15-第1讲义5讲微分中值定理

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微分中值定理PPT课件

f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
f (1) f (0) f ()
10
2
即 f () 2[ f (1) f (0)].
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0
由
的任意性知,
在 I 上为常数 .
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
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例5 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
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y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
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注意:
1. Lagrange定理是罗尔定理的推广.
2.等价形式 f (b) f (a) f ( ).
ba 3.设 f ( x)在 (a, b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
即 f '() 0

5第五章微分中值定理及其应用

第五章微分中值定理及其应用教学目的:通过微分学基本定理的介绍,揭示函数与其导数之间的关系,使同学在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁.教学要求:掌握微分学基本定理的条件和结论及几何意义,并学会应用它解决理论证明和实际应用问题.§1 微分中值定理引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。

这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。

但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。

一费马定理定义1（极值）若函数f 在区间X 上有定义，0x X ∈。

若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0(,)x O x δ∈，有0()()f x f x ≥，则称f 在点0x 取得极大值，称点0x 为极大值点。

若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤，则称f 在点0x 取得极小值，称点0x 为极小值点。

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。

极值存在的必要条件――费马定理若函数在点0x 的邻域内有定义，且在点0x 可导。

若0x 为f 的极值点，则比有0()0f x '=。

何几意义：可导极值点的切线平行于x 轴。

由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。

如3()f x x =,点x=0是稳定点，但不是极值点。

二中值定理 1、 Lagrange 定理若函数f 满足以条件：（1）f 在[],a b 上连续；（2）f 在(),a b )内可导。

微分中值定理

微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。

其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。

一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。

希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。

意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。

1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。

费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。

当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。

2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。

这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。

现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。

第一讲微分中值定理

第一讲微分中值定理教学目的使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理,拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题．教学重点使学生深刻理解微分中值定理的实质．教学难点拉格朗日中值定理的证明．教学学时 2学时教学过程上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法．学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础．微分中值定理包括: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理．一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图1.设图1中曲线弧AB是函数)(x fax∈的图形．这(b[,y=])是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于X 轴的切线，即)(x f 在),(b a 内处处可导．且两端点处的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现在曲线弧AB 的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线．如果记曲线弧AB的最高点C 的横坐标为ξ，则()0'=ξf ．若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理．罗尔定理若函数满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马()Fermat 定理．费马定理设函数()x f 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有()()0x f x f ≤()()()0f x f x ≥或，则()00'=x f ．分析为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义．不妨设0()x U x ∈时，()()0x f x f ≤．于是，对于00()x x U x +∆∈，有()()00f x x f x +∆≤，从而当0>∆x 时，()()000≤∆-∆+x x f x x f ；当0<∆x 时，()()000≥∆-∆+x x f x x f ．由于函数()x f 在0x 处可导，上述两式的左端当0→∆x 时极限皆存在，因此由极限的保号性知()()()()0lim 0000'0'≤∆-∆+==+→∆+x x f x x f x f x f x ，()()()()0lim 0000'0'≥∆-∆+==-→∆x x f x x f x f x f x ．所以，()00'=x f ．类似地可证明0()x U x ∈时，()()0x f x f ≥的情形．通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)．费马定理告诉我们，若函数在0x 点可导，且函数在0x 点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点0x 处的导数一定为零，即()00'=x f ．由图1知，函数()x f 在ξ处取得了局部的最大值．因此，根据费马定理不难证明罗尔定理．罗尔定理的证明由于()x f 在[]b a ,上连续，所以()x f 在[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样，只有两种可能的情形：(1) m M =．此时对于任意的[]b a x ,∈，必有()M x f =．故对任意的()b a x ,∈，有()0'=x f ．因此，()b a ,内任一点皆可作为我们找的ξ．(2) m M >．因为()()b f a f =，所以M 和m 中至少有一个不等于()a f ．不妨设()a f M ≠，则在()b a ,内必有一点ξ，使得()M f =ξ．又因为对于任意的[]b a x ,∈，有()()ξf x f ≤，且()f ξ'存在．故由费马定理知，()0'=ξf ．类似可证()a f m ≠的情形．罗尔定理成立．例1 不求出函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()'0f x =有几个实根，并指出它们所在的区间．分析讨论方程()0'=x f 的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，ξ实际上是方程()0f x '=的根．而讨论这类问题的基本思路是，在函数()x f 可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间．而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．ξ即为方程()0'=x f 的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围．对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程()0'=x f 至多有两个实根．而由函数()x f 的表达式知，()()()321f f f ==．因此，[]1,2和[]2,3就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程()0'=x f 的一个实根．解因为()x f 在[]2,1和[]3,2上连续，在()2,1和()3,2内可导，且()()()1230f f f ===，所以由罗尔定理知，在()2,1内至少存在一点1ξ，使得()01'=ξf ，在()3,2内至少存在一点2ξ，使得()02'=ξf ．1ξ和2ξ都是方程()0f x =的实根．又由代数学基本定理知，方程()0'=x f 至多有两个实根，所以方程()0'=x f 必有且只有两个实根，它们分别位于()2,1和()3,2内．小结利用函数的性质讨论()0'=x f 的根(也称为()x f '的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法．二、拉格朗日中值定理罗尔定理中()()b f a f =这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的．由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制．我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把()()b f a f =这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2．设图2中曲线弧AB 是函数)(x f y =]),[(b a x ∈的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即()()f a f b ≠．不难发现在曲线弧AB 上至少有一点c ，使曲线在点ｃ处的切线平行于弦AB ．若记c 点的横坐标为ξ，则曲线在c 点处切线的斜率为()ξ'f ．而弦AB 的斜率为()()a b a f b f --．因此()()()ξ'f ab a f b f =--()()()()()a b f a f b f -=-ξ'或．若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日()Lagrange中值定理．拉格朗日中值定理若函数()x f满足(1)在闭区间[]b a,上连续；(2)在开区间()b a,内可导，则在()b a,内至少存在一点ξ，使得()()()()abfafbf-=-ξ'()()()⎪⎭⎫⎝⎛=--ξ'fabafbf或．（１）从图1可以看到，在罗尔定理中，由于()()b faf=，弦AB是平行于x轴的，因此点c处的切线不仅平行于x 轴，实质上也是平行于弦AB的．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题．由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数()x f不一定具备()()b faf=这个条件，为此我们设想构造一个与()x f有密切联系的函数()xϕ(称为辅助函数)，使()xϕ满足条件()()baϕϕ=及罗尔定理的另外两个条件，并对()xϕ应用罗尔定理，然后再把对()xϕ所得的结论转化到()x f上，从而使拉格朗日中值定理得到证明．这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数()x ϕ呢？若记图2中弦AB 的方程为()x L y =，那么根据所构造的辅助函数()x ϕ需要满足的条件，通过对图2的观察，我们不难发现()()x L x f -这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数．为什么呢？