数值分析(第五版)计算实习题第三章
数值分析计算实习题

数值分析计算实习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《数值分析》计算实习题姓名:学号:班级:第二章1、程序代码Clear;clc;x1=[ ];y1=[ ];n=length(y1);c=y1(:);for j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i-1)*df(i);endP4=vpa(sum(d),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数q=;q1=q(1,:)*[^3;^2;;1];q1=vpa(collect(q1),5)q2=q(1,:)*[^3;^2;;1];q2=vpa(collect(q2),5)q3=q(1,:)*[^3;^2;;1];q3=vpa(collect(q3),5)q4=q(1,:)*[^3;^2;;1];q4=vpa(collect(q4),5)%求解并化简多项式2、运行结果P4 =*x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - *(x - + q1 =- *x^3 + *x^2 - *x +q2 =- *x^3 + *x^2 - *x + q3 =- *x^3 + *x^2 - *x + q4 =- *x^3 + *x^2 - *x +3、问题结果4次牛顿差值多项式4()P x = *x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - *(x - +三次样条差值多项式()Q x0.10.20.30.40.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.911.1323232321.33930.803570.40714 1.04,[0.2,0.4]1.3393 1.60710.88929 1.1643,[0.4,0.6]1.3393 2.4107 1.6929 1.4171,[0.6,0.8]1.3393 3.21432.8179 1.8629,[0.8,1.0]x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧-+-+∈⎪-+-+∈⎪⎨-+-+∈⎪⎪-+-+∈⎩第三章1、程序代码Clear;clc; x=[0 1]; y=[1 ];p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合 p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合 y1=polyval(p1,x);y2=polyval(p2,x);%多项式求值plot(x,y,'c--',x,y1,'r:',x,y2,'y-.')p3=polyfit(x,y,2)%观察图像,类似抛物线,故用二次多项式拟合。
数值分析课程第五版课后习题答案

=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时,怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ? 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ,当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减,设 α = arctan( N + 1) , β = arctan N ,则 N + 1 = tan α , N = tan β ,从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%,问度量半径 R 允许的相对误差是多少? 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知, 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) , 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ,
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ,因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ,取 2 ≈ 1.4 ,利用下列公式计算,哪一个得到的结果最 好? 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ,
(完整版)数值分析第五版答案(全)(最新整理)
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第一章 绪论1.设,的相对误差为,求的误差。
0x >x δln x 解:近似值的相对误差为*x *****r e x x e x x δ-===而的误差为ln x ()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2.设的相对误差为2%,求的相对误差。
x n x 解:设,则函数的条件数为()n f x x ='()||()p xf x C f x =又, 1'()n f x nx -= 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且为2(*)r e x ((*))0.02n r x nε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:,, , ,*1 1.1021x =*20.031x =*3385.6x =*456.430x =*57 1.0.x =⨯解:是五位有效数字;*1 1.1021x =是二位有效数字;*20.031x =是四位有效数字;*3385.6x =是五位有效数字;*456.430x =是二位有效数字。
*57 1.0.x =⨯4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ,(2) ,(3) .***124x x x ++***123x x x **24/x x 其中均为第3题所给的数。
****1234,,,x x x x 解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?解:球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===A A (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=A 又%1(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006.设,按递推公式 (n=1,2,…)028Y =1n n Y Y -=-计算到(5位有效数字),试问计算将有多大误差?100Y 27.982≈100Y解: 1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =-依次代入后,有1000100Y Y =-即,1000Y Y =-, 27.982≈100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯的误差限为。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
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数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章:数值分析导论1. 解答:数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题,其结果可能不是完全精确的,但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答:数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础,对许多领域都有着广泛的应用,如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答:数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比,数值方法一般更加灵活和高效,可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答:计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中,由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素,都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章:数值误差分析1. 解答:绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如,对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0,其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度,通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答:相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0,其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度,常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答:舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数,因此在进行数值计算过程中,舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答:误差限度是指对于给定的数值计算问题,所能容忍的误差范围。
计算方法与实习第五版-习题答案
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3.2589
3.2590 4.3820 0.00078925
绪论
习题1——4:已知下列近似值x1=4.8675, x2=4.08675, x3=0.08675,求x1+x2+x3 的误差限。 4 5 5 e ( x ) 0 . 5 * 10 , e ( x ) 0 . 5 * 10 , e ( x ) 0 . 5 * 10 解: 1 2 3
1
用迭代法求方程根的关键问题是:
a.精确地选定初值 c.正确构造一个迭代公式
b.选定一个粗糙的初值 d.编好计算程序
