最小生成树问题
最小生成树问题的算法实现及复杂度分析—天津大学计算机科学与技术学院(算法设计与分析)
算法设计与分析课程设计报告学院计算机科学与技术专业计算机科学与技术年级2011姓名XXX学号2013年5 月19 日题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。
数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。
而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。
最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。
本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。
构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。
引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。
n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。
现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。
这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。
最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。
一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。
而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。
正文普里姆（Prim）算法思想普里姆算法则从另一个角度构造连通网的最小生成树。
最小生成树问题的ampl实际案例
最小生成树问题的AMPL实际案例导言在图论中，最小生成树指的是在一个连接了所有节点的图中，找到一棵权重之和最小的树。
最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、城市规划等领域。
AMPL（A Mathematical Programming Language）是一种用于数值分析和优化的高级建模语言。
本文将通过一个具体的案例，探讨如何使用AMPL解决最小生成树问题。
案例背景假设我们有一个城市网络，城市之间通过道路连接。
我们希望使用最小的成本来连接所有城市，以便人们可以在城市之间通行。
问题分析我们可以将城市网络表示为一个带权重的图，其中城市是节点，道路是边，道路的权重表示建造和维护道路的成本。
我们的目标是找到一个最小生成树，即在图中选择一些边，使得所有的城市都能够通过这些边连通，并且这些边的权重之和最小。
数学建模为了使用AMPL解决最小生成树问题，我们需要将问题建模成一个线性规划模型。
首先，我们定义一些变量： - x ij表示边(i,j)是否被选择，如果被选择则取值为1，否则取值为0。
- c ij表示边(i,j)的权重。
然后，我们需要定义一些约束条件： - 每个城市必须通过某条边连接到最小生成=1，其中j表示与城市i相连的边树中的其他城市。
对于每个城市i，我们有∑x ijj(i,j)。
- 最小生成树中不能形成环。
对于每个子集S，使得S中的城市通过(i,j)连≤|S|−1。
接到最小生成树中的其他城市，我们有∑x ij(i,j)⊆S最后，我们需要定义目标函数： - 目标函数是最小化边的权重之和。
我们有min∑c ijx ij。
i,jAMPL代码下面是用AMPL建模的代码：set Cities; # 定义城市集合param c{Cities, Cities} >= 0; # 定义边的权重矩阵var x{Cities, Cities} binary; # 是否选择边minimize Total_Cost: sum{i in Cities, j in Cities} c[i,j] * x[i,j];subject to Connectedness{i in Cities}:sum{j in Cities} x[i,j] = 1;subject to No_Cycles{S in subset(Cities)}:sum{(i,j) in (S cross S)} x[i,j] <= card(S) - 1;结果分析通过运行AMPL代码，我们可以得到最小生成树的解。
信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件
5
71
4
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
2 4
22 16
5
3
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1
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min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
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2
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8
10
9
5
6
3
1个集合{ {1，2，3，4，5} } 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
3
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ppt课件
16
Kruskal算法
算法结束，最小生成树权值为19。 通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两 个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的 边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合， 最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一 棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。 Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
第一行： 农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结 尾