首先，若我们记()()()x L x f x -=ϕ，则函数()x ϕ与()x f 有着密切的联系；第二，由于曲线弧AB 与弦AB 在B A ,两点相交，因此，()()()0=-=a L a f a ϕ，()()()0=-=b L b f b ϕ，即()()b a ϕϕ=；第三，由于函数()x f y =和()x L y =在[]b a ,上都连续,在()b a ,内都可导，因此()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件．至于对()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明．拉格朗日中值的证明弦AB 的直线方程为()()()()()a x a b a f b f a f x L ---+=．因此，函数()()()()()()a b ab a f b f a f x f x -----=ϕ, (2)且()()()()a b a f b f x f x ---=''ϕ．对函数()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理知，在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()0'=---a b a f b f f ξ，()()()ξ'f a b a f b f =--．定理得证．由上述证明可知，函数()x ϕ正是我们所需要的那个辅助函数．现在回过头来看一看辅助函数()()()x L x f x -=ϕ的几何意义是什么？在图2的闭区间[]b a ,上任取一点x ，并过x 作与纵轴平行的直线，交弧AB 于M ，交弦AB 于N ，则有向线段NM 的值恰好是我们所构造的辅助函数()()()x L x f x -=ϕ．其中()x f 为M 点的纵坐标，()x L 为N 点的纵坐标．几点说明：(1) 显然，公式()1对于a b <也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．(2) 设x 为区间[]b a ,上一点，x x ∆+为该区间内的另一点()00<∆>∆x x 或，则公式（１）可写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+=-∆+θ'()10<<θ． ()3(3) 若记()x f 为y ，则()()x f x x f y -∆+=∆，于是()3式又可写成()x x x f y ∆⋅∆+=∆θ'()10<<θ． ()4我们知道，若函数()x f y =在x 处可微，则()y dy o x ∆=+∆．这时可以用函数()x f y =的微分()x x f dy ∆='来近似地代替函数增量y ∆，并且所产生的误差()x dy y ∆=-∆ 是比x ∆高阶的无穷小．但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而()4式给出了自变量取得有限增量x ∆()不一定很小x 时，函数增量的微分精确表达式．因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，()4式也称为有限增量公式．拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理．利用它可实现用导数来研究函数的变化．作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题．我们知道，如果函数()x f 在某一区间上是一个常数，则()x f 在该区间上的导数恒为零．那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题．定理若函数()x f 在区间I 上的导数恒为零，则()x f 在区间I 上是一个常数．证在区间I 上任取两点21,x x ()21x x <，应用()1式即得()()()()12'12x x f x f x f -=-ξ()21x x <<ξ．由题设知()0'=ξf ，所以()()012=-x f x f ，即 ()()12x f x f =．因为21,x x 是I 上任意两点，所以()x f 在区间I 上是一个常数．这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用．下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式．例2 证明当0>x 时， ()x x x x <+<+1ln 1．分析拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我们知道，在拉格朗日中值公式中()b a ,∈ξ，而不知道ξ具体等于多少？但根据ξ在b a ,之间的取值却可以估计出()ξ'f 的取值范围，或者说可以估计出()ξ'f 取值的上下界．分别用()ξ'f 取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的()ξ'f ，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路．用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数()f x 和相应的区间[]b a ,．那么怎样去找函数()x f 和相应的区间[]b a ,呢？注意，拉格朗日中值公式()()()ξ'f a b a f b f =--的左端是很有特点的，它恰好是函数()x f 在区间[,]a b 上的增量与区间[]b a ,的长度之比．因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为()()a b a f b f --的形式，就不难确定函数()x f 和相应的区间[]b a ,了．对于本例来讲，首先我们可以做如下的变形：()11ln 11<+<+x x x ，()()1001ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为()x +1ln ，相应的区间为[]x ,0．如果我们对原不等式再做另外一种变形，即()11ln 11<+<+x x x ，()()1111ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为x ln ，相应的区间为[]x +1,1．确定了所需要的函数()x f 及相应的区间[]b a ,后，接下来就是对函数()x f 在[]b a ,上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界了．证方法一设()()x x f +=1ln ，显然()x f 在区间[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件．拉格朗日中值定理得()()ξξ+==+111ln 'f x x x <<ξ0由于x <<ξ0，所以11111<+<+ξx ，即()11ln 11<+<+x x x ，()x x x x <+<+1ln 1．方法二设()x x f ln =，显然()x f 在区间[]x +1,1上满足拉格朗日中值定理的条件．对函数()x f 在区间[]x +1,1上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界进行估计，即可证得本例中的不等式．具体证明过程请同学们课后完成．总结(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领．(2) 由例2的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数()x f 并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配．三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线()x f y =的弧AB 上，处端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在该弧上至少存在一点c ，使曲线在c 点处的切线平行于弦AB ．若我们不用()x f y =来表示连续的曲线弧AB ，而用参数方程来表示连续的曲线弧AB ，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？设连续的曲线弧AB 由参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X ()b x a ≤≤表示，见图3 ，其中x 为参数．那么利用参数方程求导公式，曲线上点()Y X ,处切线的斜率为 ()()x F x f dx dy ''=，弦AB的斜率为()()()()a F b F a f b f --．假定点c 对应于参数ξ=x ，那么曲线上点c 处的切线平行于弦AB 可表示为()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--．与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西()Cauchy 中值定理．柯西中值定理若函数()f x 及()F x 满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，()0'≠x F ，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--． ()5证首先我们来证明在已给条件下()()0≠-a F b F ．显然函数()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有()()()()a b F a F b F -=-η'()b a <<η．由于b a <<η，由假定知()0'≠ηF ，又0≠-a b ，所以 ()()0≠-a F b F ．类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段NM 的值的函数()x ϕ作为辅助函数，见图3 ．这里点M 的纵坐标为 ()x f Y =，点N 的纵坐标为()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f Y ---+=，于是 ()()()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f x f x -----=ϕ．由假定知，函数()x ϕ在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()0==b a ϕϕ，()()()()()()()x F a F b F a f b f x f x '''---=ϕ．因此，()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，故在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()()()()0''=---ξξF a F b F a f b f f ．由此得 ()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--，定理证毕．很明显，如果取()x x F =，那么()()()1,'=-=-x F a b a F b F ，因而公式()5就可以写成()()()ξ'f a b a f b f =--，这样就变成了拉格朗日中值定理．由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．显然公式()5对于a b <也成立，()5式称做柯西中值公式．最后我们需要指出，不论是罗尔定理、拉格朗日中值定理，还是柯西中值定理，它们的本质都是：若在一条连续的曲线弧AB 上，除其端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点c ，使曲线在c 处的切线平行于弦AB ．当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标相等时，我们就得到了罗尔定理；当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标不相等时，我们就得到了拉格朗日中值定理；当弧AB 用参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X , ()b x a ≤≤表示，我们就得到了柯西中值定理．罗尔定理．拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系如下： f ξ'=−−−−→ 推广 ()()f a f b =←−−−−特殊情形()()()f b f a f b a ξ-'=- 推广F x x =←−−−−−特殊情形()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-。

§3.1-微分中值定理PPT课件

1 x2
1 x2
f ( x) C , x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 ,
即
C
.
arcsin
x
arccos
x
2
.
2
2
2
说明欲证x I , f ( x) C0 ,只需证在 I上
f ( x) 0,且 x0 自证 arctan x arc
则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
广义微分中值定理
20
微分中值定理
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积分在几何上的应用》等, 有思想有创建, 对数学的影响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.
0
由条件,则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两
点的函数值都相等,所以, f ( x) C.
17
微分中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证设 f ( x0) arcsin x0 arccos 0x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.由推论
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
x1
1 (4 3
37),

