, options);end```在使用该代码时，需要提供A、B、c、f、g等参数，并设置最大迭代次数和终止条件的容差。
ADMM算法原理
ADMM算法原理ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）算法是一种用于求解凸优化问题的迭代算法，由Gabrielu Eidelman和Arkady Nemirovsky于1970年代提出。
它是由Douglas和Rachford的交替方向乘子法与广义拉格朗日对偶的结合所形成的。
```minimize f(x) + g(z)subject to Ax + Bz = c```其中，f(x)是只涉及变量x的凸函数，g(z)是只涉及变量z的凸函数，Ax+Bz=c是线性约束条件。
算法的迭代过程可以分为三个步骤：1.优化x：固定z和y，对x优化。
2.优化z：固定x和y，对z优化。
3.更新乘子：更新乘子y。
下面对ADMM算法的原理进行详细说明。
1.优化x：在这一步骤中，要求解下面的优化问题：```minimize f(x) + (ρ/2)，Ax + Bz - c + y，^2```其中，y为乘子，ρ为非负的参数。
这个问题实质上是目标函数f(x)加上一个关于线性约束的罚函数。
通过最小化这个问题，可以得到每次迭代中的最优解x*。
将这个解x*固定下来，进入下一步骤。
2.优化z：在这一步骤中，要求解下面的优化问题：```minimize g(z) + (ρ/2) ，Ax + Bz - c + y，^2```这个问题与第一步骤中的优化问题类似，只是目标函数变为了g(z)。
通过最小化这个问题，可以得到每次迭代中的最优解z*。
将这个解z*固定下来，进入下一步骤。
3.更新乘子：在这一步骤中，要更新乘子y。
更新的过程是通过将x和z替换到线性约束中得到的：```y=y+ρ(Ax+Bz-c)```至此，一个迭代过程完成。
然后，根据设定的停止准则（例如误差小于一些阈值）判断是否终止算法，否则继续进行下一次迭代。
总结来说，ADMM算法是一种用于求解凸优化问题的迭代算法，通过交替优化各个子问题来求解原问题。
ADMM算法在信号处理中的应用
ADMM算法在信号处理中的应用随着科技的不断发展，各种信号处理技术也越来越成熟和广泛地应用在音频、视频、图像等领域中。
其中，ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）算法是一种优秀的信号处理算法，被广泛用于求解凸优化问题。
本文将从ADMM算法的基本思路入手，探讨其在信号处理中的具体应用。
一、ADMM算法的基本思路ADMM算法是一种基于迭代优化的求解凸优化问题的算法，它是由Boyd等人于2010年提出来的。
该算法在各领域应用广泛，例如图像处理、压缩感知、机器学习、信号处理等方面。
其基本思路可以用以下的数学表达式表示：minimize f(x)+g(z) subject to Ax+Bz=c其中，f和g是带有不同的惩罚项约束的凸函数。
ADMM算法的基本思路是：将上述问题转化成一个拉格朗日乘子的形式并进行求解。
具体来说，对于上述问题，将其转化成以下形式：minimize f(x)+g(z)+vT(Ax+Bz-c)+ρ/2(||Ax+Bz-c||2^2)其中，v是拉格朗日乘子向量，ρ>0是一个参数。
然后，利用ADMM算法对上述问题进行求解，其中ADMM算法的迭代式为：x(k+1)=argminx(ρ/2)||x-x(k)+z(k)-v(k)/ρ||2^2z(k+1)=argminz(ρ/2)||x(k+1)+z-z(k)-v(k)/ρ||2^2v(k+1)=v(k)+ρ(x(k+1)+z(k+1)-c)上述迭代式中，x、z、v分别是要求解的变量和拉格朗日乘子向量，ρ是一个正数，k表示第k次迭代。
通过迭代的方式，ADMM算法可以逐渐逼近最优解。
二、ADMM算法在信号处理中的应用随着信号处理技术的不断发展，ADMM算法被广泛用于信号处理中，取得了很好的效果。
以下是ADMM算法在信号处理中的三个应用场景。
1.图像处理在图像处理中，ADMM算法不仅可以用来实现图像的去噪、稀疏表示等操作，还可以用来实现图像的去模糊、超分辨率重建等操作。
admm算法
admm算法以下是长期研究ADMM（ Alternating Direction Method of Multipliers ）后对ADMM算法的一些总结，包括其他人观点：一、解决约束问题：ADMM( Alternating Direction Method of Multipliers) 算法是机器学习中比较广泛使用的约束问题最优化方法，它是ALM算法的一种延伸，只不过将无约束优化的部分用块坐标下降法（block coordinate descent，或叫做 alternating minimization）来分别优化。
其中的原理可以参考大牛S.Boyd的文献“Distributed Optimization and Statistical Learning via the Alternating Direction Method of Multipliers”。