后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。
物理优化探究参考答案
物理优化探究参考答案物理优化探究参考答案在物理学中，优化探究是一种重要的方法，用于解决各种实际问题。
通过优化探究，我们可以找到最佳的物理方案，以提高效率、减少成本或实现其他目标。
本文将探讨一些常见的物理优化问题，并给出相应的参考答案。
一、最短路径问题最短路径问题是优化探究中的一个经典问题。
它通常涉及到在一个图中找到两个节点之间的最短路径。
例如，我们可以考虑一个城市地图，其中各个路口和道路被表示为图中的节点，而道路之间的距离则表示为图中的边。
在这种情况下，最短路径问题可以用来确定两个地点之间的最短驾驶距离。
解决最短路径问题的一种常见方法是使用迪杰斯特拉算法。
该算法基于贪心策略，通过不断更新节点的最短路径估计值，最终找到最短路径。
在应用迪杰斯特拉算法时，我们需要为每个节点维护一个最短路径估计值，并在每一步选择一个未被访问过的节点，使得从起点到该节点的路径估计值最小。
通过迭代这个过程，我们可以找到最短路径。
二、最大流问题最大流问题是另一个常见的优化问题。
它通常涉及到在一个有向图中找到从源节点到汇节点的最大流量。
例如，我们可以考虑一个水管系统，其中各个水管被表示为图中的边，而水流量则表示为边的容量。
在这种情况下，最大流问题可以用来确定从水源到汇点的最大水流量。
解决最大流问题的一种常见方法是使用福特-福尔克森算法，也被称为Edmonds-Karp算法。
该算法基于广度优先搜索，在每一步中选择一条增广路径，通过增加路径上的流量来增加总流量。
通过迭代这个过程，我们可以找到最大流。
三、最小生成树问题最小生成树问题是另一个常见的优化问题。
它通常涉及到在一个连通图中找到一个包含所有节点的树，并且树的边的权重之和最小。
例如，我们可以考虑一个电力网络，其中各个发电站和消费站被表示为图中的节点，而电力线路的长度则表示为边的权重。
在这种情况下，最小生成树问题可以用来确定连接所有发电站和消费站的最短电力线路。
解决最小生成树问题的一种常见方法是使用克鲁斯卡尔算法。
最小生成树题目
最小生成树题目 最小生成树是图论中的一个重要概念，被广泛应用于路由算法、网络设计、电力传输等领域。
最小生成树问题可以简单描述为：给定一个连通图，选择一些边使得图中所有节点都能够连接，并且总边权之和最小。
最小生成树题目是在解决最小生成树问题时所遇到的具体情境。
以下通过分析两个不同的最小生成树题目，来理解最小生成树算法的应用。
题目1：某城市的道路规划 假设一个城市有多个地区，每个地区之间需要建立道路来连接。
已知每条道路的长度，在保证每个地区都能连通的情况下，设计一个道路规划方案，使得总道路长度最小。
解题思路： 1、首先，根据题目中给出的道路长度，建立一个无向带权图。
其中，每个地区对应图的节点，道路对应图的边，道路长度对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些道路使得所有地区连通，并且这些道路的权值之和最小。
3、最小生成树即为最优的道路规划方案，输出最小生成树的边集合即可。
题目2：电力传输网络设计 某地区有多个居民点，需要建立电力传输网络来确保每个居民点都能接收到电力供应。
已知每个居民点之间建立电力线路的成本，在保证每个居民点都能接收到电力供应的情况下，设计一个电力传输网络，使得总成本最小。
解题思路： 1、根据题目给出的电力线路成本，建立一个带权完全图。
其中，每个居民点对应图的节点，电力线路对应图的边，电力线路成本对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些电力线路使得所有居民点都能接收到电力供应，并且这些电力线路的成本之和最小。
3、最小生成树即为最优的电力传输网络设计方案，输出最小生成树的边集合即可。
最小生成树问题是一个经典的优化问题，通过构建最小生成树，我们可以找到图中连接所有节点的最优边集合。
在实际应用中，最小生成树算法可以帮助我们进行有效的资源分配、网络规划等决策。
总体来说，最小生成树题目涉及到图的建模和优化算法的运用。
最小生成树问题例题
最小生成树问题例题最小生成树（Minimum Spanning Tree）是图论中的一个经典问题，它是指在一个带权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
最小生成树问题在实际生活中有着广泛的应用，比如电力输送、通信网络等领域。
下面我们以一个具体的例子来说明最小生成树问题的求解过程。
假设有一个无向图，图中包含了6个节点（A、B、C、D、E、F）和9条边。
每条边都有一个权值，表示连接两个节点的成本。
我们的目标是找到一棵最小生成树。
首先，我们可以使用 Prim 算法来求解最小生成树。
Prim 算法的基本思想是从一个起始节点开始，逐步扩展生成树，直到包含所有节点为止。
具体步骤如下：1. 选择一个起始节点，将其标记为已访问。
2. 从已访问的节点中，选择一条连接到未访问节点的最短边。
3. 将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点标记为已访问。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。
根据上述算法，我们可以依次选取边 AB、CD、BC、EF、DE 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、C-D、B-C、E-F 和 D-E 这五条边，它们的权值之和为12。
另外一个常用的求解最小生成树问题的算法是 Kruskal 算法。
Kruskal 算法的基本思想是将图中的边按照权值从小到大进行排序，然后依次选取边，如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中。
具体步骤如下：1. 对图中的边按照权值进行排序。
2. 从权值最小的边开始，依次选取边。
3. 如果选取的边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点合并为一个连通分量。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最小生成树中包含了所有的节点。
使用 Kruskal 算法求解上述例子，我们可以依次选取边 AB、BC、CD、DE、EF 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、B-C、C-D、D-E 和 E-F 这五条边，它们的权值之和也是12。
最小生成树问题课程设计
最小生成树问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解最小生成树的概念，掌握其定义及性质；2. 学会运用普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法求解最小生成树问题；3. 了解最小生成树在实际问题中的应用，如网络设计、电路设计等。