方程求根
习题2——6:方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根,将方 程写成如下不同的等价形式,判断是否满足迭代收 敛的条件,并选择一种最好的迭代格式,以x0=1.5 为初值求方程的根,要求精确到4位有效数字。
1) 2) 4) 3)
x=1+1/x2 x3=1+x2 x2=x3-1 x2=1/(x-1)
2)判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3,解得k≥3ln10/ln2≥9.965, 所以需要二分10次,才能满足精度要求。
方程求根
习题2——2:用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根,要求3位有效数字。
解:3)迭代计算
∴x ≈0.921
3 ln( 10 ) k
ln( 2)
9.965
2
2
2
∴需二分10次
方程求根——二分法
习题2——2:用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根,要求3位有效数字。
数值分析第三章答案
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数值分析第三章答案【篇一:常州大学数值分析作业第三章】答:matlab 程序function [a,y]=lagrange(x,y,x0) %检验输入参数if nargin 2 || nargin 3error(incorrect number of inputs); endif length(x)~=length(y)error(the length of x must be equal to it of y); endm=length(x);n=m-1;l=zeros(m,m); %计算基本插值多项式的系数for i=1:n+1 c=1;for j=1:n+1if i~=jif abs(x(i)-x(j))eps abs(x(i)-x(j))epserror(there are two two same nodes);endc=conv(c,poly(x(j)))/(x(i)-x(j));end endl(i,:)=c; end%计算lagrange插值多项式的系数 a=y*l;%计算f(x0)的近似值 if nargin==3y=polyval(a,x0);工程(专)学号:14102932enda=fliplr(a); return[a,y] = lagrange(x,y,x0); p1 = vpa(poly2sym(a),3) y[a,y] = lagrange(x,y,x0); p2=vpa(poly2sym(a),3) yp2 = x2 - 0.109x - 0.336 y =0.5174[a,y]=lagrange(x,y,x0); p4=vpa(poly2sym(a),3) yp4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 y =0.5001次多项式在2.8处的值。
答:matlab 程序 function[t,y0]=aitken(x,y,x0,t0) if nargin==3 t0=[]; endn0=size(t0,1);m=max(size(x)); n=n0+m;t=zeros(n,n+1);t(1:n0,1:n0+1)=t0; t(n0+1:n,1)=x; t(n0+1:n,2)=y; if n0==0 i0=2; elsei0=n0+1; endfor i=i0:nfor j=3:i+1t(i,j)=fun(t(j-2,1),t(i,1),t(j-2,j-1),t(i,j-1),x0); end endy0=t(n,n+1); returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x) y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1); return%选取0、1、3、4四个节点,求三次插值多项式 x=[0,1,3,4];y=[0.5,1.25,3.5,2.75]; x0=2.8;[t,y0]=aitken(x,y,x0) t =0 0.5000 00 0 1.01.25002.6000 0 0 3.03.50003.29993.23000 4.02.75002.07502.28503.4190 y0 =3.41900000000000016、选取适当的函数y=f(x)和插值节点,编写matlab程序,分别利用lagrange插值方法,newton插值方法确定的插值多项式,并将函数y=f(x)的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中,观测节点变化对插值余项的影响。
数值分析第五版
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1 , ( 2 1)6
(3 2 2)3 ,
6
1 , 99 70 2 。 (3 2 2)3
解:设 y ( x 1) , 若x
1 2 , x* 1.4 ,则 x* 101 。 2
若通过
1 计算 y 值,则 ( 2 1)6
5
y*
设 u 899, y f (30) 则 u
*
1 u* 4 2
故
6
y*
u * * u
1 u * 0.0167 3
若改用等价公式
ln( x x 2 1) ln( x x 2 1)
1 x* 7 ( x 1)
*
6 y* x* 7 ( x 1)
*
y* x*
若通过 (3 2 2)3 计算 y 值,则
y* (3 2 x* ) 2 x* 6 y* x* * 3 2x y* x*
则二次拉格朗日插值多项式为
L2 ( x) yk lk ( x)
k 0
2
3l0 ( x) 4l2 ( x) 1 4 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 1) 2 3 5 3 7 x2 x 6 2 3
2.给出 f ( x) ln x 的数值表
x0 1, x1 1, x2 2, f ( x0 ) 0, f ( x1 ) 3, f ( x2 ) 4; l0 ( x) l1 ( x) l2 ( x ) ( x x1 )( x x2 ) 1 ( x 1)( x 2) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 2 ( x x0 )( x x2 ) 1 ( x 1)( x 2) ( x1 x0 )( x1 x2 ) 6 ( x x0 )( x x1 ) 1 ( x 1)( x 1) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 3
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1

第一章 绪论(12)之阳早格格创做1、设0>x ,x 的相对付缺面为δ,供x ln 的缺面.[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对付缺面为δε=)(*x r ,千万于缺面为**)(x x δε=,进而xln 的缺面为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ,相对付缺面为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==.2、设x 的相对付缺面为2%,供n x 的相对付缺面.[解]设*x 为x 的近似值,则有相对付缺面为%2)(*=x r ε,千万于缺面为**%2)(x x =ε,进而nx 的缺面为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对付缺面为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数皆是通过四舍五进得到的近似数,即缺面不超出末尾一位的半个单位,试指出它们是几位灵验数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位灵验数字;0031.0*2=x 有2位灵验数字;6.385*3=x 有4位灵验数字;430.56*4=x 有5位灵验数字;0.17*5⨯=x 有2位灵验数字.4、利用公式(3.3)供下列各近似值的缺面限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、预计球体积要使相对付缺面限为1%,问度量半径R 允许的相对付缺面是几? [解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知,)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=, 进而***31%1)(R R ⨯=ε,故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε.6、设280=Y ,按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 预计到100Y ,若与982.27783≈(五位灵验数字,)试问预计100Y 将有多大缺面?[解]令n Y 表示n Y 的近似值,n n n Y Y Y e -=)(*,则0)(0*=Y e ,而且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ,78310011⨯-=-n n Y Y 可知, )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ,即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ,进而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ,而31021982.27783-⨯≤-,所以3100*1021)(-⨯=Y ε. 7、供圆程01562=+-x x 的二个根,使它起码具备四位灵验数字(982.27783≈)[解]由78328±=x 与982.27783≈(五位灵验数字)可知,982.55982.2728783281=+=+=x (五位灵验数字).而018.0982.2728783282=-=-=x ,惟有二位灵验数字,不切合题意.