《数学]枚举法》PPT课件

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❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
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例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
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例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
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❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
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枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
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❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
解变量B的可能取值范围B∈{1， … ，3}
解变量C的可能取值范围C∈{1， … ，3}
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图11某旅游区街道示例图
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❖ 输入数据： 输入文件是INPUT.TXT。文件的第一行是两个整数M和N，之间用一个 空格符隔开，M表示有多少条旅游街（1≦M≦100），N表示有多少条 林阴道（1≦M≦20001）。接下来的M行依次给出了由北向南每条旅游 街的分值信息。每行有N-1个整数，依次表示了自西向东旅游街每一 小段的分值。同一行相邻两个数之间用一个空格隔开。
中一个.
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❖在我们的例子中，相应的OUTPUT.TXT的内 容为：
5849
❖输入输出示例：
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
330
5489
222
212
具体的移动方案如图所示。
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❖ 我们分析一下表示时钟时针初始位置的数码j（0≦j≦3）与时刻的对 应关系：
▪ 0——12点 ▪ 1——3点 ▪ 2——6点 ▪ 3——9点
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❖设 pi表示第i种旋转方法的使用次数 （0≦pi≦3，1≦i≦9）。
则可能的解的集合为{（P1，P2，……， P9）}，该集合共含49个状态。从题目 的示意图中，我们可以分析出9个时钟 分别被哪些方法所控制，见下表：
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建立时钟控制表
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设计算法
因此我们可以设计如下枚举算法(伪代码)：
❖ 我们将网格状的旅游区街道以林荫道为界分为N – 1个段，每一段由M条旅游街的对应段成，即 第J段成为{L1J，L2J，……，LMJ}（1≦ J ≦ N – 1）。由于游览方向规定横向自西向东，纵 向即可沿林阴道由南向北，亦可由北向南，而横 行的街段有分值，纵行无分值，因此最佳游览路 现必须具备如下三个特征：
❖上述局部枚举的方法（枚举状态数为43个） 比较全部枚举的方法（枚举状态数为49个） 来说，由于大幅度削减了枚举量，减少运 算次数，因此其时效显著改善 （优化：依 赖关系）
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例5 最佳游览线路 （NOI94）
❖ 某旅游区的街道成网格状。其中东西向的街道都 是旅游街，南北向的街道都是林荫道。由于游客 众多，旅游街被规定为单行道，游客在旅游街上 只能从西向东走，在林阴道上则既可从南向北走， 也可以从北向南走。
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❖本题目有9个格子，要求填数，如果不考虑 问题给出的条件，共有9！=362880种方案，
在这些方案中符合问题条件的即为解。因
此可以采用枚举法。
❖但仔细分析问题，显然第一行的数不会超 过400，实际上只要确定第一行的数就可以
根据条件算出其他两行的数了。这样仅需 枚举400次。（优化：解变量的依赖关系，
❖ 有了以上的基础，我们便可以通过图示描述解题 过程，见求解过程示例图
❖
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❖我们把将段设为顶点，所在段的最大 分值设为顶点的权，各顶点按自西向 东的顺序相连，组成一条游览路线。 显然，如果确定西端为起点、东段为 终点，则这条游览路线的总分值最大。
图12 求解过程示例图
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❖ 我们把将段设为顶点，所在段的最大分值设为顶 点的权，各顶点按自西向东的顺序相连，组成一 条游览路线。显然，如果确定西端为起点、东段 为终点，则这条游览路线的总分值最大。
❖用枚举法求解的问题须满足两个条件
▪ 能确定解变量（枚举变量）的个数 n ； ▪ 每个解变量Ai（1 <= i <= n）的可能值
能确定范围且能连续取得。
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枚举法算法框架
设解变量的个数是n,Ai1—解变量Ai的最小值；Aik—解变量 Ai的最大值(1≤i≤n)，即A11≤A1≤A1k，Ai1≤Ai≤Aik， ……，An1≤An≤Ank
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优化
❖ P4~P9可直接由P1，P2，P3求出 P4=order(C1-P1-P2); P5=order(C2-P1-P2-P3); P6=order(C3-P2-P3); P7=order(C4-P1-P4-P5); P9=order(C6-P3-P5-P6); P8=order(C8-P5-P7-P9);
基本算法——枚举法
技术教研组 谷方明
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1 示例
求满足表达式A+B=C的所有整数解，其 中A，B，C为1~3之间的整数。
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例题分析
❖本题非常简单，即枚举变量A,B,C的所 有可能取值情况，对每种取值情况判 断是否符合表达式即可。
❖算法如下
for(int A=1;A<=3;A++) for(int B=1;B<=3;B++) for(int B=1;B<=3;B++) if(A+B==C) 输出A,B,C;
❖ 阿龙想到这个旅游区游玩。他的好友阿福给了他 一些建议，用分值表示所有旅游街相邻两个路口 之间的街道值得游览的程度，分值时从-100到100 的整数，所有林阴道不打分。所有分值不可能全 是负分。下图是被打过分的某旅游区的街道图。
❖ 阿龙可以从任一个路口开始游览，在任一个路口 结束游览。请写一个程序，帮助阿龙找一条最佳 的游览线路，使得这条线路的所有分值总和最大。
算法框架如下（伪代码）： for A1←A11 to A1k do
for A2←A21 to A2k do …………………… for Ai←Ai1 to Aik do …………………… for An←An1 to Ank do if 状态(A1，…，Ai，…，An)满足检验条件 then 输出问题的解；
❖ 移动方案选取与顺序无关。样例中，最佳移动序列为5849，同样4589 序列也可达到目标。因此，求解过程中可以直接选取序列中从小至大 排列的移动序列即可。(优化：用顺序减少解集的元素)
❖ 每移动一次，时针将顺时针旋转90度。由此我们可以得出： 对于任意一个时钟i（1≦i≦9）来说，从初始位置j出发至少需要Ci= （4-j） % 4次操作，才能使得时针指向12点。而对每种移动方法要 么不采用，要么采用1次、2次或3次，因为操作四次以后，时钟将重 复以前状态。因此，9种旋转方案最多产生49个状态。（优化：用次 数减少解集的元素）
for p1 <- 0 to 3 do for p2 <- 0 to 3 do ... ... ... for p9 <- 0 to 3 do
if c1满足时钟1 and c2满足时钟2 and ... and c9满足时钟9
then 打印解路径；
显然，上述枚举算法枚举了所有49=262144个状态， 运算量和运行时间颇大。
从而问题的可能解有3*3*3=27个，可能解集：
（A，B，C）∈{（1，1，1），（1，1，2），（1， 1，3），…，（3，3，1），（3，3，2），（3， 3，3）}
❖ 在上述可能解集中，满足题目给定的检验条件 （A+B==C）的解元素，即为问题的解。
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枚举法的适用条件
❖对于可能确定解的值域又一时找不到 其他更好的算法时可以考虑枚举法。
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枚举算法的特点及优化
❖枚举法的特点是算法简单，但有时运 算量大。
❖优化枚举算法（考察重点）
枚举算法的时间复杂度=状态总数*考察单 个状态的耗时
▪ 排除明显不属于解集的元素 ▪ 减少状态总数（即减少枚举变量和枚举
变量的值域）
▪ 降低单个状态的考察代价
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❖示例算法显然可以修改如下:
for(int A=1;A<=3;A++) for(int B=1;B<=3;B++) { C=A+B; if(C>=1)&&(C<=3) 输出A,B,C; }
通过变量的依赖关系减少了解变量的个数(局部 枚举)，优化了枚举算法，n^3 -> n^2。
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