技能目标：1. 能够运用普里姆和克鲁斯卡尔算法解决最小生成树问题，并进行算法分析；2. 能够运用所学知识解决实际问题，具备一定的算法设计能力；3. 能够通过合作与交流，提高问题分析和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构与算法的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见；3. 培养学生面对问题勇于挑战、积极进取的精神。
课程性质：本课程为计算机科学与技术专业的高年级课程，旨在帮助学生掌握图论中的最小生成树问题及其求解方法。
学生特点：学生具备一定的编程基础和图论知识，对算法有一定的了解，但可能对最小生成树问题尚不熟悉。
教学要求：结合学生特点，采用案例教学、任务驱动等方法，注重理论与实践相结合，培养学生的实际操作能力和创新思维。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际问题中，提高解决复杂问题的能力。
二、教学内容1. 最小生成树概念与性质- 定义、性质及定理- 最小生成树的构建方法2. 普里姆算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用3. 克鲁斯卡尔算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用4. 最小生成树在实际问题中的应用- 网络设计- 电路设计- 其他领域应用案例5. 算法比较与优化- 普里姆与克鲁斯卡尔算法的比较- 算法优化方法及其适用场景6. 实践环节- 编程实现普里姆和克鲁斯卡尔算法- 分析并解决实际问题- 小组讨论与成果展示教学内容依据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
参考教材相关章节，制定以下教学安排：第1周：最小生成树概念与性质第2周：普里姆算法第3周：克鲁斯卡尔算法第4周：最小生成树在实际问题中的应用第5周：算法比较与优化第6周：实践环节与总结三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师通过生动的语言和形象的比喻，对最小生成树的概念、性质、算法原理等基础知识进行讲解，使学生快速掌握课程内容。
最小树问题
i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
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4 v6 v4
v5
4
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v3 5
6
v1 1
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v1 1
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4 v6 v4
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质：
E 树的边数等于其顶点数减“1”，即 V 1 ； 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接； 在树中任意去掉一条边后，便得到一个不连通的 图； 在树中任意两个顶点之间添加一条新边，所得新 图恰有一个初级圈。
例如，图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树，但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红，其余顶点为白点；在一个端 点为红色，另一个端点为白色的边中，找一条 权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； 如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中，最著名的两个是 Kruskal（克罗斯克尔）算法和 Prim（普瑞姆）算法， 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1．求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树，T0 中的边和 顶点均涂成红色，初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红 色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n1 条红色边，这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树，其生成树就不唯 一，而且非常多。一般地，n 个顶点地完全图，其 不同地生成树个数为 nn2。因而，寻求一个给定赋 权图的最小生成树，一般是不能用穷举法的。例如， 30 个顶点的完全图有 3028个生成树，3028 有 42 位， 即使用最现代的计算机，在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以，穷举法求最小生成树是无效的算 法，必须寻求有效的算法。
最小生成树问题
榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。
2.求城市之间最经济的架设方法。
3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。
三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。
（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。
（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。
（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。
1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。
国家集训队2004论文集_汪汀
可知如果(+a1,-b2)和(+a2,-b1)都是 T 的可行交换，则有ω(b2)≤ω(a1),ω(b1)≤ω (a2)，故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2); 否则，或者(+a1,-b2)或者(+a2,-b1)不是 T 的 可行交换，根据引理 1，T’=T+{a1,a2}-{b1,b2}仍然是 T 的 k 度限制生成树，则ω (T)≤ω(T’),故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2)。 ⑵充分性