数学《微分中值定理及其应用》讲义

第六章微分中值定理及其应用1. 教学框架与内容教学目标①掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．②了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限．③理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．④掌握函数的极值与最大(小)值的概念．⑤掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．⑥掌握函数图象的大致描绘．教学内容①罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；用导数判别函数的单调性.②柯西中值定理；洛必达法则求各种不定式极限．③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．④函数的极值的第一、二充分条件; 求闭区间上连续函数的最值及其应用．⑤函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式; 左、右导数的存在与连续的关系.⑥根据函数的性态表以及函数的单调区间、凸区间，大致描绘直角坐标系下显式函数图象.2. 重点和难点①中值定理证明中辅助函数的构造.②洛必达法则定理的证明.③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明.④函数的极值的第三充分条件.⑤运用詹森不等式证明或构造不等式.⑥参数形式的函数图象.3. 研究性学习选题● 如何运用中值定理对一些习题整理归类，思考中值定理的应用技巧(构造函数).● 利用导数证明不等式总结利用导数证明不等式的方法.● 不定式极限回顾总结求函数极限的方法.● 运用泰勒公式求极限，等价无穷小的代换问题.总结常见函数的泰勒公式,举例说明其在求不定式极限中的应用, 分析等价无穷小的代换问题.● 凸函数性质研究总结凸函数的性质.4. 综合性选题，写小论文★如何构造辅助函数.5. 评价方法◎课后作业，计30分.◎研究性学习布置的五个选题(选最好的两个计分)合计30分.◎小论文计10分.◎小测验计30分§1 中值定理和函数的单调性在这一章，我们主要由导函数f '的性质来推断函数f 本身的性质(主要研究f 的单调性，凸凹性，图像等) 而微分中值定理是我们研究的主要工具(微分中值定理主要包括Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理及Taylor 公式) 我们首先介绍Rolle 中值定理. 一、中值定理 1．Rolle 中值定理定理 (Rolle ) 设函数f 满足下列条件: 1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导; 3) ()()f a f b =,则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.Rolle 中值定理的几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，如果两端点的高度相同，则该曲线至少存在一条水平切线.注1 Rolle 定理的条件仅充分而不必要且缺一不可. (作图说明)例1 证明: 10x x ++=3只有一个实根且在(1,0)-中. 2．Lagrange 中值定理定理 (Lagrange ) 设函数f 满足下列条件：1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导, 则在(,)a b 内至少∃一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义在满足定理条件的曲线()y f x =至少存在一点(())P f ξξ，, 使得曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.注 2 中值点(,)a b ξ∈对ξ的不同表示有不同形式的Lagrange 公式a) ()()()()f b f a f b a ζ'-=-, (,)a b ξ∈; b) ()()(())()f b f a f a b a b a θ'-+--＝, 01θ<<; c) ()()()f a h f a f a h h θ'+-=+, 01θ<<.推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '≡，x I ∈, 则f 在I 上恒为常数.推论 2 设f ,g 在区间I 上均可导, 且()()f x g x ''≡, x I ∈则存在常数c , 使得()()f x g x c =+，x I ∈.推论3 设f 在区间I 上可导，且()f x M '≤，则任何12x x I ∈，,1212()()f x f x M x x -≤-从而导函数有界的函数必一致连续 (Lipschitz 连续).推论4 (导数极限定理) 设f 在0x 点某邻域0()U x ＋内连续，在00()U x ＋内可导，且极限00lim ()(0)x x f x f x +→''=+存在，则f 在0x 右可导，且 000()lim ()(0)x x f x f x f x ++→'''+＝＝对左导数有类似的结论，事实上，我们有下面的定理.定理设函数f 在0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x ︒可导，若极限0lim ()x x f x →'存在，则0()f x '存在且00()lim ()x x f x f x →''=.注 3 由导数极限定理与导数具有介值性(Darboux 定理)知, 若函数f 在区间I 上可导，则在区间I 上的每一点，要么是()f x '的连续点，要么是'f 的第二间断点，即导函数不可能有第一类间断点.推论5 若f 在[,]a b 上可导，且f '单调，则f '必连续. (导数极限定理适用于求分段函数的导数) 例2 求分段函数()f x 的导数. [说明定理的作用]sin ,()ln(1),x x x f x x x ≤⎧+=⎨>+⎩２0,0,注4 对推论5，当0(0)f x '+不存在时，未必有0()f x '不存在.例3 设sin , () 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩２１0,0,求(00)f '+，(0)f '.3. Cauchy 中值定理定理 (Cauchy ) 设函数f 和g 满足1) 在[,]a b 上连续; 2) 在(,)a b 上可导; 3) ()f x '和()g x '不同时为零; 4) ()()g a g b ≠,则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 几何意义证明 (先给一个错误证明)(如何构造函数?)一般的中值定理设f ,g [,]a b R →连续且(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈, 使得[()()]()()[()()]f b f a g f g b g a ξξ''-=-.注5 上式不过是Cauchy 定理形式上的变形，但条件更简单，因而更具一般性. 例 4 考察2()f x x =，3()g x x =，[1,1]x ∈-相应的中值形式.二、中值定理的应用1. 证明中值点的存在--------关键构造函数例5 1) 设f 在闭区间[,]a b (0)a >上连续,(,)a b 内可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得()()ln()()bf b f a f aξξ'-=⋅⋅.2) 对函数()f x x =２确定()()()f x h f x h f x h θ'+-=⋅+中的θ, 1()2θ=.例6 设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 上可导, 且()()0f a f b ==，试证明:存在(,)a b ξ∈使()()0f f ξξ' +=. (多种变形)2. 证明恒等式 (原理: 证明其导数为0，再任取一特殊值) 例7 证明: 对任何x R ∈，arctan arccot x x π+=2.例8 设f ,g 可导且()f x ≠0，又()()0()'()f xg x f x g x='，则存在常数c , 使得()()g x c f x =⋅. (若条件改作()()()()0f x g x f x g x ''+=，则结论应为?)例9 设函数f 对任何,x h R ∈，2()()f x h f x Mh +-≤，0M >为常数，则f 为常值函数.3. 证明不等式 (利用中值定理，估计中值或(0,1)θ∈) 例10 证明0h >时，2arctan 1hh h h <<+例11 (Bernoulli 不等式) 对1x >-有 1) (1)1p x px +≥+，若0p ≤或1p ≥; 2) (1)1p x px +≥+，若0p ≤≤1; 等号当且仅当0p =或1p =或0x =成立.4. 证明方程根的存在性 [注意利用连续函数介值性与导数中值定理的区别] 例12 证明: 方程sin cos 0x x x +⋅=在(0,)π内有实根.例13 证明: 方程32432+ax bx cx a b c ++=+在(0,1)内有实根.5. 研究函数的单调定理设f 在区间I 上可导，则f 在I 上递增(减)⇔()()00f x x '≥≤，x I ∈.定理设f 在(,)a b 上可导，则f 在(,)a b 内单调严格递增(减)⇔ 1) (,)x a b ∀∈，()()00f x '≥≤2) f 在(,)a b 的任何区间上()0f x '≡推论 6 若f 在区间I 上可导, ()()00f x '><，则f 在I 上严格递增(减)推论 7 若f 在区间I 上可导，则f 在f '的相邻零点之间必严格单调. (说明多项式函数必有有限个单调区间)例14 设()f x x x =-３，求f 的单调区间.例15 证明: 1) 1x x >+e ，()0x ≠;2) ()()22ln 1221x x x x x x -<+<-+. 0x >.例16 利用函数单调性，重证Bernoulli 不等式(利用()f x '')例17 证明: 0x >时，sin x x x >-33!.练习 1) x >１2时，2ln(1)arctan 1x x +>-.2) tan (0)sin 2x x x x x π<<<.习题1. 用中值定理证明sin sin x y x y -≤-，,x y R ∀∈.2. 若f 在[,]a b 上可导，且'()f x m ≥，则()()()f x f a m x a ≥+- [,]x a b ∀∈3. 证明：函数()f x 在1(0,)π上存在ξ，使得'()0f ξ=，其中11sin 0()0x x f x xx π⎧⋅<≤⎪=⎨⎪=⎩4. 求函数2()3f x x x =-的单调区间.5. 证明: 若函数g f ,在区间],[b a 上可导,且)()(),()(a g a f x g x f ='>', 则在],(b a 内有)()(x g x f >.6. 应用函数的单调性证明下列不等式:1) )3,0(,3tan 3π∈->x x x x ;2)2sin xx x π<< (0,)2x π∈.3) 0,)1(2)1ln(222>+-<+<-x x x x x x x . 7. 设f 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，且存在点(,)c a b ∈使得()0f c >，证明: 至少存在一点(,)a b ξ∈使得"()0f ξ<.8. 设f 在[,]a b 上n 阶可导，若f 在[,]a b 上有1n +个零点，求证：()n f 在[,]a b 上至少有一个零点.9. 试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间]1,1[-上能否应用Cauchy 中值定理得到相应的结论, 为什么?10. 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数, 证明: )()(2)()(lim2a f ha f h a f h a f h ''=--++→. 11. 设函数f 在点a 的某个领域具有二阶导数, 证明: 对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f h a f h a f h a f θθ-''++''=--++. 