然而是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时,何如供⎰++1211N N dx x? [解]果为N N dx xN Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+,当N 充分大时为二个相近数相减,设)1arctan(+=N α,N arctan =β,则αtan 1=+N ,βtan =N ,进而11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα,果此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正圆形的边少约莫为100cm ,应何如丈量才搞使其里积缺面不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知,若央供1))((2**=l ε,则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε,即边少应谦脚2001100±=l .10、设221gt S =,假定g 是准确的,而对付t 的丈量有1.0±秒的缺面,道明当t 减少时S 的千万于缺面减少,而相对付缺面却缩小.[道明]果为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε,***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt S S S r====εεεε,所以得证.11、序列{}n y 谦脚递推闭系),2,1(1101 =-=-n y y n n ,若41.120≈=y (三位灵验数字),预计到10y 时缺面有多大?那个预计历程宁静吗?[解]设n y 为n y 的近似值,n n n y y y -=)(*ε,则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n ny y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知,20*1021)(-⨯=y ε,)(1011---=-n n n n y y y y ,即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-,进而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε,果此预计历程不宁静. 12、预计6)12(-=f,与4.12≈,利用下列公式预计,哪一个得到的截止最佳?6)12(1+,3)223(-,3)223(1+,27099-.[解]果为1*1021)(-⨯=f ε,所以对付于61)12(1+=f ,2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ,有一位灵验数字; 对付于32)223(-=f ,1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ,不灵验数字; 对付于33)223(1+=f ,2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ,有一位灵验数字;对付于270994-=f ,111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ,不灵验数字. 13、)1ln()(2--=x x x f ,供)30(f 的值.若启仄圆用六位函数表,问供对付数时缺面有多大?若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 预计,供对付数时缺面有多大?[解]果为9833.298991302==-(六位灵验数字),4*1021)(-⨯=x ε,所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ,6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解圆程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ,假定惟有三位数预计,问截止是可稳当?[解]透彻解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时,得到1,121==x x ,截止稳当.15、已知三角形里积c ab s sin 21=,其中c 为弧度,20π<<c ,且丈量a ,b ,c 的缺面分别为c b a ∆∆∆,,,道明里积的缺面s ∆谦脚cc b b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]果为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1, 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21. 第二章 插值法(40-42)1、根据(2.2)定义的范德受止列式,令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(,道明)(x V n 是n 次多项式,它的根是121,,,-n x x x ,且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[道明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得供证.2、当2,1,1-=x 时,4,3,0)(-=x f ,供)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值预计54.0ln 的近似值.[解]若与5.00=x ,6.01=x , 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ,510826.0)6.0()(11-===f x f y ,则 604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ,进而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若与4.00=x ,5.01=x ,6.02=x ,则916291.0)4.0()(00-===f x f y , 693147.0)5.0()(11-===f x f y ,510826.0)6.0()(22-===f x f y ,则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ,进而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表,步少 )60/1(1='=h ,若函数具备5位灵验数字,钻研用线性插值供x cos 近似值时的总缺面界.[解]设插值节面为h x x x x +=<<010,对付应的x cos 值为10,y y ,函数表值为10,y y ,则由题意可知,5001021-⨯≤-y y ,5111021-⨯≤-y y ,近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=,所以总缺面为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ,进而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k,供)(max 220x l x x x ≤≤.[解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=,则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-=',进而极值面大概为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=,又果为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+, 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++, 隐然)374()374(00h x f h x f ++≤-+,所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j=为互同节面,供证:1)),,1,0()(0n k x x l x kn j j k j =≡∑=;2)),,2,1()()(0n k x x l x x knj j k j =≡-∑=;[解]1)果为左侧是k x 的n 阶推格朗日多项式,所以供证创制. 2)设k x y y f )()(-=,则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶推格朗日多项式,令x y =,即得供证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ,供证)(max )(81)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]睹补充题3,其中与0)()(==b f a f 即得.8、正在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节面函数表,若用二次插值供x e 的近似值,要使截断缺面不超出610-,问使用函数表的步少h 应与几?[解]由题意可知,设x 使用节面h x x -=10,1x ,h x x +=12举止二次插值,则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ,令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=,则)3(63)(22112h x x x x x f -+-=',进而)(x f 的极值面为h x x 331±=,故3932)331()331(33)(max2h h h h x f xx x =-⋅+⋅=≤≤,而 343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ,要使其不超出610-,则有63410273-≤h e ,即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=,供n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑.22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式,记)()()(x f h x f x f -+=∆,道明)(x f 的k 阶好分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式,而且0)(=∆+x f l m (l 为正整数).[道明]对付k 使用数教归纳法可证. 11、道明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [道明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、道明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k kk f g g f g f g f .[道明]果为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=,故得证.13、道明:0102y y y n n j j∆-∆=∆∑-=.