等比数列的通项公式
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列通项公式为an=a1*q^（n－1)(1,n-1均为下标)。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。
等比数列的通项公式形式可类比成为指数函数，故在进行增减性讨论时，可以借助指数函数的增减性，加之系数的正负，确定最终等比数列的增减性问题。
还应注意：
1、等比数列所有的奇数项同号。
2、等比数列所有的偶数项同号。
3、因为偶次方根有正负两解，所以已知等比数列的任意两项，等比数列并不确定。
等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结
等差数列是指每一项与前一项之差相等的数列，而等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列问题，因此了解等差和等比数列的公式是非常重要的。
等差数列的公式：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=[n(2a1+(n-1)d)]/2
其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为前n项和。
等比数列的公式：
1.通项公式：an=a1*r^(n-1)
其中，a1为首项，r为公比，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)
其中，a1为首项，r为公比，n为项数，Sn为前n项和。
以上是等差和等比数列的公式大总结。
通过掌握这些公式，我们可以更加轻松地解决各种数列问题。
同时，也可以通过这些公式发现数列的规律，进一步深入了解数学知识。
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高中等比数列公式大全
高中等比数列公式大全高中数列公式如下：一、等比数列：a（n+1）/an=q（n∈N）。
二、通项公式：an=a1×q^（n-1）；推广式：an=am×q^（n-m）。
三、求和公式：Sn=n×a1（q=1）Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-an ×q）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。
四、性质：1、若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。
2、在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
3、若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2五、“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”。
六、在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等差数列的定义以及证明方法：一、定义1、如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．2、求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有3、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为增数列；当d<0时，数列为递减数列；4、是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；5、证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
二、等差数列求解与证明的基本方法：1、学会运用函数与方程思想解题。
2、抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键。
3、等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二’）。
等比数列通项推导
等比数列通项推导
等比数列是一种以相同比率累加的数列，其中每一项都是前一项的等比倍数。
也可以称作几何级数，在数学中，它有着重要的意义，许多史前文明也曾经发现过它。
公式形式表示为：
an=arr/a1
其中，a1为等比数列中的第一项；r为等比倍数。
等比数列通项推导
等比数列通项指的是等比数列中任意项的表达式，可以用以下公式推导：
an=αrn-1
其中，a1为等比数列中的第一项，r为等比倍数，n为等比数列中的项数，α为一个任意数。
将上述公式带入等比数列定义式中，可以得出：
αrn-1=arr/a1
由此可以得到：
α=a1r1-n
综上，可以得出等比数列通项的推导公式：
an=a1r1-nrn-1
应用
等比数列的通项推导的应用很多，比如：
（1）在求解等比数列的和时，可以利用等比数列的通项推导来计算出数列的和；
（2）在求解等比数列的极限时，可以利用等比数列的通项推导来计算数列的极限；
（3）在解决多项式恒等式时，可以利用等比数列的通项推导来解答恒等关系；
（4）在计算给定项数等比数列的值时，可以利用等比数列的通项推导来计算数列的值；
（5）在计算等比数列的平均值时，可以利用等比数列的通项推导计算等比数列的平均值。
总结
等比数列是一种以相同比率累加的数列，它有着重要的意义，在数学中有着广泛的应用。
本文详细介绍了等比数列通项推导的推导公式，以及它的应用，以期为读者提供一种便捷有效的方法来处理等比数列上的问题。
可见，等比数列通项推导与其他数学知识之间有着联系，所以，在学习数学的时候，应当重视等比数列的知识，多多加以练习，对于日后的数学学习和用处都有非常重要的作用。
等比数列公式_公式总结
等比数列公式_公式总结如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时，Sn=n×a1（q=1）记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
高中数学等比数列公式是什么
高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。
如函数过的定点、二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
等比数列的通项公式及性质
一、等比数列的通项公式
设等比数列{an
}的公比为q，则：
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
a…3 …
累乘法
an q an 1
累乘得： an qn1
a1
a 等比数列的通项公式： na1q 源自 1 法二： a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q2
特别地，若m+n=2p,则aman ap2. m, n，p,q N
1、在等比数列中，
(1)若a2= 2，a10=20,则a5a7=
a6=
(2)若a3a5a8a10=16 ，则 a4a9=_____
(3)若a3a4a5a6a7=-32，则 a5=______
（5)若a3=-2，则等比数列的前5项的积为______
作业：P15---练习，P19---A组1,2,3,4,5
能力提升
例4：在数列an中，a1=1，an 3an1,
求数列的通项公式an。
二、性质
性质1：an amqnm
m, n N
可变形为：an am
