中考复习专题一 实数混合运算

专题一 实数的混合运算
【知识要点】
1、有理数的基本概念
(1)正数和负数
定义：大于0的数叫做正数。

在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。

0既不是正数，也不是负数。

(2)有理数
正整数、0、负整数统称整数。

正分数、负分数统称分数。

整数和分数统称为有理数。

2、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

3、相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

一般地，a 和-a 互为相反数。

0的相反数是0。

a =-a 所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。

很显然，a =0。

4、绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：如果a >0，那么|a |=a ；
如果a =0，那么|a |=0；
如果a <0，那么|a |=-a 。

a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。

很显然，a ≥0。

5、倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数。

1a a
=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。

很显然，a =±1。

6、数的比较大小
法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、乘方
定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

乘方的结果叫做幂。

如：
a n n
a a a a 个•••=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。

8、科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。

小于-10的数也可以类似表示。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n 是原数的整数数位减1得到的正整数。

用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a ×10-n ）时，n 是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。

9、近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一
位。

精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。

10、有理数的加法
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

加法运算律：①交换律 a +b =b +a ； ②结合律 (a +b )+c =a +(b +c )。

11、有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

即：a -b = a +(-b )。

12、有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律ab =ba ；②结合律(ab )c =a (bc )；③分配律a (b +c )=ab +ac 。

13、有理数的除法
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

即：1a b a b
÷=⋅。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0 的数，都得0。

14、有理数的混合运算
混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

15、平方根
定义1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算
术平方根。

a a ”，a 叫做被开方数。

即a x =。

规定：0的算术平方根是0。

定义2：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。

即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。

即a x ±=。

定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

16、立方根
定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

即
如果x 3=a ，那么x 叫做a 3a x =。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

17、无理数
无限不循环小数又叫做无理数。

18、实数
有理数和无理数统称实数。

即实数包括有理数和无理数。

备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。

19、实数的分类
【经典例题】
1、若收入100元记作+100元，那么支出60元记作 元。

2、在记录气温时，若零上5度记作+5℃，那么零下5度记作( )
A 、5℃
B 、-5℃
C 、0℃
D 、-10℃
3、3的相反数是 ，-5的倒数是 ，-3的绝对值是 。

4、2的相反数的倒数是 。

5、计算：-(-2)= ，|-5|= 。

6、地球上的陆地面积约为149000000平方公里，那么用科学记数法表示149000000应为
( )
A 、1.49×106
B 、1.49×107
C 、1.49×108
D 、1.49×109
7、光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000 km ，则这个数用科学记数法表示应为 。

8、甲型H1N1流感病毒变异后的直径为0.00000013米，这个数用科学记数法表示应该是
( )
A 、1.3×10-6
B 、1.3×10-7
C 、1.3×10-8
D 、1.3×10
-9 9、近年来，我国大部分地区饱受“四面霾伏”的困扰。

霾的主要成分是PM2.5，是指直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物。

那么数0.0000025用科学记数法可表示为( )
A 、25×10-5
B 、25×10-6
C 、2.5×10-5
D 、2.5×10-6
10、若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a +b = 。

11、如果a 的倒数是-1，那么a 2020等于( )
A 、-1
B 、1
C 、2014
D 、-2014
12、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则20202020)()(cd b a ++= 。

13、某天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，那么中午的气温是 ℃。

14、曲靖某天的最高气温是10℃，最低气温是-8℃，那么这天曲靖的最高气温比最低气温
高( )
A 、-18℃
B 、-2℃
C 、2℃
D 、18℃
15、23-的相反数是 ，绝对值是 。

16、25的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。

17、如图，数轴上点P 表示的数可能是( )
A
B 、
C 、-3.2
D 、
18
( )
A 、在3到4之间
B 、在4到5之间
C 、在5到6之间
D 、在6到7之间
19、（2018云南第15题6分）√18－2cos 45。

－(13)−1－(∏－1)0
20、（2018曲靖第15题5分）－（－2）＋(∏－3.14)0＋√273＋(−1
3
)−1 -3-2-13
210P .
21、（2016曲靖第15题5分）√16＋(2－√2)0－(−1
2
)−2＋|−1|
22、（2016昆明第15题5分）20160－|−√2|＋(1
3
)−1＋2sin45。

23、∏0＋2cos30。

－|−√3|－(−1
2
)−2 24、2−2－√83－2cos30。

＋|−1|
25、(−1)2020－√8＋(∏－3)0＋4 cos45。

26、−12020＋|√3−2|＋tan60。

－(∏－3.14)0＋(−3)−2
27、(−1
3
)−2－(√3－3)0－√(−3)2－|−1|
28、（2019云南第15题6分）32＋(x－5)0－√4＋(−1)−1。