常见几何体的表面展开图
展开与折叠(3种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
展开与折叠（3种题型）【知识梳理】一．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．二．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．专题：正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．【考点剖析】一．几何体的展开图（共9小题）1．（2022秋•江汉区期末）下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【分析】依据棱柱的所有的面的形状以及位置，即可得到棱柱的表面展开图．【解答】解：A．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；B．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确；C．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；D．该平面图形不能围成棱柱，能围成圆柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图以及棱柱的结构特征，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．2．（2022秋•南京期末）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点B重合的点为（）A．点C和点D B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点D【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察得到重合的点．【解答】解：在这个正方体中，与点B重合的点为点C和点D．故选：A．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握折叠后的正方体的图形是关键．3．（2022秋•莲湖区期末）诗语同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm，高是2cm．（1）求长方体盒子的长和宽．（2）求这个包装盒的体积．【分析】（1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长；（2）用体积公式即可．【解答】解：（1）宽为：（14﹣2×2）÷2＝5（cm），长为：5+3＝8（cm）；（2）8×5×2＝80（cm3）．【点评】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽．4．（2022秋•鹤壁期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？（2）若1平方米硬纸板价格为元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）【分析】（1）根据长方体的表面积公式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；（2）360÷10000×5×10＝1.8元，答：制作10个这样的包装盒需花费1.8元钱．【点评】本题考查了几何体的表面积，正确的计算出长方体的表面积是解题的关键．5．（2022秋•和平区期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式．【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：“收”字分别放在“垃”“圾”“分”“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．6．（2022秋•江阴市期末）如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（）A．B．C．D．【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．B，D与此不符，所以错误；再观察3个图案所在的位置，而选项C不符，正确的是A．故选：A．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．（2022秋•二道区校级期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【分析】依据正方体展开图的特征进行判断，即可得到3种不同的正方体展开图．【解答】解：如图所示：（答案不唯一）【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的结构特点．8．（2022秋•伊川县期末）如图，是一个几何体的表面展开图：（1）请说出该几何体的名称；（2）求该几何体的表面积；（3）求该几何体的体积．【分析】（1（2）依据长方体的表面积等于六个面面积之和即可得出结论；（3）依据体积计算公式，即可得到该几何体的体积．【解答】解：（1）该几何体的名称是长方体；（2）该几何体的表面积为：2×（2×3+2×1+1×3）＝22（平方米）；（3）该几何体的体积为：2×3×1＝6（立方米）．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是关键．9．（2022秋•仪征市期末）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开条棱．【分析】根据无盖正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．【解答】解：∵无盖正方体有5个表面，两个面共一条棱，共8条棱，要展成如图所示图形必须4条棱连接，∴要剪8﹣4＝4条棱，故答案为：4．【点评】此题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出要展成如图所示图形必须4条棱连接，是解题关键．二．展开图折叠成几何体（共9小题）10．（2022秋•沈河区期末）如图，如果裁掉一个正方形后能折叠成正方体，那么能裁掉的是（）A．①B．②和③C．③和④D．②或③或④【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由正方体的展开图可知，去掉②或③或④原图都可以折叠成正方形，故选：D．11．（2022秋•高新区期末）下列图形经过折叠不能成为一个封闭的正方体的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折叠成正方体，故选：D．【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．12．（2022秋•青秀区校级期末）如图平面图形不能折成无盖长方体盒子的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折成无盖长方体盒子，故选：C．【点评】本题主要考查长方体展开图的知识，熟练掌握长方体展开图的知识是解题的关键．13．（2022秋•晋江市期末）图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形ABCD位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．【解答】解：如图：以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形ABCD位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．故选：B．【点评】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．14．（2022秋•秦淮区期末）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；B、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；C、底面有2个三角形，不能折叠围成一个三棱柱，故本选项错误；D、展开图有3个底面，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，15．（2022秋•姜堰区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图：（1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；（2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为56cm，求这个长方体盒子的体积．【分析】（1）根据长方体的展开图补充图形即可求解；（2）根据题意，设长方体的高为a，则宽为2a，长为4a，根据长方体所有棱长的和为56cm，列出方程，进而根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示，（2）设长方体的高为acm，则宽为2acm，长为4acm，根据题意得，4（a+2a+4a）＝56（cm），解得：a＝2，∴这个长方体的高为2cm，宽为4cm，长为8cm，∴这个长方体盒子的体积为：2×4×8＝64（cm3）．【点评】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•宛城区校级期末）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b （cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．【问题解决】（1）若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为；【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b （cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．【拓展延伸】（2）若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为；（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？【分析】（1）由折叠可得底面是边长为6cm的正方形，进而求出底面积即可；（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为a﹣2b，，b，根据体积公式进行计算即可；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．【解答】解：（1）如图1，若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面是边长为12﹣3×2＝6（cm）的正方形，因此面积为6×6＝36（cm2），故答案为：36cm2；（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来可得到长为a﹣2b，宽为，高为b的长方体，当a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒长为12﹣2×2＝8（cm），宽为＝4（cm），高为2cm，所以体积为8×4×2＝64（cm3），故答案为：64cm3；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），2000÷1000＝2（倍），答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．17．（2022秋•昆明期末）图（1）和图（2）中所有的正方形都相同，将图（1）的正方形放在图（2）中的①②③④⑤某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①②B．②③C．③④D．②⑤【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的②⑤的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选：D．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．熟记正方体的11种展开图是解题的关键．18．（2022秋•阳泉期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：观察判断：小明共剪开了条棱；动手操作：现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形；解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880cm，求这个纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20，∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100＝200000（立方厘米）．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．三．专题：正方体相对两个面上的文字（共7小题）19．（2022秋•泗阳县期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（）A．1B．2C．3D．6【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2【解答】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2，将正方形展开如图所示，∴5的对面是6，故选：D．【点评】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键．20．（2022秋•溧水区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数相等，则a+b+c ＝．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：由图可知，c+1＝3，1+b＝1，a＝﹣2，所以a＝﹣2，b＝0，c＝2，所以a+b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．21．（2022秋•高邮市期末）一个正方体的6个面上分别标有字母a、b、c、d、e、f．若甲、乙两位同学分别在f、e朝上时，看到的另两个字母如图，则b对面的是．【分析】根据第一个图形和第二个图形中都含有d的面，即可判断．【解答】解：由题意可知d字母所在面相邻的面上的字母分别为a、c、e、f，则d的对面是b．即b对面的是d．故答案为：d．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，同时也考查了空间想象能力和推理能力．正确记忆立方体的特点是解题关键．22．（2022秋•川汇区期末）党的二十大报告提出，要以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．将“中国式现代化”这六个字分别写在一个正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则与“式”相对的字是（）A．中B．国C．现D．代【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“式”字相对的面上的汉字是“中”．故选：A．【点评】本题考查了正方体的展开图形，掌握相对面进行分析及解答是关键．23．（2022秋•青神县期末）如果一个骰子相对两面的点数之和为7，它的表面展开图如图所示，则下面判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握从相对面入手是关键．24．（2022秋•汉台区期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．25．（2022秋•青神县期末）一个立方体的六个面上分别标上一至六点（一个小圆表示一点，每个面上的点数不同），然后将完全一样的四个立方体摆放成如图样式的一个长方体，我们能看到的面上的点数如图所示，则长方体底面上的点数之和是．【分析】先判断出相对的面的点数，再进行计算即可．【解答】解：由题意可知，“3点”的面的邻面有“2点、6点、4点、5点”，所以与“3点”相对的面的点数为“1点”；因为“4点”的面的邻面有“6点、5点、3点、1点”，所以与“4点”相对的面的点数为“2点”；因为“6点”的面的邻面有“3点、1点、4点、2点”，所以与“6点”相对的面的点数为“5点”；所以长方体底面上的点数之和是：4+1+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，关键是弄清每个骰子六面点数之和是几，每个骰子看见面的点数之和是几．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2022•河南三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（）A．老B．南C．河D．家【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【解答】解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，故选：D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．2．（2022•金坛区二模）某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A．圆柱B．长方体C．四棱锥D．五棱锥【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．【解答】解：这个几何体由四个三角形和一个正方形围成，故这个几何体为四棱锥．故选：C．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．3．（2022•梧州模拟）下列在立体图形中，它的侧面展开图是扇形的是（）A．正方体B．长方体C．圆柱D．圆锥【分析】根据常见立体图形的侧面展开图判断即可得出答案．【解答】解：A选项，正方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；B选项，长方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；C选项，圆柱的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；D选项，圆锥的侧面展开图是扇形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形是解题的关键．4．（2022•丰台区二模）如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．【解答】解：AB、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2022•晋中一模）“双奥之城”指既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．2008年北京夏季奥会之后，2022年北京冬季奥运会成功举办，使北京成为世界上首座“双奥之城”．下列正方体展开图的每个面上都标有一个汉字，把它们折成正方体后，与“双”字相对面上的汉字是．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．【解答】解：与“双”字相对面上的汉字是城，故答案为：城．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．6．（2021秋•息县期末）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：、、．【分析】根据表面展开图的形状判断即可．【解答】解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．【点评】本题考查立体图形的表面展开，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．7．（2021秋•绵阳期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“y”一面与相对面上的代数式相等，则有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0（用数字作答）．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端对面，判断即可．【解答】解：由图可知：y与2y﹣3相对，xy2与﹣3xy相对，由题意得：y＝2y﹣3，∴y＝3，∴xy2+（﹣3xy）＝9x+（﹣9x）＝0，∴有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0，故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（2021秋•武功县期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．9．（2021秋•临汾期末）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是；A．字母B B．字母A C．字母R D．字母T（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，故答案为：A；（2）由题意得：2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，∴包装盒的表面积为22．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．10．（2021秋•渠县期末）如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与N重合的点是哪几个？（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【分析】（1）把展开图折叠即可得出答案；。
冀教版数学七年级上册1.3 几何体的表面展开图
1.3 几何体的表面展开图
基础训练
一、画一画下面立体图形的表面展开图
二、填一填：哪种几何体的表面能展开成下面图形
三、选一选
1.下面图形中，哪个是正方体的展开图（）
A B C D
2.将一个无盖长方体纸盒沿着某些棱展开，能成为的平面图形是（）
A B C
综合训练
四、你能把右图形状的纸片折成一个正方体吗？
请你试着画一画.
五、如图是一个正方体表面展开图，如果把它重新折成正方体，那么与点G 重合的是哪两点？并用字母指出三对相对的面。
拓展与探究训练 六、做一做
由6个大小相同的小正方形连成的一块硬纸板，可折叠成一个正方体纸盒，若把6个小正方形每种不同位置的排列作为一种纸样，你能做出几种这样的纸样（用图表示）？
N M L
K J
I
H G
F E D
C
B A
参考答案
一、略. 二、圆柱，长方体，正方体，三棱柱，圆锥. 三、1.D.2.B. 四、略. 五、点
A和点C；ABMN与FEJI，LMJK与CBED，MJEB与HIFG. 六、略.
初中数学试卷。
立体图形的表面展开图例题与讲解
立体图形的表面展开图例题与讲解(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--立体图形的表面展开图1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．【例1】如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是()．解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C 也要排除；故选D.答案：D2.正方体的表面展开图(1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面，如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面．此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．解技巧正方体的表面展开图的判断思路(1)是否满足四种阵型中的一种；(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构．【例2】一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是()．A．家B．乡C．孝D．感解析：本题以热爱家乡为素材，考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧——“相间、‘Z’端是对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面易知“爱”与“乡”相对．答案：B【例3】如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小是()．A．4 B．6 C．7D．8解析：将展开图还原成正方体，2和6相对，3和4相对，1和5相对，则原正方体相对两个面上的数字和最小为6.答案：B谈重点解决正方体展开图问题的关键熟练掌握正方体展开图的对面寻找技巧可以有效降低解题的难度，起到事半功倍的效果．3．正方体表面展开图的应用如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开图一共有11个．正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条．(1)“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．(2)“1–3–2”型有3个，其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个，如图．(3)“3–3”型有一个，“2–2–2”型有一个，如图．【例3－1】一个正方体的每一个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么，在该正方体中和“超”所对的汉字是__________．解析：这是“1–3–2”型的正方体表面展开图．根据展开图可知对面之间不能有公共边或公共顶点，所以“超”字的对面不能是“沉”、“着”、“越”，根据上下相对和左右相对，由于“信”和“着”相对，“着”和“超”相邻，所以“信”和“超”相邻．这样和“超”相对的字只能是“自”．答案：自【例3－2】六一儿童节时，阿兰准备用硬纸片通过裁剪、折叠制作一个封闭的正方体礼盒．她先在硬纸片上设计了一个如图1所示的裁剪方案(实线部分)，经裁剪、折叠后成为一个封闭的正方体礼盒．请你参照如图，帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经裁剪、折叠后也能成为一个封闭的正方体礼盒．图1 图2分析：阿兰设计的是正方体的11种展开图中的一种，可以从剩下的10种展开图中任选两种在如图的小方格中画出．解：如图2所示．4.其他立体图形展开图的应用由平面图形围成的立体图形叫多面体，其表面展开图可以有不同的形状．应多实践，观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系．立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面展开图，画立体图形的展开图时，一定先观察立体图形的每一个面的形状．圆柱的侧面展开图是长方形，底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；n棱柱的侧面展开图是n个高相等的长方形，底面是n边形；n棱锥的侧面展开图是n个三角形，底面是n边形．【例4】小新的茶杯是圆柱形，如图所示．左边下方有一只蜘蛛，从A处爬行到对面的中点B处，如果蜘蛛爬行路线最短，请画出这条最短路线图．分析：先画出圆柱的侧面展开图，再连接得到最短路线．解：如图所示．5．立体图形展开图的应用立体图形展开图的考查一般以选择题为主要方式，答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟(想象)折纸、翻转活动，较好地考查了学生的空间观念．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号和各种图案的面的特点及位置，解题时，先正确画出立体图形的表面展开图，再仔细观察图案以及符号的不同特点，从而选出正确的答案．有时，根据图案的位置和方向可以先把一些很明显的不符合题目要求的选择项先排除掉，再一步步的寻找正确的选项．要想灵活解决此类问题，一要熟练掌握立体图形展开图的基本知识和解题技巧；二要充分发挥自己的空间想象力；三要不断积累生活经验和解题经验．【例5－1】如图所示的正方体的展开图是()．解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．选项A和选项D折叠后，箭头不指向白三角形，C项折叠后与原正方体不符．B折叠后与原正方体相同．故选B.答案：B【例5－2】图1是由白色纸板拼成，将其中两面涂上颜色，如图2所示．下列四个中哪一个是图2的表面展开图()．解析：由图中阴影部分的位置，首先可以排除B，D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．故选A.答案：A。
第一讲 立体图形的展开与折叠(学生版)
第一讲 立体图形的展开与折叠知识清单1. 棱柱棱柱分为直棱柱和斜棱柱，初中阶段只讨论直棱柱.n 棱柱的定点有n 2个，棱有n 3条，面有（2 n ）个，因此任意一个棱柱的顶点数、棱数和面数之间存在着这样的关系：顶点数＋面数－棱数＝2.2. 点、线、面、体从运动的角度看：点动成线，线动成面，面动成体. 3. 展开图与折叠图（1）几种常见的立体图形的展开图：（2）将正方体表面沿着某些棱剪开展成一个平面图形，需要剪开7条棱，由于剪开的方法不同，会得到11种不同形状的展开图.①“一四一”型：如下图，四个一行中排列，上下各一任意放，共6种；①“二三一”型：如下图，二在三上露一端，一在三下任意放，共3种；①“二二二”型：如下图，两两三行排有序，恰是登天上云梯，仅1种；①“三三”型：如下图，三个三排两行，中间一“日”放光芒，仅1中.题型突破题型1 识别几何体1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥2．下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．3．下列图形中，属于立体图形的是（）A．B．C．D．4．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学，它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥5．一个棱柱共有9条棱，这个棱柱是（）A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱题型2 立体题图像的表面积1．已知正方体的边长为a．（1）一个正方体的表面积是多少？体积是多少？（2）2个正方体（如图②）叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？（3）n个正方体按照图②的方式叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？2．一个六棱柱模型如图所示，底面边长都是5cm，侧棱长为4cm，这个六棱柱的所有侧面的面积之和是（）A．20cm2B．60cm2C．120cm2D．240cm23．小华自己动手做了一个铁皮圆柱形笔筒，它的底面直径为6cm，高为10cm，则其表面积为（）A．156πcm2B．120πcm2C．69πcm2D．60πcm24．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积为（）A．36cm2B．33cm2C．30cm2D．27cm25．如图所示的五棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长12cm，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？6．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．题型3 点、线、面、体1．将第一行的图形绕轴旋转一周，便得到第二行的几何体，用线连一连．2．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．3．天上一颗颗闪烁的星星给我们以“”的形象；中国武术中有“枪扎一条线，棍扫一大片”的说法，这句话给我们以“”的形象；宾馆里旋转的大门给我们以“”的形象．4．流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为．5．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．题型4 几何体的展开图1．下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（）A．B．C．D．3．有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（）A．B．C．D．4．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（）A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱5．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（）A．庆B．力C．大D．魅6．如图所示的正方体的展开图是（）A．B．C．D．7．如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（在图1和图2中任选一个进行解答，只填出一种答案即可）题型5 展开图折叠成几何体1．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）A．B．C．D．2．把图1所示的正方体的展开图围成正方体（文字露在外面），再将这个正方体按照图2，依次翻滚到第1格，第2格，第3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为（）A．富B．强C．文D．民3．下列图形通过折叠能围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．4．如图1，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相对，现在图2中②、②、②、②中的某一处画○，然后去掉其余3处后，能围成正方体骰子的是（）A．②B．②C．②D．②题组A基础过关一．选择题（共4小题）1．毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校．现用一个正方体盒子进行包装，六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上．则此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能是（）A．B．C．D．2．小明同学中考前为了给自己加油，课余时间制作了一个六个面分别写有“17”“中”“考”“必”“胜”“！”的正方体模型，这个模型的表面展开图如图所示，与“胜”相对的一面写的（）A．17B．！C．中D．考3．将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．设其中一面、两面、三面涂色的小正方体的个数分别为为x1、x2、x3，则x1、x2、x3之间的关系为（）A．x1﹣x2+x3=1B．x1+x2﹣x3=1C．x1﹣x2+x3=2D．x1+x2﹣x3=2 4．如图，模块②由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣②均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣②中选出三个模块放到模块②上，与模块②组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（）A．模块②，②，②B．模块②，②，②C．模块②，②，②D．模块②，②，②二．填空题（共3小题）5．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走个小正方体．6．“齐天大圣”孙悟空有一个宝贝﹣﹣金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明．7．用棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，把这个几何体放在桌子上，并把暴露的面涂上颜色，那么涂颜色面的面积之和是cm2．三．解答题（共3小题）8．如图所示为8个立体图形．其中，柱体的序号为，锥体的序号为，有曲面的序号为．9．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．（1）这个几何体由个小正方体组成．（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有个正方体只有一个面是黄色，有个正方体只有两个面是黄色，有个正方体只有三个面是黄色．（3）这个几何体喷漆的面积为cm2．10．值得探究的“叠放”！问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？方法探究：第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图②），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2．第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图②），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2．这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为6×2×2=24．仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题：（1）如图②，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积．提示：长方体的表面积=2×（长×宽+宽×高+长×高）（2）取如图②的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？（3）取四个长、宽、高分别为2，3，c的长方体进行叠放如图②，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求c的取值范围．题组B提优过关一．选择题（共3小题）1．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（）A．B．C．D．2．把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色和花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面有（）朵花．颜色红黄蓝白紫绿花的朵数123456A．15B．16C．21D．173．10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（）A．30B．34C．36D．48二．填空题（共2小题）4．如图，是由8个相同的小立方块达成的几何体，它的三个方向看到的都是2×2的正方形，拿掉若干个小立方块后，其三个方向观察到图形仍都为2×2的正方形．若已知该几何体不论拿掉哪一块小立方块，剩余立方块在几何体中的位置不变即几何体不会倒掉，则最多能拿掉小立方块的个数为5．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走个小正方体．三．解答题（共2小题）6．如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．（1）圆柱、六棱柱各由几个面组成？它们都是平的吗？（2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们是直的吗？（3）六棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？（4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．7．一个正方体木块粘合成如图所示的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在模型表面涂油漆，如果除去粘合部分不涂外，求模型的涂漆面积（可列式计算）．。
3.42 简单几何体的表面展开图(2)——圆柱的侧面积和全面积
• S侧=2πr • =2× π ×1 ×2.5 • =5 π （cm²） • S全=2πr²+ 2πrL • = 2πr×1²+ 2πr×1 ×2.5 • = 7 π （cm²） • 答：这个圆柱的侧面积为5 π cm²，全面积 为 7π cm².
①铝皮： S侧=ch =π×6×2.6 =π×15.6 =15.6π（dm²）
②羊皮： 2S底=πr²×2 =π×3²×2 =π×18 =18π（cm²）
• 3.如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开 ，得矩形ABCD。已知AD＝18cm，AB＝ 30cm，求这个圆柱形木块的表面积（精 确到1cm2）
2cm
.
2cm
.
小组合作计算出圆柱的表面积:
①S侧=ch =π×2×2 =4π（cm²） ③S表= S侧＋ 2S底 ②S底=πr² =4π＋2×π =π×1² =4π＋2π =π（cm²） =6π（cm²）
判断：（对的画“√”，错的画“×”） 1、圆柱的侧面展开可以得到一个矩形，这个矩形的长等于 圆柱的底面直径，ห้องสมุดไป่ตู้等于圆柱的高。 （ ）
×
2、给大厅的圆柱刷油漆，刷油漆的部分面积是圆柱的侧 面积。
（√
）
3、圆柱形通风管的表面积等于它的侧面积。（
√
）
4、一个圆柱的侧面展开是正方形，它的底面周长和高 相等。 （ ）
√
• 例3.如图为一个圆柱的三视图.以相同的比 例画出它的表面展开图，并计算它的侧面 积和全面积. （结果保留π）
2.5
1
分析：由图知，圆柱底面 的半径r为1cm,母线长L为 2.5cm 。因此圆柱的表面 展开图中两个底面应画成 半径为1cm 的圆，侧面展 开图应画成2πr=2π×1=2π (cm)，宽为2.5cm的长方 形。
立体图形与平面图形(第2课时)从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图(课件)七年级数学上册人教版
针对训练
5. 如图，分别从正面、左面、上面观察这个立体图形， 请画出你看到的平面图形．
针对训练
6. 说出下面三个平面图形分别是物体从哪里看到的？
从正面看
从上面看
从左面看
针对训练
7. 分别从正面、左面、上面看一个由若干个正方体组成的立体 图形，得到的平面图形如下图所示，你能搭出这个立体图形吗？ 动手试试看！
课堂小结
这节课我们主要学习了从不同方向看立体图形得到平面图形及常 见几何体的展开图，谈一谈自己有哪些学习成果. 常见几何体的展开图：
圆锥
四棱锥 长方体
三棱柱
三棱锥
三棱柱 正方体
圆柱
布置作业
P121：习题4.1：第4题. P122：习题4.1：第5、6、7题. P123：习题4.1：第12、13题.
当堂巩固
1. 下面图形是一些多面体的表面展开图，你能说出这些多面体的名字吗？
当堂巩固
2. 下列立体图形的平面展开图是什么?
当堂巩固
展开
当堂巩固
展开
能力提升
1. 下图所示的从正面、上面看到的图形对应的是 （ B ）
A
B
C
D
能力提升
2. 下图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既 可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是 （ B ）
正面
左面
上面
典例分析
例：如图是由若干小正方体搭成的几何体，我们分别从正面 看、从左面看和从上面看得到的平面图形分别是怎样的呢？ 请同学们尝试画一画．
典例分析
从上面看
从左面看 从正面看
从正面看
从左面看
从上面看
针对训练
1. 从正面、左面、上面看这 个由正方体组合成的立体图 形各能得到什么平面图形？
1.2.2常见几何体的表面展开图
(1)这个几何体的名称是 圆柱 ； (2)求这个包装盒的表面积．
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1.2.2 常见几何体的表面展开图
解：(2)由图形可知：圆柱的底面半径r＝5 cm，高h＝20 cm，∴S表＝ S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝200π＋50π＝250π(cm2)．
【点悟】 解决展开与折叠问题的最好方法是亲自动手操作，在这一 过程中感悟展开与折叠、平面与立体的联系，发现问题的实质，从而解 决问题．
1．[2018·陕西]如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是 (C)
A．正方体 C．三棱柱
B．长方体 D．四棱锥
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1.2.2 常见几何体的表面展开图
2．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是( A )
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1.2.2 常见几何体的表面展开图
3．[2018秋·龙岗区期末]如图所示为几何体的平面展开图，则从左 到右，其对应的几何体名称分别为( D )
(2)这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6 cm，其他棱长 都是5 cm.
(3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8＝ 40(cm)，宽是6 cm，该长方形的面积是40×6＝240(cm2)．
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七年级BS版数学
第一章 2 第2课时
1.2.2 常见几何体的表面展开图
第一章 丰富的图形世界
2 展开与折叠 第2课时 常见几何体的表面展开图
学习指南
知识管理
归类探究 当堂测评
分层作业
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1.2.2 常见几何体的表面展开图
学习指南
5.3展开与折叠(课件)-七年级数学上册(苏科版)【01】
02 知识精讲 注意：下列平面图形不是正方体的展开图哦~
正方体的展开图
L型
田字型
凹字型
02 知识精讲
探究2：为什么要剪7条棱， 才能得到正方体的展开图呢？
∵正方体共12条棱， 每种展开图内都有5条棱相连， ∴要剪7条棱。
03 典例精析
例1、下列七个图形中是正方体的平面展开图的有（ B ）
“二二二”型，√
02 知识精讲
同一个正方体展开所得到的平面图形有11种， 在展成平面图形的过程中，一共剪了7条棱。
02 知识精讲 探究1：11种展开图，如何快速记忆呢？
做好分类就行 啦~
“一四一”型
02 知识精讲 “三三”型
“二三一”型 “二二二”型
02 知识精讲
正方体的展开图
“一四一”型：6个 “二三一”型：3个 “三三”型：1个 “二二二”型：1个
× “一四一”型，√
×
×
A. 1个
×
B. 2个
×
C. 3个
D. 4个
03 典例精析
例2、如图是一个正方体，如图哪个选项是它的展开图（ B ）
A.
B.
C.
D.
03 典例精析 例3、一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后
，与“山”字相对的字是（D ）
A．水 B．绿 C．建 D．共
正方体找某一面的对面的口诀： 隔面有面是对面，隔面无面就拐弯。
例3、如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添上一个面， 折叠后才能围成一个正方体．下列添加方式（图中阴影部分）正
确的是（ D ）
A.
×
B.
×
C.
×
D.
√常见几何体的侧面展开图：来自(1)圆柱：矩形（长方形） (2)圆锥：扇形 (3)正方体：矩形（长方形）
简单几何体表面展开图
开图的智能化生成，提高设计效率和质量。
02
虚拟现实与增强现实技术结合
结合虚拟现实和增强现实技术，可以在虚拟环境中实现几何体的动态展
开和交互操作，为设计、教学和娱乐等领域带来新的体验。
03
拓展应用领域
随着科技的进步和社会的发展，几何体表面展开图的应用领域将不断拓
展，例如在生物医学、环境科学等领域发挥更大的作用。
便于计算与制造
在制造和设计领域，展开图可用于计算材料的用 量和成本，以及指导实际的生产和加工过程。
3
广泛应用于多个领域
几何体表面展开图在建筑、机械、电子、艺术等 领域都有广泛的应用，是不可或缺的技术手段。
未来发展趋势和应用前景
01
智能化生成
随着计算机图形学和人工智能技术的发展，未来有望实现几何体表面展
THANKS
感谢观看
可变性
由于锥体的形状和大小可 以变化，因此其展开图也 具有可变性。
04
球体表面展开图
球体的基本概念
球体定义
球体是一个连续曲面的立 体图形，所有点到中心的 距离都相等。
球心与半径
球体的中心称为球心，从 球心到球面上任意一点的 距离称为球的半径。
球面与截面
球体的表面称为球面，通 过球心且与球面相交的平 面截得的圆称为截面圆。
真实性
展开图是按照一定的比例和投影 规律绘制的，能够真实地反映组
合体的实际形状和大小。
多样性
由于组合体的形状和结构各异， 其表面展开图也具有多样性，需 要根据具体情况进行分析和绘制
。
06
总结与展望
几何体表面展开图的重要性
1 2
直观理解三维形状
通过展开图，可以直观地理解三维几何体的表面 结构和形状特征，有助于空间想象和思维发展。
《简单几何体的表面展开图》课件1-优质公开课-浙教9下精品
(2)两个公式的逆向应用.
例4 圆锥形烟囱帽（图3-54）的母线长为80cm，高 为38.7cm. （1）求这个烟囱帽的面积（精确到103cm). （2）以1:40的比例画出这个烟囱帽的展开图．
解（1）∵l=80cm，h=38.7cm， r l 2 h2 802 38.72 70(cm)， ∴S侧=πrl=π×70×80≈1.8×104(cm2). 答：烟囱帽的面积约1.8×104cm2.
请将一个立方体纸盒沿某些棱剪开，使 六个面连在一起，展成一个平面图形 . 你能得到怎样的平面图形？ 将几何体沿某些棱剪开后铺平，且六个面连 在一起，这样的图形叫几何体的表面展开图.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
这是一个对面颜色相同的立方体
问题：立方体的相对两个面在其表面展开图 中有何位置关系？
油桶
铅笔、圆形柱子
圆形大厦
轴：直线AB叫做圆柱的轴. 母线：CD叫做圆柱的母线，
圆柱侧面上平行于轴的线段
都叫做圆柱的母线. 高：圆柱的一个底面上任意一点 到另一底面的垂线段叫做圆 柱的高.
圆柱的性质
• ①圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂
直于上、下底；
• ②圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于
圆柱的高；
答：间隔一行或间隔一列
例1 图3-39是一个立方体的表面展开图吗？如果是，分 别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它 的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示法）.
分析 可以先用折叠的方法试一试，看它能否折成 一个立方体． 解 图3-39是一个立方体的表面展开图，各对应面上 的数字表示如图3-40和图3-41.
初一数学展开图及点线面体讲解
练一练：围成下面这些几何体的各个面中，哪些 面是平的？哪些面是曲的？
观察我们的教室和周围环境，举出一些实际生活中“面” 的例子，并指出哪些面是平的，那些面是曲的？
观察几何体模型，回答下列问题： （1）面与面相交的地方形成了什么图形？它们有什么不同？ （2）线与线相交的地方形成了什么图形？它们有什么不同？
点 动 成 线
物体的运动会留下运动轨迹,这些运动轨迹往往也 能抽象成几何图形.如果把笔尖看成一个点,这个点在 纸上运动时,形成的图形是什么?动手试一试.
归纳结论: 点动成线.
汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，从几何 的角度观察这种现象，你可以得出什么结论？
概括结论： 线动成面.
线 动 成 面
线 动 成 面
线 动 成 面
三角形 绕一边 旋转成 圆锥体
长方形 绕一边 旋转成 圆柱体
既然“点动成线，线动成面”，那么请同学 们想一想：当面运动时又会形成什么图形？如何 验证你的猜想？
概括结论：面动成体.
点动成—— 线 线动成—— 面 面动成—— 体
体是由面组成 面与面相交成线 线与线相交成点
观察可知:长方体有__6__个面，面与面相交的地方形成了 _1_2_条线，线与线相交成__8__个点；三棱柱有__5__个面,面与面 相交的地方形成了__9_条线，线与线相交成__6__个点．
归纳：图形的构成元素包括__点__、 _线___、 __面__、 __体__．
我们先来认识“体”.观察一本书、圆罐、篮球，从它们 外形中分别可以抽象出什么立体图形？
常见几何体展开图及点、线、面、体的关系 执教：小密初中 钟岩锋
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左视图
俯视图
立体图形的表面展开图例题与讲解
立体图形的表面展开图1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．【例1】如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是( )．解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C也要排除；故选D.答案：D2.正方体的表面展开图(1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面，如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面．此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．解技巧正方体的表面展开图的判断思路(1)是否满足四种阵型中的一种；(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构．【例2】一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是( )．A．家B．乡C．孝D．感解析：本题以热爱家乡为素材，考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧——“相间、‘Z’端是对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面易知“爱”与“乡”相对．答案：B【例3】如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小是( )．A．4 B．6 C．7 D．8解析：将展开图还原成正方体，2和6相对，3和4相对，1和5相对，则原正方体相对两个面上的数字和最小为6.答案：B谈重点解决正方体展开图问题的关键熟练掌握正方体展开图的对面寻找技巧可以有效降低解题的难度，起到事半功倍的效果．3．正方体表面展开图的应用如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开图一共有11个．正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条．(1)“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．(2)“1–3–2”型有3个，其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个，如图．(3)“3–3”型有一个，“2–2–2”型有一个，如图．【例3－1】一个正方体的每一个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么，在该正方体中和“超”所对的汉字是__________．解析：这是“1–3–2”型的正方体表面展开图．根据展开图可知对面之间不能有公共边或公共顶点，所以“超”字的对面不能是“沉”、“着”、“越”，根据上下相对和左右相对，由于“信”和“着”相对，“着”和“超”相邻，所以“信”和“超”相邻．这样和“超”相对的字只能是“自”．答案：自【例3－2】六一儿童节时，阿兰准备用硬纸片通过裁剪、折叠制作一个封闭的正方体礼盒．她先在硬纸片上设计了一个如图1所示的裁剪方案(实线部分)，经裁剪、折叠后成为一个封闭的正方体礼盒．请你参照如图，帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经裁剪、折叠后也能成为一个封闭的正方体礼盒．图1 图2分析：阿兰设计的是正方体的11种展开图中的一种，可以从剩下的10种展开图中任选两种在如图的小方格中画出．解：如图2所示．4.其他立体图形展开图的应用由平面图形围成的立体图形叫多面体，其表面展开图可以有不同的形状．应多实践，观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系．立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面展开图，画立体图形的展开图时，一定先观察立体图形的每一个面的形状．圆柱的侧面展开图是长方形，底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；n棱柱的侧面展开图是n个高相等的长方形，底面是n边形；n棱锥的侧面展开图是n个三角形，底面是n边形．【例4】小新的茶杯是圆柱形，如图所示．左边下方有一只蜘蛛，从A处爬行到对面的中点B处，如果蜘蛛爬行路线最短，请画出这条最短路线图．分析：先画出圆柱的侧面展开图，再连接得到最短路线．解：如图所示．5．立体图形展开图的应用立体图形展开图的考查一般以选择题为主要方式，答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟(想象)折纸、翻转活动，较好地考查了学生的空间观念．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号和各种图案的面的特点及位置，解题时，先正确画出立体图形的表面展开图，再仔细观察图案以及符号的不同特点，从而选出正确的答案．有时，根据图案的位置和方向可以先把一些很明显的不符合题目要求的选择项先排除掉，再一步步的寻找正确的选项．要想灵活解决此类问题，一要熟练掌握立体图形展开图的基本知识和解题技巧；二要充分发挥自己的空间想象力；三要不断积累生活经验和解题经验．【例5－1】如图所示的正方体的展开图是( )．解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．选项A和选项D折叠后，箭头不指向白三角形，C项折叠后与原正方体不符．B折叠后与原正方体相同．故选B.答案：B【例5－2】图1是由白色纸板拼成，将其中两面涂上颜色，如图2所示．下列四个中哪一个是图2的表面展开图( )．解析：由图中阴影部分的位置，首先可以排除B，D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．故选A.答案：A。
正方体11种展开图
类型六：十字型
总结词
由两个相同的等腰直角三角形和两个相同的矩形组成的展开图，呈十字形状。
详细描述
这种类型的展开图在正方体的两个相对的面上保留了一个矩形，而其他面则由两个等腰直角三角形组成，整体呈 十字形状。
类型七：二字型
总结词
由两个相同的矩形和两个相同的等腰直角三角形组成的展开图，呈二字形状。
详细描述
正方体11种展开图
• 正方体的基本特性 • 正方体的11种展开图 • 正方体展开图的制作方法 • 正方体展开图的应用场景 • 正方体展开图的挑战与未来发展
01
正方体的基本特性
定义与特性
01
正方体是一种三维几何体，由六 个正方形面组成，每个面都是等 大的正方形。
02
正方体的体对角线、棱和面都是 对称的，具有高度的空间对称性 。
05
正方体展开图的挑战与未来发展
当前面临的挑战
寻找新的展开方式
目前已知的正方体展开图种类有 限，需要探索新的展开方式以丰
富其多样性。
证明无解的存在
对于某些特定条件下的正方体展开 问题，需要证明无解的存在，这需 要深入的数学理论支持。
实际应用中的限制
正方体展开图在实际应用中可能受 到材料、工艺等因素的限制，需要 解决这些实际问题。
正方体的几何属性
正方体的体积是边长的三次方，记作 V=a^3，其中a是正方体的边长。
正方体的表面积是6倍的边长的平方， 记作A=6a^2。
正方体的展开与折叠
正方体的展开是将正方体的表面沿某些边展开成平面的过程，通常用于制作纸盒等 包装材料。
正方体的折叠则是将展开的平面重新折回成立体的过程，常用于制作纸艺模型和玩 具。
详细描述
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常见几何体的表面展开图
将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？
(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．
(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．
(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作
侧面)
(4)正方体的平面展开图
在课本中、习题中会经常遇到让大家辨认正方体表面展开图的题目．下面列出正方体的十一种展开图，供大家参考．
例1 下列四张图中，经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
分析：由平面图围成一个棱柱，我们可以动手实践操作，也可以展开丰富的想像，但我们最关键的是要抓住棱柱的特征，棱柱的平面图是由两个完全一样的多边形(且在平面图的两侧)和几个长方形组成的．
解：正确答案选C．
点评：特别要注意的是两个完全一样的多边形是棱柱的上下两个底面图形(棱柱展开后，这两个图形是位于展开图的两侧)，故不选D，另外定几个长方形，到底是几个呢，它的个数就是上下底多边形的边数，故选C．
例2如图所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的？
(1)(2)(3)
分析：找几何体的表面展开图，关键是看侧面和底面的形状．
底面是圆的几何体有圆柱、圆锥、圆台．
侧面是扇形的几何体是圆锥．
侧面是长方形的几何体是棱柱、圆柱．
解答：(1)圆锥；(2)圆柱；(3)圆台．
例3如图所示，在正方体的两个相距最远的顶点
处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛，蜘蛛可以从哪条最短
的路径爬到苍蝇处?说明你的理由．
分析：在解这道题时，正方体的展开图对解题有很大的帮助，由于作展开图有各种不同的方法，因而从蜘蛛到苍蝇可以用6种不同方法选择最短路径，而其中每一条路径都通过连结正方体2个顶点的棱的中点．
解：由于蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只需作出这个正方体的展开图并用点标出苍蝇和蜘蛛的位置，根据“两点之间线段最短”这一常识可知，连结这两个点的线段就是最短的路径．
点评：这类求最短路程是多少及求与棱的夹角是多少等问题，同学们容易犯的错误是：用棱柱来计算路程，可求出的却不是最短的．
通过对该节内容的学习，我们一定要养成善于观察，随时寻找规律的良好习惯，只有这样，才能把所学知识融会贯通．。