[道明]01112)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个分歧真根n x x x ,,,21 ,道明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [道明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ,故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(,再由好商的本量1战3可知:)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj j k j,进而得证.15、道明n 阶均好有下列本量:1)若)()(x cf x F =,则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =; 2)若)()()(x g x f x F +=,则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[道明]1)],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2)],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ,供]2,,2,2[71f ,0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f . [解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ,]2,,2,2[810 f .17、道明二面三次埃我米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ,并由此供出分段三次埃我米特插值的缺面限. [解]睹P30与P33,缺面限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX .19、供一个次数不下于4次的多项式)(x P ,使它谦脚0)0()0(='=P P ,1)1()1(='=P P ,1)2(=P .[解]设1223344)(a x a x a x a x a x P ++++=,则122334234)(a x a x a x a x P +++=',再由0)0()0(='=P P ,1)1()1(='=P P ,1)2(=P 可得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .进而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈,把[]b a ,分为n 仄分,试构制一个台阶形的整次分段插值函数)(x n ϕ,并道明当∞→n 时,)(x n ϕ正在[]b a ,上普遍支敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x xi ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=,正在55≤≤-x 上与10=n ,按等距节面供分段线性插值函数)(x I h ,预计各节面中面处的)(x I h 与)(x f 的值,并预计缺面.[解]由题意可知,1=h ,进而当[]1,+∈k k x x x 时,)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、供2)(x x f =正在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ,并预计缺面.[解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10,则当[]1,+∈k k x x x ,1,,2,1,0-=n k 时, 进而缺面为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ, 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、供4)(x x f =正在[]b a ,上的分段埃我米特插值,并预计缺面. [解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10,则当[]1,+∈k k x x x ,1,,2,1,0-=n k 时,)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα,进而缺面为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ, 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下:试供三次样条函数)(x S ,并谦脚条件: 1)6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ; 2)0)53.0()25.0(=''=''S S .[解]由05.025.030.00=-=h ,09.030.039.01=-=h ,06.039.045.02=-=h ,08.045.053.03=-=h ,及(8.10)式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知,14909.005.009.01011=+=+=h h h λ,5206.009.006.02122=+=+=h h h λ,7408.006.008.03233=+=+=h h h λ,14509.005.005.01001=+=+=h h h μ,5306.009.009.02112=+=+=h h h μ,7308.006.006.03223=+=+=h h h μ,由(8.11)式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j jμλ可知,7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.进而1)矩阵形式为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ,解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ,进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2)此为自然鸿沟条件,故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ;145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ,矩阵形式为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ,不妨解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ,进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈,)(x S 是三次样条函数,道明 1)⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''babababadx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222;2)若),,1,0()()(n i x S x f i i ==,式中ix 为插值节面,且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bababab a ba b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2)由题意可知,[]b a x A x S ,,)(∈=''',所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b ab ab aba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.补充题:1、令00=x ,11=x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ,并预计插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ,111)(-==e x y y 可知,xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---,余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R , 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =,试利用推格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节面的三次插值多项式. [解]由插值余项定理,有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ,进而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=.3、设)(x f 正在[]b a ,内有二阶连绝导数,供证:)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]果为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a ,b 为插值节面的)(x f 的线性插值多项式,利用插值多项式的余项定理,得到:))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ,进而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ,供好商]2,2[10f ,]2,2,2[210f ,]2,,2,2[710 f 战]2,,2,2[810 f .