综上，求最小 k 度限制生成树算法总的时间复杂度为 O(Vlog2V+E+kV)。
3、次小生成树
3.1、次小生成树的定义
设 G=(V,E,w)是连通的无向图，T 是图 G 的一个最小生成树。如果有另一棵树 T1，满 足不存在树 T’,ω（T’）<ω（T1） ，则称 T1 是图 G 的次小生成树。
3.2、求解次小生成树的算法
通过上述定理，我们就有了解决次小生成树问题的基本思路。 首先先求该图的最小生成树 T。时间复杂度 O(Vlog2V+E) 然后，求 T 的邻集中权值和最小的生成树，即图 G 的次小生成树。 如果只是简单的枚举，复杂度很高。首先枚举两条边的复杂度是 O(VE)，再判断该交换是否 可行的复杂度是 O(V)，则总的时间复杂度是 O(V2E)。这样的算法显得很盲目。经过简单的 分析不难发现，每加入一条不在树上的边，总能形成一个环，只有删去环上的一条边，才能 保证交换后仍然是生成树，而删去边的权值越大，新得到的生成树的权值和越小。我们可以 以此将复杂度降为 O(VE)。这已经前进了一大步，但仍不够好。 回顾上一个模型——最小度限制生成树，我们也曾面临过类似的问题，并且最终采用动态规 划的方法避免了重复计算，使得复杂度大大降低。对于本题，我们可以采用类似的思想。首 先做一步预处理，求出树上每两个结点之间的路径上的权值最大的边，然后，枚举图中不在
算法设计与分析课件--贪心法-最小生成树问题
6
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法思想：
❖Prim算法利用了最小生成树的上述性质。 ❖ 算法的关键是如何找出连接U和V-U所有边中的权值 最小的边(u, v)，并将v加入到U中。循环执行上述操作， 直至U=V为止。
7
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法设计：
❖ 设G=(V，E)是具有n个结点的无向连通带权图；设最 小生成树T=(U，TE)，算法结束时U=V，TE包含于E
点的无向连通带权图，U是
V的一个非空子集。最小生
成树的一个很重要的性质：
✓ (u, v)是一条具有最小权 值 的 边 ， 其 中 u∈U ， v∈V-U，则必存在一棵包
假设最小生成树T不包括(u,v)。 将(u,v)添加到T上产生回路， 将回路中另外一条边(u’,v’)去 掉得到另外一个树T’
含 边 (u ， v) 的 最 小 生 成 树 。
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
◼ Prim算法空间复杂性：
❖定义了辅助变量Q，其占用空间为|V|，从而空间复 杂度为O(|V|)。
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的正确性证明：
❖最优子结构性质：假设最小生成树为T，从V-U集合中 添加到集合U中的结点顺序为< u0, …, ui, …, un-1, un>， 需要证明： 顺序< u0, …, ui, …, un-1>亦为图G’=(V\{un}， E\{e})最小生成树T’ ，其中e={原图G中与结点un相连 的边}。
最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)问题
例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。
这对于处理非标准的MST问题非常方便。
我们主要参考了文[7]。
在图论中，称无圈的连通图为树。
在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。
生成树上各边的权之和称为该生成树的权。
连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。
许多实际问题都可以归结为最小生成树。
例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。
为了说明问题,以下面的问题作为范例。
范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。
试求出使电话线总长度最小的架线方案。
为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。
MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。
其步骤为：（1） 从图中任选一点i v 为树根， 让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。
atcoder关于最小生成树的题目
AtCoder 关于最小生成树的题目：在 AtCoder 的竞赛中经常会遇到与最小生成树相关的题目，这些题目往往需要我们深入理解最小生成树的概念和算法，并能够灵活运用它们解决实际问题。
在本文中，我们将从简到繁地探讨最小生成树的概念和相关算法，并且结合 AtCoder 中的一些题目进行讲解，帮助大家更好地理解和掌握这一重要的算法。
1. 最小生成树的概念最小生成树是指一个给定的带权无向连通图中，权值之和最小的生成树。
在这里，我们需要理解带权图、连通图以及生成树的概念。
带权图是指图中每条边都带有权值，连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径，生成树是指一个图中包含所有顶点的树。
最小生成树可以通过 Prim 算法和 Kruskal 算法来求解，这两个算法是我们在解决AtCoder 中相关题目时常用的方法。
2. Prim 算法Prim 算法是一种贪心算法，其核心思想是以一个顶点作为起点开始，逐步选择与当前生成树相邻且权值最小的边，直到所有顶点都被包含在生成树中。
在 AtCoder 的题目中，我们可能会遇到需要使用 Prim 算法求解最小生成树的情况。
某道题目给定了一个带权无向连通图，要求我们找到其最小生成树的权值之和，这时我们就可以考虑使用Prim 算法来解决。
3. Kruskal 算法Kruskal 算法也是求解最小生成树的常用算法之一，其思想是先将图中的边按权值从小到大排序，然后依次加入权值最小且不形成环的边，直到生成树中包含所有顶点为止。
在 AtCoder 的题目中，有时会要求我们使用 Kruskal 算法求解最小生成树的权值之和，这时我们需要对题目中的边进行排序并且判断是否形成环，从而得到最小生成树的权值。
4. AtCoder 相关题目在 AtCoder 的比赛中，经常会见到一些与最小生成树相关的题目，这些题目可能涉及到图论、树的搜索和动态规划等知识。