产生这种方法主要是为了弥补二次惩罚的缺点。
在一些问题当中，用二次惩罚来近似约束问题在最优点附近需要惩罚项的系数趋近于无穷，而这种要求会使得海森矩阵很大，因此近似的目标函数很不稳定。
为了解决这个问题，引入了线性逼近的部分，通过线性项系数不断的接近最优解（对偶上升），使得在二次惩罚项的系数很小的情况下，也能得到满足要求精度的解。
ADMM目前是比较成熟，比较受欢迎的约束问题最优化通用框架。
详细的讨论楼主可以参考大牛的文献，希望能帮到你。
出处：二、解决分布式问题：ADMM 在分布式统计学习方面的应用。
我也是最近看了 Boyd 2011 年的那篇文章，之后自己做了一些片面的总结（只针对分布式统计学习问题）：交替方向乘子法（AlternatingDirection Method of Multipliers，ADMM）是一种求解优化问题的计算框架, 适用于求解分布式凸优化问题，特别是统计学习问题。
ADMM 通过分解协调（Deposition-Coordination）过程，将大的全局问题分解为多个较小、较容易求解的局部子问题，并通过协调子问题的解而得到大的全局问题的解。
admm算法
ADMM算法简介ADMM算法是一种优化算法，全称为Alternating Direction Method of Multipliers，它在解决分布式优化问题和凸优化问题中有着广泛的应用。
ADMM算法的核心思想是将原始问题分解成多个子问题求解，并通过引入拉格朗日乘子来实现子问题之间的联合优化。
本文将介绍ADMM算法的基本原理、优势和应用领域。
基本原理ADMM算法的基本原理是通过引入一个辅助变量来将原始问题分解成多个子问题求解。
假设我们要最小化一个多变量函数f(x, y)。
ADMM算法的迭代步骤可以分为以下三个部分：1.更新x：固定y和z，更新x以减小f(x, y) + g(z)，其中g(z)是一个拉格朗日乘子项。
2.更新y：固定x，更新y以减小f(x, y) + g(z)。
3.更新z：更新z以满足约束条件。
这些步骤的循环迭代最终收敛到原始问题的最优解。
优势ADMM算法在求解大规模优化问题时有以下优势：•可以有效处理具有结构性的问题，如矩阵分解、稀疏优化等。
•分布式求解：将原始问题分解成多个子问题，可以并行地求解这些子问题，适用于分布式计算环境。
•收敛速度快：ADMM算法在理论上收敛速度更快，尤其适用于非光滑、非凸问题的求解。
应用领域ADMM算法在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于：•信号处理：如压缩感知、信号重构等。
•机器学习：如支持向量机、稀疏编码等。
•图像处理：如图像恢复、图像分割等。
•无线通信：如资源分配、信道估计等。
结语ADMM算法作为一种高效的优化算法，具有很好的收敛性和适用性，广泛应用于不同领域的优化问题中。
通过合理地划分问题结构，并引入拉格朗日乘子进行联合优化，ADMM算法能够快速、有效地求解复杂的优化问题。
在未来的研究和实践中，ADMM算法有望继续发挥重要作用，为解决实际问题提供更加有效的解决方案。
以上就是关于ADMM算法的简要介绍，希望对读者有所帮助。
张量填充admm算法推导步骤
张量填充admm算法推导步骤ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）算法是一种用于解决优化问题的迭代算法，特别适用于具有可分解结构的问题。
对于张量填充问题，ADMM算法可以被用来求解。
以下是张量填充ADMM算法的推导步骤：1.定义问题：首先，我们需要定义要解决的问题。
对于张量填充问题，我们通常的目标是最小化填充张量与原始张量之间的某种差异。
这通常可以通过一个优化问题来表示，例如：min x f(x)+g(x)其中f(x)是数据拟合项，用于衡量填充张量与原始张量之间的差异；g(x)是正则项，用于约束解的范数或结构。
2. ADMM框架：ADMM算法的基本框架可以表示为以下迭代过程：x k+1=argmin x f(x)+ρ(Ax−z k+u k)2z k+1=argmin z g(z)+ρ(Ax k+1−z+u k)2u k+1=u k+(Ax k+1−z k+1)其中ρ>0是一个正则化参数，用于平衡两项。
3. 应用ADMM于张量填充问题：对于张量填充问题，我们需要将上述框架应用于多维张量。
具体来说，我们需要为每个维度（或模式）分别应用ADMM算法。
这涉及到对每个维度上的元素进行迭代更新，直到收敛。
4. 收敛性分析：ADMM算法通常具有全局收敛性，这意味着随着迭代次数的增加，算法的解会逐渐接近于最优解。
然而，收敛速度取决于问题的具体性质和正则化参数的选择。
5. 实现细节：在实现ADMM算法时，需要注意一些细节，例如选择合适的正则化参数、初始化变量等。
此外，由于ADMM算法涉及大量的矩阵运算，因此在实际应用中可能需要使用高效的数值计算库来加速计算。