[解]果为7)1()2(0==f f ,1691252)2()2(371=+⨯+==f f ,167051454)4()2(372=+⨯+==f f ,所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ,826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ,27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f , 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ,0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表:5,4,3,2,1=i ,供4次牛顿插值多项式,并写出插值余项. [解]由好商表可得4次牛顿插值多项式为:)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ,插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数:4,3,2,1,0=i ,试预计出此列表函数的好分表,并利用牛顿背前插值公式给出它的插值多项式. [解]构制好分表:由好分表可得插值多项式为:32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与预计(80-82)1、(a )利用区间变更推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式;(b )对付x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上供1次战3次伯恩斯坦多项式并绘出图形,并与相映的马克劳林级数部分战缺面搞出比较. [解](a )令t a b a x )(-+=,则[]1,0∈t ,进而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(,其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. (b )令t x 2π=,则[]1,0∈t ,进而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π,其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ;3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、供证:(a )当Mx f m ≤≤)(时,M x f B m n ≤≤),(;(b )当x x f =)(时,x x f B n =),(.[道明](a )由∑==nk k n x P nk f x f B 0)()(),(及Mx f m ≤≤)(可知,∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k nk k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(,而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑=-=nnk k n k nk k x x x x k n x P ,进而得证. (b )当x x f =)(时,xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、正在次数不超出6的多项式中,供x x f 4sin )(=正在[]π2,0的最佳普遍迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知,14sin 1≤≤-x ,进而最小偏偏好为1,接错面为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8,此即为6)(H x P ∈的切比雪妇接错面组,进而)(x P 是以那些面为插值节面的推格朗日多项式,可得0)(=x P .4、假设)(x f 正在[]b a ,上连绝,供)(x f 的整次最佳普遍迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=,)(sup x f M bx a ≤≤=,则2)(mM x f +=正在[]b a ,上具备最小偏偏好2m M -,进而为整次最佳迫近一次多项式.5、采用常数a ,使得ax x x -≤≤310max 达到极小,又问那个解是可唯一?[解]果为ax x -3是奇函数,所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ,再由定理7可知,当)34(4141333x x T ax x -==-时,坐即43=a ,偏偏好最小.6、供x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式,并预计缺面.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ,进而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、供x e x f =)(正在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ,进而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、怎么样采用r ,使r x x p +=2)(正在[]1,1-上与整偏偏好最小?r 是可唯一?[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111,r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与整偏偏好最小时,r r =+1,进而21-=r .另解:由定理7可知,正在[]1,1-上与整偏偏好最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ,进而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ,正在[]1,0上供三次最佳迫近多项式. [解]设所供三次多项式为)(3x P ,则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ,进而893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ,供)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知,令[]1,1,211-∈+=t t x ,则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ,进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是正在[]1,0上戴权21xx -=ρ的正接多项式.?12、正在[]1,1-上利用插值极小化供x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知,插值节面为)3,2,1(,812cos =-k k π,即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ,则可供得)(3x L .13、设x e x f =)(正在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ,若∞-nL f 有界,道明对付所有1≥n ,存留常数n n βα,,使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[道明]由题意可知,[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ,进而与)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α,)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f n n x n β,则可得供证.14、设正在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ,试将)(x ϕ落矮到3次多项式并预计缺面.[解]果为x x T x 16545161355-+=,8181244-+=x T x ,所以323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ,缺面为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、正在[]1,1-利用幂级数项数俭朴供x x f sin )(=的3次迫近多项式,使缺面不超出0.005.[解]果为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ,与前三项,得到!5!3)(535x x x x L +-=,缺面为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ,又果为 x x T x 16545161355-+=,所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=,此时缺面为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连绝奇(奇)函数,道明不管n 是奇数大概奇数,)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇(奇)函数. [解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪妇多项式得到的,再由切比雪妇多项式的本量4即得.17、供a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小,并与1题及6题的一次迫近多项式缺面做比较. [解]由2120ππ=⎰dx ,8220ππ=⎰dx x ,243202ππ=⎰dx x ,1sin 200==⎰πxdx d ,1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ,可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈,定义 (a )()⎰''=aadx x g x f g f )()(,;(b )())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa+''=⎰. 问它们是可形成内积?[解](a )果为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ,然而反之不可坐,所以不形成内积. (b )形成内积.19、用许瓦兹不等式(4.5)预计⎰+161dx xx 的上界,并用积分中值定理预计共一积分的上下界,并比较其截止. [解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .果为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ,所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、采用a ,使下列积分与最小值:⎰-1022)(dx ax x ,⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(22142321022+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ,进而45=a .