12. 若f 在[,]a b 上可微，则存在(,)a b ξ∈, 使得22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.13. 设f 在[,]a b 上连续, (,)a b 上可导,且()()0f a f b ==,证明:对任何R λ∈, 存在c R ∈,使得 '()()f c f c λ=.14. 设f 在R 上可导,且x R ∀∈,'()1f x ≠, 证明: 方程()f x x =至多有一个根. 15．设)(x p 为多项式, a 为0)(=x p 的r 重实根. 证明: a 必定是函数)(x p '的1-r 重实根.16．设0,>b a .证明方程b ax x ++3=0不存在正根. 17．证明:x x x x sin tan >,)2,0(π∈x .§2 未定型极限未定型(不定式)00 ∞∞(∞⋅∞∞-∞∞000，，0，1，等) 以导数为工具研究上述未定型极限，该方法称为'L Hospital 法则一、0型未定型极限定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足1) 0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==; 2) 在0x 的某去心邻域0()U x ︒都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A R A ∈=±∞∞，，,则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例1 1) 0sin lim x xx→ 2) 132lim 1x x x x x x →-+--+33２3) lim (arctan )x x x π→+∞-2 4) 21cos lim cos tan x xx xπ→++5) 0lim x +→ 6) 012limln(1)xx e x x →-++１2２()7) 20ln(1sin 4)lim arcsin x x x x →++() 8) 02lim sin x x x e e x x x-→---注1 1) 在定理中，0x x →可改作0x x x x →→±∞→∞+，，等2) 若f g ''，或f g ''''，满足定理条件，可多次应用L 法则 3) 'L Hospital 条件仅是充分的，而不必要，即()lim()x x f x g x →''不存在0()lim ()x x f x g x →⇒不存在.例2 1) cos lim x x x x →∞+ 2) 0sinlim sin x x x x →⋅２１二、∞∞型未定型极限定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足 1) 0lim ()() (lim ())x x x x g x f x →→=+∞-∞未必为无穷;2) 若0x 的某右去心邻域0()U x ︒内f ，g 都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A A =±∞∞可看作实数或，, 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例3 1) ln lim x xx→+∞ 2) lim x x x e →+∞３----------回顾阶的比较3) 0ln(sin )limln(sin )x ax bx → 4) 2tan lim tan 3x xx π→三、其他未定型极限 1. 0⋅∞型 000∞⋅∞==∞ 例4 1) 0lim ln x x x +→ 2) 01limcot ln 1x xx x→+⋅-.2．∞-∞型 110000∞-∞=-= 例5 1) 011lim()sin x x x →- 2) 11lim()-1ln x x x x→-.3. 00型 0ln 00ln 000ee e ⋅⋅∞===例6 1) 0lim xx x +→ 2) 1ln 0lim sin kxx x ++→.4．1∞型ln1ln101ee e ∞∞∞⋅∞⋅===例7 1) 111lim xx x -→ 2) ()21lim cos x x x →.5: 0∞型ln 0ln 0ee e ∞⋅∞⋅∞∞===.例8 1) ln lim ()xx x →+∞１ 2) ln 0lim(cot )xx x +→１.练习 P 133　5.例9 设()()0x g x f x xx ≠⎧⎪=⎨⎪=⎩00, 已知(0)(0)0g g '==，(0)g ''=3，试求(0)f '.例10 证明2()x f x x e -=3为R 上的有界函数.习题1. 求下列未定型极限1) 01lim sin x x e x →- 2) 612sin lim cos3x xx π→-3) 0ln(1)lim1cos x x x x →+-- 4) 0tan lim sin x x xx x→--5) 011lim()1x x x e →-- 6) 111lim xx x -→7) sin 0lim(tan )x x x → 8) 22011lim()sin x x x→- 2. 考虑下列极限应用'L Hospital 法则的可能性.1) lim x →+∞ 2) sin lim sin x x xx x →∞-+3. 计算1) 0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-++ 2) 211000lim x x e x -→3) 30tan sin limx x x x →- 4) 201cot lim x x xx →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5) ln lim(ln )xx x x x →+∞ 6) 10(1)lim xx x e x→+-7) 20()lim x x x a x a x →+- 8) 10lim()x xx x e →+9) 1110lim (,,0)xx xnn x a a a a n →⎛⎫++> ⎪⎝⎭4. 教材1337P .5. 证明: 2()ln(1)/f x x x =+在(1,)+∞上有界.§3 Taylor 公式多项式函数是一种简单的函数，因而对任一函数，我们考察是否存在相应的多项式去逼近该函数. 在讨论这个问题之前，我们还是应先讨论一下多项式函数本身的性质.设012()...()n n n P x a a x a x a x a ++++≠２ｎ＝0, 易见0(0)n a P =，1(0)n a P '=，……，()(0)!n nn P a n ＝自然对于一般的函数f , 假设它在0x 处有直到n 阶的导数，由这些导数构成了一个新的多项式，记为：()00000()()()()()()!n n n f x T x f x f x x x x x n '= +- +...+-此时n T 与f 有何类的性质？00()()k k n T x f x =()() k n ≤≤(0)因而我们说()n T x 与f 在某种意义下“很接近” , 称()n T x 为f 在0x 处的Taylor多项式,而()n T x 的系数()0()!k f x k 称为Taylor 系数，记()()()n n R x f x T x =-称为余项. 我们将证明0()n n R x x x =-o(())，这实际就是带Peano 余项的Taylor 展式.一、带Peano 余项的Taylor 公式——误差的定性刻画定理若函数f 在0x 处存在直至n 阶导数，则有0()()n n f x T x x x =+-o(())即()200000000()()()()()()()()!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n '''=+-+-++-+-...o(())2!.上述公式我们就称为f 在0x 处的Taylor 公式, ()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0n o x x -(())的余项称为带Peano 余项的Taylor 公式.注 1 00x =时，称()2(0)(0)()(0)(0)!n nn f f f x f f x x x x n '''=+++++...o()2!为带Peano 余项的Maclaurin 公式. 例1 验证下列Maclaurin 公式.1) 1!nxn x x e x o x n =+++++２...()2!2) ()11sin 1 (1)(1)!m m m x x x x o x m --=-+++-+-35223!5!2 3) 1cos 1...(1)(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+２４22()2!4! 4) 1ln(1)1...(1)nn n x x x x o x n-+=-+++-+２３()23 5)11n n x x x o x x=+++++-２1...() 6) (1)(1)1(1)1!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++２()...()2!1(1)(23)!!1(2)!!n nn n x x x o x n ---=+++++２11!!...()24!! 二、带Lagrange 型余项的Taylor 公式——误差的定量刻画定理若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在1n +阶导函数，则对任何0[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得()20000000()()()()()()()()!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-...2!(1)10()()(1)!n n f x x n ξ+++-+称为Lagrange 型余项，故上式又称为带有Lagrange 型余项的Taylor 公式，而00x =时，()(1)21(0)(0)()()(0)(0)!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=++++++...2! (0,1)θ∈ 称为(带Lagrange 型余项的) Maclaurin 公式. 例 2 将例1中的公式改为带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式1) 11!1n xxn x x e e x x n n θ+=++++++２...2!()!, 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 2) 1121cos sin 1...(1)(1)(1)!(21)!m m m m x x x x x xm m θ--+=-+++-+--+3523!5!2 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞3) 122cos cos 1...(1)(1)(2)!(22)!mm m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+２４22!4! 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞4) 111ln(1)1...(1)(1)(1)(1)nn n nn x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++２３23 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞5) 1111(1)n nn x x x x x x θ++=+++++--２1... 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 6) (1)(1)1(1)1!n n x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=++++２()...2!11(1)(1)(1)!n n n x x n ααααθ--+-⋅⋅⋅-+++()01θ<<，(,)x ∈-∞+∞三、函数的Taylor 公式(Maclaurin 公式) 1. 直接展开(例1,例2)例3 将tan y x =展到含5x 的具Peano 余项的Maclaurin 公式2. 