在解决这些题目时，我们需要结合 Prim 和 Kruskal 算法来思考，同时考虑到题目背景和限制条件，灵活选择合适的算法求解。
最短路径问题(Dijkstra算法)和最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)
t(j)=tmin;
end
end
end
ifk==n
break;
end
end
T;
c;
Prim算法程序：
function[T c] =Primf(a)
%a表示权值矩阵
%c表示生成树的权和
%T表示生成树的边集合
l=length(a);
a(a==0)=inf;
k=1:l;
listV(k)=0;
上机实验1、2
1.最短路径问题（Dijkstra算法）
2.最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）
一、最短路径问题（Dijkstra算法）
实验问题描述：如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地。
listV(1)=1;
e=1;
while(e<l)
min=inf;
fori=1:l
iflistV(i)==1
forj=1:l
iflistV(j)==0&min>a(i,j)
min=a(i,j);b=a(i,j);
s=i;d=j;
end
end
end
end
listV(d)=1;
distance(e)=b;
T =
3 4 1 2
4 5 3 5
c =
10
>> a=[0 5 3 7 inf;5 0 8 inf 4;3 8 0 1 6;7 inf 1 0 2;inf 4 6 2 0];
>> [T c] =Primf(a)
数学建模最小生成树例题
数学建模最小生成树例题例题1：某城市计划建设一条高速公路，需要在若干个村庄之间选择一条最优路径。
已知各个村庄之间的距离，请使用最小生成树算法为高速公路选择最优路径。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题2：一个通信网络由若干个节点和边组成，节点代表城市，边代表通信线路。
已知各个城市之间的距离和通信需求，请使用最小生成树算法为该通信网络设计一个最优的通信线路网。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总权重最小的树形结构，以满足各个城市之间的通信需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题3：一个城市的电力网由多个节点和边组成，节点代表发电厂或变电站，边代表输电线路。
已知各个节点之间的电抗和传输功率，请使用最小生成树算法为该城市电力网设计一个最优的输电线路。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总电抗最小的树形结构，以满足各个节点之间的电力传输需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的电抗从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
最小生成树问题
最小生成树问题
最小生成树问题是指在连接有n个点的图的所有n-1条边中，找到一棵边权和最小的树，这棵树包含了图中所有的点，并且所有点之间都是通过这些边相互连接的。
最小生成树问题可以用来解决一些实际问题，比如网络规划、电力传输、通信网络等。
在计算机领域中，最小生成树问题通常可以用来解决分布式系统中的数据同步问题、数据中心间的通信问题等。
常用的解决最小生成树问题的算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个初始点开始，每次选择与当前生成树相连的边中权值最小的边，并且将该边连接的点加入到生成树中。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的点为止。
Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法。
它将所有边按照权值从小到大排序，然后依次遍历每条边，如果这条边连接的两个点不在同一个连通分量中，则将这条边添加到最小生成树中，并合并这两个连通分量。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的点为止。
最小生成树问题是一个经典的优化问题，可以使用上述的两种算法来解决。
其中Prim算法的时间复杂度为O(n^2)，Kruskal
算法的时间复杂度为O(m log n)，其中n表示点的个数，m表示边的个数。
最小生成树题目
最小生成树文档========1. 图的表示和基本操作-----------在图论中，图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的一种结构。
顶点通常用V表示，边用E表示。
一个边连接两个顶点，可以用一个有序对(u, v)表示一条从顶点u到顶点v的边。
无向图中的边没有方向，而有向图中的边有方向。
在图的操作中，常见的有添加/删除顶点，添加/删除边，查找顶点等。
在最小生成树算法中，主要涉及到的操作有添加/删除边，查找顶点等。
2. 最小生成树的定义和性质----------------最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是指一个连通无向图中，一个连接所有顶点的子图，使得所有边的权值和最小。
最小生成树具有如下性质：* 最小生成树是连通的，即任意两个顶点之间都有路径相连。
* 最小生成树的边数等于V-1，其中V是顶点的数量。
* 最小生成树的权值和等于所有边的权值和。
4. Kruskal算法---------Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 将所有的边按照权值从小到大排序。
2. 初始化一个空的森林F。
3. 从第一条边开始，遍历所有的边，如果这条边的两个顶点在森林F中不连通，则将这条边加入森林F中，否则忽略这条边。
4. 如果森林F中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
否则，森林F就是最小生成树。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。
该算法具有稳定性和可并行性。
但是由于需要维护森林的数据结构，实际实现起来比较复杂。
5. Prim算法-------Prim算法是一种基于贪婪策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 初始化一个空的集合C，用于存储已经访问过的顶点。
2. 从任意一个顶点开始，将其加入集合C中。