当0=a 时,12121100111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ,当0≠a 时,由02=-ax x ,可得接面为ax 1=,若1>a ,则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a,若01>≥a ,则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .共理可知,当01<≤-a 时,1112=-⎰-dx ax x ,当1-<a 时,1112>-⎰-dx ax x ,进而当1≤a 时,积分博得最小.21、设{}x span ,11=ϕ,{}1011002,x x span =ϕ,分别正在21,ϕϕ上供一元素,使其为]1,0[2C x ∈的最佳仄圆迫近,并比较其截止.[解]由1110=⎰dx ,2110=⎰xdx ,31102=⎰dx x ,41103=⎰dx x 可知,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ,即正在1ϕ上为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,61. 由201110100100=⋅⎰dx x x ,202110101100=⋅⎰dx x x ,203110101101=⋅⎰dx x x ,1031102100=⋅⎰dx x x ,1041102101=⋅⎰dx x x 可知, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ,即正在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(正在[]1,1-上,供正在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳仄圆迫近.[解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ,2113013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ,。
李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)

和变量均需要发生变化。
2、当 f (x) x 时,求证 Bn ( f , x) x
利用多项式展开定理证明: 证:
Bn (
f
,
x)
n k 0
f
(
k n
)
Pk
(
x)
n k 0
f
(
k n
)
n k
xk (1
x)nk
f (0)0
n
k
n!
n
xk (1 x)nk
(n 1)!
xxk 1(1 x)(n1)(k 1)
答:
b
|| f ||1 | f (x) |dx a
b
|| f ||2 f (x)2 dx a
||
f
||
max
a xb
|
f
(x) |
2、f , g C [a , b],它们的内积是什么?如何判断函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线 性无关?
解:f , g C [a , b],其内积为
a0 a1 x a2 x2 .... an xn 0
由于需要解出 a0 , a1, a2 ,..., an 共 n+1 个未知数,构造 n+1 个方程,取 x x0 , x1, x2 ,..., xn
n
有方程组 a j xk j 0 ,则系数行列式为 k 0 j0
1
G
1
...
x01 x11 ...
xi
] | |
min p
i0
[
f
xi
Pn xi ] |
m
| min [ f p i0
xi
Pn xi ] |2
数值分析第五版答案(全)

第一章 绪论1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。
解:近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
解:设()nf x x =,则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006.设028Y =,按递推公式1n n Y Y -= (n=1,2,…)计算到100Y 27.982≈(5位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?解:1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后,有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
(完整版)数值分析第五版答案(全)
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第一章 绪论1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。
解:近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
解:设()nf x x =,则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006.设028Y =,按递推公式1n n Y Y -= (n=1,2,…)计算到100Y 27.982≈(5位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?解:1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后,有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析报告(第五版)计算实习的题目第三章
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数值分析计算实习题第三章第二次作业:题一:x=-1:0.2:1;y=1./(1+25.*x.^2);f1=polyfit(x,y,3)f=poly2sym(f1)y1=polyval(f1,x)x2=linspace(-1,1,10)y2=interp1(x,y,x2)plot(x,y,'r*-',x,y1,'b-')hold onplot(x2,y2,'k')legend('数据点','3次拟合曲线','3次多项式插值')xlabel('X'),ylabel('Y')输出:f1 =0.0000 -0.5752 0.0000 0.4841f =(4591875547102675*x^3)/81129638414606681695789005144064 - (3305*x^2)/5746 + (1469057404776431*x)/20282409603651670423947251286016 + 4360609662300613/9007199254740992y1 =-0.0911 0.1160 0.2771 0.3921 0.4611 0.4841 0.4611 0.3921 0.2771 0.1160 -0.0911x2 =-1.0000 -0.7778 -0.5556 -0.3333 -0.1111 0.1111 0.3333 0.5556 0.7778 1.0000y2 =0.0385 0.0634 0.1222 0.3000 0.7222 0.7222 0.3000 0.1222 0.0634 0.0385题二:X=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];Y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46];p1=polyfit(X,Y,3)p2=polyfit(X,Y,4)Y1=polyval(p1,X)Y2=polyval(p2,X)plot(X,Y,'r*',X,Y1,'b-.',X,Y2,'g--')p3=polyfit(X,Y,2)Y3=polyval(p3,X)f1=poly2sym(p1)f2=poly2sym(p2)f3=poly2sym(p3)plot(X,Y,'r*',X,Y1,'b-.',X,Y2,'g--',X,Y3,'m--')legend('数据点','3次多项式拟合','4次多项式拟合','2次多项式拟合') xlabel('X轴'),ylabel('Y轴')输出:p1 =-6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266p2 =2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427Y1 =0.9266 0.5822 0.4544 0.5034 0.9730 2.0103 2.4602Y2 =0.9427 0.5635 0.4399 0.5082 1.0005 1.9860 2.4692p3 =3.1316 -1.2400 0.7356Y3 =0.7356 0.6429 0.6128 0.6454 0.8984 1.7477 2.6271f1 =- (7455778416425075*x^3)/1125899906842624 + (1803512222945435*x^2)/140737488355328 - (40981580032809*x)/8796093022208 + 8345953784399011/9007199254740992f2 =(1624271450198125*x^4)/562949953421312 - (3471944732519173*x^3)/281474976710656 + (4580931990070659*x^2)/281474976710656 - (1491459232922115*x)/281474976710656 + 1061409433081293/1125899906842624f3 =(18733*x^2)/5982 - (74179*x)/59820 + 73337/99700题三:建立三角插值函数的m文件function [A,B,Y1,Rm]=sanjiaobijin(X,Y,X1,m)%A B分别是m阶三角多项式Tm (x)的系数aj,bj(j=1,2,...,m)的系数矩阵,Y1是Tm(x)在X1处的值,X Y 数据点 ,Rm为均方误差n=length(X)-1;max1=fix((n-1)/2);if m>max1m=max1;endA=zeros(1,m+1);B=zeros(1,m+1);Ym=(Y(1)+Y(n+1))/2;Y(1)=Ym;Y(n+1)=Ym;A(1)=2*sum(Y)/n;for i=1:mB(i+1)=sin(i*X)*Y';A(i+1)=cos(i*X)*Y';endA=2*A/n;B=2*B/n;A(1)=A(1)/2;Y1=A(1);for k=1:mY1=Y1+A(k+1)*cos(k*X1)+B(k+1)*sin(k*X1);Tm=A(1)+A(k+1).*cos(k*X)+B(k+1).*sin(k*X);k=k+1;endY,Tm,Rm=(sum(Y-Tm).^2)/n输出:>> X=-pi:2*pi/33:pi;>> Y=X.^2.*cos(X);[A,B,Y1,Rm]=sanjiaobijin(X,Y,X1,16)输出:A =1 至 12 列-0.1397 4.4002 -2.8326 1.2355 -0.9128 0.7914 -0.7319 0.6982 -0.6773 0.6635 -0.6541 0.647413 至 17 列-0.6426 0.6393 -0.6370 0.6355 -0.6348B =1.0e-15 *1 至 12 列0 -0.0194 -0.0150 -0.0044 -0.0300 0.0105 0.0627 -0.0821 -0.0599 -0.0133 -0.0211 0.029713 至 17 列0.0178 0.0962 -0.1049 0.0328 -0.0122即可得16插值多项式的值X1=-pi:0.001:pi;[A,B,Y1,Rm]=sanjiaobijin(X,Y,X1,16)plot(X,Y,'r*',X1,Y1,'b-.')legend('数据点','16次三角插值多项式')xlabel('X轴'),ylabel('Y轴')。
