实变函数与泛函分析基础(第三版)

主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 学习本章时应注意以下几点.1、本章的基本概念较多，且有些概念（如内点、聚点、边界点等）相互联系，形式上也常有类似之处，因而容易混淆. 学习这些概念时要细心认真，注意准确牢固地掌握每一个概念的实质，学习时可同其类似的概念对照，注意区别概念间的异同点.尤其要注意的是，本章对有些概念（如聚点），给出了多种等价（充要）条件，这将有利于理解概念的本质，特别是在讨论某些具体问题时，如能恰当地选用某种条件，常常会给问题的解决带来方便. 所以对等价条件必须深刻理解，熟练灵活地运用.2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质也就自然得到了.3、本章中定理亦较多，对定理的学习，要注意弄清下述三点：一是定理的条件和要证的结论；二是定理的证明方法和推理过程；三是定理的意义和作用. 要特别注意论证思路和方法，这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力. 同是定理， 然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理，如有限覆盖定理（定理），聚点存在定理（定理）以及直线上开集的结构定理（定理）等都是本章中的重要定理，在今后的学习中常有应用.4、康托集是本章给出的一个重要例子. 对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数 ，下章中我们还将证明它的测度为零. 正是因为它的这些“奇怪”性质，使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.复习题一、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=⇔P Q =。

（× ）2、设P ，nQ R ∈，则(,)0P Q ρ>。

（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。

（× ） 4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。

（√ ）5、设点P 为点集E 的外点，则P E ∉。

（√ ）6、设点P 为点集E 的边界点，则P E ∈。

（× ）7、设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。

（× ）8、设点P 为点集E 的聚点，则P 为E 的边界点。

（× ）9、设点P 为点集E 的聚点，且不是E 的内点，则P 为E 的边界点。

（√ ）10、设点P 为点集E 的孤立点，则P 为E 的边界点。

（√ ）11、设点P 为点集E 的外点，则P 不是E 的聚点，也不是E 的边界点。

（√ ）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。

（√ ）13、开集中可以含有边界点和孤立点。

（× ）14、E 是开集⇔E E =的内部（开核）。

（√ ）15、任意多个开集的并集仍为开集。

（√ ）16、任意多个开集的交集仍为开集。

（× ）17、有限个开集的交集仍为开集。

（√ ）18、闭集中的每个点都是聚点。

（× ）19、E '和E 都是闭集。

（√ ）20、E 是闭集⇔E E '⊂。

（√ ）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。

（√ ）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。

（× ）23、有限个闭集的并集仍为闭集。

（√ ）24、E 是开集⇔cE 是闭集。

（√ ）25、E 是完全集（完备集）⇔E E '=E ⇔是无孤立点的闭集。

（√ ）二、填空题1、设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=[0,1]；1E 的内部= 空集 ；1E =[0,1]。

2、设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '=[0,1]；1E 的内部= 空集 ；1E =[0,1]。

3、设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '=22{(,)1}x y x y +≤；1E 的内部=1E ；1E =22{(,)1}x y x y +≤。

4、设P 是康托（三分）集，则P 为 闭 集；P 为 完全 集；P 没有 内 点；P = c ；mP = 0 。

5、设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,)a b ⊂G ，且a ∉G ，b ∉G 。

6、设(1,2)(3,4)E =⋃，写出E 的所有的构成区间(1,2),(3,4)。

7、设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间(1,6)。

8、设E 为1R 上的闭集，0x 为E 的孤立点，则0x 必为E 的两个邻接区间的 公共 端点。

9、设E 为1R 上的闭集，则E 的邻接区间必为c E 的构成区间。

三、证明题1、证明：()A B A B '''⋃=⋃。

证明：因为A A B ⊂⋃，B A B ⊂⋃，所以，()A A B ''⊂⋃，()B A B ''⊂⋃，从而()A B A B '''⋃⊂⋃反之，对任意()x A B '∈⋃，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集，从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈⋃，()A B A B '''⋃⊂⋃。

综上所述，()A B A B '''⋃=⋃。

2、证明：若E 为闭集，则c E 为开集；若E 为开集，则c E 为闭集。

证明：若E 为闭集，对任意c x E ∈，有x E ∉，所以，x 不是E 的聚点。

注意到E 为闭集，存在(,)B x δ，使得(,)B x E δ⋂=∅，即(,)c B x E δ⊂，所以，x 是c E 的内点。

故cE 是开集。

（反证法）若c E 不是闭集，则存在c E 的一个聚点c x E ∉，从而x E ∈。

有E 是开集，存在(,)B x E δ⊂，所以，(,)c B x E δ⋂=∅这与x 是c E 的一个聚点矛盾。

故c E 为闭集。

3、证明：E 为闭集⇔E E =。

证明：因为E 为闭集，则E E '⊂，而E E E '=⋃，所以E E =。

反之，因为E E E E '==⋃，所以，E E '⊂，即E 为闭集。

4、证明：开集减闭集的差集仍为开集；闭集减开集的差集仍为闭集。

证明：记G 为开集，F 为闭集。

由于c G F G F -=⋂，c F G F G -=⋂，且两个开集的交集仍为开集，两个闭集的交集仍为闭集，开集的余集是闭集，闭集的余集是开集，所以，c G F G F -=⋂是开集，c F G F G -=⋂是闭集。

5、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对任意实常数a ，{()}E x f x a =>为开集，{()}F x f x a =≤为闭集。

证明：对任意{()}x E x f x a ∈=>，有()f x a >，由连续函数的局部保号性，存在(,)B x δ，使对任意(,)y B x δ∈，有()f y a >，即y E ∈，所以，(,)B x E δ⊂，即x 为E 的内点。

所以{()}E x f x a =>为开集。

又{()}{()}c cF x f x a x f x a E =≤=>=是开集，所以，{()}F x f x a =≤为闭集。

6.证明：n R 中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。

证：设n R F ⊂为任意一个闭集，令N n n x U G F x n ∈=∈,)1,( ，则n G 均是开集，且n G F ⊂)(N n ∈∀，从而 ∞=⊂1n n G F ．下证： ∞=⊃1n n G F ．对∈∀0x ∞=1n n G ，则对N n ∈∀,F x G x n n ∈∃⇒∈0，使得)1,(0nx U x n ∈，即 )(1),(0N n nx x d n ∈∀<，于是)(0∞→→n x x n ，从而F x ∈0．但F 是闭集，所以⇒=∈F F x 0F G n n ⊂∞= 1，故F G n n =∞= 1．因此，F 可以表示成可数个开集的交。

证毕。

7．()f x 是Ｒ上的连续函数，G 是开集，则1(){:()}f G x f x G -=∈一定是开集．证明： 若1(),f G -=∅则结论成立；若1(),f G -≠∅则对10(),x f G -∀∈即()0,f x G ∈又G 是开集，故()()()000,,f x f x G εεε∃>∍-+⊂，又()f x 在0x 连续，对上述0,0εδ>∃>，使得当()00,x x x δδ∈-+时，有()()0f x f x εε-<-<，可见，当()00,x x x δδ∈-+时，()f x G ∈，从而可知()()100,x x f G δδ--+∈，即1(){:()}f G x f x G -=∈是开集．。