间接展开利用已知的展开式施行代数运算或变量代换,求得新的展开式. 例4 1) 分别求2sin x ，22x e -具Peano 余项的Maclaurin 展式;2) 求2cos x 的具Peano 余项的Maclaurin 展式; 3) 求35x+1在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;4) 分别求23x x --21在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式;5) 求2x x -２1+3在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式.四．Taylor 公式的应用举例 1. 利用Taylor 公式求极限例5 1) 2240cos lim x x x e x -→-.2) 02lim x x x a a x-→+-２.3) 21lim[ln(1)]x x x x →∞-+.2. 利用Taylor 公式求高阶导数值例6 设22()x f x e -=，求98(0)f ，99(0)f .3. 计算函数的近似值例7 证明: e 为无理数，并求e 精确到610-的近似值.4. 利用展式证明不等式例8 若函数f 在区间[,]a b 上恒有()0f x ''≥，则对(,)a b 内任何两点12,x x 都有1212()()()2f x f x x xf ++≥2例9 设函数f 在[,]a b 上二阶可导，()()0f a f b ''==，证明: 存在一点(,)a b ξ∈使得 2()()()()f f b f a b a ξ''≥--4.例10 当[0,2]x ∈时，() ()f x f x ''≤≤1，1, 证明: |'()| 2.f x ≤5. 中值点的存在性及其性质例11 设f 在[,]a b 上三阶可导，证明: 存在(,)a b ξ∈, 使得3()()()[()()]()()2f b f a b a f a f b b a f ξ'''''=+-+--１１12例12 证明：若函数f 在点a 处二阶可导，且()f a ''≠0，则对Lagrange 公式()()()f a h f a f a h h θ'+-=+⋅ 01θ<<中的θ，有0lim h θ→=12.练习证明：若0x >，则存在11()[,]42x θ∈, 使得=;2. 01lim ()4x x θ→=，1lim ()2x x θ→+∞=.习题一、给出下列函数带Peano 型余项的Maclaurin 公式.1. ()f x =2. arctan x 到含5x 的项3.()tan f x x =到含5x 的项4. 2()sin f x x =5. ln(2)x +6. ln(1)x e x +到3x 的项二、利用Taylor 公式求下列函数极限1. 30sin (1)lim x x e x x x x →-+2. 201cot lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3. 21lim[ln(1)]x x x x→∞-+4. 20lim sin x x e x x x →+-5. 74lim x x →+∞三、求下列函数在指定点处的带Lagrange 型余项的Taylor 公式 1. ln(1)x +在1x =处 2.2123x x --在2x =处 3.sin x 在4x π=处四、求下列极限1. 12ln(1)1lim(1)x x x --→- 2. 20ln(1)lim x x xe x x→-+ 3. 201sinlimsin x x x x→⋅ 4. sin lim sin x x x x x →+∞-+ 五、设函数f 在[0,]a 上具有二阶导数,且"()f x M ≤,f 在(0,)a 内取最大值,求证 ''(0)()f f a Ma +≤. 六、设f 在[,]a b 上二阶可导, ''()()0f a f b ==. 证明:'2[,]4sup ()()()()x a b f x f b f a b a ∈≥--.§4 函数的极值与最值一、极值判别1.可微极值的必要条件----Fermat 定理定理 (Fermat ) 若f 在0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0()0f x '=. (可导的极值点必为驻点) . 可疑极值点: 驻点，不可导点. 2. 极值点的充分条件定理 (极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续，在其去心邻域0(,)U x δ︒内可导若 1) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≤0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≥0; 2) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≥0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≤0; [1)，2)说明f '在0x 两侧异号时] 则f 在0x 处取得极值. 若f '在0x 两侧不异号时，则f 在0x 处不能取得极值. 注在上述定理条件中未假设f 在0x 处可导.⎡⎤⎣⎦分析引入第二充分条件当f 在0x 不仅可导而且是二阶可导时，我们有定理 (极值的第二充分条件) 设f 在0x 的某邻域0U x δ(,)内一阶可导，在0x x = 处二阶可导，且00()0,()f x f x '''=≠0, 则 1) 若0()0f x ''<，则f 在0x 处取得极大值; 2) 若0()0f x ''>，则f 在0x 处取得极小值.[()]f x x =2利用去记忆例1 求()(2f x x =-的极值点与极值.例2 求()f x x x=+２432的极值与极值点.第二充分条件中0()0f x '=，0()f x ''≠0，若0()f x ''还等于0怎么办? 则我们可考察更高阶导数，一般地, 我们有定理 (极值的第三充分条件) 设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，而在0x 处存在n 阶导数(n 阶可导) 且0()0k f x =，1,2,...,1k n =-, ()0()0n f x ≠, 则1) 当n 为奇数时，f 在0x 不能取得极值;2) 当n 为偶数时，f 在0x 处取得极值且当()0()0n f x <时，取得极大值; 而()0()0n f x >时, 取得极小值. 例3 求3()(1)f x x x =-4的极值.注上述三个定理均为极值的充分条件，而非必要.例4 1) ,,()0,0,x x e f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩2１0在0x =处取得极小值，而()(0)0n f = ()n N ∀∈.2) 2,sin ,(),,x x f x xx ⎧≠⋅⎪=⎨=⎪⎩4１000在0x =处取得极小值，考察f 在0x =是否满足第一第二充分条件.二、函数的最值最值与极值的区别与联系，整体与局部，最值点(,)a b ∈，则最值点必为相应的极值点，所以可能的最值点为端点，极值点，进一步设f 在闭区间[,]a b 上连续，且仅有有限个可疑极值点12,(,)n x x x a b ∈,..., 则 {}1[,]max ()max (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=;{}1[,]min ()min (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=.注 1) 由最值性定理，闭区间上的连续函数必有最大最小值.2) 上述结论中可疑点为导数不存在及导数为0的点，而无需判断它们是否真的是极值点.例5 ()2912f x x x x =-+32在闭区间15[,]42-上的最大值与最小值.函数最值的几种特例 1) 单调函数的最值;2) 如果函数f 在区间[,]a b 上连续，且仅有唯一的极值点. 则若0x 是f 的极大(小) 值点，则0x 必是()f x 在[,]a b 上的最大(小) 值点. (反证) 3) 如果函数f 在区间[,]a b 上可导，且仅有一个驻点0x ，则结论与2)同. 4) 对某具有实际意义的函数，可常用实际判断确定函数的最大(小)值.例6 设,A B两村距输电线分别为1km，1.5km，CD长为3km，现两村合用一变压器供电，问变压器设在何处使输电线总长AE BE最短.例7 如图所示，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时使盒子的容积最大？例8 [无盖水箱的例子]习题1. 求下列函数的极值:1) 212)(x x x f +=; 2) )1ln(21arctan )(2x x x f +-= 2. 求函数543551y x x x =-++在[1,2]-上的最值与极值.3. 求函数242(1)()1x x f x x x +=-+的极值.4．设421sin ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 1) 证明:0=x 是极小值点;2) 说明f 的极小值0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5．设)(x f 在区间I 上连续,并且在I 上仅有唯一的极限值0x , 证明: 若0x 是f 的极大(小)值点, 则0x 必是)(x f 在I 上的最大(小)值点.6．有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V 时,要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器高的比例应该怎样?§5 函数的凸性, 拐点, Jensen 不等式一、凸性定义及判定 1. 凸函数定义(由直观引入，强调曲线弯曲方向与上升方向以2y x =，y =) 定义设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点,x x １2和任意实数(0,1)λ∈，总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-11,则称f 为I 上的凸函数. 反之若总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-11,则称f 为I 上的凹函数. 如果上两式中的不等式均为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 易见f 为I 上的凸函数⇔f -为I 上的凹函数几何意义(凸函数) 曲线上任两点的连线(线段) 总在区间的上方. (引出割线斜率) 2. 凸函数性质与判定引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对I 上任意三点123x x x <<总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--注同理可证 f 为I 上的凸函数⇔对区间I 上任意三点123x x x <<有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---割线的极限 → 切线↓ ↓割线斜率递增 → 切线斜率应该为递增定理设f 为区间I 上的可导函数，则下列命题等价 1) f 为I 上的凸函数(严格凸函数); 2) f '为I 上的增函数(严格增函数);3) 对I 上的任两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-，12,x x I ∈,(21121()()()()f x f x f x x x '>+-, 12,x x I ∈, 12x x ≠) .注由定理可见凸函数的几何意义1) 曲线上任两点的割线在曲线的上方(定义) ; 2) 切线的斜率(割线的斜率) 递增; 3) 曲线在其上任一点处切线的上方.推论 1) 设f 为I 上的二阶可导函数，则f 为凸函数⇔()0f x ''≥(x I ∈) ;2) ()0f x ''≥且在I 的任何子区间上f f ''≡⇔0在I 上严格凸; 3) ()0f x ''>则f 在I 上严格凸.注 f ''的符号确定函数f 的凸凹性，f '的符号确定单调性例1 讨论函数()f x =()arctan g x x =的凸凹性。