p178-179 实习题答案(数值分析(第五版))

1.列主元法(178页实习1题)函数liezhu(A,b).m的头文件的程序如下:n=length(b);detA=det(A);d=0;x=zeros(n,1);c=zeros(1,n);if abs(det(A))<=epserror('系数矩阵是奇异的'); %所求方程组系数矩阵必须是是非奇异的!return;end%按列选主元for i=1:n-1max=abs(A(i,i));m=i;for j=i+1:nif max<abs(A(j,i))max=abs(A(j,i));m=j;endend%换行if m~=ifor k=i:nc(k)=A(i,k);A(i,k)=A(m,k);A(m,k)=c(k);endd=b(i);b(i)=b(m);b(m)=d;end%消元for k=i+1:nfor j=i+1:nA(k,j)=A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i);endb(k)=b(k)-b(i)*A(k,i)/A(i,i);A(k,i)=0;endEnd%回代求解x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:(-1):1sum=0;for j=i+1:nsum=sum+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endend其结果如下:>> A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2];>> b=[8;5.900001;5;1];>> [x,detA]=liezhu(A,b)x =0.0000-1.00001.00001.0000detA =-762.00012.LU分解法:(178页实习1题)LUFJ.m文件中函数LUFJ(A,b)的程序如下:function LUFJ(A,b) %A为系数矩阵,b为右端项矩阵%UNTITLED2 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes here[m,n]=size(A); %初始化矩阵A,b,L和Un=length(b);L=eye(n,n);U=zeros(n,n);U(1,1:n)=A(1,1:n); %开始进行LU分解L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for k=2:nU(k,k:n)=A(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k:n);L(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k); endL %输出L矩阵U %输出U矩阵y=zeros(n,1); %开始解方程组Ux=yy(1)=b(1);for k=2:ny(k)=b(k)-L(k,1:k-1)*y(1:k-1);endx=zeros(n,1);x(n)=y(n)/U(n,n);for k=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-U(k,k+1:n)*x(k+1:n))/U(k,k); endfor k=1:nfprintf('x[%d]=%f\n',k,x(k));endend运行结果如下:>> A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2];>> b=[8;5.900001;5;1];>> LUFJ(A,b)L =1.0e+006 *0.0000 0 0 0-0.0000 0.0000 0 00.0000 -2.5000 0.0000 00.0000 -2.4000 0.0000 0.0000U =1.0e+007 *0.0000 -0.0000 0 0.00000 -0.0000 0.0000 0.00000 0 1.5000 0.57500 0 0 0.0000x[1]=-0.000000x[2]=-1.000000x[3]=1.000000x[4]=1.0000003.雅可比迭代法:(179页实习3题)Jacobi.m文件中函数Jacobi(A,b,eps)的程序如下:function Jacobi(A,b,eps) %A为系数矩阵,b为后端项矩阵,epe为精度[m,n]=size(A);D=diag(diag(A)); %求矩阵DL=D-tril(A); %求矩阵LU=D-triu(A); %求矩阵Utemp=1;x=zeros(m,1);k=0;while abs(max(x)-temp)>epstemp=max(abs(x));k=k+1; %记录循环次数x=-inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*b; %雅克比迭代公式endfor k=1:nfprintf('x[%d]=%f\n',k,x(k));end运行结果如下:>> A=[10 -1 2 0;0 8 -1 3;2 -1 10 0;-1 3 -1 11];>> b=[-11;-11;6;25];>> Jacobi(A,b,0.00005)x[1]=-1.466538x[2]=-2.358692x[3]=0.657438x[4]=2.8424524 .Gauss-Seidel迭代程序(179页实习3题)Gauss-Seidel.m文件中函数Gauss-Seidel(A,b,eps)的程序如下:function Gauss_Seidel(A,b,eps) %A为系数矩阵,b为后端项矩阵,epe为精度[m,n]=size(A);D=diag(diag(A)); %求矩阵DL=D-tril(A); %求矩阵LU=D-triu(A); %求矩阵Utemp=1;x=zeros(m,1);k=0;while abs(max(x)-temp)>epstemp=max(abs(x));k=k+1; %记录循环次数x=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*b; %Gauss_Seidel的迭代公式endfor k=1:nfprintf('x[%d]=%f\n',k,x(k));end其运行结果如下:>> A=[10 -1 2 0;0 8 -1 3;2 -1 10 0;-1 3 -1 11];>> b=[-11;-11;6;25];>> Gauss_Seidel(A,b,0.005) x[1]=-1.466538x[2]=-2.358692x[3]=0.657438x[4]=2.842452。
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
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李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第一章 绪论1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。
解:近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
解:设()n f x x =,则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解:*1 1.1021x =是五位有效数字;*20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4.利用公式求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少解:球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈ 6.设028Y =,按递推公式1n n Y Y -=(n=1,2,…) 计算到100Y27.982≈(5位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差解:1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后,有1000100Y Y =-即1000Y Y =,若取27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。
数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组

数值分析计算实习题第5章解线性方程组的直接方法【选题列主元高斯消去法解线性方程组。
书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组,所以考虑写一个普适的程序来实现。
对于线性方程组Ax二b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。
文件输入格式要求:(1)第一行为一个整数n (2<=n<=100),表示矩阵阶数。
(2)第2~n+l行为矩阵A各行列的值。
(3)第n+2~n+n+2行为矩阵b各行的值。
屏幕输入:按提示输入各个数据。
输出:A. b、det(A).列主元高斯消去计算过程、解向量X。