6. 扩展和改进：ADMM算法有许多变种和改进方法，例如增强的ADMM、预处理的ADMM等。
这些方法可以进一步提高算法的性能和收敛速度。
综上所述，将ADMM算法应用于张量填充问题需要仔细选择合适的正则化函数、正则化参数和初始化方法，并可能需要针对具体问题对算法进行一些调整和改进。
ADMM算法理论与应用
ADMM算法理论与应用ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）是一种用于解决带等式约束的凸优化问题的迭代算法。
ADMM算法最早由Gabay和Mercier于1976年提出，这个算法基于一种叫做Lagrange乘子法的优化方法，并在最近几十年里得到了广泛的应用和研究。
ADMM算法的基本思想是将原始的问题分解为若干个子问题，然后通过交替求解每个子问题来逼近原始问题的解。
具体来说，对于一个包含n 个变量和m个约束的凸优化问题，ADMM算法的迭代步骤可以概括为以下三个子问题的交替求解：1.更新原始变量：固定其他变量不变，通过求解一个关于待更新变量的无约束问题来更新该变量的值。
2. 更新辅助变量：根据原始变量的更新结果和Lagrange乘子，通过求解一个关于辅助变量的子问题来更新辅助变量的值。
3. 更新Lagrange乘子：通过Lagrange乘子的更新规则来更新乘子的值。
在稀疏信号重构和图像恢复领域，ADMM算法被广泛用于处理具有稀疏性的信号和图像。
通过引入L1正则化项，将原始问题转化为一个带有等式约束的凸优化问题，然后利用ADMM算法求解该问题的最优解。
ADMM 算法在这些问题中能够很好地利用信号或图像的稀疏性，并获得较好的重构效果。
在机器学习和统计学习领域，ADMM算法被广泛应用于处理带有约束的优化问题。
例如，ADMM算法可以用于求解Lasso回归问题、支持向量机问题和最小二乘支持向量机问题等。
通过引入L1正则化项和L2范数惩罚项，将原始问题转化为一个带有等式约束的凸优化问题，然后利用ADMM算法求解该问题的最优解。
总之，ADMM算法是一种非常实用的优化算法，可以有效地求解带有等式约束的凸优化问题。
它的理论基础扎实，应用范围广泛。
随着计算机性能的提高和算法的改进，ADMM算法在实际问题中的应用前景非常广阔。
admm分布式计算
ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）是一种优化算法，通常用于解决分布式计算中的问题。
它的核心思想是通过将问题分解为子问题，并通过交替迭代的方式解决这些子问题，以达到整体问题的优化目标。
在分布式计算中，ADMM通常用于解决大规模数据分布在多个节点上的优化问题。
以下是ADMM在分布式计算中的详细解释：1. 问题分解：•ADMM适用于将原始问题分解为多个子问题的情况。
每个子问题在不同的节点上进行处理，从而实现分布式计算。
2. 优化目标：•考虑一个具体的优化问题，例如最小化某个目标函数，ADMM的目标是找到最小化这个目标函数的变量。
3. 分布式计算模型：•在分布式计算中，问题的数据被分布到不同的节点上。
每个节点只能访问其本地数据，而无法直接访问其他节点的数据。
4. ADMM算法步骤：•初始化：初始化变量和拉格朗日乘子。
•交替迭代：迭代求解原始问题的子问题和拉格朗日对偶问题的子问题。
•更新变量：使用子问题的解更新变量。
•更新拉格朗日乘子：根据变量的更新，更新拉格朗日乘子。
•收敛判据：检查算法是否满足停止条件，如果不满足，继续迭代。
5. 分布式计算中的通信：•在每个迭代步骤中，节点之间需要进行通信，以传递必要的信息，使得分布式计算能够协同解决整个问题。
6. 适用领域：•ADMM在分布式计算中被广泛应用于解决优化问题，例如分布式机器学习、图优化、信号处理等领域。
7. 优势：•ADMM允许节点独立解决子问题，从而提高了计算效率和并行性。
8. 挑战：•通信开销：在分布式计算中，节点之间的通信可能成为性能的瓶颈。
•收敛速度：ADMM的收敛速度可能受到问题结构和问题规模的影响。
总的来说，ADMM在分布式计算中提供了一种灵活的、有效的优化算法，能够有效地解决大规模的分布式优化问题。
admm分布式计算
admm分布式计算ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)是一种分布式计算方法，广泛应用于解决分布式优化问题。
它通过将原始问题转化为一系列子问题，并在多个分布式计算节点上分别求解这些子问题，最终得到原始问题的解。
在本文中，我将详细介绍ADMM算法的原理、应用和优点。
首先，让我们来了解一下ADMM的原理。
ADMM算法的核心思想是通过将原始问题分解为多个子问题来实现并行计算。
假设我们的原始问题是要求解一个优化问题，可以表示为：minimize f(x) + g(z)subject to Ax + Bz = c其中，x和z是优化变量，f(x)和g(z)是目标函数，A和B是系数矩阵，c是约束条件。