工科数学分析课件 Chap4第5节微分中值定理

(
x0
)
0.
定义5.2 若x0满足f ( x0 ) 0,称x0是f ( x)的驻点.
注(1)函数在极值点可导,则此极值点一定是驻点；
(2)驻点未必是极值点. 例如f ( x) x3, f (0) 0, 但x 0不是极值点.
(3)不可导的点也可能是极值点.
罗尔(Rolle)中值定理
罗尔(Rolle)中值定理
证明由于 f (a) f (b) 0, f(a) f(b) 0
不仿 f(a) 0, f(b) 0
f(a)
lim
xa
f (x) f (a) xa
0,
f(b)
lim
xb
f (x) f (b) xb
0,
由极限的保号性得知
(a, a ), f ( x) f (a) 0, (b, b ), f ( x) f (b) 0，
由定义知, 0,当x U( x0 , )时, 有f ( x0 ) f ( x).
当x
(
x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
Hale Waihona Puke 0当x(x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
f ( x0 )
f
'
(
x0
)
f
'
定理5.2设 f C[a,b], f在(a,b)内可导,且f (a) f (b),

第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选

limf(x)(或limf(x)) xx0 g(x) x g(x)
通常称为未定式，分别记为 0 和。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ，所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节微分中值定理洛必达法则
一、微分学中值定理二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点，使得
f()0
lim2x3

xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns

in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0

15微分中值定理

内的.
3
例5 选择题.函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满
足拉格朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在
(2)
闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
故
ln b ln a 1 (b a), ξ (a,b)

1 1 1 1 (b a) 1 (b a) 1 (b a)
b a b

a
b a ln b b a
b
ba
例9 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
f (x2 ) f (x1) f '( )( x2 x1), (x1, x2 )
而 f () = 0, 故 f (x2)=f (x1)
由x1, x2 的任意性，f (x)=C, xI. (C为常数)
例10：设f (x) sin2 x cos2 x,试用微分中值定理证明：对于一切x (,),，恒有f (x) 1。
证分明析：证明f (函x)数恒sin等2式x ，c主os要2 x是在利x用拉(格பைடு நூலகம்,朗日)定上理连的续推,且论：
如果函数f 'f((xx))在(区sin间2 xI上 c的o导s2 数x)恒' 为(s零in ，2 x那)'么(cfo(sx2)在x)'区间 I上是一个常数.