【算法说明】设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为«12«21[Nb] =第1步(k=l ):首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素®I,作为第一步的主元素:«|| H0然后交换(A, b)的第1行与第I行元素,再进行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k・l步的按列选主元,交换两行,消元计算得到与原方程组等价的方程组 A(k)x=b(k)4? …4;)…唸)•忒••輕■[A.b]T[A ⑹,b")] = ••■咲■■■■■* *■〃伏)・• - %■第k步计算如下: 对于 k=l, 2, •…,0-1(1)按列选主元:即确定t使(2)如果tHk,则交换[A, b]第t行与第k行元素。
(3)消元计算54* J 叫=一鱼(=^ + 1,…,H)% 吗 <-«y + 〃如伽 (fJ = R + l,…/)b- <-勺+加汝仇, (i = /c + l,…,《)消元乘数mik 满足:n (%-D 内)X1 < ------ -- ---- 9(j = « 一 1,«一2■…J)tk M 1,(,=斤 +1, •••,«)fet e(4)回代求解【程序】/*【普适列主元消去法解线性方程组】对于线性方程组:Ax=b 输入:[选择屏幕直接输入]1.A的行阶数n(l <= 11<= 100)2.A的值3.b的值[选择读取文件1文件名(和主程序同级文件夹下)输出:I.A2・b3・ det(A)4解向疑X */#inciude <stdio.h>#include <stdlibJi>#include <niath.h> double A[1051(J05LA_B[I05][105Lb[105].x[105];double det A:int n.mark = 1;〃读入数据void input(){int ij:char ch[20],name[ 100];HLE *f;printf("\iv-An是否从文件读取数据(Y/N):”); scanf(”%st&ch);if(ch[0] = Y II ch[0] = y)( prinif(“请输入文件名(包括扩展需):"); scanf("%s".name):f = fop cn(namc「T');fscanfCf/'%d'\&n);ford = 0:i < n;i 卄) for(j = 0;j < nJ ++) fscanf(f,'*%ir\&A[i]|j)):for(i = 0:i < n;i卄)fscanf(「%F・&b[i]);else{prin氓”请输入A的阶数:”);scanf( '%d %d\&n): prinifC请输入A的值:”);for(i = 0:i V n:i ++)for(j = 0;j < n:j ++) scanf("%lf\&A[i]U]);phnifC请输入b的值:”);for(i = 0:i < n;i 卄)scanf(''%lf\&b[i]):〃讣算行列式的值double det{double s[105](105] jni m){int z.jkdouble b[105][105Klotal = 0.r; /*b[Nl[N]用于存放,在矩阵s[Nl[N冲元素s[0]的余子式灯if(m>2){for(z = 0:z V m:z++){for(j = 0;j V m ・ 1 j ++)for(k = 0:k vn卜l;k ++)if(k >= z)bUKk] = sU+l](k+l];elsebLi][k] = s[j+l][k];if(z % 2==0)r=s[0)⑵ * dcKb.m - 1):/*递归调用制elser= (-1) * s[0](z] * det(b.m -1);total = total + r;else if(m == 2)total = s[0][0] *s(l][l]-s[0](l] *s[l][01:else if(m == 1)total =s[0][0];return total;// 输出A^llb和dcl(A)void ouipui_l(){ int i j;primlTAW);for(i = 0;i < n:i ++){ for(j = 0:j < n:j ++)p rintf('-%15.4f\A[i]lj]);prinif(W);prinlf(5b = \rf);for{i = 0;i < n:i ++)prinif("%15.4l\iV\b[i]):printf("\ndet(A) = %・4f\n”・dclA);//主il•算函数void couni_x(){int ij,k:int max; double tmpjnik;〃构造增广矩阵for{i = 0;i<n:i++){for。
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数值分析计算实习题第三章
第二次作业:
题一:
x=-1:0.2:1;y=1./(1+25.*x.^2);
f1=polyfit(x,y,3)
f=poly2sym(f1)
y1=polyval(f1,x)
x2=linspace(-1,1,10)
y2=interp1(x,y,x2)
plot(x,y,'r*-',x,y1,'b-')
hold on
plot(x2,y2,'k')
legend('数据点','3次拟合曲线','3次多项式插值')
xlabel('X'),ylabel('Y')
输出:f1 =
0.0000 -0.5752 0.0000 0.4841
f =
(4591875547102675*x^3)/81129638414606681695789005144064 - (3305*x^2)/5746 + (1469057404776431*x)/20282409603651670423947251286016 + 4360609662300613/9007199254740992
y1 =
-0.0911 0.1160 0.2771 0.3921 0.4611 0.4841 0.4611 0.3921 0.2771 0.1160 -0.0911
x2 =
-1.0000 -0.7778 -0.5556 -0.3333 -0.1111 0.1111 0.3333 0.5556 0.7778 1.0000
y2 =
0.0385 0.0634 0.1222 0.3000 0.7222 0.7222 0.3000 0.1222 0.0634 0.0385
题二:
X=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];
Y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46];
p1=polyfit(X,Y,3)
p2=polyfit(X,Y,4)
Y1=polyval(p1,X)
Y2=polyval(p2,X)
plot(X,Y,'r*',X,Y1,'b-.',X,Y2,'g--')
p3=polyfit(X,Y,2)
Y3=polyval(p3,X)
f1=poly2sym(p1)
f2=poly2sym(p2)
f3=poly2sym(p3)
plot(X,Y,'r*',X,Y1,'b-.',X,Y2,'g--',X,Y3,'m--')
legend('数据点','3次多项式拟合','4次多项式拟合','2次多项式拟合') xlabel('X轴'),ylabel('Y轴')
输出:
p1 =
-6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266
p2 =
2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427
Y1 =
0.9266 0.5822 0.4544 0.5034 0.9730 2.0103 2.4602 Y2 =
0.9427 0.5635 0.4399 0.5082 1.0005 1.9860 2.4692 p3 =
3.1316 -1.2400 0.7356
Y3 =
0.7356 0.6429 0.6128 0.6454 0.8984 1.7477 2.6271
f1 =
- (7455778416425075*x^3)/1125899906842624 + (1803512222945435*x^2)/140737488355328 - (40981580032809*x)/8796093022208 + 8345953784399011/9007199254740992
f2 =
(1624271450198125*x^4)/562949953421312 - (3471944732519173*x^3)/281474976710656 + (4580931990070659*x^2)/281474976710656 - (1491459232922115*x)/281474976710656 + 1061409433081293/1125899906842624
f3 =
(18733*x^2)/5982 - (74179*x)/59820 + 73337/99700
题三:
建立三角插值函数的m文件
function [A,B,Y1,Rm]=sanjiaobijin(X,Y,X1,m)%A B分别是m阶三角多项式Tm(x)的系数aj,bj(j=1,2,...,m)的系数矩阵,Y1是Tm(x)在X1处的值,X Y数据点,Rm为均方误差
n=length(X)-1;max1=fix((n-1)/2);
if m>max1
m=max1;
end
A=zeros(1,m+1);B=zeros(1,m+1);
Ym=(Y(1)+Y(n+1))/2;Y(1)=Ym;
Y(n+1)=Ym;A(1)=2*sum(Y)/n;
for i=1:m
B(i+1)=sin(i*X)*Y';
A(i+1)=cos(i*X)*Y';
end
A=2*A/n;B=2*B/n;
A(1)=A(1)/2;Y1=A(1);
for k=1:m
Y1=Y1+A(k+1)*cos(k*X1)+B(k+1)*sin(k*X1);
Tm=A(1)+A(k+1).*cos(k*X)+B(k+1).*sin(k*X);k=k+1;
end
Y,Tm,Rm=(sum(Y-Tm).^2)/n
输出:>> X=-pi:2*pi/33:pi;
>> Y=X.^2.*cos(X);
[A,B,Y1,Rm]=sanjiaobijin(X,Y,X1,16)
输出:
A =
1 至1
2 列
-0.1397 4.4002 -2.8326 1.2355 -0.9128 0.7914 -0.7319 0.6982 -0.6773 0.6635 -0.6541 0.6474
13 至17 列
-0.6426 0.6393 -0.6370 0.6355 -0.6348
B =
1.0e-15 *
1 至1
2 列
0 -0.0194 -0.0150 -0.0044 -0.0300 0.0105 0.0627 -0.0821 -0.0599 -0.0133 -0.0211 0.0297
13 至17 列
0.0178 0.0962 -0.1049 0.0328 -0.0122
即可得16插值多项式的值
X1=-pi:0.001:pi;
[A,B,Y1,Rm]=sanjiaobijin(X,Y,X1,16)
plot(X,Y,'r*',X1,Y1,'b-.')
legend('数据点','16次三角插值多项式')
xlabel('X轴'),ylabel('Y轴')。