为了将原始问题分解为子问题，我们引入一个拉格朗日乘子y，并将原始问题转化为如下形式：minimize f(x) + g(z) + y^T(Ax + Bz - c) + (ρ/2) ，Ax + Bz - c，^2其中，y是拉格朗日乘子，ρ是一个正则化参数。
现在，我们可以将原始问题分解为三个子问题：1.求解x子问题：minimize f(x) + (ρ/2) ，Ax + Bz - c + (1/ρ)y，^22.求解z子问题：minimize g(z) + (ρ/2) ，Ax + Bz - c + (1/ρ)y，^23.更新拉格朗日乘子：y=y+ρ(Ax+Bz-c)这三个子问题可以在不同的计算节点上分别求解，并通过交替迭代来达到整个优化问题的解。
具体的操作步骤如下：1.初始化x、z和y的值。
2.重复以下步骤直到收敛：a.在计算节点上求解x子问题得到x的更新。
b.在计算节点上求解z子问题得到z的更新。
c.在计算节点上更新y的值。
通过交替迭代求解子问题，最终可以得到原始问题的解。
ADMM算法在分布式计算中有着广泛的应用。
它可以用于解决大规模优化问题，例如图像处理、机器学习、信号处理等领域。
admm算法的原理及应用
admm算法的原理及应用简介ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）算法是一种解决凸优化问题的迭代算法，广泛应用于机器学习、信号处理、图像处理等领域。
本文将介绍ADMM算法的原理以及在不同应用领域的具体应用。
原理ADMM算法是一种将原优化问题转化为一系列子问题来求解的方法。
其基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将原问题分解为多个子问题，并通过交替更新子问题的方式求解原问题的最优解。
ADMM算法的基本形式ADMM算法的基本形式如下所示：minimize f(x) + g(z)subject to Ax + Bz = c其中，f(x)和g(z)是关于变量x和z的凸函数，A和B是已知的矩阵，c是已知的向量。
基于ADMM算法，可以将上述问题转化为以下三个子问题：x(k+1) = argmin_x ( f(x) + (ρ/2)||Ax + Bz(k) - c + u(k)||^2 )z(k+1) = argmin_z ( g(z) + (ρ/2)||Ax(k+1) + Bz - c + u(k)||^2 )u(k+1) = u(k) + Ax(k+1) + Bz(k+1) - c其中，k表示迭代次数，ρ是一个正定参数，u是拉格朗日乘子。
ADMM算法的迭代步骤ADMM算法的迭代步骤如下：1. 初始化变量x、z和拉格朗日乘子u的初始值。
2. 重复下述步骤直至收敛： a. 固定z和u，通过求解x的子问题更新x。
b. 固定x和u，通过求解z的子问题更新z。
c. 更新拉格朗日乘子u。
应用ADMM算法由于其高效性和广泛适用性，在多个领域都有被应用的案例。
以下是一些ADMM算法在不同应用领域的具体应用。
机器学习ADMM算法在机器学习中广泛应用于求解各种形式的凸优化问题。
例如，在正则化线性回归中，可以使用ADMM算法来求解下面的优化问题：minimize (1/2)||Xw - y||^2 + λ||w||_1其中，X是已知的训练数据，y是已知的标签，w是待求解的模型参数，λ是正则化项的权重。
admm算法和最小二乘法
ADMM算法和最小二乘法在机器学习和优化领域，ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）算法和最小二乘法是两种常用的优化方法。
本文将详细介绍ADMM算法和最小二乘法的原理和应用。
ADMM算法ADMM算法是一种分解协作的优化算法，主要用于解决具有特定结构的优化问题。
它的核心思想是将原问题分解为若干个子问题，并通过迭代的方式求解这些子问题，直到收敛。
ADMM算法的求解过程包括以下步骤： 1. 将原问题转化为等价的约束问题，引入拉格朗日乘子； 2. 通过引入辅助变量，将等价约束问题分解为若干个子问题；3. 通过交替求解每个子问题，持续更新主变量和辅助变量；4. 重复2和3步骤，直到主变量和辅助变量收敛。
ADMM算法的优点是模块化和可扩展性，可以有效地处理具有复杂结构的问题。
它在图像处理、机器学习和统计学习等领域有广泛的应用，例如稀疏信号恢复、聚类分析和分布式优化问题等。
最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性回归方法，用于拟合数据点与理论模型之间的残差最小化。
该方法通过最小化观测数据的误差平方和，来确定模型参数的最佳估计值。
最小二乘法的数学模型可以表示为：∥Y−Xβ∥2minβ其中，Y是观测数据，X是设计矩阵，β是待估计的模型参数。
最小二乘法的求解可以采用多种方法，常见的包括正规方程法和梯度下降法。
正规方程法通过求解导数为零的正规方程得到参数的最优解，而梯度下降法则通过迭代优化的方式逐步接近最优解。