05第五讲微分中值定理与应用

第五讲：微分中值定理与应用一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1、已知()(3)(4)(f x x x x =---，则'()0f x =有（B ） A 一个实根 B 两个实根 C 三个实根 D 无实根解：（1）()[34]34f x 在，连续在（，）(3)(4)0f f ==可导且()f x ∴在[34]，满足罗尔定理条件故有1'()0f ξ=（134ξ<<）(2)()[4,5]f x 同理在满足罗尔定理22'()0,45f ξ=<ξ<有综上所述，)'()0(3,5f x =在至少有两个实根3'()0f x =（）是一元二次方程，至多有两个根，故选Ｂ2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是（D ）A 2(),[0,3]f x x x =∈B 21(),[1,1]f x x x=∈-C (),[1,1]f x x x =∈- D()[0,3]f x x =∈解：()[0,3]f x =连续'()f x =()f x [03](0)0f =在，可导且，(3)0f =满足罗尔定理条件．故选D3．设曲线33y x x =-，则其拐点坐标为（C ） A 0 B （0，1）C （0，0）D 1解：3''3,''6y x y x =-=-．令'0y =．得0x =． 0,''0x y <>当有．当0x >时，''0y <．故（0，0）为曲线的拐点 C4．若()(),0f x f x =-∞且在（，+）内'()0,''()00f x f x >>-∞则在（，）必有（C ） A '()0,''()0f x f x << B '()0,''()0f x f x >> C '()0,''()0f x f x <> D '()0,''()0f x f x >< 解：()0f x +∞为偶函数且在（，）()f x 单调递增,曲线为凹弧如示意图，故有(,0),()0,''0f x f C -∞<>∴选5．设3ln 3f x a x bx x =+-（）在12x x ==，取得极值。

05第五讲微分中值定理与应用6页word文档

第五讲：微分中值定理与应用一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1、已知()(3)(4)(5)f x x x x =---，则'()0f x =有（B ）A 一个实根B 两个实根C 三个实根D 无实根解：（1）()[34]34f x Q 在，连续在（，） (3)(4)0f f ==可导且()f x ∴在[34]，满足罗尔定理条件故有1'()0f ξ=（134ξ<<）(2)()[4,5]f x 同理在满足罗尔定理 22'()0,45f ξ=<ξ<有综上所述，)'()0(3,5f x =在至少有两个实根3'()0f x =（）是一元二次方程，至多有两个根，故选Ｂ2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是（D ） A 2(),[0,3]f x x x =∈B 21(),[1,1]f x x x=∈-C (),[1,1]f x x x =∈- D()[0,3]f x x =∈ 解：()[0,3]f x =连续'()f x =()f x [03](0)0f =在，可导且，(3)0f = 满足罗尔定理条件．故选 D3．设曲线33y x x =-，则其拐点坐标为（C ） A 0 B （0，1）C （0，0）D 1解：3''3,''6y x y x =-=-．令''0y =．得0x =．0,''0x y <>当有．当0x >时，''0y <．故（0，0）为曲线的拐点 C4．若()(),0f x f x =-∞且在（，+）内'()0,''()00f x f x >>-∞则在（，）必有（C ）A '()0,''()0f x f x <<B '()0,''()0f x f x >>C '()0,''()0f x f x <>D '()0,''()0f x f x ><解：()0f x +∞Q 为偶函数且在（，）()f x Q 单调递增,曲线为凹弧如示意图，故有(,0),()0,''0f x f C -∞<>∴选 5．设 3ln 3f x a x bx x =+-（）在12x x ==，取得极值。

高等数学第一节微分中值定理

f ( x )
1 1 x
2

1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a

b
xБайду номын сангаас

第五讲导数与微分,微分中值定理及导数的应用

则 f 为I上的凸函数
第五讲导数与微分，微分中值Th及导数的应用
定义 2：设曲线 y f (x)在点（x0，f (x0 )）处有穿过曲线的切线，且在切点旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这是切点（x0，f (x0 )）为曲线 y f (x) 的拐点. Th1：设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述论断互相等价（i） f 为 I 上的凸函数（ii） f (x) 为 I 上的增函数（iii）对 x1, x2 I ，有 f (x2 ) f (x1) f (x1)( x2 x1)
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
绝对误差 y f (x0) x
相对误差 y f (x0 ) x y f (x)
第五讲导数与微分，微分中值Th及导数的应用
7. 微分学基本 Th（导数的应用）（1）费马 Th （2）Rolle 中值 Th （3）Lagrange 中值 Th
f
'(x0 )
lim
x x0
f
'( )
f '(x0
0)
同理可得若 f '(x) 在 x0 点处存在右极限，则必有
f
'(x0 )
第五讲导数与微分，微分中值Th及导数的应用
Th2：设 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸（凹）函数
f (x) 0 ( f (x) 0), x I
Th3：......,则 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y
f (x) 的拐点
f (x) 0
Th4:设 f 在 x0 可导。在U 0 (x0 ) 内二阶可导，若在U 0 (x0 ) 和U 0 (x0 ) 上 f (x) 的

高数第三章微分中值定理

增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理
22
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
推论2 如果在区间 I 上 f ( x ) g( x ),
那末在区间 I 上
如果函数 f (x) 满足
(2) 在开区间 (a, b)内可导;
则在 (a, b)内至少存在一点 ( a < < b), 使得
f (b) f (a ) f ' ( ). ba
19
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
使
f (1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0
( x ) e x 2ax b 连续、可导 f 对 f ( x ) 在[1 , 2 ],[ 2 , 3 ] 用罗尔定理得
17
1 1 2 2 3 f (1 ) f (2 ) 0 ( x ) e x 2a 连续、可导 f 使
重点
微分中值定理 Taylor公式
L， Hospital法则
求函数的极值和最值
5
难点
中值定理 L， Hospital法则的运用
利用中值定理证明不等式
基本要求
①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之间的关系
②熟练运用L—法则求未定式的极限
③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 x e , sin x , cos x , ln(1 x ), (1 x ) 的Taylor公式

第一节微分学中值定理-文档资料43页

类似地可定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 以及三元以上函
数；二元及二元以上的函数称为多元函数．
例3 求二元函数 z = 1x2 y2 的定义域．解由根式函数的要求容易知道 x，y 必须满足不等式 x2 y2 1, 所以定义域为 D {x ,(y)|x2y2 1 }.
例3 设 zsix n 2 (y2),求 z,z. xy
解 z[coxs2 (y2)]2x2xcoxs2(y2), x z[coxs2 (y2)](2y)2ycoxs2(y2). y
例4 设 u x 2 y 2 z 2 ,求 u x 2 u y 2 u z 2 .
D 内的每一点都连续，则称 f(x, y)在区域 D上连续．
设自变量 x, y 各取得增量 x,y , 函数 z = f(x, y)取得增量
z f x 0 x ， y 0 y ) f x 0 ， y 0 ) ,
称 z 为函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0,y0) 处的全增量．设函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0,y0) 的某一邻域内有定义，则函
x
存在，则称此极限值为函数 z = f (x,y)在点 P0(x0,y0) 处对 x 的
偏导数，记作
) x zx0 ， y0),或 fxx0 ， y0)，或 fx x0 ， y0．
类似地，函数 z = f (x,y)在点 P0(x0,y0) 处对 y 的偏导数定义
为 lim fx0,y0 y)-fx0,y0),
是一元函数；(2)求二元函数的偏导数，不需引进新的方法，只需
利用一元函数的求导公式和求导法则．
例1 设 f ( x , y ) x 2 y 2 x y 3 ,求 f x ( 1 , 1 ) f y ( , 1 , 1 ). 解把 y 看作常量，对 x 求导，得