3. 对于每一个顶点v，计算它到集合C中所有已经访问过的顶点的最小距离。
将距离最小的边对应的顶点加入集合C中。
4. 如果集合C中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
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河南城建学院课程设计报告书专业：计算机科学与技术课程设计名称：《数据结构课程设计》题目：最小生成树问题班级：学号：姓名：同组人员:指导老师：完成时间：2012年2月17日摘要本课程设计主要解决图的关键路径的实现。
在项目管理中，编制网络计划的基本思想就是在一个庞大的网络图中找出关键路径，并对各关键活动，优先安排资源，挖掘潜力，采取相应措施，尽量压缩需要的时间。
而对非关键路径的各个活动，只要在不影响工程完工时间的条件下，抽出适当的人力、物力和财力等资源，用在关键路径上，以达到缩短工程工期，合理利用资源等目的。
在执行计划过程中，可以明确工作重点，对各个关键活动加以有效控制和调度。
关键路径法将项目分解成为多个独立的活动并确定每个活动的工期，然后用逻辑关系（结束-开始、结束-结束、开始-开始和开始结束）将活动连接，从而能够计算项目的工期、各个活动时间特点（最早最晚时间、时差）等。
在关键路径法的活动上加载资源后，还能够对项目的资源需求和分配进行分析。
在本程序设计中，要求实现图的关键路径，最小生成树，判断两点之间是否有路径，程序由2个模块组成，分别为主函数的创建及其他相关函数的设计。
程序通过调试运行，初步实现了设计目标。
在课程设计中，系统开发平台为Windows 2000，程序设计设计语言采用Visual C++，程序运行平台为Windows 98/2000/XP。
关键词程序设计； C++；图；关键路径目录目录 .................................................................................................................................. - 3 - 第一章开发环境和开发工具 (4)1.1 C/ C ++语言简介 (4)1.1 开发背景 (4)1.3 开发环境 (5)第二章算法思想 (6)2.1 系统需求分析 (6)2.2 系统总体设计 (7)2.2.1 系统设计目标 (7)2.2.2 开发设计思想 (7)2.2.3 系统功能模块设计 (9)2.3 算法思想描述 (9)第三章算法实现 (11)3.1 数据结构 (11)3.2 程序模块 (12)1.insertsort函数 (12)3.3 各模块之间的调用关系 (17)3.4 源程序代码 (17)第四章测试与分析 (27)4.1 测试数据选择 (27)总结 (30)心得体会 (31)参考文献 (32)第一章开发环境和开发工具1.1 C/ C ++语言简介C语言是一种计算机程序设计语言。
它既具有高级语言的特点，又具有汇编语言的特点。
它由美国贝尔研究所的D.M.Ritchie于1972年推出。
1978后，C 语言已先后被移植到大、中、小及微型机上。
它可以作为工作系统设计语言，编写系统应用程序，也可以作为应用程序设计语言，编写不依赖计算机硬件的应用程序。
它的应用范围广泛，具备很强的数据处理能力，不仅仅是在软件开发上，而且各类科研都需要用到C语言，适于编写系统软件，三维，二维图形和动画。
具体应用比如单片机以及嵌入式系统开发C++语言是一种优秀的面向对象程序设计语言，它在C语言的基础上发展而来，但它比C语言更容易为人们学习和掌握。
C++以其独特的语言机制在计算机科学的各个领域中得到了广泛的应用。
面向对象的设计思想是在原来结构化程序设计方法基础上的一个质的飞跃，C++完美地体现了面向对象的各种特性。
1.1 开发背景数据结构课程是计算机专业最重要的基础课之一，主要研究分析计算机存储、组织数据的方式，使学生能够根据数据对象的特征，选择适当的数据结构、存储结构及相应算法，初步掌握各种算法在时间和空间上的分析技巧，并能够进行算法和程序设计，使所涉及的程序结构清楚，正确易读[3]。
数据的组织方法和现实世界问题在计算机内部的表示方法，并能针对应用问题，选择合适的数据逻辑结构、存储结构及其算法，掌握解决复杂问题的程序设计方法和技术。
选择合适的数据结构更容易设计出更高效运行或存储效率的算法；图是一种较线性表和树更为复杂的数据结构。
在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中的任意两个元素之间都可能相关。
在社会主义建设时期，各个城市建设问题尤其是网络建设尤为重要。
在保证各个城市能互相连通的情况下，怎么保证建设网络，怎么建设最省钱是建设工程公司所需考虑的重大情况。
从而能节省更多的钱来投资其他地方建设，如农村交通建设。
各个各个城市建设好之后，则可再根据将城市作为一个结点和其它城市再次运用最小生成树。
最小生成树则能有效的解决此问题。
例如，以尽可能低的总价建设若干网络管道，把n个城市联系在一起。
1.3 开发环境本文所采用的开发环境主要是基于Windows XP系统，编程环境主要是在VC6.0++中。
第二章算法思想2.1 系统需求分析根据课设题目要求，拟将整体程序分为三大模块。
以下是三个模块的大体分析：1.要确定图的存储形式，通过对题目要求的具体分析。
发现该题的主要操作是路径的输出，因此采用边集数组（每个元素是一个结构体，包括起点、终点和权值）和邻接矩阵比较方便以后的编程。
2.Kruskal算法。
该算法设置了集合A，该集合一直是某最小生成树的子集。
在每步决定是否把边（u,v）添加到集合A中，其添加条件是A∪{（u,v）}仍然是最小生成树的子集。
我们称这样的边为A的安全边，因为可以安全地把它添加到A中而不会破坏上述条件。
3.Dijkstra算法。
算法的基本思路是：假设每个点都有一对标号（d j,p j）,其中d是从起源点到点j的最短路径的长度（从顶点到其本身的最短路径是零路（没有弧的路），其长度等于零）；p j则是从s到j的最短路径中j点的前一点。
求解从起源点s到点j的最短路径算法的基本过程如下：1）初始化。
起源点设置为：①d s=0,p s为空；②所有其它点：d i=∞,p i=？；③标记起源点s，记k=s，其他所有点设为未标记的。
2）k到其直接连接的未标记的点j的距离，并设置：d j=min[d j, d k+l kj]式中，l kj是从点k到j的直接连接距离。
3）选取下一个点。
从所有未标记的结点中，选取d j中最小的一个i：d i=min[d j, 所有未标记的点j]点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。
4）找到点i的前一点。
从已标记的点中找到直接连接到i的点j*，作为前一点，设置：i=j*5)标记点i。
如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i，转到2）再继续。
而程序中求两点间最短路径算法。
其主要步骤是：①调用dijkstra算法。
②将path中的第“终点”元素向上回溯至起点，并显示出来。
2.2 系统总体设计2.2.1 系统设计目标本次针对数据结构中图的关键路径的实现的程序设计实践不仅可以加深对课程内容的理解，更重要的是可以通过实践进一步掌握程序设计的技能与方法，初步感受软件开发过程的项目管理方法与规范，为更进一步的学习打下基础。
数据结构是一门实践性很强的学科。
良好的系统设计和分析能力的培养需要通过长期、系统的训练(包括理论和实践两方面)才能获得。
1)初步掌握软件开发过程的问题分析、系统设计、程序编码、测试等基本方法和技能；2)训练学生灵活应用所学数据结构的基本知识，熟练的完成问题分析、算法设计、编写程序，求解出指定的问题；3)训练用系统的观点和软件开发一般规范进行软件开发，巩固、深化学生的理论知识，提高编程水平，并在此过程中培养严谨的科学态度和良好的工作作风；4)提高综合运用所学的理论知识和方法独立分析和解决问题的能力。
2.2.2 开发设计思想基于以上系统设计目标，本文在系统时遵循了以下开发设计思想:1.尽量采用现有软硬件环境，及先进的管理系统开发方案，从而达到充分利用现有资源，提高系统开发水平，来达到应用效果的目的。
2.系统应符合采购、发放、库存的规定，满足企事业日常工作需要，并达到操作过程中的直观、方便、实用、安全等要求。
3.系统采用模块化程序设计方法，既便于系统功能的各种组合和修改，又便于未参与开发的技术维护人员补充、维护。
4.系统应具备数据库维护功能，及时根据用户需求进行数据添加、删除、修改等操作。
2.2.3 系统功能模块设计图2.1 功能模块图2.3 算法思想描述1. Kruskal 函数：因为Kruskal 需要一个有序的边集数组，所以要先对边集数组排序。
其开始输入顶点个数n输入边数e输入边集 显示菜单，进行选择。
求两点间最短距离求两点间最短距离 Kruskal 算法 结束次，在执行中需要判断是否构成回路，因此还需另有一个判断函数seeks，在Kruskal中调用seeks。
2. dijkstra函数：因为从一源到其余各点的最短路径共有n-1条，因此可以设一变量vnum 作为计数器控制循环。
该函数的关键在于dist数组的重新置数。
该置数条件是：该顶点是被访问过，并且新起点到该点的权值加上新起点到源点的权值小于该点原权值。
因此第一次将其设为：if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u]<dist[w]）。
但是在实际运行中，发现有些路径的权值为负。
经过分析发现，因为在程序中∞由32767代替。
若cost[u][w]==32767，那么cost[u][w]+dist[u]肯定溢出主负值，因此造成权值出现负值。
但是如果cost[u][w]==32767，那么dist[w]肯定不需要重新置数。
所以将条件if(s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u]<dist[w]&&cost[u][w]!=32767)。
修改之后问题得到解决。
3.printpath1函数：该函数主要用来输出源点到其余各点的最短路径。
因为在主函数调用该函数前，已经调用了dijkstra函数，所以所需的dist、path、s数组已经由dijkstra函数生成，因此在该函数中，只需用一变量控制循环，一一将path数组中的每一元素回溯至起点即可。
其关键在于不同情况下输出形式的不同。
4.printpath2函数：该函数主要用来输出两点间的最短路径。
其主要部分与printpath1函数相同，只是无需由循环将所有顶点一一输出，只需将path数组中下标为v1的元素回溯至起点并显示出来。
第三章算法实现3.1 数据结构·3.1.1存储结构定义一个结构体数组，其空间足够大，可将输入的字符串存于数组中。
struct ees{int bv;int tv;int w;};3.2 程序模块1.insertsort 函数（时间复杂度为O(n)）开始int i,jfor(i=2;i<=e;i++)ge[i].w<g e[i-1].wge[0]=ge[i]; j=i-1;g e[0].w<ge[j ].ge[j+1]=ge[j]; j--;Yge[j+1]=ge[0];NY结束N图3.1 insertsort 函数流程图2．Kruskal 函数（时间复杂度为O(nlogn)）图3.2 Kruskal 函数流程图开始int set[MAXE],v1,v2,i,j;for(i=1;i<n+1;i++) set[i]=0; i=1;j=1;j<=e&&i<=n-1v1!=v2v1=seeks(set,ge[j].bv);v2=seeks(set,ge[j].tv);printf("(%d,%d):%d\n",ge[j].bv,g e[j].tv,ge[j].w); set[v1]=v2; i++;j++;YY结束NN3. dijkstra函数（时间复杂度为O(n)）开始int u,vnum,w,wm;for(w=1;w<=n;w++){dist[w]=cost[v0][w];if(cost[v0][w]<32767)path[w]=v0;}vnum=1;vnum<n-1YNwm=32767; u=v0;for(w=1;w<=n;w++)if(s[w]==0&&dist[w]<wm){u=w;wm=dist[w];}s[u]=1;vnum++;for(w=1;w<=n;w++)if(s[w]==0&&dist[u]+cost[u][w]<dist[w]&&cost[u][w]!=32767){dist[w]=dist[u]+cost[u][w];path[w]=u;}结束图3.3 dijkstra函数流程图4. printpath1函数（时间复杂度为O(n)）图3.4 printpath1函数流程图5. printpath2函数（时间复杂度为O(n)）开始i nt i,k;for(i=1;i<=n;i++)s[i]==1k=i; while(k!=v0){ printf("%d<-",k); k=path[k];}printf("%d:%d\n",k,dist[i]);printf("%d<-%d:32767\n",i,v0);结束YN开始int k; k=v1;while(k!=v0){printf("%d<-",k);k=path[k];}结束图3.5 printpath2函数流程图3.3 各模块之间的调用关系3.6各模块之间的调用关系3.4 源程序代码#define MAXE 100struct edges/*边集类型,存储一条边的起始顶点bv 、终止顶点tv 和权开始输入顶点个数n 输入边数e 输入选项aa=1调用insertsort ，kruskal 函数a=2输入v0调用dijkstra ，printpath1函数a=3输入v0,v1调用dijkstra ，printpath2函数输入a=4结束w*/{int bv;int tv;int w;};typedef struct edges edgeset;int seeks(int set[],int v){int i;i=v;while(set[i]>0)i=set[i];return i;}void kruskal(edgeset ge[],int n,int e)/*ge表示的图是按权值从小到大排列的*/{int set[MAXE],v1,v2,i,j;for(i=1;i<n+1;i++)set[i]=0;i=1;j=1;while(j<=e&&i<=n-1)/*按边权递增顺序,逐边检查该边是否应加入到生成树中*/{v1=seeks(set,ge[j].bv);/*确定顶点v所在的连通集*/v2=seeks(set,ge[j].tv);if(v1!=v2)/*当v1,v2不在同一顶点集合,确定该边应当选入生成树*/{printf("(%d,%d):%d\n",ge[j].bv,ge[j].tv,ge[j].w);set[v1]=v2;i++;}j++;}}void insertsort(edgeset ge[],int e){int i,j;for(i=2;i<=e;i++)if(ge[i].w<ge[i-1].w){ge[0]=ge[i];j=i-1;while(ge[0].w<ge[j].w){ge[j+1]=ge[j];j--;}ge[j+1]=ge[0];}}void dijkstra(int cost[MAXE][MAXE],int dist[MAXE],int path[MAXE],int s[MAXE],int n,int v0)//求两个点之间的最短路径{int u,vnum,w,wm;for(w=1;w<=n;w++){dist[w]=cost[v0][w];if(cost[v0][w]<32767)path[w]=v0;}vnum=1;while(vnum<n-1){wm=32767;u=v0;for(w=1;w<=n;w++)if(s[w]==0&&dist[w]<wm){u=w;wm=dist[w];}s[u]=1;vnum++;for(w=1;w<=n;w++)if(s[w]==0&&dist[u]+cost[u][w]<dist[w]&&cost[u][w]!=32767) {dist[w]=dist[u]+cost[u][w];path[w]=u;}}}void printpath1(int dist[],int path[],int s[],int n,int v0)//printpath1 函数{int i,k;for(i=1;i<=n;i++)if(s[i]==1){k=i;while(k!=v0){printf("%d<-",k);k=path[k];}printf("%d:%d\n",k,dist[i]);}elseprintf("%d<-%d:32767\n",i,v0);}void printpath2(int dist[],int path[],int v0,int v1)//printpath2 函数{int k;k=v1;while(k!=v0){printf("%d<-",k);k=path[k];}printf("%d:%d\n",k,dist[v1]);}main()//输入顶点的个数，边的信息{edgeset ge[MAXE];intcost[MAXE][MAXE],dist[MAXE],path[MAXE],s[MAXE],a,n,e,i,j,k,v0, v1;printf("请输入顶点个数:");scanf("%d",&n);printf("请输入边的条数:");scanf("%d",&e);printf("请输入边的信息（起点，终点，权值）:\n");for(i=1;i<=e;i++)scanf("%d,%d,%d",&ge[i].bv,&ge[i].tv,&ge[i].w);printf("在下列菜单中进行选择：\n");printf("1.kruskal算法（（起点，终点）权值）：\n");printf("2.shortpath（终点<-起点）：\n");printf("3.shortpath between two point（终点<-起点）：\n");printf("4.exit（退出）：\n");scanf("%d",&a);while(a!=4){switch(a){case 1:insertsort(ge,e);kruskal(ge,n,e);break;case 2:printf("请输入起始顶点序号:");scanf("%d",&v0);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)cost[i][j]=32767;for(k=1;k<=e;k++){i=ge[k].bv;j=ge[k].tv;cost[i][j]=ge[k].w;}for(i=1;i<=n;i++)s[i]=0;s[v0]=1;dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0);printpath1(dist,path,s,n,v0);break;case 3:printf("请输入起始顶点序号:");scanf("%d",&v0);printf("请输入终点序号:");scanf("%d",&v1);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)cost[i][j]=32767;for(k=1;k<=e;k++){i=ge[k].bv;j=ge[k].tv;cost[i][j]=ge[k].w;}for(i=1;i<=n;i++)s[i]=0;s[v0]=1;dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0);printpath2(dist,path,v0,v1);break;}printf("在下列菜单中进行选择：\n");printf("1.kruskal算法（（起点，终点）权值）：\n"); printf("2.shortpath（终点<-起点）：\n");printf("3.shortpath between two point（终点<-起点）：\n"); printf("4.exit（退出）：\n");scanf("%d",&a);}return 1;}第四章测试与分析4.1 测试数据选择顶点个数：6边的个数：10边的信息（起点终点权值）：1 2 6；1 31；1 4 5；2 3 5；2 5 3；3 4 5；3 5 6；3 6 4；4 6 2；5 6 6；·4.2 测试结果分析·4.2.1 调试过程在调试程序时主要遇到一下几类问题：1.有时函数中一些数组中的数据无法存储。