最小二乘法的优点是简单易懂，计算速度较快，适用于线性回归问题。
它在统计学、经济学和工程学等领域有广泛应用，如数据拟合、信号处理和时间序列分析等。
ADMM算法与最小二乘法的对比ADMM算法和最小二乘法都是优化求解方法，但它们的应用场景和求解能力有所不同。
下面是它们的对比：适用场景： - ADMM算法更适用于具有特定结构的优化问题，如稀疏信号恢复和分布式优化等。
ADMM算法原理和实例讲解
ADMM算法原理和实例讲解ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers，交替方向乘子法）是一种用于解决分布式优化问题的迭代算法。
它通过将原始问题转化为一系列子问题，并使用乘子更新来实现求解。
在本文中，将详细介绍ADMM算法的原理和一个实际问题的求解实例。
**ADMM算法原理**1.初始化变量：设置原始问题的变量和乘子的初始值。
2.循环迭代：在每次迭代中，交替更新原始问题的变量和乘子。
3.变量更新：更新原始问题的变量，使之最小化目标函数。
4.乘子更新：对于每个约束条件，更新对应的乘子。
5.收敛判断：判断迭代是否收敛，如果满足条件则停止迭代。
以下是ADMM算法的数学表达式：首先，假设原始问题是一个凸优化问题：minimize f(x) + g(z)subject to Ax + Bz = c其中，x和z分别是原始问题的变量，f(x)和g(z)是分别对应变量的凸目标函数，A、B和c是约束条件矩阵和向量。
在ADMM算法中，通过引入拉格朗日乘子y，将约束条件转化为原始问题的松弛形式：minimize f(x) + g(z)subject to Ax + Bz - c = 0然后，将松弛约束条件分别加入到每个变量的目标函数中，在更新变量时，可以分别进行求解。
具体更新步骤如下：1.更新变量x：固定其他变量z和y，最小化f(x)+(ρ/2)，Ax+Bz-c+y，₂²，其中ρ是算法参数。
2.更新变量z：固定其他变量x和y，最小化g(z)+(ρ/2)，Ax+Bz-c+y，₂²。
3.更新乘子y：固定其他变量x和z，更新乘子y=y+ρ(Ax+Bz-c)。
4.判断停止条件：检查是否满足收敛条件，常见的判断方式是计算原始问题变量的相对误差。
以上步骤循环迭代，直到满足收敛条件。
**ADMM算法实例**假设有一个分布式线性回归问题minimize (1/2) sum(，Aᵢx - bᵢ，₂²)subject to Cx = d其中，Aᵢ和bᵢ是分布式数据集的输入矩阵和向量，Cx=d是分布式约束条件，x是线性回归问题的变量。
admm算法matlab程序及例题
一、介绍ADMM算法我们来介绍一下ADMM算法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM），这是一种用于求解凸优化问题的迭代算法。
ADMM算法最初由Gabay和Mercier在1976年提出，被广泛应用于信号处理、统计学、机器学习和图像处理等领域。
它的优势在于能够处理带约束的优化问题，并且对于大规模问题有较好的收敛性能。
在许多实际问题中，ADMM算法都被证明有效且高效。
二、ADMM算法的基本思想1. ADMM算法的基本形式ADMM算法是一种交替方向乘子方法，它的基本形式如下：\[\begin{aligned}&\min_{x,z} \quad f(x) + g(z)\\&\text{subject to} \quad Ax + Bz = c\end{aligned}\]其中，\(f(x)\)和\(g(z)\)是凸函数，\(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\)，\(B\in\mathbb{R}^{m\times p}\)，\(c\in\mathbb{R}^{m}\)。
ADMM算法通过引入拉格朗日乘子进行求解，具体的迭代过程为：\[\begin{aligned}&x^{k+1} = \arg\min_x \left\{ f(x) + \frac{\rho}{2} \|Ax + Bz^k - c + u^k\|^2_2 \right\}\\&z^{k+1} = \arg\min_z \left\{ g(z) + \frac{\rho}{2}\|Ax^{k+1} + Bz - c + u^k\|^2_2 \right\}\\&u^{k+1} = u^k + Ax^{k+1} + Bz^{k+1} - c\end{aligned}\]其中，\(\rho\)是一个正的步长参数，\(u^k\)是拉格朗日乘子序列。
交替方向乘子法 有效集法
交替方向乘子法、有效集法交替方向乘子法(ADMM)和有效集法(Active-set method)是两种广泛应用于优化问题的算法。
下面将分别介绍这两种方法的基本原理和应用。
1.交替方向乘子法(ADMM)交替方向乘子法(ADMM)是一种高效的分布式优化算法，常用于解决具有约束条件的优化问题。