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义

第三章微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）．由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）．证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='．说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x af x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大．2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='．说明：我们指出，对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求20tan lim tan x x xx x→-时，可先用~tan x x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====．（4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式．三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加；（2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）；（3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ；（2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）；（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-．证明：原不等式即为13x -+，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即130x -+>，亦即13x>-．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''；（2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()y f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下：（1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；（4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值；（2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()l n266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围．解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-，因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=，即 2C π=，故arcsin arccos 2x xπ+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“”型未定式，由洛必达法则可得原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-．3．求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→．解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅．4．求 2tan lim tan 3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-．解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====．说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）：原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-．解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→．解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型，进而化为“”型，故原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞．【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x'=-=++，因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>，故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-，因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>，故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．(,1]-∞-解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=，令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =，列表讨论如下：(,1]-∞-由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（A ）极大值点（B ）极小值点（C ）驻点（D ）拐点解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）．2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（A ）没有水平渐近线（B ）仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''（C ）仅有铅直渐近线（D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线；01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确． 3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0)（D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（A ）单调增加，曲线为凸的（B ）单调增加，曲线为凹的（C ）单调减少，曲线为凸的（D ）单调减少，曲线为凹的解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x <时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-．令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤．若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=；若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？解：设堆料场的宽为xm ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+，令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立；（2）当01x <<时，111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-． 5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =．再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x=．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞．解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。

第一节微分中值定理

f (ξ ) = 0 .
作辅助函数 F ( x ) = xf ( x ) , 则 F ′( x ) = f ( x ) + xf ′( x ) ,
上满足罗尔定理的条件, 显然 F ( x ) 在 [0, 1] 上满足罗尔定理的条件,
故存在 ξ ∈ (0, 1) , 使得
F ′(ξ ) = f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 .
朗日定理, 在 [ x1 , x 2 ] 上对 f ( x ) 使用拉格朗日定理,
则 f ( x2 ) f ( x1 ) = f ′(ξ )( x2 x1 ) ( x1 < ξ < x2 )
∵ f ′(ξ ) = 0, ∴ f ( x 2 ) f ( x1 ) = 0 ,
即 f ( x 2 ) = f ( x1 ) .
g( x ) = e
x
f ( x)
即可 .
10
上连续, 内可导, 例4 设 f ( x ) 在[0, 1] 上连续,在 (0, 1) 内可导,且 f (1) = 0 , 证明: 证明:存在 ξ ∈ (0, 1) , 使得 f ′(ξ ) +
1
证
原式改为
ξ ξ f ′(ξ ) + f (ξ ) = 0 .
第四章
微分中值定理和导数的应用
1
第一节
微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 拉格朗日中值定理,费马定理是它的预备定理,罗尔定理中值定理,费马定理是它的预备定理, 是它的预备定理是它的特例,柯西定理是它的推广是它的推广. 是它的特例,柯西定理是它的推广.
在曲线弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切线平行于弦 AB .

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15-第15讲微分中值定理
精品jing
作业
• 习题3-1（教材125页） • 1；2；3； 4; 5; 6 ;
第三章微分中值定理与导数的应用
第一节微分中值定理
一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理
费马定理
微分
罗尔中值定理
中值
拉格朗日中值定理
定理
即f(x)0至少有三.个实根
f(x)是四次, 多项式 f(x)是三次多 , 项式
f(x)0至多有三个. 实根
综上所述, f(x)0仅有三个, 实根分 ( a ,别 b )( b ,,c )在 ( c ,,d ) 中 .
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证可明导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )
则至少存在一点 ( a ,b ),使 f() 得 0 .
y yf(x)
A
B
O a
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证 f( x ) C ( a ,[ b ])
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次.
令 M m f( x a ),x m m f( x i )n
这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.
首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事.
导数与差商
y yf(x)可微点P 处切线的斜率：
k f (x0)
PB
相等！
割线 AB 的斜率：
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
O x1
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次. 又 f(a ) f(b ),
故 f(x )不能 x a 和同 x b 处时分 M 在和 m .别
即至少存 (在 a, b)一 , 使点得
f() M 或 f() m . 由费马定理可知： f() 0 ( a ,b ).
在(a, b)内至少有.一根
分析 2 x ( f( b ) f( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) 0
( x 2 ( f ( b ) f ( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) ) 0 a 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( a )
f(x ) f(x 0 ) x U ˆ(x 0 ),
则f称 (x0)为 f(x)的极,大 x0为函值数的极大.点
f(x ) f(x 0 ) x U ˆ(x 0 ),
则f称 (x0)为 f(x)的极,小 x0为函值数的极小.点
一. 费马定理
定理设 f(x )在I区内间有 ,且 I定内在义某
又 f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) 0 ,
f(x)是四次 ,在 (多 , ) 内项可 ,式微在[a, b],[b, c],[c, d]上运用罗尔 ,得中值
f (1 ) f (2 ) f (3 ) 0 .
其中, 1 ( a ,b ) ,2 ( b ,c ) ,3 ( c ,d ) .
若 f()存,则在
数在区间内部取极值？
f () lx i0 fm ( x x ) f() 0 ,
f () lx i0 fm ( x x ) f() 0 ,
于是
f()0. （极小值类似可证）
f(x ) C (a [ ,b ])可保 f(x ) 证在[a, b]内取到它的最大最 . 小值
处取极.大若 f（ ()存小 ,在则）必值有
f()0.
可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.
费马定理的几何解释
y
如
P
何证
yf(x)
明
？
aO
bx
证设 f(x)在区 I内间有,定且义 x殊情况
f(x )f() x U ˆ() 如何保证函
x0 x2 x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1,x2),使得
f()f(x2)f(x1)
x2x1 该命题就是微分中值定理.
极值的定义
设 f(x)在 U (x0)内有 ,若定义
x [ a ,b ]
x [ a ,b ]
(1)若 Mm
m f ( x ) M x [ a , b ]
f(x ) mx [ a ,b ]
故 ( a ,b ) ,均 f () 有 0 .
( 2 )若 m M ( 即 M m ) f( x ) C ( a ,[ b ])
y
但是…… yf(x)
Oa
bx
f(x ) C (a [,b ]) f(x)在 (a,b)存在
可保证在内部一点取到极值
y
yf(x)
f(a)f(b)
P
f()0
水平的
aO
bx
二. 罗尔中值定理
定理设 ( 1 )f(x ) C (a ,[b ];) (2) f(x)在 (a,b)内可 ; 导 (3 )f(a ) f(b ),
例1 设 a ,b ,c ,d 皆为 ,a b c 实 d , 数 f ( x ) ( x a ) x b ( ) x ( c ) x ( d ) ,
证明 f(x 方 )0仅程有三 ,并个指实出根 .根
证 f ( x ) C ( [ a ,b ] [ b ,, c ] [ c ,, d ] ) ,
柯西中值定理
泰勒中值定理
导数与差商
函数导数的定义为
f(x)lim f(xx)f(x)
x 0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0时, 函数
在点 x 处的差商 f(xx)f(x) 的极限值.
x
我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
b 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( b ) a2f(b)b2f(a)
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证可明导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )