山东省济南市商河县第一中学2021届高三阶段性考试数学试卷
济南市第一中学2021届高三上学期期中考试数学试卷+答案
走的里程数是前一天的一半，连续走了 7 天，共走了 700 里，问每天走的里数各 是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（ ）
A. 700 127
B. 2800 127
C. 5600 127
D. 44800 127
6. 为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需时间，为此进行了 5 次试验， 得到了 5 组数据： x1, y1 , x2, y2 , x3, y3 , x4, y4 , x5, y5 , 由最小二乘法求得回归
1. 复数 2i 的虚部为（ ） 1i
A. i B. i C. 1 D. 1 2. 已知集合 A x x 1 0 ，B x Z y ln 6 x x2 ，则 A B （ ）
x1
A. 0 , 1 B.
1, 0,1 C.
1,1 D. 1,1
3. 设向量 a,b 满足 a b 1,3 , a b 1，则 a b =（ ）
3
14.下列说法不正确的是（ ） A.不等式 2x 1 1 x 0 的解集为 x 1 x 1
2
B.已知 p :1 x 2, q : log2 x 1 1，则 p 是 q 的充分不必要条件
C.若 x R ，则函数 y
x2 4
1 的最小值为 2 x2 4
D.当 x R 时，不等式 kx2 kx 1 0 恒成立，则 k 的取值范围是 0, 4
（1）证明： A B . （2）记线段 AB 上靠近 B 的三等分点为 D ，若 CD= 17，b 5,求c . 20.（本题满分 12 分） 已知正项等比数列 an 满足 S3 S1 12, 2a2 3S1 14 .
2bsin B
（1）求数列 an 的通项公式
（2）记 bn
山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试题
，则点 的轨迹是（ ） C．椭圆
D．不存在
11. 点 ， 为椭圆 的两个焦点，椭圆 上存在点 ，使得
A．
B．
，则椭圆 的方程可以是（ ）
C．
D．
12. 已知圆
，直线
A．对任意实数 和 ，直线和圆相切
B．对任意实数 和 ，直线和圆有公共点
C．对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线与圆相切
D．对任意实数 ，必存在实数 使得直线与圆相切
A．
的左焦点为 ，点 在椭圆上，且在 轴上方，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线
B．
C．
D．
7. 椭圆
上的点到直线
距离最近的点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
8. 已知椭圆 ：
的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ， ， 分别是 的左、右焦点，且
，点 为 上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
，下列四个命题为真命题的是（ ）
三、填空题
13. 已知：如图，在 的二面角的棱上有 两点，直线
，则
__________．
分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直 ，已知
14. 直线
与圆C:
相交于 、 两点，则弦长 的最小值为______．
15. 已知 是椭圆： ，设左焦点为 ，则
的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作 的垂线，依次交椭圆的上半部分于 ______．
（Ⅰ）若
,
（Ⅱ）若直线 过点
，求
的面积；
山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试题
，证明：
为定值，并求此定值．
21. 如图，四棱锥
山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)
山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。
2021届山东省济南市高三一模数学试题(解析版)
2021届山东省济南市高三一模数学试题一、单选题1．已知(0,)απ∈，若1cos 2α=-，则tan α的值为（ ）A ．B ．CD ．【答案】D【详解】解析：因为(0,)απ∈，1cos 2α=-，所以23πα=，2tan3π=D2．设集合1|0x A x x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|10B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】解析：由10x x-<，得()10x x -<，解得01x <<，因此{}|01A x x =<<，由10x +>，得1x >-，因此{}|1B x x =>-，A B ，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，故选B .3．已知单位向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C【详解】解析：由0a b c ++=，得a b c +=-，所以a b c +=-，即22221a b a a b b +=+⋅+=，所以12⋅=-a b ，由1,2ab a b cos a b =<>=-，得2,3a b π<>=，故选C . 4．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示(线段代表街道)，洒水车随机选择A ，B ，C ，D ，E ，F 中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】B【详解】解析：仅能从E或B点出发不重复地走遍全城，所以16213PC==，故选B. 5．已知双曲线221(0)1x ymm m-=>+的渐近线方程为30x y±=，则m=（）A．12B．31-C．312+D．2【答案】A【详解】解析：由渐近线3by x xa=±=±，所以3ba=，则2213ba=，即113mm=+，12m=，故选A.6．函数()y f x=在[]2,2ππ-上的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．()sin cosf x x x=+B．()sin cosf x x x=+C．()sin cosf x x x=+D．()sin cosf x x x=+【答案】B【详解】解析：有图像知，()f x为偶函数，可排除A；当xπ=时()1f x=-，可排除D；对于C，当0x>时，()sin cos24f x x x xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，在54=xπ时，取得最小值2-，不符合题意，排除C，故选B.7．已知菱形ABCD，2AB BD==，将ABD∆沿BD折起，使二面角A BD C--的大小为60︒，则三棱锥A BCD-的体积为（）A．BCD．【答案】ABDCEHVS 【详解】略8．设2022ln 2020a =，2021ln 2021b =，2020ln 2022c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D【详解】解析：设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，在(,)e +∞，()0f x '<，()f x 递减所以()()20202022f f >，即：ln 2020ln 202220202022>所以2022ln 20202020ln 2022>，即a c > 又()20222020ln 20222021ln 20212020ln 2022ln 2021ln 20212020lnln 202102021c b -=-=--=-<故0c b -<，c b < 所以a b c >>，故选D .二、多选题9．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．常数项为160B ．第4项的二项式系数最大C ．第3项的系数最大D ．所有项的系数和为64【答案】BC【详解】解析：展开式的通项为()()662616221rr rr r r r T x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由260r -=，得3r =，所以常数项为()333621160C -=-，A 错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B 正确；第3项得系数最大，C 正确；令1x =，得6012621x a a a a x ⎛⎫-=+++⋯+= ⎪⎝⎭，所有项的系数和为1，D 错误；故选BC .10．已知函数()31f x x ax =-+的图象在2x =处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） A ．3a =B ．()f x 在1x =-处取得极大值C ．当(]2,1∈-x 时，()(]1,3f x ∈-D ．()f x 的图象关于点()0,1中心对称【答案】ABD【详解】解析：()23f x x a '=-，由题意得()2129f a ='-=，3a ∴=，A 正确；()()()311f x x x -'=+，由()0f x '=得，1x =-或1，所以在(,1)-∞-，(1,)+∞上()0f x '>，()f x 为增函数，在()1,1-上()0f x '<，()f x 为减函数，所以()f x 在1x =-处取得极大值，B 正确；因为()11f =-，()13f -=，故在(]2,1-上的值域为[]1,3-，C 错误；令()()1f x g x =+，则()3g x x x =-是奇函数，()g x 图象关于()0,0中心对称，所以()f x 关于()0,1中心对称，D 正确；故选ABD .11．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的13为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（ ）A ．第4个图形的边长为181B ．记第n 个图形的边数为n a ，则14n n a a +=C ．记第n 个图形的周长为n b ，则1433n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅D ．记第n 个图形的面积为n S ，则对任意的n ∈+N ，存在正实数M ，使得n S M < 【答案】BCD【详解】解析：易知，各个图形的边长成等比数列，且13q =，因此可设边长为113n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3411327C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 错误；易知，各个图形的边数也成等比数列且4q =，所以134n n a -=⋅，B 正确；周长为1433n n n n b a c -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，C 正确；由极限思想易知，当n →∞时，图形无限接近于圆，故n S S M <=圆，D 正确；故选BCD .12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，1F ，2F 分别为椭圆的左､右焦点，A ，B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.下列说法正确的是（ ）A ．C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=B ．对直线l 上任意点P ，0PA PB ⋅>C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -D ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b 【答案】AD【详解】解析：易知点(),Q a b 在蒙日圆上，所以方程为2222x y a b +=+，又由c e a ==，得222a b =，A 正确；l 过顶点(),P b a ，而Q 又满足蒙日圆方程，所以P 在圆2223x y b +=上，当A ､B 恰为切点时，10PA PB <⋅=-，B 错误；由A 在椭圆上，故122AF AF a +=，所以()21122d AF d a AF d AF a -=--=+-，当1F A l ⊥时，1d AF +有最小值，即1F到l距离d '=，即d '=，所以()2min2d AF a -=-，C 错误；当矩形四边都与椭圆C 相切时，它为蒙日圆得内接矩形，对角线为蒙日圆得直径，设边长为x ，y ，则()222222412x y r r b +===，22262x y S xy b +=≤=矩形，D 正确；故选AD .三、填空题 13．已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________. 【答案】5【详解】解析：22551i i z i i ++====-- 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若728S =，则237a a a ++的值为___________. 【答案】12【详解】解析：因为()177477282a a S a +===，所以134a d +=， ()()()()237111126333412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯=.15．能够说明“若a b >，则33a a b b<++”是假命题的一组非零实数a ，b 的值依次为___________.【答案】1，1-(答案不唯一)【详解】解析：答案不唯一，只需要第1个数大于0，第2个数小于0即可，即0a >，0b <，用反比例函数在各自象限具有单调性，而不是定义域内具有单调性.16．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分别交PB ，PC ，PD 于点E ，F ，G ，得到四棱锥P AEFG -；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若35PE PB =，12PF PC =，则PGPD的值为___________.【答案】34【详解】解析：建立如图所示空间直角坐标系，设()0,0,P b ，(),0,0A a ，()0,,0B a a ，()0,,0D a -，(),0,0C a -，PA xPE yPF zPG =++，其中1x y z ++=，则()0,,PB a b =-，(),0,PC a b =-，()0,,PD a b =--，(),0,PA a b =-，3330,,555PE PB a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，1,0,222ab PF PC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，设()0,,PF PC a b λλλ==--，则()()33,0,0,,,0,0,,5522ab a b x a b y z a b λλ⎛⎫⎛⎫-=-+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5300,0,2352ay a b b x a z x y b z λλ-⎛⎫=+++---- ⎪⎝⎭由方程组250033521ay a a x a z b bb x y b z x y z λλ⎧=-⎪⎪⎪+-=⎪⎨⎪-=---⎪⎪⎪++=⎩，得5035233y z x z x z x z λλ=-⎧⎪⎪-=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=⎩，解得，34λ=.四、解答题17．在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，5a =3b =，sin 522A B =（1）求角A 的值； （2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）4A π=；（2）面积为32或3. 【详解】（1）因为5a =sin 522A B =所以sin sin A a B +=sin sin a B b A =，所以sin 3sin A A +=sin A =在ABC ∆中，因为a b <，所以A 为锐角， 所以4A π=；（2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以240c -+=，解得c =c =当c =113sin 3,222ABC S bc A ∆==⨯=当c =11sin 3322ABC S bc A ∆==⨯⨯=， 所以ABC ∆的面积为32或3. 18．已知函数()2(1),01,02x a x e x f x x ax x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩. （1）若2a =，求()f x 的最小值；（2）若()f x 恰好有三个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最小值为12-；（2）)+∞. 【详解】（1）2a =时，22(1),0()12,02x x e x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩. 当0x <时，()2(2)x f x x e '=+，所以()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增， 此时()f x 的最小值为()222f e -=-； 当0x >时，()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 此时()f x 的最小值为()112f =-； 因为2212e ->-，所以()f x 的最小值为12-；（2）显然0a ≠；因为0x ≤时，()f x 有且只有一个零点1-， 所以原命题等价于()f x 在(0,)+∞上有两个零点.所以2200a a ⎧->⎨>⎩，解得2a >，故实数a 的取值范围是(2,)+∞.19．已知正方体1111ABCD A BC D -和平面α，直线1//AC 平面a ，直线//BD 平面α.（1）证明：平面α⊥平面11B CD ；（2）点P 为线段1AC 上的动点，求直线BP 与平面α所成角的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为6π. 【分析】（1）连接11AC ，先证11B D ⊥平面11AAC ，再证1AC ⊥平面11B CD ，通过过直线1AC 作平面β与平面α相交于直线l ，l ⊥平面11B CD ，进而可得结果；（2）求出平面α的法向量()1,1,2n =-，设101()AP t AC t =≤≤，将直线BP 与平面α所成角的正弦值表示为关于t 的函数，求出最值即可.【详解】（1）证明：连接11AC ，则1111B D AC ⊥，因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥；又因为1111AA AC A ⋂=，所以11B D ⊥平面11AAC ； 因为1AC ⊂平面11AAC ，所以111B D AC ⊥；同理11B C AC ⊥；因为1111B D B C B ⋂=，所以1AC ⊥平面11B CD ；因为1//AC 平面α，过直线1AC 作平面β与平面α相交于直线l ，则1//AC l ； 所以l ⊥平面11B CD ；又l ⊂平面α， 所以平面α⊥平面11B CD ；（2）设正方体的棱长为1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()11,1,1C ， 所以()11,1,1AC =，()1,1,0BD =-. 设平面α的法向量为(),,n x y z =，则100n AC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y z x y ++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则()1,1,2n =-；设101()AP t AC t =≤≤，则(),,AP t t t =，因为()1,0,0BA =-， 所以()1,,BP BA AP t t t =+=-； 设直线BP 与平面α所成的角为θ，则22||sin ||||6321126333n BP n BP t t t θ⋅===-+⎛⎫-+⎪⎝⎭， 所以当13t =时，sin θ取到最大值为12，此时θ的最大值为6π. 【点睛】引入新的变量t ，将BP 用t 表示，线面角的正弦值表示为关于t 的函数是解题的关键.20．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）2A B y y ⋅=-；（2）存在，2λ=.【分析】（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =由韦达定理得出A B y y 的值；（2）设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =，由韦达定理得出4A N y y ⋅=-，结合2M N y y ⋅=-，2A B y y ⋅=-得出212k k λ==. 【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=-又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A NA N A NB M A Ny y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于联立直线方程以及抛物线方程，结合韦达定理得出根与系数的关系，进而得出证明.21．某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y 与数学成绩x 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y 关于x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布2(,)N μσ，用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y 的期望. 附：参考数据：上表中的x ；表示样本中第i 名考生的数学成绩，y ；表示样本中第i 名考生的物理成绩，111111i i y y ==∑.参考公式：①对于一组数据：12,,,n u u u ，其方差：()22221111n n i i i i s u u u u n n ===-=-∑∑.②对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆˆv a bu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u v nuvb unu==-=-∑∑，ˆˆav bu =-.③若随机变量ε服从()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，220.55()9P μσξμσ-<<+≈，330.97()9P μσξμσ-<<+≈. 【答案】（1）ˆ0.3135y x =+，物理成绩为69.1；（2）1585.【分析】（1）结合题中数据以及公式可得ˆ0.3135yx =+，将110代入即可得结果； （2）先得考生的物理成绩服从正态分布()266,9N ，根据正态分布的概率特征不低于75分的概率，进而得期望.【详解】（1）设根据剔除后数据建立的y 关于x 的回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，剔除异常数据后的数学平均分为111011010010-=，剔除异常数据后的物理平均分为66006610-=， 则2268586110010661002586ˆ0.31120426110101008326b-⨯-⨯⨯==≈--⨯，则ˆ660.3110035a=-⨯=， 所以所求回归直线方程为ˆ0.3135yx =+. 又物理缺考考生的数学成绩为110，所以估计其可能取得的物理成绩为ˆ0.311103569.1y=⨯+=. （2）由题意知66μ=，因为()2111122211660114770114437011iii i y y y y ==⎛⎫=-+=+⨯= ⎪⎝⎭∑∑，所以9σ===， 所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布()266,9N ，则物理成绩不低于75分的概率为10.6830.15852-=， 由题意可知()~10000,0.1585Y B ， 所以物理成绩不低于75分的人数Y 的期望100000.15851585EY =⨯=.22．已知正项数列{}n a ，11a =，()11ln 12n n a a +=+，n ∈+N .证明： （1）1n n a a +<；（2）112n n n n a a a a ++-<⋅； （3）11122n n n a -<≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）先证()ln 1x x +<成立，得出112n n a a +<，结合0n a >即可得结果； （2）利用分析法即证即证()2ln 12n n n a a a +>+成立，构造函数2()ln(1)2xg x x x =+-+，利用导数得出单调性，得出()0g x >，即可得结果；（3）结合（2）中的结论1121n n a a +<+可得12n n a >，由（1）中的结论12n n a a +>，知112n n a -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.【详解】（1）先证明()ln 1x x +<对(0,)x ∈+∞恒成立， 记()()ln 1f x x x =+-，则1()1011xf x x x -'=-=<++， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以0x >时，()()00f x f <=， 所以(0,)x ∈+∞时，()ln 1x x +<. 又0n a >，所以()111ln 122n n n a a a +=+<，即112n n n a a a ++>>. 即1n n a a +<，得证.（2）要证112n n n n a a a a ++-<⋅成立，只需证()()1ln 1ln 12n n n n a a a a -+<⋅⋅+成立，即证()2ln 12n nn a a a +>+成立； 记2()ln(1)2xg x x x =+-+，(0,)x ∈+∞， 则22214()01(2)(1)(2)x g x x x x x '=-=>++++， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以0x >时，()()00g x g >=， 所以(0,)x ∈+∞时，2ln(1)2xx x +>+， 又0n a >，所以()2ln 12nn n a a a +>+，得证.（3）由（2）知112n n n n a a a a ++-<⋅，即1121n na a +<+， 则11211221n n n a a a +⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，即111211n na a ++<+， 又1112a +=，所以111222n n n a -+≤⋅=，所以11212n n na ≥>-； 由（1）知12n n a a +>，所以112n n a a +<，又11a =， 则1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫≤⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上11122n n n a -<≤. 【点睛】关键点点睛：通过证明()ln 1x x +<是解决（1）的关键，通过构造函数2()ln(1)2xg x x x =+-+利用其单调性是解决（2）的关键，运用（2）中的结论是解决（3）的关键.。
济南市商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试地理试卷含解析
商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试地理“在这七百多平方千米的岛上,田园生活是艰苦而费力的，每一小块葡萄园,都用防风石围了起来,农作物便生长在这一个个浅浅的石井里。
”著名作家三毛描写的景观位于加那利群岛中的兰萨罗特岛（图6)。
该小岛的葡萄种植很有特点，单株种植在单个的坑里,坑宽3米多，深1米多，坑边还用当地的火山石垒成半圆形的石墙。
看起来,一株株葡萄仿佛就种在一个个浅浅的“石井”里（图7）。
据此完成1~2题。
1。
兰萨罗特岛适宜葡萄种植的优势自然条件是A.终年高温，降水丰富B.光照强，昼夜温差大C.海雾缭绕，水源充足D.有机质多，土壤肥沃2。
图中鱼鳞坑和石墙的主要作用是A。
减少风蚀，堆积土壤B。
削减风速，收集水分 C.汇集水汽，增加降水D。
减少光照，增大温差（2020·全国高三其他）下击暴流是一种极端天气，其形成与雷暴云顶的上冲和崩溃紧密联系。
随着上冲高度的增加,上升气流不断被储存起来，一旦云顶迅速崩溃，巨大的乳状云从天而降，压向地面。
气流到达地面后，会产生一股直线型大风，越接近地面风速会越大，最大地面风力可达15级,研究表明：垂直高度45～80千米，提前预警的时间为0；小于20千米或大于80千米的则无法准确预警.下图示意2020年2月28日澳大利亚珀斯机场附近某摄影师拍下的下击暴流的画面。
据此完成下面小题。
3．下击暴流类似于前后叠加的两种天气系统分别是A．锋面、低气压B．反气旋、高气压C．低气压、气旋D．低气压、高气压4．目前很难对下击暴流准确预警的原因是A．时间极短，尺度极小B．卫星遥感分辨率低C．风力极大破坏性大D．天气系统变化剧烈牛轭湖是由于河流的变迁或改道，曲形河道自行裁弯取直后留下的旧河道形成的湖泊，因其形状恰似牛轭,故被称为牛轭湖。
尺八湖（又称老江河）原系长江荆江河段，属典型的牛轭湖，位于湖北省监利县，沿河进出水口共20余个,承雨面积138平方千米.下图为尺八湖示意图。
济南市2021年高中阶段学校招生考试数学试题及答案(Word版)(真题)
∴∠ADE ∠FBC ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
（2）求一次函数 y kx b 的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
1
2
3
正面
背面
21．（本小题满分 8 分）
自 2008 年爆发全球金融危机以来,部分企业受到了不同程度的影响,为落实“促民生、促经济”
政策,济南市某玻璃制品销售公司今年 1 月份调整了职工的月工资分配方案,调整后月工资由
所以,原方程的解为 x 1 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
19．（本小题满分 7 分）
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD BC，AD ∥ BC．
第Ⅰ卷（选择题 共 48 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分．在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的）
1． 3 的相反数是（ ）
A． 3
B． 3
1
C．
3
D． 1 3
2．图中几何体的主视图是（ ）
正面
（第 2 题图）
A
B
C
D
．
．
．
．
3 ．如图, A B ∥ C D，直线 EF 与 AB 、 CD 分别相交于 G 、
根据测量数据,计算出风筝的高度 CE 约为 0.1 米, 3 1.73 ）
山东省济南市商河县第一中学2021届高三阶段性考试物理试卷
则电源的总功率为
(2)通过灯泡的电流
通过电动机的电流
电动机的热功率:
电动机的输出功率:
16.
17.（1）设小球在 点时速度为
小球从 点到 点过程中由动能定理得
小球在 点处 联立得
由牛顿第三定律知小球对轨道的压力为
（2）电场与重力场的合场强与竖直方向成 斜向下，设 的距离为 ，
C. ，U=0.6VD. ，U=0.6V
9.如图,一带正电的点电荷固定于 点,两虚线圆均以 为圆心,两实线分别为带电粒子 和 先后在电场中运动的轨迹, 为轨迹和虚线圆的交点。不计重力。下列说法中正确的是( )
A. 带正电荷, 带负电荷
B. 在 点的动能小于它在 点的动能
C. 在 点的电势能等于它在 点的电势能
(3)请根据提供的器材，设计一个实验电路，要求尽可能精确测量金属棒的阻值，请在方框中画出电路图。
(4)若实验测得电流表 示数为 ，电流表 示数为 ，则金属棒电阻的符号表达式为 ___________。(用 表示)
论述题
15.（8分）如图所示，电源电动势E＝10V，内阻r＝0.5Ω，标有“8V,16W”的灯泡L恰好能正常发光，电动机M绕线的电阻 ，求：
（1）下列关于该实验说法正确的是__________。
A．纸带必须尽量保持竖直方向以减小摩擦阻力作用
B．为了验证机械能守恒，必须选择纸带上打出的第一个点作为起点
C．将电磁打点计时器改成电火花计时器可以减少纸带和打点计时器间的摩擦
D．可以选择较轻的物体作为重物以延长下落的时间，实验效果更好
（2）根据图②中纸带的数据，打下 点时重物的速度为______ （结果保留2位小数）。
山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年第一学期高二数学期中试题
山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年第一学期高二数学期中试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量351,,22a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，153,,2b λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭满足//a b ，则λ等于（ ） A ．23 B ．92 C ．92- D ．23- 2．圆224610x y x y +-+-=的圆心坐标为（ ）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ． (2,3) 3．已知m 为实数，直线1:10+-=l mx y ，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 的值( ) A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或13 4．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）A ．10BC ．5D ．5 5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 6．设12F F 、分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，M 的坐标为（6，4），则1||PM PF +的最大值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．167．椭圆2212x y +=上的点到直线27x y -=距离最近的点的坐标为（ ） A ．41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 8．已知点P 在离心率为12的椭圆2222:1x y E a b+=上，F 是椭圆的一个焦点，M 是以PF 为直径的圆1C 上的动点，N 是半径为2的圆2C 上的动点，圆1C 与圆2C 相离且圆心距1292C C =，若MN 的最小值为1，则椭圆E 的焦距的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．[]2,4 C ．[]2,6 D ．[]3,6 9．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO二、多选题10．给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则存在向量可以与a ，b 构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底那么A ，B ，M ，N 共面D ．已知向量组{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底11．下列说法正确的是（ ） A ．已知()1,0A -，()10B ,且三角形ABC 的周长是6，则顶点C 的轨迹方程是()221043x y y +=≠B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点是()1,1C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程是20x y +-=12．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．为坐标原点，则（ ）A ．22:2:1a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为-2C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12- D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为-2三、填空题13．1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，P 和Q 是此椭圆上关于原点对称的两个点，且6PQ =，则12PF F △的面积是______.14．直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 .15．已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．16．若点O 和点F 分别为椭圆22198x y 的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP FP ⋅的最小值为________．四、解答题17．在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三个顶点坐标分别为()2,1A ，()2,3B -，()3,0C -，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程.18．已知圆C 经过点()1,4P 和点()5,0Q 且圆心在直线1x y +=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D －中，已知AB ＝2，15AA ＝ ，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ＝＝.(1)求证：BE⊥平面ACF ；(2)求点E 到平面ACF 的距离．20．已椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆经过不在直线l 上的点(2,0)D ，求直线l 的方程.21．已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；（Ⅱ）若二面角P CD B --为45︒，2AD =，3CD =，求PD 与平面PCE 所成角的正弦值．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，长半轴长与短半轴长的差为2，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且2211PMQM 为定值，求点M 的坐标．参考答案1．B【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.【详解】因为//a b ，所以15392,351222. 故选：B【点睛】 本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.2．B【分析】将方程配方化成标准式，即可得圆心坐标.【详解】22224610(2)(3)14x y x y x y +-+-=∴-++=所以圆心坐标为(2,3)-故选：B【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3．B【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值；【详解】解：当0m =时，两直线方程分别为10y -=和220x --=，不满足条件．当0m ≠时，则12//l l ，∴32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得2320m m -+=得1m =或2m =， 由211m -≠-得2m ≠，则1m =，故选：B【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.4．D【分析】根据垂直关系，作111C M B D ⊥，1C BM ∠为所求角，直角三角形1C MB 中求111sin C M C BM C B∠=. 【详解】 如图，作111C M B D ⊥，交11B D 于点M ，连接MB ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB C M ⊥，又因为111C M B D ⊥，且1111BB B D B ⋂=， 所以1C M ⊥平面11BB D D ，即1C BM ∠为所求角，1BC ==，11B D ==所以112C M ⨯，所以1C M =111sin C M C BM C B ∠===. 故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.5．D【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果.【详解】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN =+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z = 故选：D【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则. 6．C【分析】 由椭圆的标准方程2212516x y +=得到a 、b 、c ，然后借助定义转化为求2PM PF -的最大值即可．【详解】如图所示，由椭圆2212516x y +=可得：5a =，4b =，3c ==， ()13,0F ∴-，()23,0F ， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222210101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=， 则1PM PF +的最大值为15，故选：C【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，三角形三边大小关系，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．B【分析】设和椭圆相切的且与直线平行的直线和椭圆方程联立，求出后再与椭圆方程联立，可求得答案.【详解】 设和椭圆2212x y +=相切且与直线27x y -=平行的直线方程为2y x b =+， 所以22122x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2298202x bx b ++=-，因为直线和圆相切，所以22362)64(20b b ∆=⨯-=-，所以3b =±，3b =-时，27x y -=与23y x =-3b =时，27x y -=与23y x =+的距离为>此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去，所以3b =-， 所以221223x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2924160x x -+=，解得切点坐标为41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，求切点坐标的问题.8．C 【分析】由圆1C 与圆2C 相离且圆心距1292C C =，以及MN 的最小值为1，可得圆1C 的直径，即PF 的长，再由P 在椭圆E 上，可得a c a c PF -≤≤+，进而可求出结果.【详解】因为M 是以PF 为直径的圆1C 上的动点，N 是半径为2的圆2C 上的动点，圆1C 与圆2C 相离且圆心距1292C C =，又MN 的最小值为1，所以1292122PF C C =++=，解得3PF =， 又因P 在椭圆E 上，所以a c a c PF -≤≤+，因为离心率为12，所以a 2c =, 所以c 33c ≤≤，故1c 3≤≤，所以22c 6≤≤. 故选C 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定PF 的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型. 9．C 【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ； 在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=， 当a 变化时，0x =，1y =恒成立， 所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立， 所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确. 对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---， 代入2:10l x ay ++=， 得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立， 故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以MO ==≤， 所以MO，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题. 10．ACD 【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，因为//a b ，根据空间基底的概念，可得B 不正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：ACD . 【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 11．AB 【分析】根据椭圆的定义，可判断A 的正误；根据点关于线的对称点的求法，可求得对称点坐标，即可判断B 的正误；根据直线的两点式方程，即可判断C 的正误；根据直线的截距式方程，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：因为2AB =，所以42CA CB +=>，所以C 点到两定点A 、B 的距离之和为定值4>2，满足椭圆的定义，所以2422a c =⎧⎨=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，23b =，所以顶点C 的轨迹方程是()221043x y y +=≠，故A 正确；对于B ：设点()0,2关于直线1y x =+的对称点是11(,)x y ，则111121(1)2122y x y x -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，解得111,1x y ==，故对称点为()1,1，故B 正确； 对于C ：当2121,y y x x ≠≠时，过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，故C 错误；对于D ：若直线在x 轴和y 轴上截距都为0时，设直线y kx =，又直线过点()1,1，代入解得k =1，所以直线方程为y x =；当直线在x 轴和y 轴上截距都相等且都不为0时，设截距为a ，则直线方程为1x ya a+=，又直线过点()1,1，代入解得a =2，所以方程为221x y+=，整理可得20x y +-=，故D 错误. 故选：AB 12．ACD 【分析】根据离心率可得,a b 的关系，从而可判断A 正确，利用点差法可得B 、C 、D 的正误， 【详解】因为椭圆的离心率为2，由2222221a b b e a a -==-得2212b a =，故A 正确； 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，且22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得22221212220x x y y a b--+=， 即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a-+=--+，因为AB 的斜率12112y y k x x -=-，OD 的斜率012012ODy y y k x x x +==+，所以21212OD b k k a ⋅=-=-，同理212OE k k ⋅=-，312OF k k ⋅=-，故B 错误，C 正确. 又112OD k k =-，同理可得212OE k k =-，312OF k k =-， 所以()1231112OD OE OF k k k k k k ++=-++，又直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，即1OD OE OF k k k ++=，所以1231112k k k ++=-，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查椭圆基本量的计算、点差法，注意圆锥曲线中与弦的中点、弦的斜率有关的问题，一般用点差法来处理，本题属于中档题. 13．16 【分析】根据题意，可得3OP =，设11(,)P x y ，所以22119x y +=，又P 在椭圆上，联立两方程，可求得1163y =，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】因为P ，Q 是椭圆上关于原点对称的两个点，且6PQ =，所以3OP =，设11(,)P x y ，所以22119x y +=，又P 在椭圆上，所以221112516x y +=，联立方程22112211912516x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可得212569y =，即1163y =，所以12PF F △的面积1211116616223S F F y =⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：16 14．α∈0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】k ＝tanα＝2112m －－＝1－m 2≤1，所以α∈0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.15． 【分析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积. 【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9， ∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3． ∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦． 结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12×6×．故答案为 【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题. 16．6 【分析】可设(,)P x y ，可求得OP 与FP 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，结合椭圆的方程即可求得其答案. 【详解】点P 为椭圆22198x y 上的任意一点，设(,)P x y (33,x -≤≤-≤，依题意得左焦点(1,0)F -， ∴(,),(1,)OP x y FP x y ==+，∴222728(1)9x OP PF x x y x x -⋅=++=++21923()924x =++， ∵33x -≤≤，∴3915222x ≤+≤，∴299225()424x ≤+≤， ∴2119225()49236x ≤+≤，∴219236()12924x ≤++≤， 即612OP FP ≤⋅≤，故最小值为6. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的最值的求解问题，涉及到的知识点有椭圆上点的坐标所满足的条件，向量数量积的坐标运算式，椭圆上点的坐标的范围，二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题目.17．（1）390x y -+=；（2）350x y +-=. 【分析】（1）求出直线BC 的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线BC 的斜率，得到BC 边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可. 【详解】（1）设BC 的直线方程为y kx b =+. 将()2,3B -，()3,0C -坐标代入可得3203k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解方程组可得39k b =⎧⎨=⎩，则直线BC 方程为39y x =+，化为一般式为390x y -+=. （2）因为AD 为直线BC 的高，所以AD BC ⊥，故113AD BC k k =-=-， 设AD 的直线方程为13y x m =-+，将()2,1A 代入，解得53m =， 得AD 的直线方程为1533y x =-+，代为一般式为350x y +-=. 【点睛】本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题．18．（1）22(1)16x y -+=； （2）1x =-或34130x y +-=..【分析】（1）求得线段PQ 的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心C ，根据4CQ =，求得圆的半径，即可求得圆C 的方程；（2）根据题意，得到圆心到直线l 的距离为2d =，①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =-，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为40kx y k -++=，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得k ，进而得出直线的方程. 【详解】（1）设PQ 的中点为00(,)C x y ， 因为点()1,4P 和点()5,0Q ，所以0015403,222xy ++====，即()3,2C ， 又由40115PQ k -==--，所以PQ 的垂直平分线的斜率为1k =， 所以线段PQ 的垂直平分线方程为10x y --=，联立方程组1010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得1,0x y ==，即圆心坐标(1,0)C ，又由4CQ =，即圆的半径为4r =， 所以圆C 的方程为22(1)16x y -+=.（2）过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=︒， 所以圆心到直线l 的距离为2d =，①当直线l 的斜率不存在时，此时直线方程为1x =-， 则圆心到直线l 的距离为2d =，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(1)y k x -=+，即40kx y k -++=，则圆心到直线的距离为2d ==，解得34k =-，此时直线l 的方程为34130x y +-=，综上可得，直线l 的方程为1x =-或34130x y +-=. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 19．（1）见解析（2）53【解析】分析：（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）BE 为平面ACF 的一个法向量，向量AE 在BE 上的射影长即为E 到平面ACF 的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.详解：(1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D 1(0,0,5)、E (0,0,1)、F (2,2,4)．∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．∵·＝0，·＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF . (2)由(1)知，为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离d ＝＝.故点E 到平面ACF 的距离为.点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．（1）22142x y +=；（2）32y x =-. 【分析】（1）根据题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，离心率为2，建立方程，由此算出a ，b ，即可得到椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由题意可得DA DB ⊥，即()()1212220x x y y --+=，即可求出参数k 的值，从而得解；【详解】解：（1）由题意得22222211,2,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2a =，b =c =所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222,1,42y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 并化简整理得()2221840k x kx +-+=，则有122821k x x k +=+，122421x x k =+ ()222164162102k k k ∆=-+>⇒>，又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =--=-++， 由DA DB ⊥得()()1212220x x y y --+=()()2121212(1)80k x x k x x ⇒+-+++=()2224812(1)802121kk k k k ⇒+-++=++2430k k ⇒-+=，解得3k =或1k =.当1k =时，直线l 过点(2,0)D ，与题意不符； 当3k =时，直线l 不过点(2,0)D ，符合题意，故直线l 的方程为32y x =-. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21．（1）证明见解析；（2）17【分析】（1）G 为CD 的中点，由线面平行的判定即有//PC 面AFG ，//EC 面AFG ，又PC EC C ⋂=，由面面平行判定即有面//PCE 面AFG ，由面面平行的性质即得证；（2）构建以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴构建空间直角坐标系，求面PCE 的法向量与斜线方向向量的夹角余弦值，结合它与线面角的关系即可求得PD 与平面PCE 所成角的正弦值 【详解】（1）若G 为CD 的中点，连接FG 、AG ，如下图示∵E 、F 分别是AB 、PD 的中点∴//FG PC ，且//AE GC ，AE GC =即AGCE 为平行四边形，有//AG EC 又由FGAG G =，PC ⊄面AFG ，EC ⊄面AFG∴//PC 面AFG ，//EC 面AFG ，又PC EC C ⋂=，即面//PCE 面AFG 由AF ⊂面AFG ，即有//AF 面PCE 得证（2）由四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P CD B --为45︒，即有AP 、AB 、AD 两两垂直，且45PDA ∠=︒∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴构建空间直角坐标系由2AD =，3CD =，知：(3,2,0)C ，(0,2,0)D ，3(,0,0)2E ，(0,0,2)P∴(0,2,2)PD =-，(3,2,2)PC =-，3(,0,2)2PE =- 令(,,)m x y z =为面PCE 的一个法向量，则32203202x y z x z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，若1x =有33(1,,)44m =- ∴317cos ,PD m PD m PD m⋅==由平面法向量与斜线的方向量的夹角与线面角的关系，知：PD 与平面PCE 所成角的正弦【点睛】本题考查了由面面平行判定证面面平行，利用面面平行性质定理证明线面平行，通过构建空间直角坐标系，求平面法向量与斜线方向向量夹角的余弦值，根据其与线面角的关系求线面角的正弦值22．(1) 22143x y +=(2) 7M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得：a ﹣b 2=12c a =，a 2＝b 2+c 2．联立解得：a ，c ，b ．可得椭圆C 的标准方程．（2）设M （t ，0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．分类讨论：①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ＝my +t ．与椭圆方程联立化为：（3m 2+4）y 2+6mty +3t 2﹣12＝0．△＞0．可得|PM |22211()x t y =-+=（1+m 2）21y ，同理可得：|PQ |2＝（1+m 2）22y ．把根与系数的关系代入()2222212111111y y m PMQM⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，化简整理可得．②当直线l 的斜率为0时，设P （2，0），Q （﹣2，0）．|PM |＝|t +2|，|QM |＝|2﹣t |．代入同理可得结论． 【详解】（1）由题意可得：2a b -=12c a =，222a b c =+． 联立解得：2a =，1c =，b =C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设(),0M t ，()11,P x y ，()22,Q x y ．①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x my t =+．联立223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，化为：()2223463120my mty t +++-=．()2248340m t ∆=-+>．∴122634mt y y m +=-+，212231234t y y m -=+． ()()222211121x t y m y PM -+=+=，同理可得：()22221PQ m y =+．∴()2222221111111y MQMy m P ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭()()()212122212211y y y y m y y +-=+()()()222222222223123634341131234t m t m m m t m --++=⋅+⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()()()2222222312164314t m t mt=⎡⎤++-⎣⎦+-.∵2211PMQM +为定值，∴必然有22312164t t +=-，解得7t =±． 此时221179PMQM+=为定值，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ②当直线l 的斜率为0时，设()2,0P ，()2,0Q -．2PM t =+，2QM t =-．此时()()()2222222111128224t t PMQ t t M+=+=-++-，把247t =代入可得：221179PMQM+=为定值． 综上①②可得：221179PMQM+=为定值，,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省济南市2021届高三期中考试数学试卷
数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C.{}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或2.已知a 是实数，i1ia -+是纯虚数，则a =A.1B.1- C.2 D.3.“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.1505.设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A.c a b << B.c b a <<C.a c b<< D.b c a<<6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤?”根据己知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤7.已知函数(),0,1ln ,xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为A.()1,0,1e ⎛⎫-∞⎪⎝⎭B.(－1，0)C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0，1)8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB = a ,=AD b ，E 为BF 的中点，则AE =A.45a ＋25b B ．25a ＋45bC.43a ＋23b D ．23a ＋43b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省商河县第一中学届高三期末考试数学试卷 Word版含答案
商河县第一中学2021届高三期末考试数学试题本试卷共6页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =(其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}260,10=A x x x B x x A B =--≤=-<⋃，则 A. (]3-∞，B ．(]2-∞，C. ()1-∞，D ．[)21-，2．若复数z 满足()12z i i +=-(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数是 A. 1i -B ．1+iC. 1i --D ．1i -+3．设x R ∈，则“24x>”是“()110g x ->”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()ln ,0,0,xx x x f x x x e >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则函数()1y f x =-的图象大致是5．看抛物线()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B两点，且8AB =，则弦AB 的中点到y 轴的距离为 A.2B ．3C ．4D ．66．已知函数()()()21111ln 5ln 25f x g x x f f ⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭，则 A.0B ．12C.1D ．27．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，…，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857=999，571+428=999，…．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999x -的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为 A.45B ．35C.25D ．3108．若F 为双曲线22:145x y C -=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是 A. 11,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,04⎛⎤-⎥⎝⎦D ．11,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D.该企业2019年11月份的月利润最大10．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是 A. 2π是()f x 的一个周期B. ()f x 在[]0.2π上有3个零点B. ()f x 的最大值为334D ．()02f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上是增函数11．给定两个不共线的空间向量a b 与，定义叉乘运算：a b ⨯．规定：①a b ⨯为同时与,a b 垂直的向量；②,,a b a a ⨯三个向量构成右手系(如图1)；③sin ,a b a b a b ⨯=． 如图2，在长方体111112,4ABCD A B C D AB AD AA -===中，，则下列结论正确的是A. 1AB AD AA ⨯=B. AB AD AD AB ⨯=⨯C. ()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯D ．长方体1111ABCD A B C D -的体积()1V AB AD CC =⨯⋅12．若实数,a b 满足2332a b a b +=+，则下列关系式中可能成立的是 A. 01a b <<< B ．0b a << C ．1a b <<D ．a b =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()52x y -的展开式中，含32x y 项的系数为_________(用数字作答)． 14．已知sin 3cos tan 236ππααα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则的值为________． 15．平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足2BN NC AB AM AN λμ==+，若，则λμ+的值为_________．16．如图，矩形ABCD 中，23,2,AB AD Q ==为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动(其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合)，且MN ∥AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D —MNQ ，则三棱锥D —MNQ 体积的最大值为_______；当三棱锥D —MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．(本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①2222b ac a c +=+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，_______，,23A b ABC π==∆，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)如图，五面体ABCDEF 中，正方形ABCD 的边长为222AB EF =，，点P 在线段DE 上，且2,DP PE Q =为BC 的中点．(1)求证：//BE 平面APQ ；(2)已知AE ⊥平面ABCD ，且AE=2，求二面角P —AF —E 的余弦值． 19．(12分)数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：()221n n F n N =+∈是质数．1732年，瑞士数学家欧拉算出56416700417F =⨯，该数不是质数．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()()2log 11n n S F n N +=--∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()211log n n b n a +=+，设n T 为数列2n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求出n T ，并证明：对任意n N +∈，12n T ≤<.20．(12分)截止到2018年末，我国公路总里程达到484．65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．右图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v 表示行车速度，单位：1km ／h ；1d ，2d 分别表示反应距离和制动距离，单位：m)．(1)从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率(用频率代替概率)；(2)已知2d 与υ的平方成正比，且当行车速度为100km ／h 时，制动距离为65m.(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立1d 与υ之间的回归方程，并估计车速为110 km ／h 时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100 km ／h 时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性． 参考数据：()()101010102111111110331004,210,22187.3,106054,0.2152524i i i i i i i i d i d υυυ========≈∑∑∑∑参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑．21．(12分)已知12,F F 分别为椭圆()2222:1x y C a b a b+=>>0的左、右焦点，P 为C 上的动点，其中P到F 1的最短距离为1，且当12PF F ∆的面积最大时，12PF F ∆恰好为等边三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C 的外切圆为E ． (i)求圆E 的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q ，使得以PQ 为直径的圆与E 相切，若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．(12分) 已知函数()ln x f x k x =+是的极大值为1ee+，其中 2.71828e =…为自然对数的底数． (1)求实数k 的值； (2)若函数()x ag x e x=-，对任意()()()0,x g x af x ∈+∞≥，恒成立． (i)求实数a 的取值范围；(ii)证明：()22sin 1x f x a x x >+-.。
2021届山东省商河县一中高三上学期12月联考数学试卷及答案
选择①当 n 1 时， b1 B1 20 ，
当 n 2 时， bn Bn Bn1 22 2n ， ………………………………………………5 分
bn 22 2n ，
………………………………………………………………………6 分
选择② Bn1 Bn bn 2 ，
即 bn1 bn 2 ， 所以bn 是首项为 20，公差 2 的等差数列， …………………5 分
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
D
A
C
D
D
B
A
二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）
题号
9
10 11 12
答案
BD
BC ACD AB
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
4
13.
3
14． 2 3
15． ,12,
16.
1，
13 6
,
19 6
四、解答题（17 题 10 分；18、19、20、21、22 每题 12 分）
(3
t)
(1
cos t)
t
cos t
4，1
t
3 2
…………………………………2 分
关于曲线 E2 ，可知抛物线的方程为 x2
9 4
y ,
…………………………………………3 分
则由
nn
AE AG
0 0
，得
2 y 4z 0
2x
z
0
，即
y x
2z z 2
，
令 z 2 ，所以 n (1, 4, 2) ，
2021-2022学年山东省济南市商河县第一中学高三数学文期末试卷含解析
2021-2022学年山东省济南市商河县第一中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则a的取值范围是A． B． C． D．参考答案：答案：A2. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A． B． C． D．参考答案：答案：D3. 则a，b，c的大小关系是()．A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a参考答案：C4. 函数f（x）=（﹣1）?sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）?sinx，∴f（﹣x）=（﹣1）?sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）?sinx=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f（2）=（﹣1）?sin2＜0，故排除B，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．5. 已知正整数a、b满足，则使得取最小值时，实数对(a、b)是A．(5，10) B．(6，6) C．(10，5) D．(7，2)参考答案：答案：A6. 函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由得，在同一坐标系中做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有1个，即函数的零点个数为1，选B.7. 函数的定义域是 ( )A. B. C. D.参考答案：C略8. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度参考答案：D9. 函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题．【解答】解由已知得=cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|，在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数f（x）的零点个数为2，故选B．10. 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x、y满足关系，则|x﹣y|的最大值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后分＞0和分别求出其最小值和最大值，则|﹣y|的最大值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （1，1），联立，解得B （﹣3，1）， 当时，t=过A 时有最大值为；当时，t=过B 时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．12. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 在边BC 上，若?=2，则?= ．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y轴，建立直角坐标系，可得A 、B 、C 、D 、E 点的坐标，设 F （2，b ），由?=2，故b 的值，可得F 的坐标，从而求得?的值．解答： 解：如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系， 则由题意可得A （0，0）、B （2，0）、C （2，2）、D （0，2）、E （1，2）， 设 F （2，b ）． 由于?=（0，2）?（2，b ）=2b=2，故b=1，故F （2，1），=（﹣1，2），则?=（2，1）?（﹣1，2）=﹣2+2=0，故答案为：0．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．13. 已知（2x ﹣）n 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．参考答案：60【考点】二项式定理． 【分析】根据题意，（2x ﹣）n 的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案． 【解答】解：由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n=6； （2x ﹣）6的展开式为为T r+1=C 66﹣r ?（2x ）6﹣r ?（﹣）r =（﹣1）r ?26﹣r ?C 66﹣r ?，令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60． 故答案为：60． 14. 由曲线所围成图形的面积是________ 。
山东省济南市商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试试题
山东省济南市商河县第一中学2021届高三历史上学期阶段性考试试题一、选择题(每小题2分,共30小题）1．（2020·赣州市高三统测)《诗经·商颂》充分体现了殷人祭祀先祖（鬼神)时那种恭敬虔诚、谨严端肃，表现出惶畏的心理;《诗经·周颂》则渗透了强烈的伦理道德精神，颂词大多现实化、生活化了。
这一变化体现了( ）A．王权神秘色彩的强化B．朴素的人文主义色彩C．宗法等级观念的淡化D．天道与伦理完全分离2．(2020·青岛市高三模拟）宋代出现了专门从事某种营生的中介性行业。
在农村的土地经营之中，出现了充当地主与佃户之间媒介的“业主”；在商业领域，出现了联结客商与铺户的中介经纪人。
这说明宋代( ) A．资本主义萌芽产生B．人身依附关系松弛C．社会结构根本变化D．重农抑商政策改变3．(2020·大同市高三模拟）1914年，面对当时盛行的个人与国家统一化的观念，陈独秀撰文指出“国家者，保障人民之权利，谋益人民之幸福也.不此之务，其国也存之无所荣，亡之无所惜”。
这一材料表明陈独秀( )A．倾向于维护无产阶级的利益B．反对专制道路维护共和政体C．对民族主义的观念有所反思D．以民主和科学进行启蒙宣传4．(2020·广安市高三统测)下图为创作于1953年的新年画《又增加了两分》（局部)，描绘了一位年青的姑娘在麦收劳动中表现优秀，获得了集体评工会增加的两个工分。
这反映了当时( ）A．女性成为农村建设的主力B．人民公社化运动蓬勃开展C．男女平等观念已深入人心D．互助劳动提升农民积极性5．(2020·佛山市高三模拟）从15世纪到19世纪的400年中，西方殖民者在亚洲的扩张表现出许多与在非洲、拉丁美洲的不同之处，殖民者的手法更加多样化,除了签订“保护”条约、武力征服等常见手法外，还有租借地、联姻、签订不平等条约等一些独特的方式.其主要原因是与非洲、拉丁美洲相比,亚洲( ）A．经济发展水平高B．人民富于反抗精神C．人口众多地形复杂D．国家众多面积最大6．（2020·株洲市高三模拟)商周时期，学习诗、书、礼、乐知识是贵族阶级享有的特权;而春秋战国时期，诸子百家等代表人物中,既有士人阶层、小土地私有者，也有小手工业代表和农民代表。
济南市商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试物理试卷含答案
商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试物理一、本试卷分第I卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共计100分，考试时间90分钟。
第I卷(选择题共48分）一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分.第1~8题只有一项符合题目要求，第9~12题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分；选对但不全的得2分；有选错或不答的得0分)1．从距水平地面某高处以相同的速率抛出4个质量相同的小球a、b、c、d，其中a球竖直向上抛出,b球竖直向下抛出，c球斜向上抛出，d球水平抛出，不计空气阻力，则小球落地时重力的瞬时功率最小的是（）A．a球 B．b球C．c球D．d球2。
如图为测定运动员体能的装置，轻绳拴在腰间沿水平线跨过定滑轮(不计滑轮的质量与摩擦)，下悬重力为G的物体。
设人的重心相对地面不动,人用力向后蹬传送带，使水平传送带以速率为v逆时针转动,则（）A.人对重物做功功率为GvB.人对传送带的摩擦力大小等于G，方向水平向右C。
人对传送带的摩擦力对传送带不做功D。
人对传送带做功的功率大小为Gv3.如图所示，塔吊用钢绳沿竖直方向将质量为m的建材以加速度a匀加速向上提起h高，已知重力加速度为g，则此过程中下列说法正确的是（)A．建材的动能增加了mgh B．建材的重力势能减少了mgh C．建材的机械能增加了D．建材所受的钢绳的拉力做的功()+m a g h4．如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M的物块（可视为质点)以一定的初速度从左端冲上木板,如果长木板是固定的，物块恰好停在木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上木板后在木板上滑行的距离为( ）A．L B．错误!C．错误!D．错误!5．固定水平杆上套有一个圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个小木块，整个装置处于静止状态。
某时刻,一颗子弹以一定初速度射入木块（子弹没有穿出)并随木块摆至最高点，则以下说法正确的是（）A．子弹射入木块的过程中,子弹和木块组成的系统动量守恒,机械能守恒B．子弹随木块一起向上摆至最高点的过程中,子弹和木块组成的系统动量不守恒，机械能不守恒C．子弹随木块摆至最高点时，子弹和木块的瞬时速度为零D．整个过程中，圆环、绳、木块和子弹所组成的系统动量守恒6.如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电荷量为Q+，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球（大小不计），小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R ,已知静电力常量为k ,重力加速度为g ，则小球所处位置的电场强度为( ） A 。
济南市商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试生物试卷含答案
商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试生物试题一、单项选择(每小题2分,共30个小题,共60分，每小题只有1个正确选项）1。
下列有关某生物体各细胞分裂示意图的叙述，正确的是（）A．图①处于减数第一次分裂的中期，细胞内有2对姐妹染色单体B．图②处于减数第二次分裂的后期，细胞内有2对姐妹染色单体C．图③处于减数第二次分裂的中期，该生物体细胞中染色体数目恒定为8条D．四幅图可排序为①③②④，可出现在该生物体精子的形成过程中2．下图甲表示某动物精原细胞中的一对同源染色体，在减数分裂过程中该对同源染色体发生了交叉互换，结果形成了①～④所示的四个精细胞：这四个精细胞中，来自同一个次级精母细胞的是( )A．①与②B．①与③C．②与③D．②与④3.如图表示果蝇精原细胞在分裂过程中细胞内染色体数目、核DNA 分子含量等指标的变化情况，其中图1中的乙曲线表示减数分裂过程中的染色体数目变化。
下列有关分析正确的是( )图1 图2 图3A．图2中HI段只有1个染色体组B．图3可表示有丝分裂或减数分裂C．图1中EF段和图2中BC段变化的原因不同D．基因重组可发生在图1中的CE段和图3中的jk段4．人的褐眼对蓝眼为显性,其相关基因位于常染色体上，某家庭的双亲皆为褐眼。
其甲、乙、丙三个孩子中，有一个是收养的（非亲生孩子）。
甲和丙为蓝眼，乙为褐眼。
由此得出的正确结论是（）A．孩子乙是亲生的，孩子甲或孩子丙是收养的B．该夫妇生一个蓝眼男孩的概率为1/4C．控制孩子乙眼睛颜色的基因是纯合的D．控制双亲眼睛颜色的基因是杂合的5.果蝇的长翅对残翅为显性，由位于2号染色体上的一对等位基因控制。
若一对杂合的长翅果蝇交配后，繁殖出了8只果蝇，则这8只果蝇的表现型是（）A．都是长翅 B．都是残翅C．6只是长翅、2只是残翅 D．以上三种都有可能6。
番茄的红果(R)对黄果（r)是显性，让纯种红果植株和黄果植株杂交得F1,F1再自交产生F2，淘汰F2的黄果番茄，利用F2中的红果番茄自交，则F3中RR、Rr、rr三种基因型的比例是( ）A．4∶4∶1 B．3∶2∶1C．1∶2∶1 D．9∶3∶17。
山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试卷 Word版含答案
姓名，年级：时间：数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）表示椭圆的（）是方程、1313m 1122=-+-〈〈m y m xA 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2.空间四边形O ABC -中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上,且2,OM MA N =为BC 的中点，则MN 等于 （ ）121.232A a b c -+ 211.322B a b c -++ 112.223C a b c +- 221.332D a b c +-3。
两个圆222212:4210,:4410O x y x y O x y x y +-++=++--=的公切线有( ）.1A 条 .2B 条 .3C 条 .4D 条4.已知(2,1,3),(1,2,1)a b =-=-，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（ ） A 、2 4.3B - 14.5C D 、—25 已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF x ⊥轴，若1||||4PF AF =,则该椭圆的离心率是 ( )1.4A 3.4B 1.2C 3.2D 为（）斜率为半径的圆上，则直线为圆心，的中点在以原点若线段轴上方，在椭圆上，且在，点的左焦点为、已知椭圆PF OF O PF x P F 15y 9x 622=+13A 、 15B 、 17C 、 19D 、7.椭圆2212x y +=上的点到直线27x y -=距离最近的点的坐标为（ ）A 。
41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 。
417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 。
417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2,上顶点为A ,左顶点为12,,B F F 分别是C 的左、右焦点,且1F ABP 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为 （ )A.[]1,2B。
【物理】山东省济南市商河一中2021届高三上学期阶段性测试试卷(解析版)
B．弹簧长度将变短，N1>N2，与结论相符，选项B正确；
C．弹簧长度将变长，N1<N2，与结论不相符，选项C错误；
D．弹簧长度将变短，N1<N2，与结论不相符，选项D错误；
3. 如图所示，半径为只的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，磁感应强度为B的勻强磁场方向垂
直轨道平面向里．一可视为质点，质量为m，电荷量为q(q>0)的小球由轨道左端A处无初速度滑 下，当小球滑至轨道最低点C时，给小球再施加一始终水平向右的外力F，使小球能保持不变的速 率滑过轨道右侧的D点，若小球始终与轨道接触，重力加速度为g，则下列判断正确的是
A. 小球在C点受到的洛伦兹力大小为qB
B. 小球在C点对轨道的压力大小为3mg -qB
A. 弹簧长度将变长，N1>N2B. 弹簧长度将变短，N1>N2
C. 弹簧长度将变长，N1<N2D. 弹簧长度将变短，N1<N2
【答案】B
【详解】开始时条形磁铁受重力和支持力，二力平衡，故弹簧处于原长，磁铁对水平面的压力等于磁铁的重力；增加通电导体棒后，根据条形磁铁磁感线分布情况得到导体棒所在位置磁场方向如图所示，由左手定则可判断出导体棒所受安培力方向如图所示.由牛顿第三定律可知，条形磁铁受到导体棒的作用力斜向左上方，故条形磁铁对水平面的压力减小，同时弹簧缩短.
A. 加速的粒子获得的最大动能随加速电压U的增大而增大
B. 不改变磁感应强度B和交流电的频率f，该加速器一定可加速其他带正电荷的粒子
C. 质子被加速后的最大速度不能超过2πRf
CD．由于粒子运动的周期 及 可知，三粒子运动的周期相同，a在磁场中运动的偏转角最大，运动的时间最长，故CD错误。
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数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}
1y y x =-，集合B ＝{}
2log (1)0x x ->，则A
B ＝
A ．∅
B ．(0，+∞)
C ．(1，2)
D ．(2，+∞) 2．已知命题p ：∀x ∈[0，2]，2
320x x -+>，则⌝p 是 A ．∃x ∈[0，2]，2
320x x -+< B ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+≤ C ．∃x ∈(-∞，0)
(2，+∞)，2
320x x -+≤
D ．∀x ∈[0，2]，2320x x -+≤ 3．已知复数34i z =+，则2
3z z -＝
A ．5
B ．5
C ．20
D ．25
4．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有
A ．20种
B ．30种
C ．90种
D ．120种 5．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，则ω＝2是()f x 的最小正周期是π的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 A ．2()ln f x x x =- B ．()ln f x x x =- C ．2()2ln f x x x =- D ．()2ln f x x x =-
7．已知1＜m ＜
43，则23
143m m
+--的最小值是 第6题
A ．329+
B ．36+
C ．629+
D ．12
8．已知函数221
()log (1)f x x x
=+-
，则不等式(21)0f x ->的解集是 A ．(0，1) B ．(1，+∞) C ．(-∞，0) D ．(-∞，0)
(1，+∞)
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是
A ．a b
c c > B ．log log a b c c > C ．1313
log a a < D ．2233
a b <
10．已知复数13i 2z =
-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅= B ．2
z z = C ．3
1z =- D ．2020
13i 22
z
=-+
11．在如图所示的三棱锥V —ABC 中，已知AB ＝BC ，∠V AB
＝∠V AC ＝∠ABC ＝90°，P 为线段VC 的中点，则 A ．PB 与AC 垂直 B ．PB 与V A 平行
C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等
D ．PB 与平面ABC 所成的角大于∠VBA 第11题
12．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且(1)f x -是奇函数，则下列说法正确的
是
A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 是周期函数
C ．(1)0f =
D ．(1)f x +是奇函数
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．2
6
2(1)()x x x
+-展开式中的常数项为 ．
14．已知x ＞0，若关于x 的不等式
222
1
x x a x ++<+恒成立，则a 的取值范围是 ． 15．函数2
()log (412)3a f x x x =+-+(a ＞0且a ≠1)，若(ln(lge))f ＝2，则(ln(ln10))f
＝ ．
16．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝30°，AA 1＝5，则其
外接球体积是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝1，MD＝1，MD⊥平面ABCD，H是MB中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角A—MD—C
的大小是
2
3
π
；②∠BAD＝
2
π
．
若，求CH与平面MCD所成角的正弦值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
新能源汽车对环保、节能减排、绿色生活以及可持续发展起到积极作用．下表给出了我国2015
年份2015 2016 2017 2018 2019
年份代码x 1 2 3 4 5 年份代码平方X(X＝x2) 1 4 9 16 25
新能源汽车保有量y42 91 153 261 381 （1）作出散点图，分析y与X之间的相关关系；
（2）求y关于X的线性回归方程（精确到0.01），并预测我国2025年新能源汽车保有量（结果保留整数）．
附：参考公式：11
2
22
11
()()
()
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
==
==
---
==
--
∑∑
∑∑
，a y bx
=-．
19．（本小题满分12分）
已知函数()e x
f x a x =-． （1）求()f x 的极值；
（2）求()f x 在[0，1]上的最大值．
20．（本小题满分12分）
如图，三棱锥S —ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．
（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；
（2）若二面角P —BC —A 的大小为60°，求
PA
SA
的值．
21．（本小题满分12分）
为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数据库中抽取1000条用户信息进行调查，得到如下数据：
把全年旅游消费满16000元的游客称为“酷爱旅游者”．
（1）请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“酷爱旅游者”与性别有关；
（旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现0~9的可能性是相等的．两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．
①视频率为概率，求抽取的4名“形象大使”中，既有男“酷爱旅游者”，又有女“酷爱旅游者”的概率；
②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为X ，求X 的数学期望．
附：
参考公式：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
22．（本小题满分12分）
已知函数2
()ln f x ax bx c x =+-，其中a ，b ，c ∈R ． （1）当a ≥0，c ＝1时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知a ＞0，b ＝﹣2，c ＝2，且函数()f x 有两个零点1x ，2x （1x ＜2x ），求证：对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得2x ﹣1x ＞M 成立．
答案。