该方法通过将原始优化问题拆分为多个子问题，并交替解决每个子问题，从而实现全局最优解的求解。
ADMM的基本步骤如下：(1)将原始优化问题拆分为两个子问题，其中一个子问题包含原始变量的优化，另一个子问题则包含约束条件的优化。
(2)在每个迭代步骤中，分别对两个子问题进行求解，并通过更新乘子的方式实现子问题的交替求解。
(3)重复执行上述步骤，直到满足收敛条件或达到预设的最大迭代次数。
ADMM的优势在于能够将大规模的优化问题拆分为多个小规模的子问题，从而降低了问题的求解难度。
此外，ADMM还具有良好的并行化性能，适用于分布式计算环境。
2.有效集法(Active-set method)有效集法是一种求解约束优化问题的经典方法，其主要思想是通过逐步迭代寻找最优解。
该方法首先将原始问题的所有约束条件划分为两类：活跃约束和非活跃约束。
在每个迭代步骤中，通过逐步减少活跃约束的数量，逐步逼近最优解。
有效集法的基本步骤如下：(1)初始化：选择一个初始解，并将其对应的约束条件定义为活跃约束。
(2)迭代更新：在每个迭代步骤中，通过逐步减少活跃约束的数量，更新解直到满足一定的收敛条件。
(3)判断停止条件：如果满足收敛条件或达到预设的最大迭代次数，则停止迭代并输出当前解作为最优解；否则，继续执行迭代更新步骤。
有效集法的优势在于其简单易行，适用于各种不同类型的约束优化问题。
此外，有效集法还具有较高的计算效率，能够在较短的时间内求解大规模的优化问题。
3.对比分析ADMM和有效集法都是广泛应用于优化问题的算法，但它们在处理问题的侧重点和适用范围上存在一定的差异。
admm算法初始点
admm算法初始点摘要：ADMM算法概述及初始点选择策略一、ADMM算法简介1.ADMM算法背景2.ADMM算法基本原理3.ADMM算法应用领域二、ADMM算法的初始点选择策略1.初始点的重要性2.常见初始点选择方法a.随机初始化b.零初始化c.局部最优解初始化d.启发式初始化3.初始点选择策略的比较与分析三、如何选择合适的初始点以提高ADMM算法性能1.针对不同问题的初始点选择策略a.线性规划问题b.非线性规划问题c.优化问题2.实例分析a.矩阵分解问题b.图像处理问题c.机器学习问题四、总结与展望1.初始点选择在ADMM算法中的关键作用2.现有初始点选择策略的优缺点3.未来研究方向与挑战正文：一、ADMM算法简介1.ADMM算法背景ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers，交替方向乘子法）算法是一种求解优化问题的迭代算法。
其起源于20世纪60年代，起初主要用于解决线性规划问题。
随着研究的深入，ADMM算法逐渐发展为一种广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域的优化算法。
2.ADMM算法基本原理ADMM算法的基本思想是将原优化问题转化为子问题求解，通过交替更新变量的方式逐步逼近最优解。
具体来说，对于给定的优化问题，ADMM算法按照以下步骤进行迭代：（1）选择一个初始点x0；（2）分别更新变量x、z和r；（3）判断收敛条件是否满足，若满足，则停止迭代；否则，返回步骤2。
3.ADMM算法应用领域ADMM算法因其具有良好的数值稳定性和收敛性，已在许多领域取得了显著的成果。
例如，在信号处理领域，ADMM算法被广泛应用于稀疏信号重建、矩阵分解等问题；在图像处理领域，ADMM算法在图像去噪、图像超分辨率等方面取得了良好的效果；在机器学习领域，ADMM算法被应用于优化学习算法的性能，提高模型的泛化能力。
二、ADMM算法的初始点选择策略1.初始点的重要性初始点选择对于ADMM算法的性能具有重要影响。
admm分布式计算
admm分布式计算ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）是一种分布式计算方法，由于其高效、易于实现以及处理大规模问题的能力，已经在很多实际应用中得到广泛应用。
本文将对ADMM的原理和应用进行详细介绍，并讨论其在分布式计算中的优势和挑战。
ADMM是一种求解凸优化问题的迭代算法，其核心思想是将原问题分解为若干子问题，并使用交替方向乘子法进行求解。
具体而言，ADMM将原问题表示为以下形式：minimize f(x) + g(z)subject to Ax + Bz = c其中，f(x)是一个关于变量x的凸函数，g(z)是一个关于变量z的凸函数，A和B是系数矩阵，c是约束条件。
ADMM的基本步骤如下：1.初始化变量x、z和乘子u；2.重复以下步骤直到收敛：a.保持x和z固定，更新乘子u；b.保持u和z固定，更新变量x；c.保持u和x固定，更新变量z。
ADMM的优势之一是易于实现并能够处理大规模问题。
由于每个子问题的求解可以并行进行，ADMM可以分布在多个计算节点上进行计算，从而提高计算效率。
此外，ADMM还可以利用局部数据进行迭代更新，减少通信和数据传输的开销。
ADMM在分布式机器学习、图优化、信号处理等领域具有很多应用。