q
nm
分例析2：：1已数知列任{意an一}为项等am及比公数比列q即：可求出通项公式。
从第2项起,每一项与它前 概
一项的比等同一个常数 念
等差数列
从第2项起,每一项与它前
一项的差等同一个常数
公比(q)
常
数
q可正可负,但不可为零 性
质
an a1 qn1
通 项
通
an am qnm (m, n N*)
项 变
形
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结引言在数学中，数列是由一系列有序的数字按一定规律排列而成的序列。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将重点总结等比数列的性质公式。
等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项（除首项外）都与它前一项成等比关系的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么该数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)，其中an为第n项。
性质公式一：第n项公式等比数列的第n项公式可通过通项公式进行推导。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项an可表示为：an = a * r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比和首项的情况下，快速计算出任意一项的值。
性质公式二：前n项和公式等比数列的前n项和公式可以帮助我们计算等比数列前n项的和。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么前n项的和Sn可表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)性质公式三：通项公式与首项之间的关系在等比数列中，通项公式与首项之间存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么首项a可表示为：a = an / r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比、任意一项的值以及项数的情况下，求解出首项的值。
性质公式四：公比和项数之间的关系在等比数列中，公比和项数之间也存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么公比r可表示为：r = (an / a)^(1 / (n-1))这个公式可以帮助我们在已知首项、任意一项的值以及项数的情况下，求解出公比的值。
性质公式五：等比数列的特殊性质等比数列还有一些特殊性质，如首项为1，公比为正数，则数列的前n项和公式可以简化为：Sn = (1 - r^n) / (1 - r)其中，r不等于1。
总结等比数列是数学中常见的数列类型之一，我们通过总结上述性质公式，可以更好地理解和应用等比数列。
这些性质公式包括了等比数列的第n项公式、前n项和公式以及通项公式与首项之间的关系等。
高中数学等比数列通项公式
高中数学等比数列通项公式高中数学等比数列通项公式大全学好数学的关键是公式的掌握，数学在多个不同领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。
下面是小编为大家整理的高中数学等比数列通项公式，希望能帮助到大家!等比数列通项公式an=a1__q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)an=Sn-S(n-1)(n≥2)前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1__q’n)/(1-q)(q≠1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=na1高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
等比数列通项公式和前n项和公式
等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。
在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。
英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。
其中an表示第n项，q为公比。
英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。
理解等比数列的通项与求和公式
理解等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的通项公式和求和公式是解决等比数列问题的基本工具。
理解等比数列的通项与求和公式有助于我们更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列的每一项与它前一项的比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)其中aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。
公比r是一个常数，对于等比数列中的任意两项aₙ和aₙ₊₁，它们的比值都是r。
二、等比数列的通项公式推导为了更好地理解等比数列的通项公式，我们来推导一下。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们需要找出等比数列中的第n项aₙ与首项a₁和公比r之间的关系。
我们可以通过观察等比数列的性质得出以下结论：a₂ = a₁ * ra₃ = a₂ * r = a₁ * r * r = a₁ * r²a₄ = a₃ * r = a₁ * r² * r = a₁ * r³...可以看出，每一项都是前一项与公比r的乘积。
根据这个规律，我们可以推断出等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)三、等比数列的求和公式求和公式是用来计算等比数列所有项的和的公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n，那么等比数列的前n项和Sₙ可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)Sₙ = a₁ * n (r = 1)其中Sₙ表示等比数列的前n项和。
四、等比数列的应用举例现在我们通过一个具体的例子来应用等比数列的通项公式和求和公式。
例子：求等比数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第10项和前10项和。
首先确定等比数列的首项和公比，可以发现首项a₁为1，公比r为2。
根据等比数列的通项公式，可以计算出第10项的值：a₁₀ = 1 * 2^(10-1) = 1 * 2^9 = 512接下来，根据等比数列的求和公式，可以计算出前10项的和：S₁₀ = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 1 * (1 - 1024) / (1 - 2) = -1023所以，该等比数列的第10项为512，前10项的和为-1023。
等比数列的通项公式
（2）1.2，2.4，4.8，…
a4 1.2 241 9.6, a5 1.2 251 19.2.
(3) 2 , 1 , 3 , 328
a4
2
3
41
3 4
9 32 ,a5
2 3
3 51
4
27 , 128
2
(4 ) 2 ,1,
120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有 效数字）？
解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 an
其中a1 120, q 120, n 5
数学式 子表示
an+1-an=d
通项公式 an = a1 +（n-1）d
an1 q an
an a1qn1
求下等列等比比数数列的列第4的，5通项：项公式练a习n 1a1 qn1
（1） 5，-15，45，…
a4 5 (3)41 135, a5 5 (3)51 405.
an
1 10n 4
，求首
2
9
1
3.在等比数列中，已知首项为
公比为 2 ，则项数 n 等于（
8 ，末项为
4）
3
，
3
归纳：
数列
等差数列
定义式 公差（比）
an+1-an=d d 叫公差
定义变形 通项公式 一般形式
an+1=an+d an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
等比数列 公式
等比数列公式
摘要：
1.等比数列的定义与性质
2.等比数列的通项公式
3.等比数列的前n 项和公式
4.等比数列的应用示例
正文：
等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比都相等。
这个常量比被称为等比数列的公比。
等比数列的性质包括：如果m，n 是等比数列{a_n}中的项，那么m+n，m-n，mn 也是等比数列；若m，n 是等比数列{a_n}中的项，那么mn=a_m+n。
等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
等比数列的前n 项和公式为：S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，其中S_n 是前n 项和，a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
等比数列在实际问题中有广泛的应用，例如在金融领域，等比数列可以用来计算复利；在生物学中，等比数列可以用来描述种群的增长等。
例如，假设有一个等比数列{a_n}，首项a_1=1，公比q=2，项数
n=10，我们可以使用等比数列的通项公式计算第5 项的值：a_5=1*2^(5-1)=16。
高中数学等比数列公式
高中数学等比数列公式
等比数列是一种常见的数列，在高中数学中经常出现。
它的公式可以用来计算
数列中的任意一项。
等比数列是由一个首项和一个公比确定的数列。
公比是指数列中的每一项与前
一项的比值相等。
等比数列的通项公式如下：
an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比。
根据这个公式，我们可以求解数列中任意一项的值。
首先，找到等比数列的首项a1和公比r。
然后，根据给定的要求，计算出所需
的数列项。
例如，如果给定首项a1=2，公比r=3，要求计算数列的第5项。
首先，代入公式计算第5项：
a5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162
所以，数列的第5项为162。
通过等比数列公式，我们可以方便地计算等比数列中任意一项的值，而无需逐
个计算。
这在解决数学问题和实际应用中具有重要意义。
同时，也需要注意数列序号从1开始，因此在计算时要注意序号的对应关系。
总之，等比数列公式是高中数学中重要的概念之一，它可以用来计算等比数列
中的任意一项。
通过理解和掌握这个公式，我们能够更好地应用数列概念解决问题，并提高数学能力。
等比数列的通项
等比数列的通项等比数列是数学中非常重要的一种数列，它的通项公式与等差数列的通项公式相似，但它们的增量是相乘而非相加的。
在本文中，我们将介绍等比数列的通项公式及其性质。
一、等比数列的定义等比数列是一个由各项元素乘以同一个比例数得出的数列，这个比例数叫做等比数列的公比。
用符号 q 来表示公比，第 n 项为 $a_n$ 则有：$$a_n = a_1 q^{n-1}$$其中，$a_1$ 是等比数列的首项。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过递推公式及通项公式推导出来。
1. 递推公式等比数列的递推公式可以表示为：$$a_{n+1}=q\\times a_n$$该公式说明了等比数列中的每一项都是前一项乘以公比。
例如，第二项是第一项乘以公比，第三项是第二项乘以公比，以此类推。
2. 通项公式由递推公式可以得到以下的推导过程：$$a_{n+1}=q\\times a_n$$$$a_n=q\\times a_{n-1}$$$$a_{n-1}=q\\times a_{n-2}$$将第二个式子代入第一个式子中，可以得到：$$a_{n+1}=q\\times q\\times a_{n-1} = q^2\\times a_{n-2}$$继续将第三个式子代入第二个式子中，可以得到：$$a_{n+1}=q\\times q\\times q\\times a_{n-2} = q^3\\times a_{n-3}$$ 以此类推，可以得到通项公式：$$a_n=a_1 \\times q^{n-1}$$三、等比数列的性质1. 通项公式的说明等比数列的通项公式表明，每一项是上一项乘以公比而得。
这说明等比数列是一个不断等比放大的过程，每一项都是前一项的一定倍数。
2. 公比 q 的作用公比 q 决定了等比数列的增量。
如果 q 大于 1，则等比数列是一个不断增长的数列；如果 q 小于 1，则等比数列是一个递减的数列；如果 q 等于 1，则等比数列是一个常数序列。
等比数列的通项公式及性质
数列求通项公式的9种方法
例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。
2 ，为偶数时
变式训练15
n2
a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an
(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
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等比数列的通项公式
例1
已知{a n}为等比数列，
求证：当m＋n=p＋l时
a m·a n=a p·a l
证明：
设等比数列的首项a1，公比为q，
∵m＋n=p＋l
∴a m·a n=a p·a l得证．
评注：
本题证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷．
例2
在等比数列{a n}中
(1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值；
(2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项a n．
分析：利用等比数列的定义和性质整体观察．
解
(1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{a n}的公比)．
设为{A n}，即A1=6，A2=－3，
(2)由已知可以看到
∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1
∴a n=2n-1．
评注：
以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷．
例3
在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10=
[ ] A．12
B．10
C．8
D．2＋log35
解：
根据等比中项的性质，
a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9．
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95．
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
=log3(a1a2 (10)
=log395
=5log39
=10．
故正确答案为(B)．
评注：
(1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷．
(2)对等比数列{a n}，有以下结论：
例4
若{a n}为等比数列，且a n＞0，已知a5a6=128
则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为
[ ] A．5
B．28
C．35
D．40
分析：
利用等比数列项间相等的性质不难求得
解：
原式=log2(a1a2a3 (10)
由等比数列数列性质
a1·a10=a2·a9=a3·a8=…=a5·a6
∴原式=log2(a5·a6)5
=5log2128
=5×7
=35．所以选(C)
例5
在3和9之间插入两个正数，使前三数成等比数列，后三数成等差数列，求这两个数之和．
分析：
欲求这两数之和，只须求得此二数，可依条件列方程、方程组解决．解：
设插入的两个数分别为x、y
评注：
(1)此题亦可改设为：3，3q，3q2，9或3，9－2d，9－d，9．这样利用等差或等比的条件设，方程少，计算简单．
三数成等差知和a 可设为：x－d，x，x＋d
四数成等差知和a 可设为：x－3d，x－d，x＋d，x＋3d，此时公差为2d
例6
分析：
等比数列中，a n，a2n，a3n，a4n仍成等比数列，利用该性质不难解出
解：
∴{a n}成等比数列．
由等比数列的性质a n，a2n，a3n，a4n仍成等比
设公比为G
∴a4n=a n·G3=8×83=4096
评注：
{a n}成等比数列，则a k，a2k，a3k，a4k仍成等比，且它们的公比是原公比q的k次方．
例7
{a n}为等比数列，且a n＞0，a2·a4＋a4·a6＋2a3a5=25
求a3＋a5
分析：
注意到下标特点，等比中项及等比数列有关性质不难得到结论
解：
∴由原式有：(a3＋a5)2=25
又a n＞0
∴a3＋a5=5．。