在分布式机器学习中，ADMM常用于求解凸优化问题，如线性回归、LASSO 等。
通过将原问题分解为多个子问题，并在多个计算节点上进行求解，ADMM能够加快模型训练的速度。
在图优化中，ADMM可以用于图分割、最小割问题等的求解。
通过将图分割问题分解为多个子问题，并利用ADMM 进行求解，可以在多个计算节点上高效地求解大规模图问题。
在信号处理领域，ADMM可以用于图像恢复、压缩感知等问题的求解，通过分布式计算和交替方向乘子法，可以加速信号处理的过程。
尽管ADMM具有很多优势，但在实际应用中也存在一些挑战。
首先，ADMM的性能高度依赖于子问题的求解效率。
08-ADMM算法
08-ADMM算法08-ADMM算法⽬录ADMM最基本情形的推导还是⽐较经典的。
这⾥介绍这份著名讲义⾥的treatment：Boyd S, Parikh N, Chu E, et al. Distributed optimization and statistical learning via the alternating direction method of multipliers[J]. Foundations and Trends® in Machine learning, 2011, 3(1): 1-122.⼀、ADMM 算法动机这⾥简单讲个例⼦，在深度学习中，样本的维度 d 是⾮常⼤的，如果我们直接对这种⼤维度的样本构建⽬标函数 f(x)，是不容易求解的。
因此我们可以考虑是否可以把 x 拆分成 x1,x2,⋯,x N，也就是把⽬标函数分割成多个⽬标函数 f（）x1),f(x2),⋯,f(xN)，然后我们先最⼩化 f(x1)，之后在最⼩化 f(x2)，甚⾄可以对这个多个⽬标函数进⾏分布式优化。
⼆、对偶问题原问题：min f(x)s.t.Ax=b 拉格朗⽇函数：L(x,y)=f(x)+y T(Ax−b)对偶函数：g(y)=inf x L(x,y)≤f(x)对偶问题：max y g(y)最优解：x∗=argminx L(x,y∗)y∗=argmaxy g(y)三、对偶上升法对偶变量 y 迭代更新：y k+1=y k+αk∇g(y k)，其中∇g(y k)=∇y(L(ˆx,y k))=∇y(f(ˆx)+(y k)T(Aˆx−b))=Aˆx−b上述公式中 ˆx=argminx L(x,y k)变量和对偶变量更新的步骤：$x^{k+1} = \underset{x}{argmin} L(x,y^k)\quad \text{变量x的更新}$$y^{k+1} = y^k + \alpha^k (Ax^{k+1}-b)\quad \text{对偶变量y的更新}$注：如果 f(x) 是线性的，可以看到 L(x,y) 基本⽆下界，也就是说 x 的更新不可以求解，这是未来使⽤增⼴拉格朗⽇函数的原因之⼀四、对偶分割对偶分割简单点说，就是假设⽬标函数可分，则对偶函数同样可分，这⾥给出简单的证明。
admm 分布式算法
ａｄｍｍ分布式算法ADMM分布式算法ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）分布式算法是一种用于解决大规模优化问题的算法，它可以将一个大规模的优化问题分解成多个小规模的子问题，并通过迭代求解这些子问题来得到原始问题的最优解。
该算法具有高效、可扩展性强、容错性好等特点，因此在分布式计算领域得到了广泛应用。
一、ADMM算法原理1.1 ADMM算法流程ADMM算法可以用下面的流程图表示：其中，P表示原始问题，x表示原始问题的变量，z和u是辅助变量，ρ是惩罚参数。
1.2 ADMM算法步骤ADMM算法的具体步骤如下：（1）初始化变量x、z和u；（2）重复执行以下步骤直至收敛：a. 固定z和u，求解x；b. 固定x和u，求解z；c. 更新u。
二、ADMM算法优缺点2.1 优点（1）高效：ADMM算法可以将一个大规模的优化问题分解成多个小规模的子问题，并通过迭代求解这些子问题来得到原始问题的最优解。
这种分解方式可以减少计算量，提高计算效率。
（2）可扩展性强：ADMM算法可以应用于分布式计算环境中，各个节点可以独立地求解自己的子问题，并通过通信协议将结果交换，最终得到全局最优解。
（3）容错性好：ADMM算法在分布式计算环境中具有容错性好的特点。
如果某个节点出现故障或者网络连接中断，其他节点仍然可以继续运行，并最终得到全局最优解。
2.2 缺点（1）收敛速度慢：ADMM算法的收敛速度比较慢，需要进行多次迭代才能得到最优解。
（2）对参数敏感：ADMM算法的性能受到惩罚参数ρ的影响。
如果惩罚参数选择不当，可能会导致算法无法收敛或者收敛速度非常慢。
三、ADMM算法应用场景ADMM算法广泛应用于分布式计算领域中的大规模优化问题求解。
例如：（1）图像处理：图像处理中经常需要对大量数据进行处理和分析，而且这些数据通常都是高维度的。
admm算法初始点 -回复
admm算法初始点-回复ADMM算法初始点，指的是在开始迭代之前，需要确定ADMM算法中各个变量的初始值。
ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）算法是一种常用的优化算法，用于求解具有特定结构的优化问题。
在该算法中，问题被分解为若干子问题，并通过迭代的方式求解。
本文将详细介绍ADMM算法的初始点选择问题，并探讨如何选择合适的初始点，以及初始点选择对算法收敛性的影响。
首先，回顾一下ADMM算法的基本思想。
ADMM算法被广泛应用于凸优化问题的求解。
对于一个最小化问题：minimize f(x) + g(z)，subject to Ax + Bz = c其中，f(x)和g(z)是两个光滑的凸函数，x和z是待求解的变量，A和B 是给定的常数矩阵，c是常向量。
ADMM算法的基本思想是引入一个拉格朗日乘子y，通过以下迭代步骤求解x和z：1. 令x^(k+1) = argmin f(x) + (ρ/2) Ax + Bz^k - c + y^k/ρ^22. 令z^(k+1) = argmin g(z) + (ρ/2) Ax^(k+1) + Bz - c + y^k/ρ^23. 更新y^(k+1) = y^k + ρ(Ax^(k+1) + Bz^(k+1) - c)其中，ρ是一个正数，称为步长参数，k表示迭代次数。
接下来，我们来探讨ADMM算法初始点的选择问题。
初始点的选择对ADMM算法的收敛性和性能具有重要影响。
一般来说，初始点如果设置不合适，可能会导致算法失效或收敛速度较慢。
所以，如何选择好的初始点是一个值得研究的问题。
在ADMM算法中，初始点的选择通常有两种常用的策略：零初始点和近似解初始点。
零初始点指的是将所有的变量初始值都设置为零向量，即x^0 = 0，z^0 = 0，y^0 = 0。
这种选择方式简单直观，但在某些情况下可能会导致算法收敛慢或失效。
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(2 x 3 y 5) 2
ADMM算法应用实例
• • • • • • 求解步骤如下 1） xk yk k 0 2） x arg min L ( x, y , ), 3） y arg min L ( x , y, ), k 1 k k 1 k 1 (2 x 3 y 5) 4） k 1 pri k 1 dual if s and , stop. Else, goto 2) 5） 2 2
ADMM算法原理
2015-12-3
提纲
• ADMM算法原理介绍 • ADMM算法应用实例
ADMM算法原理介绍
• Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) 交替方向乘子法 • 设计于1970年代，在求解大规模分布式凸 优化问题中具有广泛应用。 • 凸优化：目标函数和约束均为凸；
k 1 k k 0 x 3
k 1 k 1 k 1 y 4
ADMM算法应用实例
• MATLAB仿真结果如下：
0.8
x opt=0.53846, y opt=1.3077 1.8 1.6 1.4 x y
0.7
Optimal decision variables
0.6
Objective function
-8
0
5
10
15 20 Iteration number
25
30
35
0
5
10
15 20 Iteration number
25
30
35
– 其中：
ADMM算法应用实例
• 求解下列最优化问题
min ( x 1) 2 ( y 2) 2
x, y
s.t. 0 x 3, 1 y 4, 2x 3y 5
• 增广拉格朗日函数为：
L ( x, y, ) ( x 1) 2 ( y 2) 2 (2 x 3 y 5)
凸函数的特征
• 凸集合与凸函数
ADMM算法原理
• ADMM求解最优化问题
ADMM算法原理
• 增量拉格朗日函数
ADMM算法原理
• 分解原问题，并各自求解
ADMM算法原理
• 分解原问题，并各自求解
ADMM算法原理
• 收敛性
ADMM算法原理
• 停止条件
– 对偶残差： – 主残差： – 同时满足下面的不等式：
1.2 1 0.8 0.6 0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2 0
0.1
0
5
10
15 20 Iteration number
25
30
35
0
5
10
15 20 Iteration number
25
30
35
ADMM算法应用实例
• MATLAB仿真结果如下：
10 10 10 10 10 10 10 10 10
1 0
Primal residual Primal feasibility
10 10 10 10 10 10 10 10 10
0
-1
Dual residual Dual feasibility
-1
-2
-2
-3
Primal residual
-3
Dual residual
-4
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7